幂函数--幂函数的单调性、奇偶性及其应用
一、选择题（共9小题）
1、函数y=x﹣2在区间上[，2]的最大值是（ ）
A、 B、﹣1
C、4 D、﹣4
2、已知幂函数y=f（x）的图象经过点，则的值为（ ）21cnjy
A、 B、
C、2 D、1
3、给定四个命题：（1）当n=﹣1时，y=xn是减函数；（2）幂函数的图象都过（0，0）、（1，1）两点；（3）幂函数的图象不可能出现在第四象限；（4）幂函数y=xn在第一象限为减函数，则n＜0，其中正确的命题为（ ）
A、（1）（4） B、（2）（3）
C、（2）（4） D、（3）（4）
4、已知幂函数y=f（x）的图象过（4，2）点，则=（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
5、幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（ ）
A、 B、64
C、 D、
6、幂函数y=f（x）的图象经过点（，4），则f（）的值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、4
C、9 D、16
7、已知幂函数f（x）的图象过点，若x1＞x2＞1，则（ ）
A、f（x1）＞f（x2）＞1
B、f（x1）＞1＞f（x2）
C、f（x1）＜f（x2）＜1
D、f（x1）＜1＞f（x2）
8、如果函数y=2x+c的图象经过点（2，5），则c=（ ）
A、1 B、0
C、﹣1 D、﹣2
9、若，则a、b、c的大小关系是（ ）
A、a＜b＜c B、c＜a＜b
C、b＜c＜a D、b＜a＜c
二、填空题（共17小题）21cnjy
10、设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是 _________ ．
11、幂函数f（x）=（3﹣2m），（m∈Z）当x＞0时是减函数，则f（x）= _________ ．
12、若幂函数y=xn的图象在0＜x＜1时，位于直线y=x的下方，则n的取值范围是 _________ ；若幂函数y=xn的图象在0＜x＜1时，位于直线y=x的上方，则n的取值范围是 _________ ．
13、幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是 _________ ．
14、若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是 _________ ．
15、已知幂函数y=f（x）的图象过（4，2）点，则= _________ ．
16、若幂函数的图象过点（27，9）则它的解析式为f（x）= _________ ．
17、已知点M（，3）在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的表达式为 _________ ．
18、设x∈（0，1），幂函数y=xα的图象在直线y=x的上方，则α的取值范围是 _________ ．
19、已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（16）= _________ ．
20、已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= _________ ．
21、若函数f（x）=xα是幂函数，且f（2）=2，则log2011α= _________ ．
22、已知幂函数的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f（x）的解析式是 _________ ．
23、已知幂函数在（0，+∞）内单调递减，则m= _________ ．
24、幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），则满足f（x）=27的x的值是 _________ ．
25、若幂函数f（x）的图象过点（﹣8，4），则该幂函数的解析式为 _________ ．
26、幂函数在[0，+∞）上是单调递减的函数，则实数m的值为 _________ ．21世纪教育网
三、解答题（共3小题）
27、已知幂函数的图象经过点A（，）．
（1）求实数α的值；
（2）求证：f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．
28、若，试求a的取值范围．
29、已知点在幂函数f（x）的图象上，点在幂函数g（x）的图象上．
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）判断函数g（x）的单调性并用定义证明；
（3）问x为何值时有f（x）≤g（x）．
答案与评分标准
一、选择题（共9小题）21世纪教育网版权所有
1、函数y=x﹣2在区间上[，2]的最大值是（ ）21世纪教育网
A、 B、﹣1
C、4 D、﹣4
考点：幂函数的性质；幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：先判断函数y=x﹣2在区间上[，2]的单调性，再求函数y=x﹣2在区间上[，2]的最大值．
解答：解：∵函数y=x﹣2在第一象限是减函数，
∴函数y=x﹣2在区间[，2]上的最大值是f（）=．
故选C．
点评：本题考查函数的性质的应用，解题时要注意幂函数单调性的应用．
2、已知幂函数y=f（x）的图象经过点，则的值为（ ）
A、 B、
C、2 D、1
3、给定四个命题：（1）当n=﹣1时，y=xn是减函数；（2）幂函数的图象都过（0，0）、（1，1）两点；（3）幂函数的图象不可能出现在第四象限；（4）幂函数y=xn在第一象限为减函数，则n＜0，其中正确的命题为（ ）
A、（1）（4） B、（2）（3）
C、（2）（4） D、（3）（4）
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用；幂函数的图像。
专题：证明题。
分析：根据反比例函数的单调性，可以判断出（1）的真假；根据幂函数的定义域，当n（指数）小于等于0时，函数在x=0时无意义，可判断（2）的真假；根据幂函数的图象位置，我们可以判断（3）的真假；根据幂函数单调性与指数的关系，可以判断（4）的真假；进而得到答案．
解答：解：（1）中，当n=﹣1时，y=xn在其定义域上不单调，故（1）错误；
（2）中，指数小于等于0的幂函数的图象不过（0，0）点，故（2）错误；
（3）中，幂函数的图象不可能出现在第四象限，正确；
（4）中，幂函数y=xn在第一象限为减函数，则n＜0，正确；
故选D
点评：本题考查的知识点是幂函数的单调性、奇偶性及其应用，幂函数的图象，其中熟练掌握幂函数图象的形状，位置，特殊点，及指数与函数性质的关系，是解答本题的关键．
4、已知幂函数y=f（x）的图象过（4，2）点，则=（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：本题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题．在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．
解答：解：由题意可设f（x）=xα，又函数图象过定点（4，2），∴4α=2，∴，从而可知，
∴．
故选D．
点评：本题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题．在解答的过程当中充分体现了幂函数的定义、性质知识的应用，同时待定系数法求参数的思想在此题中也得到了淋漓尽致的展现．
5、幂函数f（x）的图象过点，那么f（8）的值为（ ）
A、 B、64
C、 D、
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：先设出幂函数解析式来，再通过经过点（4，2），解得参数，从而求得其解析式，再代入求值．
解答：解：设幂函数为：y=xα
∵幂函数的图象经过点（4，2），
∴2=4α
∴α=
∴
∴=
故选A．
点评：本题主要考查幂函数求解析式和求函数值问题．幂函数要求较低，但在构造函数和幂的运算中应用较多．不能忽视．
6、幂函数y=f（x）的图象经过点（，4），则f（）的值为（ ）21*cnjy*com
A、1 B、4
C、9 D、16
7、已知幂函数f（x）的图象过点，若x1＞x2＞1，则（ ）
A、f（x1）＞f（x2）＞1 B、f（x1）＞1＞f（x2）
C、f（x1）＜f（x2）＜1 D、f（x1）＜1＞f（x2）
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：求出幂函数的解析式，根据幂函数的单调性，判断f（x1），1，f（x2）的大小即可．
解答：解：幂函数f（x）的图象过点，所以，
所以α=﹣1，所以幂函数为y=x﹣1，幂函数在x＞0时是减函数，
因为x1＞x2＞1，所以f（x1）＜f（x2）＜1．
故选C．
点评：本题考查幂函数的基本性质，正确求出幂函数的解析式判断单调性是解题的关键，是基础题．
8、如果函数y=2x+c的图象经过点（2，5），则c=（ ）21世纪教育网
A、1 B、0
C、﹣1 D、﹣2
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：把点（2，5）代入函数y=2x+c从而求出c值．
解答：解：∵函数y=2x+c的图象经过点（2，5），
∴5=22+c，
∴c=1，
故选A．
点评：此题主要考查幂函数的性质，利用直接代入法进行计算比较简单．
9、若，则a、b、c的大小关系是（ ）21cnjy
A、a＜b＜c B、c＜a＜b
C、b＜c＜a D、b＜a＜c
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用；指数函数的单调性与特殊点。
专题：计算题。
分析：由在第一象限内是增函数，知．由是减函数，知．由此可知a、b、c的大小关系．
解答：解：∵在第一象限内是增函数，
∴，
∵是减函数，
∴，
所以b＜a＜c．
故选D．
点评：本题考查指数函数和幂函数的性质及其应用，解题时要合理运用指数函数和对数函数的单调性．
二、填空题（共17小题）21cnjy
10、设函数，若f（x0）＞1，则x0的取值范围是 （﹣∞，﹣1）∪（1，+∞） ．
考点：指数函数的单调性与特殊点；幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题；分类讨论。
分析：根据函数表达式分类讨论：①当x0≤0时，可得2﹣x﹣1＞1，得x＜﹣1；②当x0＞0时，x0.5＞1，可得x＞1，由此不难得出x0的取值范围是（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）．
解答：解：
①当x0≤0时，可得2﹣x0﹣1＞1，即2﹣x0＞2，所以﹣x0＞1，得x0＜﹣1；
②当x0＞0时，x00.5＞1，可得x0＞1．
故答案为（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
点评：本题考查了基本初等函数的单调性和值域等问题，属于基础题．利用函数的单调性，结合分类讨论思想解题，是解决本题的关键．
11、幂函数f（x）=（3﹣2m），（m∈Z）当x＞0时是减函数，则f（x）= x﹣2 ．
12、若幂函数y=xn的图象在0＜x＜1时，位于直线y=x的下方，则n的取值范围是 n＞1 ；若幂函数y=xn的图象在0＜x＜1时，位于直线y=x的上方，则n的取值范围是 0＜n＜1 ．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题；数形结合。
分析：幂函数图象恒过（1，1）点，结合图象容易推出n的取值范围．
解答：解：由题意画出幂函数图象，如图在第一象限内的图象，
若幂函数y=xn的图象在0＜x＜1时，位于直线y=x的下方，
显然n＞1；
若幂函数y=xn的图象在0＜x＜1时，位于直线y=x的上方，
则0＜n＜1．
故答案为：n＞1；0＜n＜1．
点评：本题考查幂函数的图象，是基础题．记住图象也就记住了性质．
13、幂函数f（x）的图象过点（3，），则f（x）的解析式是 f（x）= ．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：待定系数法。
分析：幂函数f（x）的图象过点（3，），故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函数的解析式，代入所给点的坐标求参数，由此可得函数的解析式．
解答：解：由题意设f（x）=xa，
∵幂函数f（x）的图象过点（3，），
∴f（3）=3a=
∴a=
∴f（x）=
故答案为：f（x）=
点评：本题的考点是幂函数的单调性、奇偶性及其应用，考查用待定系数法求已知函数类型的函数的解析式，待定系数法求解析式是求函数解析式的常用方法，主要用求函数类型已知的函数的解析式．
14、若幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），则f（25）的值是 ．21*cnjy*com
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题；待定系数法。
分析：设出幂函数f（x）=xα，α为常数，把点（9，）代入，求出待定系数α的值，得到幂函数的解析式，进而可求f（25）．
解答：解：∵幂函数y=f（x）的图象经过点（9，），设幂函数f（x）=xα，α为常数，
∴9α=，∴α=﹣，∴f（25）==，
故答案为：．
点评：本题考查幂函数的定义，用待定系数法求函数的解析式，以及求函数值的方法．
15、已知幂函数y=f（x）的图象过（4，2）点，则= ．21世纪教育网
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：本题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题．在解答时可以先设出幂函数的解析式，由于过定点，从而可解得函数的解析式，故而获得问题的解答．
解答：解：由题意可设f（x）=xα，又函数图象过定点（4，2），∴4α=2，∴，从而可知，
∴．
故答案为：．
点评：本题考查的是幂函数的图象与性质以及求解析式问题．在解答的过程当中充分体现了幂函数的定义、性质知识的应用，同时待定系数法求参数的思想在此题中也得到了淋漓尽致的展现．
16、若幂函数的图象过点（27，9）则它的解析式为f（x）= ．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：幂函数f（x）的图象过点（27，9），故可根据幂函数的定义用待定系数法设出函数的解析式，代入所给点的坐标求参数，由此可得函数的解析式．
解答：解：由题意设f（x）=xa，
∵幂函数f（x）的图象过点（27，9）
∴f（27）=27a=9
∴a=
∴f（x）=
故答案为：f（x）=
点评：本题的考点是幂函数的单调性、奇偶性及其应用，考查用待定系数法求已知函数类型的函数的解析式，待定系数法求解析式是求函数解析式的常用方法，主要用求函数类型已知的函数的解析式．
17、已知点M（，3）在幂函数f（x）的图象上，则f（x）的表达式为 f（x）=x﹣2 ．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：设出幂函数的表达式，利用点在幂函数的图象上，求出α的值，然后求出幂函数的表达式．
解答：解：幂函数f（x）=xα的图象过点M（，3），
所以3=，解得α=﹣2；
所以幂函数为f（x）=x﹣2
故答案为：f（x）=x﹣2
点评：本题考查求幂函数的解析式，同时考查了计算能力，属于基础题．
18、设x∈（0，1），幂函数y=xα的图象在直线y=x的上方，则α的取值范围是 （﹣∞，1） ．
19、已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（16）= 4 ．21*cnjy*com
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：综合题；待定系数法。
分析：先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值
解答：解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），
得=2a，a=
∴y=f（x）=
∴f（16）==4
故答案为：4．
点评：本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．
20、已知幂函数y=f（x）的图象过点（2，），则f（9）= 3 ．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：先由幂函数的定义用待定系数法设出其解析式，代入点的坐标，求出幂函数的解析式，再求f（16）的值
解答：解：由题意令y=f（x）=xa，由于图象过点（2，），
得=2a，a=
∴y=f（x）=
∴f（9）=3．
故答案为：3．
点评：本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，能根据幂函数的性质求其解析式，求函数值．
21、若函数f（x）=xα是幂函数，且f（2）=2，则log2011α= 0 ．21*cnjy*com
22、已知幂函数的图象与x轴，y轴都无交点，且关于原点对称，则函数f（x）的解析式是 f（x）=x﹣1 ．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：常规题型。
分析：幂函数的图象与x轴，y轴都无交点，则m2﹣1＜0，再根据函数关于原点对称知m=﹣1即可
解答：解：∵函数的图象与x轴，y轴都无交点，
∴m2﹣1＜0，解得﹣1＜m＜1；
∵图象关于原点对称，且m∈Z，
∴m=0
∴f（x）=x﹣1．
故答案为：f（x）=x﹣1．
点评：本题考查了幂函数的单调性、奇偶性及其应用，属于基础题．
23、已知幂函数在（0，+∞）内单调递减，则m= 2 ．21*cnjy*com
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用；函数单调性的性质。
专题：计算题。
分析：首先利用幂函数的定义，得出m2﹣m﹣1=1，根据方程求出m的值，然后再将m的值代入函数解析式，检验所得函数的单调性，即可得出符合条件的m的值．
解答：解：∵y=（m2﹣m﹣1）是幂函数
∴m2﹣m﹣1=1解得m=2或m=﹣1
当m=2时，函数为y=x﹣3，不满足在（0，+∞）上为减函数，符合题意；
当m=﹣1时，函数为y=x0，不满足在（0，+∞）上为减函数，不符合题意．
答案为m=2
故答案为2
点评：本题考查幂函数的定义，以及函数单调性的意义，属于基础题．对于幂函数应该注意：形如y=xα（其中α为常数），幂函数的单调性与其幂指数的正负有关．
24、幂函数y=f（x）的图象经过点（2，8），则满足f（x）=27的x的值是 3 ．21世纪教育网
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：设幂函数f（x）=xa，把点（2，8）代入，得2a=8，解得a=3．故f（x）=x3，由此能求出满足f（x）=27的x的值．
解答：解：设幂函数f（x）=xa，
把点（2，8）代入，得
2a=8，
解得a=3．
∴f（x）=x3，
∵f（x）=27，
∴x3=27，
∴x=3．
故答案为：3．
点评：本题考查幂函数的单调性、奇偶性及其应用，是基础题．解题时要认真审题，注意待定系数法的合理运用．
25、若幂函数f（x）的图象过点（﹣8，4），则该幂函数的解析式为 ．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：已知函数为幂函数，求其解析式，假设解析式为y=xm，幂函数图象过点（﹣8，4），只需把点代入解析式中，求出m的值即可，进而可得答案．
解答：解：设幂函数的解析式为y=xm，
已知幂函数的图象过点（﹣8，4），
所以（﹣8）m=4，即m=，
所以它的解析式为．
故答案为．
点评：此题是个基础题．首先明白什么是幂函数，再利用待定系数法求幂函数的解析式，是函数的基本知识．
26、幂函数在[0，+∞）上是单调递减的函数，则实数m的值为 2 ．21cnjy
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题；转化思想。
分析：由题意幂函数在[0，+∞）上是单调递减的函数，由此可得解此不等式组即可求出实数m的值
解答：解：幂函数在[0，+∞）上是单调递减的函数
∴解得m=2
故答案为2
点评：本题考点是幂函数的单调性，奇偶性及其应用，考察了幂函数的定义，幂函数单调性与指数的对应关系，解题的关键是理解幂函数的定义及幂函数的单调性与指数的对应关系，本题是幂函数的基础题，考察了推理判断的能力
三、解答题（共3小题）
27、已知幂函数的图象经过点A（，）．21世纪教育网版权所有
（1）求实数α的值；
（2）求证：f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用；幂函数的性质。
专题：计算题。
分析：（1）由于已知函数为幂函数，我们可以使用待定系数法进行求解，设出幂函数的解析式，再由幂函数的图象经过点A（，），构造关于a的方程，解方程即可得到实数α的值；
（2）根据（1）中所求的函数的解析式，我们求出函数的导函数的解析式，分析x∈（0，+∞）时，导函数值的符号，即可得到结论．
解答：解：（1）设幂函数的解析式为y=xa，
又∵幂函数的图象经过点A（，）．
∴=a，
解得a=﹣
（2）由（1）得，
则
当x∈（0，+∞）时，y′＜0恒成立
故f（x）在区间（0，+∞）内是减函数．
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，待定系数法，及幂函数的单调性，其中当已知函数的类型时，常用待定系数法求解函数的解析式．
28、若，试求a的取值范围．
考点：幂函数的单调性、奇偶性及其应用。
专题：计算题。
分析：先判定y=在[0，+∞）上单调性，然后根据定义域与单调性建立不等式组，解之即可．
解答：解：根据y=在[0，+∞）上单调递增
∴解得﹣1≤a＜
∴a的取值范围是﹣1≤a＜
点评：本题主要考查了幂函数的单调性的应用，以及考查了计算能力，属于基础题．
29、已知点在幂函数f（x）的图象上，点在幂函数g（x）的图象上．21世纪教育网版权所有
（1）求函数f（x），g（x）的解析式；
（2）判断函数g（x）的单调性并用定义证明；
（3）问x为何值时有f（x）≤g（x）．
证明：任取x1＜x2＜0，有
∵x1+x2＜0，x2﹣x1＞0，x12x22＞0
∴g（x1）﹣g（x2）＜0
∴g（x）在（0，+∞）上为增函数．
任取0＜x1＜x2，有
∵x2+x1＞0，x2﹣x1＞0，x12x22＞0
∴g（x1）＞g（x2）
∴g（x）在（0，+∞）上是减函数．
（3）当x＞1或x＜1时，f（x）≤g（x），证明如下
由（1），两函数都是偶函数，先研究x＞0时满足f（x）≤g（x）的x的取值范围．
令x2=x﹣2，解得x=1，又f（x）=x2在（0，+∞）上是增函数，g（x）=x﹣2在（0，+∞）上是减函数，故可得f（x）≤g（x）的x的取值范围是x＞1
由两函数的解析式知，此两函数都是偶函数，故当x＜0时，f（x）≤g（x）的x的取值范围是x＜﹣1
综上当x＞1或x＜1时，f（x）≤g（x）
点评：本题考查幂函数单调性、奇偶性及其应用，解题的关键是熟练掌握幂函数的性质，且能根据其性质进行运算，本题考查到了函数的单调性的证明方法定义法，要注意证明的步骤
