函数零点的判定定理
一、选择题（共20小题）
1、函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2有3个零点，则实数a的值为（ ）
A、﹣4 B、﹣2
C、2 D、4
2、函数的零点个数为（ ）21*cnjy*com
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
3、对于函数①，②，③f（x）=cos（x+2）﹣cosx，
判断如下两个命题的真假：
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；
命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1．
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（ ）
A、① B、②
C、①③ D、①②
4、已知函数，正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b）．，若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列5个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④c＜a；⑤a＜b．其中可能成立的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
5、（2011?上城区）已知函数f（x）=，a＞b＞c，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是函数y=f（x）的一个零点，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中有可能成立的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
6、函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内 （ ）21*cnjy*com
A、没有零点 B、有且仅有一个零点
C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
7、已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（ ）
A、f（x1）＜0，f（x2）＜0 B、f（x1）＜0，f（x2）＞0
C、f（x1）＞0，f（x2）＜0 D、f（x1）＞0，f（x2）＞0
8、函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（ ）
A、（﹣2，﹣1） B、（﹣1，0）
C、（0，1） D、（1，2）
9、函数f（x）=3kx+1﹣2k在（﹣1，1）上存在x0，使f（x0）=0，则k的取值范围是（ ）
A、
B、（﹣∞，﹣1）
C、
D、
10、若a＞2，则函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）上恰好有（ ）
A、0个零点 B、1个零点
C、2个零点 D、3个零点
11、函数f（x）=x2﹣1下列哪个区间存在零点（ ）
A、（﹣3，﹣2） B、（﹣2，0）
C、（2，3） D、（0，1）
12、己知f（x）=﹣x3﹣x，x∈[m，n]，且f（m）?f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（ ）
A、至少有三个实数根 B、至少有两个实根
C、有且只有一个实数根 D、无实根
13、函数f（x）=ex+2x﹣6（e≈2.718）的零点属于区间（n，n+1）（n∈Z），则n=（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
14、函数f（x）=2x﹣3零点所在的一个区间是（ ）
A、（﹣1，0） B、（0，1）21*cnjy*com
C、（1，2） D、（2，3）
15、已知函数若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A、（0，1] B、（0，1）
C、[0，1） D、[0，1]
16、若函数y=f（x）在定义域内单调，且用二分法探究知道f（x）在定义域内的零点同时在（0，8），（0，4），（0，2），（0，1）内，那么下列命题中正确的是（ ）
A、函数f（x）在区间内有零点
B、函数f（x）在区间[1，8）上无零点
C、函数f（x）在区间或内有零点
D、函数f（x）可能在区间（0，1）上有多个零点
17、猜商品的价格游戏，观众甲：2000!主持人：高了!
观众甲：1000!主持人：低了! 21*cnjy*com
观众甲：1500!主持人：高了!
观众甲：1250!主持人：低了!
观众甲：1375!主持人：低了!
则此商品价格所在的区间是（ ）
A、（1000，1250） B、（1250，1375）
C、（1375，1500） D、（1500，2000）
18、对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数叫做函数y=f（x）的零点，设x0是函数f（x）=x2﹣|log2x|的一个零点，则x0所在的一个区间是（ ）
A、 B、
C、 D、（1，+∞）
19、f（x）=㏑x+2x﹣5的零点一定位于以下的区间（ ）
A、（1，2） B、（2，3）
C、（3，4） D、（4，5）
20、已知函数f（x）=x+lnx有唯一的零点，则其零点所在区间为（ ）
A、（0，1） B、（1，2）
C、（2，3） D、（3，4）
二、填空题（共4小题）
21、已知函数f（x）=ax2﹣x+1（a＞0）在（0，+∞）上只有一个零点，而函数g（x）=ax2+（b﹣2）x+b是偶函数，且函数f（x）在[a，2b]上的最大值为 _________ ．
22、下列命题：①已知函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，则y=f（x）在[a，b]上零点个数一定为1个；
②定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；
③f（x）=（2x+1）2﹣2（2x﹣1）既不是奇函数又不是偶函数；
④，则f为A到B的映射；
⑤在定义域上是减函数．
其中真命题的序号是 _________ （把你认为正确的命题的序号都填上）．
23、设函数f（x）=|x|x+bx+c，给出下列4个命题：
①b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；
②c=0时，y=f（x）是奇函数；
③y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④函数f（x）至多有2个零点．21*cnjy*com
上述命题中的所有正确命题的序号是 _________ ．
24、已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，给出下列命题：
①f（3）=0；
②f（﹣3）=0；
③直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴；
④函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上为增函数．
其中所有正确命题的序号为 _________ ．（把所有正确命题的序号都填上）
三、解答题（共6小题）
25、设函数，求证：
（1）；
（2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则．
26、如图所示，已知二次函数y=﹣x2+9，矩形ABOC的顶点A在第一象限内，且A在抛物线上，顶点B、C分别在y轴、x轴上，设点A的坐标为（x，y）．
（1）试求矩形ABOC的面积S关于x的函数解析式S=S（x），并求出该函数的定义域；
（2）是否存在这样的矩形ABOC，使它的面积为6，并证明你的结论．
27、已知函数f（x）=x|x﹣a|．
（1）若a=﹣2，写出函数y=f（x）的单调减区间；
（2）若a=1，函数y=f（x）﹣m有两个零点，求实数m的值；
（3）若﹣2≤x≤1时，﹣2≤f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．
28、已知下表为定义域为R的函数f（x）=ax3+cx+d若干自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01．
x
3.27
1.57
﹣0.61
﹣0.59
0.26
0.42
﹣0.35
﹣0.56
0
4.25
y
﹣101.63
﹣10.04
0.07
0.03
0.21
0.20
﹣0.22
﹣0.03
0
﹣226.05
根据表中数据解答下列问题：
（1）函数y=f（x）在区间[0.55，0.6]上是否存在零点，写出判断并说明理由；
（2）证明：函数y=f（x）在区间（﹣∞，﹣0.35]单调递减．
29、已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m，
（1）求证：函数f（x）﹣g（x）必有零点；
（2）设函数G（x）=f（x）﹣g（x）﹣1，若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．
30、已知函数，21*cnjy*com
（1）若a∈N，且函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数，求a的值；
（2）若a∈R，且函数f（x）=﹣x恰有一根落在区间（﹣2，﹣1）内，求a的取值范围．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2有3个零点，则实数a的值为（ ）
A、﹣4 B、﹣2
C、2 D、4
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理。21*cnjy*com
专题：计算题；转化思想。
分析：由已知中函数f（x）=，若函数y=f（x）﹣2有3个零点，我们分别判断出x≠4时，函数的零点，及x=4时，函数的零点，进而可得实数a的值．
解答：解：函数f（x）=
则函数y=f（x）﹣2=
若x≠4，则=0，则x=3或x=5
若x=4，则a﹣2=0，则a=2
故选C
点评：本题考查的知识点是函数解析式的求解及常用方法，函数零点的判定定理，其中分段函数分段处理，是解答本题的关键．
2、函数的零点个数为（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数零点的判定定理。
分析：分别解出x≤0时，|x+1|=0的解和x＞0时x2﹣x﹣2=0的解即可；也可作出f（x）的图象求解．
解答：解：x≤0时，f（x）=|x+1|=0，x=﹣1；
x＞0时，f（x）=x2﹣x﹣2=0，x=2或x=﹣1（舍去）
所以f（x）的零点个数为2
故选B
点评：本题考查函数的零点问题，属基本题．注意转化化归思想的运用：函数f（x）的零点?方程f（x）=0的根．
3、对于函数①，②，③f（x）=cos（x+2）﹣cosx，
判断如下两个命题的真假：
命题甲：f（x）在区间（1，2）上是增函数；
命题乙：f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2，且x1x2＜1．
能使命题甲、乙均为真的函数的序号是（ ）
A、① B、②
C、①③ D、①②
考点：函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理。
分析：①函数可用导数求出在（1，2）上是增函数，②函数是|log2x|与﹣的和函数，且两者在区间（1，2）上均是增函数，知是增函数．③f（x）=0得cos（x+2）=cosx，在（0，+∞）上无数个零点．
解答：解：①f'（x）=4﹣，在区间（1，2）f'（x）＞0，f（x）在区间（1，2）上是增函数．使甲为真．f（x）的最小值是﹣1＜0当x=时取得．又f（1）=0，∴f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1＜；x2=1． x1x2=x1＜1，使乙为真．21*cnjy*com
②在区间（1，2），|log2x|=log2x，是增函数．﹣也是增函数，两者的和函数也是增函数．使甲为真．利用信息技术f（x）在区间（0，+∞）上恰有两个零点x1，x2；0＜x1＜
1＜x2＜2．使乙为真．
③f（x）=0得cos（x+2）=cosx．x+2=2kπ±x．x=kπ﹣1，k∈Z，在区间（0，+∞）上有无数个零点．使乙为假．
故选D．
点评：要掌握好基本初等函数的单调性，以及函数零点个数的判定，用二分法求零点的近似值．
4、已知函数，正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b）．，若实数d是函数f（x）的一个零点，那么下列5个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④c＜a；⑤a＜b．其中可能成立的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：对数函数的单调性与特殊点；指数函数的单调性与特殊点；函数零点的判定定理。
专题：计算题。
分析：根据函数的单调性的性质，我们可以判断出函数数为减函数，再由正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b）．，若实数d是函数f（x）的一个零点，我们易判断出a，b，c，d的大小，进而得到答案．
解答：解：∵函数为减函数，
又∵正实数a、b、c满足f（c）＜0＜f（a）＜f（b），
实数d是函数f（x）的一个零点
∴f（c）＜f（d）＜f（a）＜f（b），
∴c＞d＞a＞b
故①②正确
故选B
点评：本题考查的知识点是对数函数的单调性，指数函数的单调性，函数的零点，其中根据已知中函数的解析式，结合函数的单调性的性质，判断出函数数为减函数，是解答本题的关键．
5、（2011?上城区）已知函数f（x）=，a＞b＞c，且满足f（a）f（b）f（c）＜0，若实数d是函数y=f（x）的一个零点，那么下列四个判断：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④d＞c．其中有可能成立的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
点评：本小题主要考查函数零点的判定定理、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力与转化思想．属于基础题．
6、函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内 （ ）
A、没有零点 B、有且仅有一个零点
C、有且仅有两个零点 D、有无穷多个零点
考点：函数零点的判定定理。
专题：计算题；分类讨论。
分析：根据余弦函数的最大值为1，可知函数在[π，∞）上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间[0，π）上的零点的求解，利用导数讨论单调性即可．
解答：解：f′（x）=+sinx
①当x∈[0．π）时，＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0
∴函数在[0，π）上为单调增
取x=＜0，而＞0
可得函数在区间（0，π）有唯一零点
②当x≥π时，＞1且cosx≤1
故函数在区间[π，∞）上恒为正值，没有零点
综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点
点评：在[0，+∞）内看函数的单调性不太容易，因此将所给区间分为两段来解决是本题的关键所在．
7、（2010?浙江）已知x0是函数f（x）=2x+的一个零点．若x1∈（1，x0），x2∈（x0，+∞），则（ ）
A、f（x1）＜0，f（x2）＜0 B、f（x1）＜0，f（x2）＞0
C、f（x1）＞0，f（x2）＜0 D、f（x1）＞0，f（x2）＞0
点评：本题考查了函数零点的概念和函数单调性的问题，属中档题．
8、（2010?天津）函数f（x）=ex+x﹣2的零点所在的一个区间是（ ）
A、（﹣2，﹣1） B、（﹣1，0）
C、（0，1） D、（1，2）
考点：函数零点的判定定理。
分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为答案．
解答：解：因为f（0）=﹣1＜0，f（1）=e﹣1＞0，所以零点在区间（0，1）上，
故选C．
点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解．
9、函数f（x）=3kx+1﹣2k在（﹣1，1）上存在x0，使f（x0）=0，则k的取值范围是（ ）
A、 B、（﹣∞，﹣1）
C、 D、
考点：函数零点的判定定理。21cnjy
专题：计算题。
分析：根据零点存在定理，函数f（x）=3kx+1﹣2k在（﹣1，1）上存在x0，使f（x0）=0，则表示函数f（x）=3kx+1﹣2k在（﹣1，1）上存在有零点，则f（﹣1）?f（1）＜0，由此我们可以构造一个关于a的不等式，解不等式即可得到答案．
解答：解：若函数f（x）=3kx+1﹣2k在（﹣，1）上存在x0，使f（x0）=0，
则表示函数f（x）=3kx+1﹣2k在（﹣，1）上存在零点
则f（﹣1）?f（1）＜0
即（1﹣5k）?（1+k）＜0
解得：
∴k的取值范围是
故选C．
点评：本题考查的知识点是函数零点的判定定理，其中根据零点判定定理构造关于k的不等式，是解答本题的关键，属基础题．
10、若a＞2，则函数f（x）=x3﹣ax2+1在区间（0，2）上恰好有（ ）
A、0个零点 B、1个零点
C、2个零点 D、3个零点
考点：函数零点的判定定理。
分析：先根据导数判断出函数f（x）在区间[0，2]上单调递减，再由f（0）f（2）＜0可知有唯一零点．
解答：解：由已知得：f′（x）=x（x﹣2a），由于a＞2，
故当0＜x＜2时f′（x）＜0，
即函数为区间（0，2）上的单调递减函数，
又当a＞2时
f（0）f（2）=﹣4a＜0，
故据二分法及单调性可知函数在区间（0，2）上有且只有一个零点．
故选B
点评：本题主要考查函数零点的判断定理．解答本题要结合函数的单调性判断．
11、函数f（x）=x2﹣1下列哪个区间存在零点（ ）
A、（﹣3，﹣2） B、（﹣2，0）
C、（2，3） D、（0，1）
考点：函数零点的判定定理。
专题：计算题。
分析：根据实根存在性定理，在四个选项中分别作出区间两个端点的对应函数值，检验是否符合两个函数值的乘积小于零，当乘积小于零时，存在实根．
解答：解：∵f（﹣3）=8，f（﹣2）=3，
∴f（﹣3）f（﹣2）＞0，
∵f（﹣2）=3，f（0）=﹣1
∴f（﹣2）f（0）＜0，
∵f（2）=3，f（3）=8，
∴f（2）f（3）＞0，
∵f（0）=﹣1，f（1）=0，
∴f（0）f（1）=0，
总上可知只有（﹣2，0）符合实根存在的条件，21cnjy
故选B．
点评：本题考查实根存在的判定定理，是一个基础题，函数的零点是一个新加的内容，考查的机会比较大，题目出现时应用原理比较简单，是一个必得分题目．
12、己知f（x）=﹣x3﹣x，x∈[m，n]，且f（m）?f（n）＜0，则方程f（x）=0在区间[m，n]上（ ）
A、至少有三个实数根 B、至少有两个实根
C、有且只有一个实数根 D、无实根
考点：函数零点的判定定理。
分析：先根据导数判断函数f（x）在区间[m，n]上单调减，再由零点的判定定理可得答案．
解答：解：∵f′（x）=﹣3x2﹣1＜0，
∴f（x）在区间[m，n]上是减函数，又f（m）?f（n）＜0，
故方程f（x）=0在区间[m，n]上有且只有一个实数根．
点评：本题主要考查函数零点的判定定理．做这种题时还要结合函数的单调性进行判断．
13、函数f（x）=ex+2x﹣6（e≈2.718）的零点属于区间（n，n+1）（n∈Z），则n=（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：函数零点的判定定理。
专题：计算题。
分析：由题意可得函数f（x）=ex+2x﹣6在R上单调递增且连续，由函数的零点判定定理可得，零点属于的区间（n，n+1），则f（n）f（n+1）＜0，代入检验即可
解答：解：∵函数f（x）=ex+2x﹣6在R上单调递增且连续
又∵f（0）=﹣5＜0，f（1）=e﹣4＜0，f（2）=e2﹣2＞0
∴f（1）f（2）＜0
由函数的零点判定定理可得，零点属于的区间（1，2）
∴n=1
故选：B
点评：本题主要考查了函数的零点判定定理（连续且单调的函数f（x），若满足f（a）f（b）＜0，则函数的零点属于区间（a，b））的应用，属于基础试题．
14、函数f（x）=2x﹣3零点所在的一个区间是（ ）
A、（﹣1，0） B、（0，1）
C、（1，2） D、（2，3）21cnjy
考点：函数零点的判定定理。
专题：计算题。
分析：将选项中各区间两端点值代入f（x），满足f（a）?f（b）＜0（a，b为区间两端点）的为所求的答案．
解答：解：∵f（﹣1）=﹣3＜0
f（0）=1﹣3=﹣2＜0
f（1）=2﹣3=﹣1＜0，
f（2）=4﹣3=1＞0
∴f（1）f（2）＜0，
∴函数的零点在（1，2）区间上，
故选C．
点评：本题考查了函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通常采用代入排除的方法求解
15、已知函数若函数g（x）=f（x）﹣m有3个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A、（0，1] B、（0，1）
C、[0，1） D、[0，1] 21cnjy
点评：本题主要考查函数零点的等价关系，即函数f（x）有零点等价于方程f（x）=0有根．
16、若函数y=f（x）在定义域内单调，且用二分法探究知道f（x）在定义域内的零点同时在（0，8），（0，4），（0，2），（0，1）内，那么下列命题中正确的是（ ）
A、函数f（x）在区间内有零点
B、函数f（x）在区间[1，8）上无零点
C、函数f（x）在区间或内有零点
D、函数f（x）可能在区间（0，1）上有多个零点
考点：函数零点的判定定理。21cnjy
专题：计算题。
分析：到区间在（0，1）上以后，不能确定零点是在（0，1）的那一部分，只能确定函数在（1，8）上没有零点，得到结论．
解答：解：用二分法探究知道f（x）在定义域内的零点同时在
（0，8），（0，4），（0，2），（0，1）内，
到区间在（0，1）上以后，不能确定零点是在（0，1）的那一部分，
只能确定函数在（1，8）上没有零点，
故选B．
点评：本题考查函数的零点，是一个基础题，本题解题的关键是理解函数利用二分法来求零点的方法．
17、猜商品的价格游戏，观众甲：2000!主持人：高了!
观众甲：1000!主持人：低了!
观众甲：1500!主持人：高了!
观众甲：1250!主持人：低了!
观众甲：1375!主持人：低了!
则此商品价格所在的区间是（ ）
A、（1000，1250） B、（1250，1375）
C、（1375，1500） D、（1500，2000）
考点：函数零点的判定定理。
专题：阅读型。
分析：本题是用函数零点的判定定理解决现实中的实际问题，根据所给的几个信息判断即正确答案．
解答：解：由题意，依据零点存在定理可以判断出，此商品的价格应在1375与1500之间，
故选C
点评：本题考查函数零点的判定定理，解题的关键是理解零点的判定定理以及其判断过程，从而得出正确答案．
18、对于函数y=f（x），我们把使f（x）=0的实数叫做函数y=f（x）的零点，设x0是函数f（x）=x2﹣|log2x|的一个零点，则x0所在的一个区间是（ ）
A、 B、
C、 D、（1，+∞）
考点：函数零点的判定定理。
专题：规律型。
分析：由零点存在定理知，当在某区间两个端点处的函数值的符号相反，则在此区间必有零点，由此规则对四个选项中的区间端点的函数值的符号进行验证，即可选出正确选项
解答：解：由题意，当x的值分别取，，1，函数值分别为﹣，﹣，1，
所以可以确定，函数必在内有零点
∴x0所在的一个区间是
故选C
点评：本题考查对函数零点判定定理的理解，解题的关键是由零点存在定理得出某个区间是否存在零点的判断方法，零点存在定理是一个充分条件，即两端点处函数值符号相反，可得出函数在此区间内有零点，而当区间中有零点时函数在区间两端点的函数值符号不一定相反．本题考查基本概念，属于数学知识的架构题型，此考点是近几年高考中的常考内容，要注意理解掌握．
19、f（x）=㏑x+2x﹣5的零点一定位于以下的区间（ ）
A、（1，2） B、（2，3）
C、（3，4） D、（4，5）
考点：函数零点的判定定理。
专题：证明题。
分析：确定零点存在的区间，直接用零点存在的条件进行验证，本题中函数已知，区间已知，故直接验证区间两个端点的函数值的符号即可确定正确选项，本题宜采用逐一验证法求解．
解答：解：由零点存在性定理得来，f（a）f（b）＜0，即可确定零点存在的区间．
对于选项A，由于f（1）=﹣3＜0，f（2）=ln2﹣1＜0，故不能确定在（1，2）内存在零点
对于选项B，由于f（3）=ln3+1＞0，故在（2，3）存在零点
对于选项C，D由于区间端点都为正，故不能确定在（3，4）与（4，5）中存在零点
综上知，在区间（2，3）存在零点
故选B
点评：本题考点是函数零点判定定理，考查依据零点存在的条件来判断零点的存在性，本题属于定理的直接运用．
20、已知函数f（x）=x+lnx有唯一的零点，则其零点所在区间为（ ）
A、（0，1） B、（1，2）
C、（2，3） D、（3，4）
故选：A
点评：本题主要考查函数的零点及函数的零点存在性定理，若函数在区间[a，b]上联系且单调，且f（a）?f（b）＜0，则函数在区间（a，b）上有唯一得零点，体现了函数与方程的思想的应用
二、填空题（共4小题）
21、已知函数f（x）=ax2﹣x+1（a＞0）在（0，+∞）上只有一个零点，而函数g（x）=ax2+（b﹣2）x+b是偶函数，且函数f（x）在[a，2b]上的最大值为 1 ．
考点：函数的最值及其几何意义；偶函数；函数零点的判定定理。
专题：计算题。
分析：先根据函数的零点的意义求出a，再根据函数的奇偶性求出b，最后根据二次函数性质求出最值即可．
解答：解：∵函数f（x）=ax2﹣x+1（a＞0）在（0，+∞）上只有一个零点
∴△=1﹣4a=0即a=
∵函数g（x）=ax2+（b﹣2）x+b是偶函数，
∴b=2
∴f（x）=x2﹣x+1
而函数f（x）是开口向上的二次函数，对称轴为x=2
则在[，4]当x=4时取最大值1
故答案为：1．
点评：本题主要考查了函数的最值及其几何意义、同时考查了函数的零点，分析问题的能力，属于基础题．
22、下列命题：①已知函数y=f（x）在区间[a，b]上连续，且f（a）f（b）＜0，则y=f（x）在[a，b]上零点个数一定为1个；
②定义在R上的奇函数f（x）必满足f（0）=0；
③f（x）=（2x+1）2﹣2（2x﹣1）既不是奇函数又不是偶函数；
④，则f为A到B的映射；
⑤在定义域上是减函数．
其中真命题的序号是 ② （把你认为正确的命题的序号都填上）．
考点：函数奇偶性的判断；映射；函数单调性的判断与证明；函数奇偶性的性质；函数零点的判定定理。
专题：证明题。
分析：逐一检验各个选项的正确性，通过给变量取特殊值，举反例可以排除某些选项．
解答：解：①不正确，如f（x）=x（x﹣1）（x﹣2）在区[﹣1，3]上上连续，且f（﹣1）f（3）＜0，f（x）在[﹣1，3]上的零点
有3个，零点个数为 3．
②正确，按照奇函数的定义，f（0）=f（﹣0）=﹣f（0），∴2f（0）=0，故 f（0）=0．
③不正确，∵f（x）=（2x+1）2﹣2（2x﹣1）=4x2﹣1，定义域为R，关于原点对称，f（﹣x）=f（x），
是一个偶函数．
④不正确，因为前一个集合中的﹣1在后一个集合中没有元素与之对应，故不是映射．
⑤不正确，因为当x=﹣1时 y=﹣1，当 x=1 时，y=1，1＞﹣1，故 y=在其定义域内不是减函数．
综上，只有②正确，
故答案为②．
点评：本题考查函数零点的个数判断、映射的定义、函数的单调性的判断、函数的奇偶性和单调性，通过给变量取特殊值，举反例来说明某个命题不正确，是一种简单有效的方法．
23、设函数f（x）=|x|x+bx+c，给出下列4个命题：
①b=0，c＞0时，方程f（x）=0只有一个实数根；
②c=0时，y=f（x）是奇函数；
③y=f（x）的图象关于点（0，c）对称；
④函数f（x）至多有2个零点．
上述命题中的所有正确命题的序号是 ①②③ ．
考点：奇偶函数图象的对称性；函数零点的判定定理。
分析：对于①，将b的值代入，可得f（x）的解析式，进而根据函数的图象变化的规律，可得其正确；
对于②，将c的值代入，可得f（x）的解析式，进而由奇函数判断方法，求有f（﹣x）与﹣f（x）的关系，分析可得其正确；
对于③，由②可得函数f（x）=|x|x+bx的奇偶性，进行图象变化可得其正确；21世纪教育网
对于④，举反例|x|x﹣5x+6=0有三个解﹣6、2、3，可得其错误；
进而综合可得答案．
解答：解：①、当b=0，c＞0时，f（x）=|x|x+c=，结合图形知f（x）=0只有一个实数根，故①正确；
②、当c=0时，f（x）=|x|x+bx，有f（﹣x）=﹣f（x）=﹣|x|x﹣bx，故y=f（x）是奇函数，故②正确；
③、y=f（x）的图象可由奇函数f（x）=|x|x+bx，向上或向下平移|c|而得到，y=f（x）的图象与y轴交点为（0，c），故函数y=f（x）的图象关于（0，c）对称，故③正确；
④、举例可得，方程|x|x﹣5x+6=0有三个解﹣6、2、3，即三个零点，故④错误；
故答案为①②③．
点评：本题考查了函数的零点、对称性、奇偶性等知识点，注意结合函数的图象与图象的变化进行分析．
24、已知函数y=f（x）是R上的偶函数，对于x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立，给出下列命题：
f（3）=f（﹣3）+f（3），f（﹣3）=0，
再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（﹣3）=f（3），得f（3）=0；欲证“直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴”，即证f（6+x）=f（6﹣x）；由于f（﹣3）=f（3）=0，得函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上不为增函数．
解答：解：对于①②，由条件：“x∈R都有f（x+6）=f（x）+f（3）成立”，令x=﹣3，
即有f（3）=f（﹣3）+f（3），再依据函数y=f（x）是R上的偶函数，有f（﹣3）=f（3），得f（3）=0；
故①②对；
对于③，∵f（x+6）=f（x）+f（3），
又∵f（﹣x+6）=f（﹣x）+f（3），且f（﹣x）=f（x）
∴f（6+x）=f（6﹣x）；∴直线x=6是函数y=f（x）的图象的一条对称轴，故②对；
对于④，由于f（﹣3）=f（3）=0，得函数y=f（x）在[﹣9，﹣6]上不为增函数；故它是错．
故填①②③．
点评：抽象函数是相对于给出具体解析式的函数来说的，它虽然没有具体的表达式，但是有一定的对应法则，满足一定的性质，这种对应法则及函数的相应的性质是解决问题的关键．
三、解答题（共6小题）
25、设函数，求证：
（1）；
（2）函数f（x）在区间（0，2）内至少有一个零点；
（3）设x1，x2是函数f（x）的两个零点，则．
考点：根与系数的关系；二次函数的性质；函数零点的判定定理。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：（1）由已知，得出＞0，b＜0，2c=﹣3a﹣2b，利用不等式基本性质，即可证明．
（2）可以证出当c＞0时，f（0）f（1）＜0，当c≤0时，f（2）f（1）＜0，根据零点存在性定理，即可证出．
（3）x1，x2是函数f（x）的两个零点，则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根，利用二次方程根与系数的关系，得出，再结合（1）进行证明即可．
解答：证明：（1）∵∴3a+2b+2c=0
又3a＞2c＞2b∴3a＞0，2b＜0∴a＞0，b＜0…（2分）
又2c=﹣3a﹣2b 由3a＞2c＞2b∴3a＞﹣3a﹣2b＞2b
∵a＞0∴…（4分）
（2）∵f（0）=c，f（2）=4a+2b+c=a﹣c…（6分）
①当c＞0时，∵a＞0，∴f（0）=c＞0且
∴函数f（x）在区间（0，1）内至少有一个零点…（8分）
②当c≤0时，∵a＞0∴
∴函数f（x）在区间（1，2）内至少有一个零点．
综合①②得f（x）在（0，2）内至少有一个零点…（10分）
（3）∵x1，x2是函数f（x）的两个零点
则x1，x2是方程ax2+bx+c=0的两根
∴…（12分）∴
∵∴…（15分）
点评：本题是函数与不等式、方程的结合．考查二次函数性质、函数零点、不等式的证明，考查计算、论证能力．
26、如图所示，已知二次函数y=﹣x2+9，矩形ABOC的顶点A在第一象限内，且A在抛物线上，顶点B、C分别在y轴、x轴上，设点A的坐标为（x，y）．
（1）试求矩形ABOC的面积S关于x的函数解析式S=S（x），并求出该函数的定义域；
（2）是否存在这样的矩形ABOC，使它的面积为6，并证明你的结论．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数零点的判定定理。
专题：综合题。
分析：（1）由点A在第一象限内，知AC=y=﹣x2+9，AB=x，由此能求出求出该函数的定义域．
（2）假设存在x，使得﹣x3+9x=6，令：g（x）=x3﹣9x+6，由此能导出存在这样的矩形ABOC，使它的面积为6．
解答：解：（1）∵点A在第一象限内，
∴AC=y=﹣x2+9，AB=x（2分）
∴S=S（x）=AC?AB=﹣x3+9x
其定义域为：0＜x＜3．（5分）
（2）假设存在x，使得﹣x3+9x=621世纪教育网
令：g（x）=x3﹣9x+6
∵g（0）=6＞0且g（1）=﹣2＜0（8分）
∴函数g（x）在区间（0，1）内有零点，
∴存在这样的矩形ABOC，
使它的面积为6．（10分）
点评：本题考查函数的解析式及其求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
27、已知函数f（x）=x|x﹣a|．
（1）若a=﹣2，写出函数y=f（x）的单调减区间；
（2）若a=1，函数y=f（x）﹣m有两个零点，求实数m的值；
（3）若﹣2≤x≤1时，﹣2≤f（x）≤4恒成立，求实数a的取值范围．
（3）由于f（x）的正负取决于x故可分0≤x≤1，﹣2≤x＜0两种情况，然后再结合一元二次函数的性质求出f（x）的最大最小值再令f（x）max≤4且f（x）min≥﹣2求出a的范围．
解答：解：（1）当a=﹣2时f（x）=故函数y=f（x）的单调减区间为[﹣2，﹣1]
（2）当a=1时f（x）=在直角坐标系中做出f（x）的图象（如下图）
要使函数y=f（x）﹣m有两个零点即使f（x）﹣m=0有两个不同的实根即y=f（x）与y=m有两个不同的交点
故m=0或21世纪教育网
（3）当0≤x≤1时则f（x）≥0恒成立故要使﹣2≤x≤1时，﹣2≤f（x）≤4恒成立须有f（x）max≤4即
∴0≤a≤4
当﹣2≤x＜0时则f（x）＜0恒成立故要使﹣2≤x≤1时，﹣2≤f（x）≤4恒成立须有f（x）min≥﹣2即
∴
综上：﹣3≤a≤4
点评：本题主要考查了函数单调性，零点的概念，以及恒成立的问题．解题的关键是第一问要根据绝对值的意义简化f（x）再利用一元二次函数的单调性求解．第二问要将a=1，函数y=f（x）﹣m有两个零点转化为y=f（x）与y=m有两个不同的交点然后利用数形结合的思想求解．而第三问要分析出﹣2≤x≤1时，﹣2≤f（x）≤4恒成立即f（x）max≤4且f（x）min≥﹣2而再求最大最小值时要利用一元二次函数的性质得出当0≤x≤1时f（x）的最大值要么在要么在1取得，当﹣2≤x＜0时则f（x）的最小值要么在要么在﹣2取得！
28、已知下表为定义域为R的函数f（x）=ax3+cx+d若干自变量取值及其对应函数值，为便于研究，相关函数值非整数值时，取值精确到0.01．
x
3.27
1.57
﹣0.61
﹣0.59
0.26
0.42
﹣0.35
﹣0.56
0
4.25
y
﹣101.63
﹣10.04
0.07
0.03
0.21
0.20
﹣0.22
﹣0.03
0
﹣226.05
根据表中数据解答下列问题：
（1）函数y=f（x）在区间[0.55，0.6]上是否存在零点，写出判断并说明理由；
（2）证明：函数y=f（x）在区间（﹣∞，﹣0.35]单调递减．
考点：函数单调性的判断与证明；函数零点的判定定理。
专题：应用题。
分析：根据图表中f（0）=0求得d=0，进而可判断出f（﹣x）=﹣f（x）函数为奇函数，结合f（﹣0.56）＜0可得f（0.56）＞0，同理得f（0.59）＜0，进而可知f（x）在[0.55，0.6]上必有零点；根据图象的趋势f（﹣0.35）=﹣0.22，f（﹣0.56）=﹣0.03，f（﹣0.59）=0.026，f（﹣0.61）=0.07，可推断出函数f（x）在（﹣∞，﹣0.35]上单调递减；
解答：解：（1）∵f（0）=0∴d=0，∴f（﹣x）=﹣f（x），函数f（x）为奇函数；
又f（0.56）=﹣f（﹣0.56）=0.03＞0，f（0.59）=﹣f（﹣0.59）=﹣0.03＜0
∴f（x）在[0.55，0.6]上必有零点结论．
（2）∵f（﹣0.35）=﹣0.22，f（﹣0.56）=﹣0.03，f（﹣0.59）=0.03，f（﹣0.61）=0.07，
∴f（x）在（﹣∞，﹣0.35]上单调递减．
点评：本题主要考查了函数奇偶性的判断．考查了学生分析推理和解决实际问题的能力．
29、已知函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m，
（1）求证：函数f（x）﹣g（x）必有零点；
（2）设函数G（x）=f（x）﹣g（x）﹣1，若|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数，求实数m的取值范围．
考点：函数单调性的性质；二次函数的性质；函数零点的判定定理。
专题：计算题。
分析：（1）函数f（x）﹣g（x）的零点即为，方程f（x）﹣g（x）=0的根，根据已知中函数f（x）=mx+3，g（x）=x2+2x+m，构造方程f（x）﹣g（x）=0，判断其△的与0的关系，即可得到结论．
（2）由已知中函数G（x）=f（x）﹣g（x）﹣1，我们可得到函数G（x）的解析式，分析二次函数G（x）的值域，进而根据对折变换确定函数y=|G（x）|的图象及性质，进而得到满足条件的实数m的取值范围．
解答：解：（1）证明∵f（x）﹣g（x）=﹣x2+（m﹣2）x+3﹣m
又∵f（x）﹣g（x）=﹣x2+（m﹣2）x+3﹣m=0时，
则△=（m﹣2）2﹣4（m﹣3）=（m﹣4）2≥0恒成立，
所以方程f（x）﹣g（x）=﹣x2+（m﹣2）x+3﹣m=0有解
函数f（x）﹣g（x）必有零点21世纪教育网
解：（2）G（x）=f（x）﹣g（x）﹣1=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m
①令G（x）=0则△=（m﹣2）2﹣4（m﹣2）=（m﹣2）（m﹣6）
当△≤0，2≤m≤6时G（x）=﹣x2+（m﹣2）x+2﹣m≤0恒成立
所以，|G（x）|=x2+（2﹣m）x+m﹣2，在[﹣1，0]上是减函数，则2≤m≤6
②△＞0，m＜2，m＞6时|G（x）|=|x2+（2﹣m）x+m﹣2|
因为|G（x）|在[﹣1，0]上是减函数
所以方程x2+（2﹣m）x+m﹣2=0的两根均大于0得到m＞6
或者一根大于0而另一根小于0且，得到m≤0
综合①②得到m的取值范围是（﹣∞，0]∪[2，+∞）．
点评：本题考查的知识点是函数单调性的性质，二次函数的性质，函数零点的判定定理，其中熟练掌握二次函数、一元二次方程、一元二次不等式的辩证关系是解答本题的关键．
30、已知函数，
（1）若a∈N，且函数f（x）在区间（2，+∞）上是减函数，求a的值；
（2）若a∈R，且函数f（x）=﹣x恰有一根落在区间（﹣2，﹣1）内，求a的取值范围．
考点：函数单调性的性质；函数零点的判定定理。
专题：计算题；综合题。
分析：（1）用分离常数法把f（x）化简，再用复合函数的单调性求a的值
（2）转化为F（x）=f（x）+x在区间（﹣2，﹣1）内有一根，再利用F（x）在区间（﹣2，﹣1）上两端点值一正一负求a的取值范围
解答：解：（1），由于函数在（2，+∞）上递减，所以2﹣a＞0，即a＜2，
又a∈N，所以a=0，或者a=1
a=0时，；a=1时，
故 a=0，或者a=1
（2）令F（x）=f（x）+x=
当时，
即（a﹣2）（a﹣6）＜0，2＜a＜6时函数可能有一根在所给区间中．
（或用根与系数的关系）
故 2＜a＜6
点评：对函数零点存在的判断中，必须强调：①函数在给定区间上连续，②在区间的两端点值一正一负．
