幂函数--幂函数的概念、解析式、定义域、值域
一、选择题（共19小题）
1、下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是（ ）
A、 B、f（x）=x2
C、f（x）=2x﹣2 D、f（x）=x﹣1
2、如果集合P={y|y=x2，x∈R}，Q={y|y=2x，x∈R}，则（ ）
A、P∩Q={2，4} B、P∩Q={4，16}
C、P=Q D、Q?P
3、函数的定义域是（ ）
A、 B、
C、 D、
4、函数的定义域是（ ）
A、（﹣1，0） B、（﹣1，1）
C、（0，1） D、（0，1]
5、函数y=x﹣3和y=log3x的定义域分别是P、Q，则P∩Q=（ ）
A、Q B、P
C、R D、○
6、在y=2x，y=log2x，y=x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的个数是（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
7、下列函数：①y=x2+1；②；③y=2x2；④；⑤，其中幂函数是（ ）
A、①⑤ B、①②③
C、②④ D、②③⑤
8、已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则函数f（x）的定义域为（ ）
A、（﹣∞，0） B、（0，+∞）
C、（﹣∞，0）∪（0，+∞） D、（﹣∞，+∞）
9、若y=x2，y=（）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1）上述函数是幂函数的个数是（ ）21*cnjy*com
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
10、有四个幂函数：①f（x）=x﹣1，②f（x）=x﹣2，③f（x）=x3，④f（x）=．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}．如果他给出的两个性质中，有一个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A、① B、②
C、③ D、④
11、已知幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则函数y=f（1+cosx）的最小正周期是（ ）
A、4π B、2π
C、π D、
12、已知幂函数y=f（x）的图象经过点，则f（2）=（ ）
A、 B、4
C、 D、
13、已知幂函数y=f（x）的图象过点，则此函数的解析式是（ ）21*cnjy*com
A、y=x2 B、
C、 D、
14、下列函数是幂函数的是（ ）
A、y=2x2 B、y=x3
C、y=x2+1 D、
15、下列函数是幂函数的是（ ）
A、y=2x2 B、y=x3+x
C、y=3x D、y=
16、下列函数：①y=；②y=3x﹣2；③y=x4+x2；④y=，其中幂函数的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
17、在函数y=，y=2x3，y=x2+x，y=1中，幂函数有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
18、下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）21cnjy
A、y=﹣x3 B、y=x﹣3
C、y=2x3 D、y=x3﹣1
19、设函数f（9x）=a﹣|x|（a＞0且a≠1），f（﹣2）=9，则（ ）
A、f（﹣2）＞f（﹣1） B、f（1）＞f（2）
C、f（﹣1）＞f（﹣2） D、f（﹣2）＞f（2）
二、填空题（共6小题）
20、函数①，②，③y=x3，④y=x﹣1，⑤y=|x﹣1|中，值域为[0，+∞）的函数是 _________ ．（写出所有符合条件函数序号）
21、已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（9，3），则f（100）= _________ ．
22、已知幂函数f（x）=xa的图象经过点，则f（9）= _________ ．
23、已知幂函数y=xn图象过点（2，8），则其解析式是 _________ ．
24、若点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（x）= _________ ．
25、已知幂函数y=f（x）的图象过（2，），则f（27）= _________ ．
三、解答题（共4小题）
26、已知幂函数y=f（x）的图象过点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．
27、已知函数f（x）=（m2+2m）?xm2+m﹣1，求m为何值时，f（x）是（1）二次函数；（2）幂函数．
28、已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）?x﹣5m﹣3，m为何值时，f（x）：
（1）是正比例函数；
（2）是反比例函数；
（3）是二次函数；
（4）是幂函数．
29、已知幂函数y=f（x）经过点，
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、下列函数中，既是偶函数又是幂函数的是（ ）21cnjy
A、 B、f（x）=x2
C、f（x）=2x﹣2 D、f（x）=x﹣1
考点：函数奇偶性的判断；幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：函数奇偶性的定义：定义域关于原点对称，若f（﹣x）=﹣f（x）则为奇函数；若f（﹣x）=f（x）则为偶函数，幂函数是指形如y=xα的函数．由以上两知识点即可作出判断．
解答：解：①f（x）=的定义域为[0，+∞），不关于原点对称，所以该函数不具备奇偶性，所以选项A错误；
②f（x）=x2既是偶函数，又是幂函数，所以选项B正确；
③f（x）=2x﹣2不是y=xα的形式，所以它不是幂函数，所以选项C错误；
④f（x）=x﹣1是奇函数，而不是偶函数，所以选项D错误．
故选B．
点评：本题考查函数奇偶性的定义，要注意其定义域必须关于原点对称；同时考查幂函数定义，要注意xα的系数必须为1．
2、如果集合P={y|y=x2，x∈R}，Q={y|y=2x，x∈R}，则（ ）
A、P∩Q={2，4} B、P∩Q={4，16}
C、P=Q D、Q?P
考点：指数函数的定义、解析式、定义域和值域；幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
分析：先化简集合，即分别求函数y=x2，x∈R，y=2x，x∈R的值域．
解答：解：根据题意集合P={y|y=x2，x∈R}={y|y≥0}，Q={y|y=2x，x∈R}={y|y＞0}
∴Q?P
故选D
点评：本题通过集合的关系来考查函数值域的求法．
3、函数的定义域是（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：对数函数的定义域；函数的定义域及其求法；幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：由题意可得，解不等式可求函数的定义域
解答：解：由题意可得
解不等式可得即函数的定义域
故选：C
点评：本题主要考查了函数的定义域的求解，一般理论依据是：①分式的分母不为0②x0中的x≠0③偶次根式的被开放数大于（等于）0④对数的真数大于0
4、函数的定义域是（ ）21世纪教育网
A、（﹣1，0） B、（﹣1，1）
C、（0，1） D、（0，1]
5、函数y=x﹣3和y=log3x的定义域分别是P、Q，则P∩Q=（ ）
A、Q B、P
C、R D、○
考点：对数函数的定义域；交集及其运算；幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：根据指数，对数定义可得P，Q；再根据集合的交集运算可得P∩Q．
解答：解：由题意可知P={x|x≠0}，Q={x|x＞0}，根据集合运算得：P∩Q={x|x＞0}，所以P∩Q=Q．
故选A
点评：本题主要考查指数、对数的定义，以及函数的定义域，集合的交集运算．
6、在y=2x，y=log2x，y=x2这三个函数中，当0＜x1＜x2＜1时，使恒成立的函数的个数是（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；对数函数的值域与最值。
分析：先求出各个函数对应的，再利用指数函数的单调性及基本不等式比较两者的大小．
解答：解：对于y=2x有
=
∵0＜x1＜x2＜1，∴
∴恒成立
对于y=log2x有，=
∵0＜x1＜x2＜1，∴，∴
故选B
点评：本题考查指数函数的单调性、基本不等式比较数的大小．
7、下列函数：①y=x2+1；②；③y=2x2；④；⑤，其中幂函数是（ ）
A、①⑤ B、①②③
C、②④ D、②③⑤
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：阅读型。
分析：根据幂函数的定义，直接判定选项的正误，推出正确结论．
解答：解：幂函数的定义规定；y=xa（a为常数）为幂函数，
所以选项中：①y=x2+1错；
②正确；
③y=2x2错；
④正确；
⑤错，其中幂函数是②③⑤．
故选D．
点评：本题考查幂函数的定义，考查判断推理能力，基本知识掌握情况，是基础题．
8、已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（2，），则函数f（x）的定义域为（ ）
A、（﹣∞，0） B、（0，+∞）
C、（﹣∞，0）∪（0，+∞） D、（﹣∞，+∞）
9、若y=x2，y=（）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1）上述函数是幂函数的个数是（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：常规题型。
分析：由幂函数的定义直接进行判断知甩给的函数中是幂函数的是y=x2和y=x．
解答：解：由幂函数的定义知，
y=x2，y=（）x，y=4x2，y=x5+1，y=（x﹣1）2，y=x，y=ax（a＞1）七个函数中，
是幂函数的是y=x2和y=x，
故选C．
点评：本题考查幂函数的定义，解题时要熟练掌握幂函数的概念．
10、有四个幂函数：①f（x）=x﹣1，②f（x）=x﹣2，③f（x）=x3，④f（x）=．某同学研究了其中的一个函数，他给出这个函数的两个性质：（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}．如果他给出的两个性质中，有一个正确，一个错误，则他研究的函数是（ ）
A、① B、②
C、③ D、④
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：常规题型。
分析：先将各个幂函数化为正指数幂形式，再求出各个幂函数的定义域及值域．
解答：解：对于①，具有（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}．
对于②具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；但不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}．
对于③不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}．
对于④不具有性质（1）定义域是{x|x∈R，且x≠0}；也不具有性质（2）值域是{y|y∈R，且y≠0}．
故选B
点评：本题考查幂函数的定义域及值域的求法，求幂函数的定义域及值域时常将幂函数化为指数为正整数或根式形式．
11、已知幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），则函数y=f（1+cosx）的最小正周期是（ ）
A、4π B、2π
C、π D、
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数的周期性。
专题：计算题。
分析：根据幂函数的定义求出幂函数的解析式，然后根据二倍角公式进行化简变形，求出函数的周期，从而得到正确的选项．
解答：解：∵幂函数y=f（x）的图象过点（4，2），
∴f（x）=
∴y=f（1+cosx）===|cos|
则函数y=f（1+cosx）的最小正周期是2π
故选B．
点评：本题主要考查了幂函数的定义，以及二倍角公式的应用，同时考查了三角化简和函数的周期性，属于基础题．
12、已知幂函数y=f（x）的图象经过点，则f（2）=（ ）21世纪教育网
A、 B、4
C、 D、
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：先设出幂函数解析式来，再通过经过点（4，）得到参数的方程，解得参数，从而求得其解析式，再代入2求函数值．
解答：解：设幂函数为：y=xα
∵幂函数的图象经过点（4，），
∴=4α
∴α=﹣
∴
∴f（2）==
故选C．
点评：本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题等基础知识，考查运算求解能力，幂函数要求较低，在构造函数和幂的运算中应用较多，属于基础题．
13、已知幂函数y=f（x）的图象过点，则此函数的解析式是（ ）
A、y=x2 B、
C、 D、
14、下列函数是幂函数的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、y=2x2 B、y=x3
C、y=x2+1 D、
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：阅读型。
分析：根据幂函数的定义：y=xa（a为常数）为幂函数，直接判定选项的正确与否，得出正确结论．
解答：解：根据幂函数的定义：y=xa（a为常数）为幂函数；
所以选项中A中项的系数不为1，错；
C选项后多了一个：“1”，错；
D选项被开方数不是x，不正确；
只有B正确；
故选B
点评：本小题主要考查幂函数等基础知识，考查判断推理能力．属于基础题．
15、下列函数是幂函数的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、y=2x2 B、y=x3+x
C、y=3x D、y=
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：阅读型。
分析：A是二次函数，B是三次函数，C是指数函数，D是幂函数．
解答：解：由函数的定义知：
A是二次函数，
B是三次函数，
C是指数函数，
D是幂函数．
故选D．
点评：本题考查函数的定义，解题时要认真审题，仔细解答．
16、下列函数：①y=；②y=3x﹣2；③y=x4+x2；④y=，其中幂函数的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：常规题型。
分析：直接根据幂函数的定义即可求解
解答：解：①中y=x﹣3；④中y=符合幂函数定义；
而②中y=3x﹣2，③中y=x4+x2不符合幂函数的定义．
故选B
点评：本题考查了幂函数的概念，属于基础题．
17、在函数y=，y=2x3，y=x2+x，y=1中，幂函数有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：阅读型。
分析：将各个选项中的函数解析式与幂函数的定义作对照，看哪些满足幂函数的定义．
解答：解：函数y==x﹣2是幂函数，y=2x3不是幂函数，y=x2+x不是幂函数，
y=1不是幂函数，
因为只有 y=xα（α≠0），才是幂函数，
故选B．
点评：本题考查幂函数的定义和性质，只有满足 y=xα（α≠0）形式的函数才是幂函数．
18、下列所给出的函数中，是幂函数的是（ ）
A、y=﹣x3 B、y=x﹣3
C、y=2x3 D、y=x3﹣1
19、设函数f（9x）=a﹣|x|（a＞0且a≠1），f（﹣2）=9，则（ ）
A、f（﹣2）＞f（﹣1） B、f（1）＞f（2）
C、f（﹣1）＞f（﹣2） D、f（﹣2）＞f（2）
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：由函数f（9x）=a﹣|x|（a＞0且a≠1），f（﹣2）=9，我们不难确定底数a的取值范围，判断指数函数的单调性，结合函数的奇偶性可得到正确选项．
解答：解：∵f（9x）=a﹣|x|（a＞0且a≠1），f（﹣2）=9，
∴f（﹣2）=a﹣|﹣frac{2}{9}|=9即
∴0＜a＜1且y=f（x）是偶函数
∴y=f（x）在（0，+∞）单调递增，在（﹣∞，0）上单调递减
∵﹣2＜﹣1
∴f（﹣2）＞f（﹣1）
故选A．
点评：本题主要考查了指数方程，以及函数的单调性和奇偶性，属于基础题．
二、填空题（共6小题）
20、函数①，②，③y=x3，④y=x﹣1，⑤y=|x﹣1|中，值域为[0，+∞）的函数是 ②⑤ ．（写出所有符合条件函数序号）
考点：函数的值域；指数函数的定义、解析式、定义域和值域；幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：根据指数函数、幂函数、反比例函数等函数的性质即可得到答案．
解答：解：①函数是指数函数，所以其值域为（0，+∞），故①错误．
②函数是幂函数，根据幂函数的性质可得函数的值域为[0，+∞），故②正确．
③函数y=x3，的值域为R，所以③错误．
④函数y=x﹣1，的值域为{x|x≠0}，所以④错误．
⑤函数y=|x﹣1|，根据绝对值的意义可得函数的值域为[0，+∞），所以⑤正确．
故答案为：②⑤．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握基本初等函数的性质，并且结合有关的知识解决问题．
21、已知幂函数f（x）=xα的图象经过点（9，3），则f（100）= 10 ．
考点：函数的值；幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：将点的坐标代入函数解析式，求出f（x），将x用100代替，求出值．
解答：解：∵幂函数f（x）=xα的图象经过点（9，3），
∴3=9α
∴
∴f（x）=
∴f（100）==10
故答案为10．
点评：本题考查已知函数模型，利用待定系数法求出解析式，据函数解析式求函数值．
22、已知幂函数f（x）=xa的图象经过点，则f（9）= ．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：将点的坐标代入解析式，求出a，再令x=9，求f（9）即可．
解答：解：由题意f（3）=，
所以a=﹣，所以f（x）=，
所以f（9）=
故答案为：．
点评：本题考查求幂函数的解析式、对幂函数求值，属基本运算的考查．
23、已知幂函数y=xn图象过点（2，8），则其解析式是 y=x3 ．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：根据幂函数的概念设f（x）=xn，将点的坐标代入即可求得n值，从而求得函数解析式．
解答：解：设f（x）=xn，
∵幂函数y=f（x）的图象过点 （2，8），，
∴2n=8
∴n=3．
这个函数解析式为 y=x3．
故答案为：y=x3．
点评：解答本题关键是待定系数法求幂函数解析式、指数方程的解法等知识，属于基础题．
24、若点在幂函数y=f（x）的图象上，则f（x）= ．
25、已知幂函数y=f（x）的图象过（2，），则f（27）= 3 ．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：先由幂函数的定义设f（x）=xa，代入点的坐标，求出a得出幂函数的解析式，再求f（27）的值．
解答：解：由题意令y=f（x）=xa，
由于图象过点（2，），
得=2a，a=
∴y=f（x）=
∴f（27）==3．
故答案为：3．
点评：本题考查幂函数的单调性、幂函数的概念、解析式、定义域、值域等基本知识，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式．
三、解答题（共4小题）
26、已知幂函数y=f（x）的图象过点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）记g（x）=f（x）+x，判断g（x）在（1，+∞）上的单调性，并证明之．
考点：函数单调性的判断与证明；幂函数的概念、解析式、定义域、值域。
专题：计算题。
分析：（1）先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式即可；
（2）函数在区间（1，+∞）上为增函数，理由为：在区间（1，+∞）上任取x1＞x2＞1，求出f（x1）﹣f（x2），通分后，根据设出的x1＞x2＞1，判定其差大于0，即f（x1）＞f（x2），从而得到函数为增函数．
解答：解：（1）由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（，），
得=a，a=﹣1
∴y=f（x）=x﹣1
（2）g（x）=f（x）+x=x+
函数在区间（1，+∞）上是增函数，
证明：任取x1、x2使得x1＞x2＞1，
都有
由x1＞x2＞1得，x1﹣x2＞0，x1x2＞0，x1x2﹣1＞0，
于是g（x1）﹣g（x2）＞0，即g（x1）＞g（x2），
所以，函数在区间（1，+∞）上是增函数．
点评：本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．
27、已知函数f（x）=（m2+2m）?xm2+m﹣1，求m为何值时，f（x）是（1）二次函数；（2）幂函数．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；二次函数的性质。
专题：计算题。
分析：（1）利用二次函数的定义：形如f（x）=ax2+bx+c（a≠0），列出方程求出m的值即可；
（2）利用幂函数的定义：形如f（x）=xα，列出方程求出m的值即可．
解答：解：（1）若f（x）为二次函数，
则?m=．
（2）若f（x）是幂函数，则m2+2m=1，
∴m=﹣1±．
点评：本题考查基本初等函数：二次函数、幂函数的解析式形式，以及解方程等有关知识，属于基础题．
28、已知函数f（x）=（m2﹣m﹣1）?x﹣5m﹣3，m为何值时，f（x）：
（1）是正比例函数；
（2）是反比例函数；
（3）是二次函数；
（4）是幂函数．
29、已知幂函数y=f（x）经过点，21世纪教育网版权所有
（1）试求函数解析式；
（2）判断函数的奇偶性并写出函数的单调区间；
（3）试解关于x的不等式f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0．
考点：幂函数的概念、解析式、定义域、值域；函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质；函数奇偶性的判断。
专题：计算题；数形结合。
分析：（1）设y=ax，代入可得a值，从而得到幂函数的解析式．
（2）根据函数解析式求出定义域，在考查f（﹣x）与f（x）的关系，依据函数奇偶性的定义作出判断．
（3）将不等式化为f（3x+2）＞f（4﹣2x），分3x+2与2x﹣4都是正数、都是负数、异号三种情况，依据函数的单调性及函数值范围列出不等式组，最后把各个不等式组的解集取并集．
解答：解：（1）设y=ax，代入，
得a=﹣1，∴．
（2）定义域（﹣∞，0）∪（0，+∞），又，
∴f（x）为奇函数．
单调区间（﹣∞，0），（0，+∞）
（3）由f（3x+2）+f（2x﹣4）＞0得 f（3x+2）＞﹣f（2x﹣4），
即 f（3x+2）＞f（4﹣2x），
①当3x+2＞0，4﹣2x＞0时，∴，
②当3x+2＜0，4﹣2x＜0时，，x无解，
③当3x+2与4﹣2x异号时，，x＞2，
综上所述，或x＞2．
点评：本题考查用待定系数法求函数解析式、奇偶性，求函数单调区间、定义域，以及利用单调性、奇偶性解不等式．
