函数的零点
一、选择题（共20小题）
1、已知函数?（x）=则函数?（x）的零点个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
2、已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，f（）=，则函数
f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（ ）
A、3 B、5
C、7 D、9
3、函数y=f（x）满足 f（x+2）=﹣f（x），当x∈（﹣2，2]时，f（x）=x2﹣1，则f（x）在[0，2010]上零点的个数为（ ）
A、1004 B、1005
C、2009 D、2010
4、设函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（ ）
A、[﹣4，﹣2] B、[﹣2，0]
C、[0，2] D、[2，4]
5、若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（ ）
A、f（x）=4x﹣1 B、f（x）=（x﹣1）2
C、f（x）=ex﹣1 D、f（x）=ln（x﹣）
6、已知函数时，则下列结论不正确的是（ ）
A、?x∈R，等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立
B、?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根
C、?x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2）
D、?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）﹣kx在R上有三个零点
7、方程f（x）=0的根称为函数，f（x）的零点．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），函数y=3ax3+2bx2+cx的图象如图所示，且f（x1）f（x2）≤0，则函数f（x）的零点个数是（ ）
A、1 B、3
C、2或3 D、1或3
8、方程f（x）=0的根称为函数f（x）的零点，定义在上的函数f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，且f（x1）?f（x2）＜0，则函数f（x）的零点个数是（ ）
A、i1 B、.2
C、.3 D、.1或3
9、已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）=[x]为取整函数，的零点，则g（x0）等于（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
10、若偶函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则f（x+2）=f（x）零点个数是（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、多于4个
11、设x0是函数f（x）=x2﹣|log2x|的一个零点，则x0所在的一个区间是（ ）
A、 B、
C、 D、（1，+∞）
12、函数f（x）=log2x﹣2的零点是（ ）
A、（3，0） B、3
C、（4，0） D、4
13、若loga0.3＜0，则函数y=（1﹣|2x﹣1|）（ax﹣1）的零点个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
14、零点的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
15、定义运算：例如，1△2=1，则的零点是（ ）
A、﹣1 B、（﹣1，1）
C、1 D、﹣1，1
16、函数f（x）=x﹣sinx零点的个数（ ）
A、1 B、2
C、3 D、无数个
17、根据表格中的数据，可以判定函数f（x）=ex﹣x﹣2的一个零点所在的区间为（k，k+1）（k∈N），则k的值为（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A、1 B、0
C、﹣1 D、2
18、函数的零点个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
19、设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（ ）
A、（0，1） B、（1，2）
C、（2，3） D、（3，4）
20、函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
二、填空题（共4小题）
21、若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续不断，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是λ﹣伴随函数．有下列关于λ﹣伴随函数的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个λ﹣伴随函数；
②f（x）=x2是一个λ﹣伴随函数；
③伴随函数至少有一个零点．
其中不正确 _________ 的结论的序号是 _________ ．（写出所有不正确结论的序号）
22、函数f（x）=lnx﹣x+2的零点个数为 _________ ．
23、若函数的图象存在有零点，则m的取值范围是 _________ ．
24、设函数f（x）=，则函数f（x）=的零点是 _________ ．
三、解答题（共6小题）
25、已知函数f（x）=ax2+bx（a，b为常数，且a≠0）满足条件f（1﹣x）=f（1+x），且函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求实数m，n（m＜n），使得f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]．
26、设函数f（x）=log2（ax﹣bx），且f（1）=1，f（2）=log212．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）令g（x）=ax﹣bx，求g（x）在[1，3]上的最小值．
27、已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣x2﹣4x﹣3，
（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的零点．
28、函数．21世纪教育网
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）求证：不等式对于x∈（1，2）恒成立．
29、二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过A（﹣4，5）、B（﹣1，4）、C（0，3）三点．
（1）试求这个二次函数的解析表达式；
（2）试求出函数y=|ax2+bx+c|的零点，并画出其图象（草图）；
（3）根据图象写出函数的单调区间．
30、设a为非零实数，偶函数f（x）=x2+a|x﹣m|+1，x∈R．
（1）求实数m的值；
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知函数?（x）=则函数?（x）的零点个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点。
专题：计算题。
分析：在函数的每一段上求出零点，从而得出函数的所有零点．
解答：解：由得x=﹣4，
由得x=4 或x=0，
故答案 C
点评：本题考查求函数零点的方法，但本题为错题，建议x≥0 时，函数解析式为 x（x﹣4）．
2、已知定义域为R的函数f（x）既是奇函数，又是周期为3的周期函数，当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，f（）=，则函数
f（x）在区间[0，6]上的零点个数是（ ）
A、3 B、5
C、7 D、9
考点：函数的周期性；函数奇偶性的性质；函数的零点。
专题：计算题。
分析：要求方程f（x）=0在区间[0，6]上的解的个数，根据函数f（x）是定义域为R的周期为3的奇函数，且当x∈（0，）时f（x）=sinπx，我们不难得到一个周期函数零点的个数，根据周期性进行分析不难得到结论．
解答：解：∵当x∈（0，）时，f（x）=sinπx，
令f（x）=0，则sinπx=0，解得x=1．
又∵函数f（x）是定义域为R的奇函数，
∴在区间∈[﹣，]上，
f（﹣1）=f（1）=0，21世纪教育网
f（0）=0，
∵函数f（x）是周期为3的周期函数
则方程f（x）=0在区间[0，6]上的解有0，1，2，3，4，5，6．
共7个．
故选D．
点评：若奇函数经过原点，则必有f（0）=0，这个关系式大大简化了解题过程，要注意在解题中使用．如果本题所给区间为开区间，则答案为5个，若区间为半开半闭区间，则答案为6个，故要注意对端点的分析．
3、函数y=f（x）满足 f（x+2）=﹣f（x），当x∈（﹣2，2]时，f（x）=x2﹣1，则f（x）在[0，2010]上零点的个数为（ ）
A、1004 B、1005
C、2009 D、2010
考点：函数的周期性；函数的零点。
专题：计算题。
分析：根据f（x+2）=﹣f（x）可得f（x）是以4为周期的函数，结合题意容易判断f（x）在[0，2010]上零点的个数．
解答：解：∵f（x+2）=﹣f（x），
∴f（x+4）=f（x），即f（x）是以4为周期的函数，
又x∈（﹣2，2]时，f（x）=x2﹣1，当 x=1或x=﹣1时，y=0，
∴f（x）在每个周期内有两个零点，在其对称轴两侧各有一个，
由图象可知在y轴右侧，每隔2个单位就有一个零点，
∴f（x）在[0，2010]上有1005个零点；
故选B．
点评：本题考查函数的周期性，解决的方法是图象法，是容易题．
4、设函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x，则在下列区间中函数f（x）不存在零点的是（ ）
A、[﹣4，﹣2] B、[﹣2，0]
C、[0，2] D、[2，4]
考点：函数的零点。
专题：数形结合。
分析：将f（x）=的零点转化为函数g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的交点，在同一坐标系中画出g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象，数形结合对各个区间进行讨论，即可得到答案
解答：解：在同一坐标系中画出g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象
如下图示：
由图可知g（x）=4sin（2x+1）与h（x）=x的图象在区间[﹣4，﹣2]上无交点，
由图可知函数f（x）=4sin（2x+1）﹣x在区间[﹣4，﹣2]上没有零点
故选A．21世纪教育网
点评：本题主要考查了三角函数图象的平移和函数与方程的相关知识点，突出了对转化思想和数形结合思想的考查，对能力要求较高，属较难题．函数F（x）=f（x）﹣g（x）有两个零点，即函数f（x）的图象与函数g（x）的图形有两个交点．
5、若函数f（x）的零点与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f（x）可以是（ ）
A、f（x）=4x﹣1 B、f（x）=（x﹣1）2
C、f（x）=ex﹣1 D、f（x）=ln（x﹣）
考点：函数的零点。
专题：计算题。
分析：先判断g（x）的零点所在的区间，再求出各个选项中函数的零点，看哪一个能满足与g（x）=4x+2x﹣2的零点之差的绝对值不超过0.25．
解答：解：∵g（x）=4x+2x﹣2在R上连续，且g（）=+﹣2=﹣＜0，g（）=2+1﹣2=1＞0．
设g（x）=4x+2x﹣2的零点为x0，则＜x0＜，
0＜x0﹣＜，∴|x0﹣|＜．
又f（x）=4x﹣1零点为x=；f（x）=（x﹣1）2零点为x=1；
f（x）=ex﹣1零点为x=0；f（x）=ln（x﹣）零点为x=，
故选A．
点评：本题考查判断函数零点所在的区间以及求函数零点的方法．
6、已知函数时，则下列结论不正确的是（ ）
A、?x∈R，等式f（﹣x）+f（x）=0恒成立 B、?m∈（0，1），使得方程|f（x）|=m有两个不等实数根
C、?x1，x2∈R，若x1≠x2，则一定有f（x1）≠f（x2） D、?k∈（1，+∞），使得函数g（x）=f（x）﹣kx在R上有三个零点
考点：函数的零点；函数奇偶性的判断；函数与方程的综合运用。
分析：通过函数的基本性质﹣﹣奇偶性和单调性，对选项进行逐一验证即可．
解答：解：∵f（﹣x）==﹣f（x） 故A中结论正确，排除A．
令m=，|f（x）|=，可解得，x=或﹣，故B中结论正确，排除B．
当x≥0时，f（x）=，f'（x）=＞0，故原函数在[0，+∞）单调递增
当x＜0时，f（x）=，f'（x）=＞0，故原函数在（﹣∞，0）单调递增
故函数在R上但单调递增，故C中结论正确，排除C．
故选D．
点评：本题主要考查函数的基本性质，即奇偶性、单调性问题．
7、方程f（x）=0的根称为函数，f（x）的零点．函数f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0），函数y=3ax3+2bx2+cx的图象如图所示，且f（x1）f（x2）≤0，则函数f（x）的零点个数是（ ）21世纪教育网
A、1 B、3
C、2或3 D、1或3
又函数y=3ax3+2bx2+cx=x（3ax2+2bx+c）的图象如图所示，
由图可知，f′（x）=3ax2+2bx+c，的两个零点是：x1、x2，
根据导数的几何意义可得：函数f（x）的极值点是：x1、x2，
又f（x1）f（x2）≤0，21世纪教育网
说明函数f（x）的极值点分居在x轴的两侧（或者其中之一在x轴上）
则函数f（x）的零点个数是：2或3．
故选C．
点评：本题考查函数的零点，三次函数的图象，以及利用图象解决问题的能力．
8、方程f（x）=0的根称为函数f（x）的零点，定义在上的函数f（x），其导函数f′（x）的图象如图所示，且f（x1）?f（x2）＜0，则函数f（x）的零点个数是（ ）
A、i1 B、.221cnjy
C、.3 D、.1或3
考点：函数的零点。
专题：计算题。
分析：根据导函数f′（x）的图象可知x1与x2为导数为零两个根，从而函数f（x）有两个极值点，再根据f（x1）?f（x2）＜0，则两极值点分布在x轴两侧，从而得到函数f（x）的零点个数．
解答：解：根据导函数f′（x）的图象可知x1与x2为导数为零两个根
∴函数f（x）有两个极值点
而f（x1）?f（x2）＜0，则两极值点分布在x轴两侧
故函数f（x）的零点个数是3
故选：C
点评：本题主要考查了函数的零点，以及导函数与原函数之间的关系，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．
9、已知[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）=[x]为取整函数，的零点，则g（x0）等于（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：函数的零点。
专题：计算题。
分析：根据零点存在定理，我们可以判断出函数f（x）零点所在的区间，然后根据[x]表示不超过实数x的最大整数，g（x）=[x]为取整函数，我们易判断出g（x0）的值．
解答：解：∵，
故x0∈（2，3），
∴g（x0）=[x0]=2．21世纪教育网
故选B
点评：本题考查的知识点是函数的零点，其中根据零点存在定理，判断出函数f（x）零点所在的区间，是解答本题的关键．
10、若偶函数f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[0，1]时，f（x）=x，则f（x+2）=f（x）零点个数是（ ）
A、2个 B、3个
C、4个 D、多于4个
考点：函数的零点。
分析：偶函数f（x），可知图象关于y轴对称，f（x+2）=f（x）说明周期是2，利用图象f（x）=x，可求f（x+2）=f（x）的零点个数．
解答：解：由题知f（x）周期为2，画出图象，如图，
由图象知有2个零点．
故选A．
点评：数学结合是解决一些简单函数零点个数的好方法．本题的方法值得学习．
11、设x0是函数f（x）=x2﹣|log2x|的一个零点，则x0所在的一个区间是（ ）
A、 B、
C、 D、（1，+∞）
考点：函数的零点。21cnjy
专题：计算题。
分析：要判断函数的零点的位置，只要根据实根存在性定理，验证所给的区间的两个端点处的函数值是同号还是异号．
解答：解：∵f（）=
f（）=﹣1＜0，
f（1）=1﹣0＞0，
∴函数的零点在（，1）上，
故选C．
点评：本题考查函数的零点，解题的关键是验证所给的区间的两个端点处的函数值的符号的异同，注意数字的运算．
12、函数f（x）=log2x﹣2的零点是（ ）
A、（3，0） B、3
C、（4，0） D、4
考点：函数的零点。
专题：综合题；方程思想；转化思想；综合法。
分析：函数的零点是函数值为0时自变量的取值，故可令函数值为0，解出此时自变量的值，故令f（x）=log2x﹣2=0，解出其根即为所求的零点，再对照四个选项找出正确选项．
解答：解：由题意令log2x﹣2=0，得log2x=2，得x=22=4
所以函数f（x）=log2x﹣2的零点是x=4
故选D
点评：本题考查函数的零点，解题的关键是掌握理解函数零点的定义以及函数的零点与方程的根的对应关系，将求函数零点的问题转化为求方程根的问题．
13、若loga0.3＜0，则函数y=（1﹣|2x﹣1|）（ax﹣1）的零点个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、321cnjy
考点：函数的零点。
专题：计算题。
分析：要判断函数y=（1﹣|2x﹣1|）（ax﹣1）的零点个数，我们可以先求对应方程（1﹣|2x﹣1|）（ax﹣1）=0的根，然后根据函数零点与方程根的对应关系，判断函数零点的个数．
解答：解：∵loga0.3＜0
∴a＞1
∵（1﹣|2x﹣1|）（ax﹣1）=0时
（1﹣|2x﹣1|）=0，或（ax﹣1）=0
解得x=0，或x=1
故方程（1﹣|2x﹣1|）（ax﹣1）=0有两个根
则函数y=（1﹣|2x﹣1|）（ax﹣1）有两个零点
故选C
点评：函数的零点存在性问题常用的办法有三种：一是用定理，二是解方程，三是用图象．
14、零点的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：函数的零点。
专题：数形结合。
分析：在同一象限内作出y=lnx和的图象，根据两个函数的图象的交点的个数求零点的个数．
解答：解：在同一象限内作出y=lnx和的图象，
结合图象知y=lnx和有两个交点，21cnjy
故零点的个数是2．
故选C．
点评：根据题设条件作出图象，然后借助图象数形结合，效果良好．
15、定义运算：例如，1△2=1，则的零点是（ ）
A、﹣1 B、（﹣1，1）
C、1 D、﹣1，121cnjy
当x≤0时，令2x﹣2﹣1=0，得x=﹣1
当x＞0时，令2﹣x﹣2﹣1=0，得x=1
∴f（x）的零点是﹣1，1
故选D．
点评：本题考查函数的零点，本题解题的关键是看出分段函数的形式，写出使得函数等于0时的自变量的值．
16、函数f（x）=x﹣sinx零点的个数（ ）
A、1 B、2
C、3 D、无数个
考点：函数的零点。
专题：数形结合。
分析：在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，利用图象得结论．
解答：解：因为函数的零点个数就是找对应两个函数的图象的交点个数．
在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=x的图象，
由图得交点1个
故函数f（x）=sinx﹣x的零点的个数是1．21cnjy
故选A．
点评：本题考查函数零点个数的判断和数形结合思想的应用．在判断函数零点个数时，常转化为对应方程的根，利用根的个数来得结论或转化为对应两个函数的图象的交点，利用两个函数的图象的交点个数来判断．
17、根据表格中的数据，可以判定函数f（x）=ex﹣x﹣2的一个零点所在的区间为（k，k+1）（k∈N），则k的值为（ ）
x
﹣1
0
1
2
3
ex
0.37
1
2.72
7.39
20.09
x+2
1
2
3
4
5
A、1 B、0
C、﹣1 D、2
考点：函数的零点。
专题：计算题。
分析：根据表格中的数据，可以判定函数f（x）=ex﹣x﹣2中，自变量x分别取﹣1，0，1，2，3时，函数的值，然后根据零点存在定理，我们易分析出函数零点所在的区间，进而求出k的值．
解答：解：根据表格中的数据，
我们可以判断f（﹣1）＜0；f（0）＜0；f（1）＜0；f（2）＞0；f（3）＞0；
根据零点存在定理得
在区间（1，2）上函数存在一个零点21*cnjy*com
此时k的值为1
故选A
点评：本题考查的知识点是函数的零点，其中根据表格中数据判断自变量x分别取﹣1，0，1，2，3时函数的值的符号，是解答本题的关键．
18、函数的零点个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：函数的零点。
分析：根据，转化为两个简单函数g（x）=lnx，h（x）=（x＞0），根据图象可得答案．
解答：解：∵，
∴令g（x）=lnx，h（x）=（x＞0）函数图象如图：
g（x）与h（x）只能有一个交点，
故函数f（x）只能有一个零点．
故选B．
点评：本题主要考查函数零点个数的判断方法，即将一个复杂的函数转化为两个简单函数求交点的问题．
19、设x0是方程lnx+x=4的解，则x0属于区间（ ）
A、（0，1） B、（1，2）
C、（2，3） D、（3，4）
考点：函数的零点；对数函数的图像与性质。
专题：计算题。
分析：先由lnx+x=4得lnx=4﹣x，再将方程lnx+x=4的解的问题转化为函数图象的交点问题解决，先分别画出方程左右两边相应的函数的图象，观察两个函数图象交点的横坐标所在的区间即可．
解答：解：由lnx+x=4得：lnx=4﹣x．
分别画出等式：lnx=4﹣x两边对应的函数图象：如图．
由图知：它们的交点x0在区间（2，3）内，
故选C．
点评：本小题主要考查对数函数的图象，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．对数函数的图象是对数函数的一种表达形式，形象地显示了函数的性质，为研究它的数量关系提供了“形”的直观性．属于基础题．
20、函数f（x）=|x﹣2|﹣lnx在定义域内零点的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、321*cnjy*com
故方程有两个根，即对应函数有两个零点．
故选C．
点评：本题考查了函数零点、对应方程的根和函数图象之间的关系，通过转化和作图求出函数零点的个数．
二、填空题（共4小题）
21、若对于定义在R上的函数f（x），其函数图象是连续不断，且存在常数λ（λ∈R），使得f（x+λ）+λf（x）=0对任意的实数x成立，则称f（x）是λ﹣伴随函数．有下列关于λ﹣伴随函数的结论：
①f（x）=0是常数函数中唯一一个λ﹣伴随函数；
②f（x）=x2是一个λ﹣伴随函数；
③伴随函数至少有一个零点．
其中不正确 ①② 的结论的序号是 ①② ．（写出所有不正确结论的序号）
考点：函数的概念及其构成要素；函数的零点。
专题：计算题。
分析：根据已知中f（x）是λ﹣伴随函数的定义，我们易得f（x）=c≠0是﹣1﹣伴随函数，由此可以判断①的真假；根据f（x）是λ﹣伴随函数的定义，构造关于λ的方程，解方程求出λ的值，即可判断②的真假；若f（x）是﹣伴随函数．则f（x+）+f（x）=0，根据零点存在定理，可以判断③的真假．进而得到答案．
解答：解：①不正确，原因如下．
若f（x）=c≠0，则取λ=﹣1，则f（x﹣1）﹣f（x）=c﹣c=0，既f（x）=c≠0是﹣1﹣伴随函数
②不正确，原因如下．
若 f（x）=x2是一个λ﹣伴随函数，则（x+λ）2+λx2=0．推出λ=0，λ=﹣1，矛盾21*c21*cnjy*com njy*com
③正确．若f（x）是﹣伴随函数．
则f（x+）+f（x）=0，
取x=0，则f（）+f（0）=0，若f（0），f（）任一个为0，函数f（x）有零点．
若f（0），f（）均不为零，则f（0），f（）异号，由零点存在定理，在（0，）区间存在x0，f（x0）=0．
即﹣伴随函数至少有一个零点．
故答案为：①②．
点评：本题考查的知识点是函数的概念及构成要素，函数的零点，正确理解f（x）是λ﹣伴随函数的定义，是解答本题的关键．
22、函数f（x）=lnx﹣x+2的零点个数为 2 ．
考点：函数的图象与图象变化；函数的零点。
专题：数形结合。
分析：要求函数的零点，只要使得函数等于0，移项变成等号两个边分别是两个基本初等函数，在同一个坐标系中画出函数的图象，看出交点的个数．
解答：解：∵f（x）=lnx﹣x+2=0
∴x﹣2=lnx
令y1=lnx，y2=x﹣2
根据这两个函数的图象在同一个坐标系中的位置关系知，
两个图象有两个公共点，
∴原函数的零点的个数是2
故答案为：2．
点评：本题考查函数的零点，解题的关键是把一个函数变化为两个基本初等函数，利用数形结合的方法得到结果，属基础题．
23、若函数的图象存在有零点，则m的取值范围是 ﹣1≤m＜0 ．21*cnjy*com
考点：函数的图象与图象变化；函数的零点。
专题：计算题。
分析：设，由|1﹣x|=t≥0，知0＜≤1，再由函数的图象存在有零点，能够导出实数m的取值范围．
解答：解：设，
∵|1﹣x|=t≥0，
∴0＜≤1，21*cnjy*com
∴若函数的图象存在有零点，
m的取值范围是﹣1≤m＜0．
故答案：﹣1≤m＜0．
点评：本题考查函数的零点，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件．
24、设函数f（x）=，则函数f（x）=的零点是 ， ．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的零点。
分析：本题考查的知识点是分段函数及函数的零点，由设函数f（x）=，函数f（x）的零点即为函数f（x）=时的自变量x的值，分类讨论后，即可得到结果．
解答：解：当x≥1时，
f（x）﹣=0，
即2x﹣2﹣=0，
∴x=．
当x＜1时，
f（x）﹣=0，
即x2﹣2x﹣=0，
x=（舍去大于1的根）．
∴f（x）﹣的零点为，．
故答案为：，．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的定义域及其求法；函数的值域；函数的零点。
专题：计算题；分类讨论。
分析：（I）由已知中f（1﹣x）=f（1+x），可得到函数f（x）图象的对称轴是直线x=1，若f（x）﹣x只有一个零点，即对应的二次方程的△=0，由于构造关于a，b的方程组，求出a，b值后，即可得到函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）根据（1）中的解析式，我们分m＜n＜1，m≤1≤n，1＜m＜n三种情况分析讨论满足f（x）的定义域为[m，n]时，f（x）的取值范围是[3m，3n]的m，n值，最后综合讨论结果，即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）因为二次函数f（x）=ax2+bx满足条件f（1﹣x）=f（1+x），
所以函数f（x）图象的对称轴是直线x=1．所以﹣=1，即b=﹣2a． …2分
因为函数g（x）=f（x）﹣x只有一个零点，即ax2﹣（2a+1）x=0有等根．
所以△=（2a+1）2=0．…4分
即a=﹣，b=1．所以f （x）=﹣x2+x． …6分
（Ⅱ）①当m＜n＜1时，f （x）在[m，n]上单调递增，f （m）=3m，f （n）=3n，
所以m，n是﹣x2+x=3x的两根．
解得m=﹣4，n=0； …8分
②当m≤1≤n时，3n=，解得n=．不符合题意； …10分
③当1＜m＜n时，f （x）在[m，n]上单调递减，所以f （m）=3n，f （n）=3m．
即﹣m2+m=3n，﹣n2+n=3m．
相减得﹣（m2﹣n2）+（m﹣n）=3（n﹣m）．
因为m≠n，所以﹣（m+n）+1=﹣3．所以m+n=8．21世纪教育网版权所有
将n=8﹣m代入﹣m2+m=3n，
得﹣m2+m=3（8﹣m）．但此方程无解．
所以m=﹣4，n=0时，f （x）的定义域和值域分别是[m，n]和[3m，3n]．…14分．
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求法，函数的定义域和值域，函数的零点，其中（2）中讨论区间[m，n]与对称轴的关系，是解答二次函数问题最常见的思路．
26、设函数f（x）=log2（ax﹣bx），且f（1）=1，f（2）=log212．
（1）求a，b的值；
（2）求函数f（x）的零点；
（3）令g（x）=ax﹣bx，求g（x）在[1，3]上的最小值．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的最值及其几何意义；函数的零点。
专题：计算题。
分析：（1）由已知f（1）=1，f（2）=log212代入到f（x）中求得a、b的值即可；
（2）令函数为零求出x的值即可；
（3）求出g（x），利用换元法求得最小值即可．
解答：解：（1）由已知，得，
∴，
解得
（2）由（1）知f（x）=，
令f（x）==0，
则4x﹣2x=0即（2x）2﹣2x﹣1=0，2x=，又因为2x＞0，
所以，
故x=所以函数f（x）的零点是．
（3）由（1）知g（x）=4x﹣2x=（2x）2﹣2x令t=2x，
∵x∈[1，3]，
∴t∈[2，8]，
显然函数y=（t﹣2）2﹣在[2，8]上是单调递增函数，
所以当t=2时，取得最小值2，
即函数g（x）在[1，3]上的最小值是2．21世纪教育网版权所有
点评：考查学生利用待定系数法求函数解析式的能力，理解函数极值及其几何意义的能力，以及对函数零点的理解能力．
27、已知f（x）是R上的奇函数，且当x∈（﹣∞，0）时，f（x）=﹣x2﹣4x﹣3，
（1）当x∈（0，+∞）时，f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的零点．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数奇偶性的性质；函数的零点。
专题：综合题。
分析：（1）要求当x∈（0，+∞）的f（x）的解析式而题中给的是当x∈（﹣∞，0）时f（x）=﹣x2﹣4x﹣3故需将x＞0变形为﹣x＜0即可代入x∈（﹣∞，0）时f（x）=﹣x2﹣4x﹣3然后利用奇偶性即可得解．
（2）根据零点的定义令f（x）=0求此方程在各范围内的解即为零点．
解答：解：（1）当x∈（0，+∞）时，﹣x∈（﹣∞，0）
则f（﹣x）=﹣（﹣x）2﹣4（﹣x）﹣3=﹣x2+4x﹣3
∵f（x）是R的奇函数∴f（﹣x）=﹣f（x）
∴当x∈（0，+∞）时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x2+4x﹣3]=x2﹣4x+3
（2）∵f（x）是R的奇函数∴f（0）=0
∴
令f（x）=0解得x=0或x=1或x=3或x=﹣1或x=﹣3
∴f（x）的零点为0，±1，±3
点评：本题主要考查了利用函数的奇偶性求函数的解析式进而求函数的零点．第一问解题的关键是将x＞0等价变形为﹣x＜0然后利用题中的条件和奇偶性饥渴得解．第二问要求函数的所有零点即要求f（x）（x∈R）的解析式而由题意和（1）可知x＞0，x＜0的解析式而无x=0的解析式因此x=0的解析式的求解就显得非常重要了这是第二问正确解出的关键！
28、函数．
（1）试求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，求证：函数f（x）的图象存在唯一零点的充要条件是a=1；
（3）求证：不等式对于x∈（1，2）恒成立．
解答：解：（1）函数的定义域是（0，+∞），导数f′（x）=﹣，
若a≤0，导数f′（x）在（0，+∞）上大于0，函数的单调增区间是（0，+∞）；
若a＞0，在（a，+∞）上，导数大于0，函数的单调增区间是（a，+∞），
在（a，+∞）上，导数小于0，单调减区间是（0，a）
（2）由第一问知道，当a＞0时候，函数f（x）在（0，a）上递减，在（a，+∞）上递增，
所以要使得函数f（x）的图象存在唯一零点，当且仅当f（a）=0，即a=1
（3）要证，即证，即证21世纪教育网版权所有
设恒成立
∴g（x）min＞g（1）=0，∴g（x）＞0，即
点评：本题考查利用导数求函数的单调区间即单调性，函数的零点及函数恒成立问题，要证g（x）＞0，只要证g（x）
的最小值大于0．
29、二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过A（﹣4，5）、B（﹣1，4）、C（0，3）三点．
（1）试求这个二次函数的解析表达式；
（2）试求出函数y=|ax2+bx+c|的零点，并画出其图象（草图）；
（3）根据图象写出函数的单调区间．
考点：函数的单调性及单调区间；函数的图象；二次函数的性质；函数的零点。
专题：计算题。
分析：（1）根据点在函数f（x）=ax2+bx+c的图象上可知三个点的坐标适合方程，建立三元一次方程组，解之即可；
（2）根据（1）解一元二次方程即可求出函数y=|ax2+bx+c|的零点，然后根据分段函数画出图象；
（3）直接观察图象可得函数y=|ax2+bx+c|的单调性．
解答：解：（1）∵二次函数f（x）=ax2+bx+c的图象过A（﹣4，5）、B（﹣1，4）、C（0，3）三点
∴解得
∴f（x）=﹣x2﹣x+3
（2）y=|﹣x2﹣x+3|=0解得x=﹣9或2
其图象如下图
（3）y=|﹣x2﹣x+3|在（﹣∞，﹣9）上单调递减，在（﹣9，﹣）上单调递增
在（﹣，2）上单调递减，在（2，+∞）上单调递增
点评：本题主要考查了函数的解析式，以及方程的解和函数的单调性，同时考查了作图能力，属于中档题．
30、设a为非零实数，偶函数f（x）=x2+a|x﹣m|+1，x∈R．
（1）求实数m的值；
（2）试确定函数f（x）的单调区间（不需证明）；21世纪教育网版权所有
（3）若函数f（x）在区间（﹣3，﹣2）上存在零点，试求实数a的取值范围．
3）＜0，由此构造关于a的不等式，解不等式即可得到实数a的取值范围．
解答：解：（1）∵f（x）是偶函数，∴f（﹣x）=f（x）在R上恒成立，
即（﹣x）2+|﹣x﹣m|+1=x2+|x﹣m|+1，
化简整理，得mx=0在R上恒成立，（3分）
∴m=0．（5分）
（2）由已知，可得f（x）=x2+a|x|+1，
则当a＞0时，递增区间为（0，+∞），递减区间为（﹣∞，0）
当a＜0时，递增区间为[，0]和[﹣，+∞）递减区间（﹣∞，）和（0，）
（3）当a＞0时，在区间（﹣3，﹣2）上f（x）＞0恒成立，不满足要求；
当a＜0时，若函数f（x）在（﹣3，﹣2）上只有一个零点
则f（﹣2）?f（﹣3）＜0
即（5+2a）?（10+3a）＜0
解得：＜a＜
点评：本题考查的知识点是偶函数，函数的单调性的判断与证明，函数的零点，（1）的关键是根据偶函数的定义，构造关于m的方程，（2）的关键是对a进行分类讨论，（3）的关键是根据零点存在定理，构造关于a的不等式．
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