幂函数-幂函数的图像
一、选择题（共16小题）
1、方程组共有（ ）组解．
A、1 B、2
C、3 D、4
2、如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范是 （ ）21世纪教育网
A、0＜x＜2 B、2＜x＜4
C、x＞4 D、0＜x＜2，或x＞4
3、已知实数m，n满足0＜n＜m＜1，给出下列关系式：①2m=3n；②log2m=log3n；③m2=n3．其中可能成立的有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
4、函数的图象关于（ ）21世纪教育网
A、y轴对称 B、直线y=﹣x对称
C、坐标原点对称 D、直线y=x对称
5、如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象．已知n分别取﹣1，l，，2四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为（ ）
A、2，1，，﹣1 B、2，﹣1，1，
C、，1，2，﹣1 D、﹣1，1，2，
6、函数与y=在第一象限内的交点坐标为（ ）
A、（﹣1，1） B、（1，﹣1）
C、（0，0） D、（1，1）
7、如图所示，函数y=0.5x，y=x﹣2，y=log0.3x的图象大致形状依次为（ ）
A、（1）（2）（3） B、（2）（1）（3）
C、（3）（2）（2） D、（3）（1）（2）
8、若lga+lgb=0，则函数f（x）=xa与g（x）=xb在第一象限内的图象关于（ ）对称
A、直线y=x B、x轴
C、y轴 D、原点
9、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）y=x﹣2；（5）y=x﹣3；（6）．
A、（1）?（A），（2）?（F），（3）?（E），（4）?（C），（5）?（D），（6）?（B） B、（1）?（B），（2）?（E），（3）?（C），（4）?（D），（5）?（A），（6）?（F）
C、（1）?（A），（2）?（E），（3）?（B），（4）?（D），（5）?（C），（6）?（F） D、（1）?（B），（2）?（F），（3）?（A），（4）?（C），（5）?（D），（6）?（E）
10、幂函数f（x）=xα的图象经过点，则的值为（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
11、图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为（ ）
A、﹣2，﹣，，2 B、2，，﹣，﹣2
C、﹣，﹣2，2， D、2，，﹣2，﹣
12、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系，其中正确的对应选项是（ ）
．
A、（1）a，（2）f，（3）c，（4）e，（5）d，（6）b
B、（1）a，（2）f，（3）e，（4）c，（5）d，（6）b
C、（1）a，（2）b，（3）e，（4）c，（5）d，（6）f
D、（1）a，（2）f，（3）d，（4）c，（5）e，（6）b
13、幂函数y=xn的图象（ ）21世纪教育网
A、一定经过点（0，0）
B、一定经过点（﹣1，﹣1）
C、一定经过点（﹣1，1）
D、一定经过点（1，1）
二、填空题（共11小题）
14、设函数，若f（m）≥1，则实数m的 取值范围是 _________ ．
15、幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ= _________ ．
16、当x∈（1，+∞）时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围 _________ ．
17、已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）= _________ ．
18、如果幂函数的图象不过原点，则m的值是 _________ ．
19、当α∈R时，幂函数y=xα的图象不可能经过第 _________ 象限．
20、把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标也扩大到原来的3倍，所得图象的函数解析式是 _________ ．
21、的图象与坐标轴不相交，且关于y轴对称，则m的值是 _________ ．
22、若y=xn的图象在x＞1时，位于y=x的上方，则n的取值范围是 _________ ．
23、当的图象不可能经过第 _________ 象限．
24、如图，给出幂函数y=xn在第一象限内的图象，n取四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为 _________ ．
答案与评分标准
一、选择题（共16小题）
1、方程组共有（ ）组解．
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：二次函数的性质；幂函数的图像。
专题：计算题。
分析：由方程组，得，即x4﹣2x3﹣1=0．由此可知原方程组共有四组解．
解答：解：由方程组，
得，
即x4﹣2x3﹣1=0．
∴方程组共有四组解．
故选D．
点评：本题考查二次函数的性质和应用，解题时要认真审题，注意合理地进行等价转化．
2、如图，能使不等式log2x＜x2＜2x成立的自变量x的取值范是 （ ）
A、0＜x＜2 B、2＜x＜4
C、x＞4 D、0＜x＜2，或x＞4
故选D．
点评：本题考查对数函数的图象与性质、指数函数的图象、幂函数的图象，指数函数、对数函数、幂函数是高考考查的重点内容之一．
3、已知实数m，n满足0＜n＜m＜1，给出下列关系式：①2m=3n；②log2m=log3n；③m2=n3．其中可能成立的有（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：对数函数的图像与性质；指数函数的图像与性质；幂函数的图像。
专题：常规题型。
分析：借助与指数函数与对数函数，幂函数的图象来解题．
解答：解：因为在x＞0的范围内，指数函数是底数越大图象越高，故①对．又因为在0＜x＜1的范围内，对数函数是底数越大图象越高，故②对．而③中，因为0＜n＜m＜1，所以=＞1，而n＜1，故＞n，即m2＞n3，故③错
故选C
点评：本题主要考查对数函数，指数函数的性质，利用对数函数，指数函数的性质比较数的大小，达到了考查灵活运用对数函数，指数函数的目的，较好地体现了重视基础的命题特点．
4、函数的图象关于（ ）
A、y轴对称 B、直线y=﹣x对称
C、坐标原点对称 D、直线y=x对称
考点：幂函数的图像。
专题：计算题。
分析：先看函数的定义域，再看函数的奇偶性，结合函数的奇偶性，来研究函数的图象的对称性．
解答：解：函数f（x）的定义域是实数集合，关于原点对称，
==f（x），
是偶函数，
∴函数f（x）图象关于原点y轴对称，
故选A．
点评：本题考查函数图象的对称性、幂函数的图象．属于基础题．
5、如图所示的曲线是幂函数y=xn在第一象限内的图象．已知n分别取﹣1，l，，2四个值，则与曲线C1，C2，C3，C4相应的n依次为（ ）
A、2，1，，﹣1 B、2，﹣1，1，
C、，1，2，﹣1 D、﹣1，1，2，
考点：幂函数的图像。
专题：应用题。
分析：在图象中，做出直线 x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，可得曲线C1，C2，C3，C4相应的n应是从大到小排列．
解答：解：在图象中，做出直线 x=2，根据直线x=2和曲线交点的纵坐标的大小，
可得曲线C1，C2，C3，C4相 应的n依次为 2，1，，﹣1，
故选A．
点评：本题考查幂函数的图形和性质的应用．
6、函数与y=在第一象限内的交点坐标为（ ）
A、（﹣1，1） B、（1，﹣1）
C、（0，0） D、（1，1）
7、如图所示，函数y=0.5x，y=x﹣2，y=log0.3x的图象大致形状依次为（ ）
A、（1）（2）（3） B、（2）（1）（3）
C、（3）（2）（2） D、（3）（1）（2）
考点：幂函数的图像；指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质。
专题：数形结合。
分析：由指数函数图象的性质我们易判断函数y=0.5x的图象形状；由幂函数图象的性质我们易判断函数y=x﹣2的图象形状；由对数函数图象的性质我们易判断函数y=log0.3x的图象形状；进而得到答案．
解答：解：∵函数y=0.5x为指数函数，其图象过第一、二象限，且在R上单调递减，故其图象对应（2）
∵函数y=x﹣2为幂函数，且为偶函数，故其图象关于Y轴对称，故其图象对应（1）
函数y=log0.3x这对数函数，其图象过第一、四象限，且在（0，+∞）上单调递减，故其图象对应（3）
故选B
点评：本题考查的知识点是指数函数图象、对数函数的图象及幂函数的图象，根据函数的解析式，分析函数的性质，进行判断函数图象的形状是解答本题的关键．
8、若lga+lgb=0，则函数f（x）=xa与g（x）=xb在第一象限内的图象关于（ ）对称
A、直线y=x B、x轴
C、y轴 D、原点
考点：幂函数的图像。
专题：综合题。
分析：把条件根据对数函数的运算法则得到ab=1，得到f（x）与g（x）在x大于0时互为反函数，得到关于y=x对称即可．
解答：解：由lga+lgb=0，得到lgab=0即ab=1，则f（x）=xa与g（x）=xb=在x＞0时互为反函数，所以关于y=x对称．
故选A
点评：考查学生会进行对数的运算，会掌握两个幂函数当x大于0时指数互为倒数即互为反函数，则两个函数图象在第一象限关于y=x对称．
9、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系．（ ）
（1）；（2）；（3）；（4）y=x﹣2；（5）y=x﹣3；（6）．
A、（1）?（A），（2）?（F），（3）?（E），（4）?（C），（5）?（D），（6）?（B） B、（1）?（B），（2）?（E），（3）?（C），（4）?（D），（5）?（A），（6）?（F）
C、（1）?（A），（2）?（E），（3）?（B），（4）?（D），（5）?（C），（6）?（F） D、（1）?（B），（2）?（F），（3）?（A），（4）?（C），（5）?（D），（6）?（E）
考点：幂函数的图像。
专题：数形结合。
分析：函数（1）的定义域为[0，+∞）且幂指数大于0故（1）?（A）函数（2）的定义域为R且为奇函数图象关于原点对称幂指数大于0在第一象限单调递增故（2）?（F）观察答案知选A．
解答：解：函数（1）的定义域为[0，+∞）且幂指数大于0在第一象限单调递增故：（1）?（A）
函数（2）的定义域为R且为奇函数图象关于原点对称幂指数大于0在第一象限单调递增故：（2）?（F）
函数（3）的定义域为R且为偶函数图象关于y轴对称且幂指数大于0小于1在第一象限单调递增且上凸；故（3）?（E）
函数（4）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）且为偶函数图象关于y轴对称且幂指数小于0在第一象限单调递减故：（4）?（C）
函数（5）的定义域为（﹣∞，0）∪（0，+∞）且为奇函数图象关于原点对称且幂指数小于0在第一象限单调递减故：（5）?（D）
函数（6）的定义域为（0，+∞）且幂指数小于于0在第一象限单调递减故：（6）?（B）
故选A
点评：此题主要考查了幂函数的有关性质：幂指数大于0在第一象限单调递增，幂指数小于0在第一象限单调递减；幂指数是偶比奇则为偶函数，奇比偶则是非奇非偶函数，奇比奇则为奇函数，偶比偶则为偶函数；幂指数小于0则与x轴y轴无交点．这些性质要理解牢记有助于快速解题！
10、幂函数f（x）=xα的图象经过点，则的值为（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
考点：幂函数的图像。
分析：把点代入幂函数，求得a的值，然后求的值．
解答：解：幂函数f（x）=xα的图象经过点，所以
∴
故选C．
点评：本题考查幂函数的性质，是基础题．
11、图中曲线是幂函数y=xn在第一象限的图象．已知n取±2，±四个值，则相应于曲线c1、c2、c3、c4的n依次为（ ）
A、﹣2，﹣，，2 B、2，，﹣，﹣2
C、﹣，﹣2，2， D、2，，﹣2，﹣
12、下面六个幂函数的图象如图所示，试建立函数与图象之间的对应关系，其中正确的对应选项是（ ）．
A、（1）a，（2）f，（3）c，（4）e，（5）d，（6）b B、（1）a，（2）f，（3）e，（4）c，（5）d，（6）b
C、（1）a，（2）b，（3）e，（4）c，（5）d，（6）f D、（1）a，（2）f，（3）d，（4）c，（5）e，（6）b
考点：幂函数的图像。
专题：综合题。
分析：利用幂函数的性质直接推出结果；或利用函数的定义域、值域、单调性推出结果．由题中条件：“n取6个值”，依据幂函数y=xn的性质，在第一、二、三象限内的图象特征可得．
解答：解：根据幂函数y=xn的性质，在第一象限内的图象当n＞0时，n越大，递增速度越快，
故（1）a；（2）f；（3）e，
当n＜0时，|n|越大，曲线越陡峭，
所以（4）c，（5）d，（6）b．
故选B．
点评：本题考查幂函数的图象和性质，考查学生推理能力，是基础题．幂函数是重要的基本初等函数模型之一．学习幂函数重点是掌握幂函数的图形特征，即图象语言，熟记幂函数的图象、性质，把握幂函数的关键点（1，1）和利用直线y=x来刻画其它幂函数在第一象限的凸向．
13、幂函数y=xn的图象（ ）21世纪教育网版权所有
A、一定经过点（0，0） B、一定经过点（﹣1，﹣1）
C、一定经过点（﹣1，1） D、一定经过点（1，1）
考点：幂函数的图像。
专题：计算题。
分析：本题研究幂函数的图象所过的定点，根据幂函数的性质易知，当底数为1时，函数值不随着指数的变化而变化，故令底数为1，解出此时的函数值即可得到函数所过的定点坐标
解答：解：由幂的运算性质，令x=1，对任意的n∈R总有y=1，即幂函数y=xn的图象一定经过点（1，1）
故选D
点评：本题考查幂函数的图象，解题的关键是理解幂的运算性质，找出幂函数图象所过的定点，本题重点是理解幂的运算性质，
二、填空题（共11小题）21世纪教育网版权所有
14、设函数，若f（m）≥1，则实数m的 取值范围是 （﹣∞，﹣1]∪（0，+∞） ．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；指数函数的图像与性质；幂函数的图像。
专题：计算题。
分析：由已知中函数，分m＞0与m≤0两种情况分别将不等式f（m）≥1进行转化，然后根据指数函数和二次函数的性质，分别解不等式，然后综合讨论结果，即可得到答案．
解答：解：当m＞0，f（m）≥1可化为2m≥1，故m＞0
当m≤0，f（m）≥1可化为m2≥1，解得m≤﹣1，或m≥1（舍去），故m≤﹣1，
综上实数m的 取值范围（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）
故答案为：（﹣∞，﹣1]∪（0，+∞）
点评：本题考查的知识点是分段函数的应用，指数函数的图象与性质，幂函数的图象性质，解不等式，其中熟练掌握指数函数及幂函数的图象与性质，是解答本题关键．
15、幂函数y=xα，当α取不同的正数时，在区间[0，1]上它们的图象是一族美丽的曲线（如图）．设点A（1，0），B（0，1），连接AB，线段AB恰好被其中的两个幂函数y=xα，y=xβ的图象三等分，即有BM=MN=NA．那么，αβ= 1 ．
考点：幂函数的图像。
分析：先确定M、N的坐标，然后求得α，β；再求αβ的值．
解答：解：BM=MN=NA，点A（1，0），B（0，1），所以M
N，分别代入y=xα，y=xβ
故答案为：1
点评：本题考查指数与对数的互化，幂函数的图象，是基础题．
16、当x∈（1，+∞）时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，则α的取值范围 （﹣∞，1） ．
考点：幂函数的图像。
专题：计算题。
分析：直接利用幂函数的图象，结合已知条件，求出a的范围．
解答：解：根据幂函数的图象的特点，画出函数的图象，
当x∈（1，+∞）时，幂函数y=xα的图象恒在直线y=x的下方，
则α的取值范围是：（﹣∞，1）．
故答案为：（﹣∞，1）．
点评：本题是基础题，考查幂函数的图象与幂函数的基本性质，考查基本知识的掌握的情况．
17、已知幂函数y=f（x）的图象过点，则f（﹣2）= ．
考点：幂函数的图像；函数的值。
专题：待定系数法。
分析：设出幂函数的解析式，由图象过（，8）确定出解析式，然后令x=﹣2即可得到f（﹣2）的值．
解答：解：设f（x）=xa，因为幂函数图象过，
则有8=，∴a=﹣3，即f（x）=x﹣3，
∴f（﹣2）=（﹣2）﹣3=﹣
故答案为：﹣
点评：考查学生会利用待定系数法求幂函数的解析式．会根据自变量的值求幂函数的函数值．
18、如果幂函数的图象不过原点，则m的值是 1 ．
考点：幂函数的图像。
专题：计算题。
分析：幂函数的图象不过原点，所以幂指数小于0，系数为1，求解即可．
解答：解：幂函数的图象不过原点，所以
解得m=1，符合题意．
故答案为：1
点评：本题考查幂函数的图象及其特征，考查计算能力，是基础题．
19、当α∈R时，幂函数y=xα的图象不可能经过第 二、四 象限．21*cnjy*com
20、把函数的图象上各点的横坐标扩大到原来的3倍，纵坐标也扩大到原来的3倍，所得图象的函数解析式是 y=． ．
考点：幂函数的图像。
专题：计算题。
分析：图象的变换体现在自变量和函数的变化，横坐标扩大到原来的3倍就是将x→，纵坐标也扩大到原来的3倍就是将y→，从而得解．
解答：解：∵函数y=lgx图象横坐标扩大到原来的3倍
∴得y=
∵纵坐标也扩大到原来的3倍
∴得y=．
故填：y=．
点评：本题主要考查了求对数函数解析式及图象的变换，属于基础题．
21、的图象与坐标轴不相交，且关于y轴对称，则m的值是 1或3 ．
考点：幂函数的图像。
专题：计算题。
分析：根据幂函数的性质判断出幂函数的指数小于或等于0；指数为偶数．列出不等式求出m．
解答：解：∵幂函数f（x）=xm2﹣2m﹣3（m∈Z）的图象与x轴，y轴都无交点，且关于y轴对称
∴m2﹣2m﹣3≤0且m2﹣2m﹣3为偶数
解得﹣1≤m≤3，又m∈N*∴m=1或m=3，
故答案为：1或3．
点评：本题考查幂函数的性质与幂指数的取值范围有关、由幂函数的解析式画幂函数的图象，属于基础题．
22、若y=xn的图象在x＞1时，位于y=x的上方，则n的取值范围是 n＞1 ．
考点：幂函数的图像。
专题：计算题；作图题。
分析：幂函数图象恒过（1，1）点，结合图象容易推出n的取值范围．
解答：解：由题意画出幂函数图象，如图在第一象限内的图象，
显然n＞1
故答案为：n＞1
点评：本题考查幂函数的图象，是基础题．记住图象也就记住了性质．
23、当的图象不可能经过第 四 象限．
考点：幂函数的图像。
专题：计算题。
分析：根据所给的幂函数的α的值，逐个说明函数的图象所经过的象限，最后得到函数的图象不过第四象限．
解答：解：
的图象列举如下：
当α=1时，图象过一，三象限，
当α=时，图象过一，三象限，
当α=﹣1时，图象过一，三象限，
当α=2时，图象过一，二象限，
∴函数的图象不经过第四象限，
故答案为：四
点评：本题考查幂函数的图象，解题的关键是了解α取各种不同的值对应的函数的图象，本题是一个基础题．
24、如图，给出幂函数y=xn在第一象限内的图象，n取四个值，则相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为 ．
考点：幂函数的图像。
分析：做直线x=2，与四个函数图象从上到下的交点依次记为A、B、C、D，再求出x=2时四个函数值的大小，即可选出．
解答：解：做直线x=2，与四个函数图象从上到下的交点依次记为A、B、C、D
而，从而相应于曲线C1，C2，C3，C4的n依次为
故答案为：
点评：本题考查幂函数的图象问题，属基本题．
