函数的零点与方程根的关系
一、选择题（共19小题）
1、把函数f（x）=x3﹣3x的图象C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C2、若对任意的u＞0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
2、函数y=﹣x2+3x+4的零点是（ ）
A、1，﹣4 B、﹣1，4
C、﹣1 D、4
3、方程log2（x+4）=3x的实数解个数为（ ）21世纪教育网版权所有
A、0 B、1
C、2 D、3
4、已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如右图所示，则函数g（x）=aX+b的图象大致为．（ ）
A、 B、
C、 D、
5、方程的解的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
6、若f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、a＜﹣1
7、已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（ ）
A、f（x0）=0 B、f（x0）＞0
C、f（x0）＜0 D、f（x0）的符号不确定
8、已知f（x）=（x﹣2009）（x+2010）的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（ ）
A、（0，1） B、（0，2）
C、（0， D、（0，
9、方程2x+x﹣4=0的解所在区间为（ ）
A、（﹣1，0） B、（1，2）
C、（0，1） D、（2，3）
10、已知函数f（x）=ex﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（ ）
A、 B、（2﹣，2+）
C、[1，3] D、（1，3）
11、若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（ ）
A、5 B、7
C、8 D、1021世纪教育网版权所有
12、函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（ ）
A、（﹣2，﹣1） B、（﹣1，0）
C、（0，1） D、（1，2）
13、（上海卷理17）若x0是方程的解，则x0属于区间（ ）
A、（，1） B、（，）
C、（，） D、（0，）
14、设函数y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点为（x0，y0），则x0所在的区间是（ ）
A、（0，1） B、（1，2）
C、（2，3） D、（3，4）
15、（文科）若函数y=和y=|x﹣a|的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A、a＞﹣4 B、a≤﹣4
C、a≤4 D、a＞4
16、方程﹣lgx=0必有一个根的区间是（ ）
A、（1，2） B、（2，3）
C、（3，4） D、（4，5）
17、方程x（x﹣1）=x的根是（ ）
A、x=2 B、x=﹣2
C、x1=﹣2，x2=0 D、x1=2，x2=0
18、函数f（x）=mx2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，﹣2] B、（﹣∞，﹣2）
C、[2，+∞） D、（2，+∞）
19、方程log3x=3﹣x的解所在区间是（ ）
A、（0，2） B、（2，3）
C、（1，2） D、（3，4）
二、填空题（共4小题）
20、已知，且关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N*）个根，则这k个根的和可能是 _________ ．（请写出所有可能值）
21、下列几个命题，正确的有 _________ ．（填序号）
①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②若幂函数的图象与坐标轴没有交点，则m的取值范围为（﹣3，1）
③若f（x+1）为偶函数，则有f（x+1）=f（﹣x﹣1）；
④函数y=f（2x）的定义域为[1，2]，则函数y=f（x）的定义域为[0，1]．
22、已知偶函数y=f（x）有四个零点，则方程f（x）=0的所有实数根之和为 _________ ．
23、已知定义域为R的函数f（x）=|x2﹣1|，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同的实数解，则b+c= _________ ．
三、解答题（共7小题）
24、若A={a，0，﹣1}，，且A=B，f（x）=ax2+bx+c．21世纪教育网版权所有
（1）求f（x）零点个数；
（2）当x∈[﹣1，2]时，求f（x）的值域；
（3）若x∈[1，m]时，f（x）∈[1，m]，求m的值．
25、若函数f（x）=ax2﹣x﹣1有且仅有一个零点，求实数a的值；
26、已知二次函数f（x）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x=2，且f（x）的两个零点的平方和为10，求f（x）的解析式．
27、已知函数f（x）=lnx﹣ax．
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）=0在[1，e2]上有解，求a的取值范围．
28、已知函数f（x）=在x=﹣2处有极值．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围．
29、已知x∈，函数f（x）=log3
（1）求函数f（x）最大值和最小值；
（2）若方程f（x）+m=0有两根α，β，试求αβ的值
30、已知函数，．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若g（2x）﹣a?g（x）=0，有唯一实数解，求a的取值范围；
（3）若a=2，则是否存在实数m，n（m＜n＜0），使得函数y=f（x）的定义域和值域都为[m，n]．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、把函数f（x）=x3﹣3x的图象C1向右平移u个单位长度，再向下平移v个单位长度后得到图象C2、若对任意的u＞0，曲线C1与C2至多只有一个交点，则v的最小值为（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
考点：函数单调性的性质；函数的图象；函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：由平移规律得出平移后的曲线对应的解析式，因两曲线有交点，故相应方程有根，对方程（x﹣u）3﹣3（x﹣u）﹣v=x3﹣3x，进行变形，得出v关于u 的不等式，转化成恒成立的问题求参数v的范围．
解答：解：根据题意曲线C的解析式为y=（x﹣u）3﹣3（x﹣u）﹣v，
由题意，方程（x﹣u）3﹣3（x﹣u）﹣v=x3﹣3x至多有一个根，
即3ux2﹣3xu2+（u3﹣3u+v）=0至多有一个根，
故有△=9u4﹣12u（u3﹣3u+v）≤0对任意的u＞0恒成立
整理得对任意u＞0恒成立，21世纪教育网版权所有
令，
则
由此知函数g（u）在（0，2）上为增函数，
在（2，+∞）上为减函数，
所以当u=2时，函数g（u）取最大值，即为4，于是v≥4；
故选B．
点评：考查据题意进行转化的能力，以及观察变形的能力，解本题过程中，把一个变量表示成另一个变量的函数，依据不等式恒成立的问题转化求求函数的最值来求出参数的范围，题型新颖．
2、函数y=﹣x2+3x+4的零点是（ ）
A、1，﹣4 B、﹣1，4
C、﹣1 D、4
考点：二次函数的性质；函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：由零点的概念知，即为对应方程的根，所以令y=﹣x2+3x+4=0解方程即可．
解答：解：令y=﹣x2+3x+4=0得：
（x﹣4）（x+1）=0
∴x=4，x=﹣1
∴函数y=﹣x2+3x+4的零点是﹣1，4
故选B
点评：本题主要考查函数的零点的概念．是函数图象与横轴交点的横坐标，是对应方程的根．
3、方程log2（x+4）=3x的实数解个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：指数函数的图像与性质；对数函数的图像与性质；函数的零点与方程根的关系。
专题：数形结合。
分析：画出两个函数的图象，有图得到两个函数的交点个数，即方程解的个数．
解答：解：画出y=log2（x+4）与y=3x的图象
由图知，log2（x+4）与y=3x有两个交点，
所以方方程有两个根
故选C
点评：本题考查解决方程解的个数问题常构造函数转化为函数的图象交点个数．
4、已知函数f（x）=（x﹣a）（x﹣b）（其中a＞b），若f（x）的图象如右图所示，则函数g（x）=aX+b的图象大致为．（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：指数函数的图像变换；函数的零点与方程根的关系。
专题：数形结合；转化思想。
分析：根据题意，易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b，又由函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；根据函数图象变化的规律可得g（x）=aX+b的单调性即与y轴交点的位置，分析选项可得答案．21世纪教育网
解答：解：由二次方程的解法易得（x﹣a）（x﹣b）=0的两根为a、b；
根据函数零点与方程的根的关系，可得f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的零点就是a、b，即函数图象与x轴交点的横坐标；
观察f（x）=（x﹣a）（x﹣b）的图象，可得其与x轴的两个交点分别在区间（﹣∞，﹣1）与（0，1）上，
又由a＞b，可得b＜﹣1，0＜a＜1；
在函数g（x）=aX+b可得，由0＜a＜1可得其是减函数，
又由b＜﹣1可得其与y轴交点的坐标在x轴的下方；
分析选项可得A符合这两点，BCD均不满足；
故选A．
点评：本题综合考查指数函数的图象与函数零点的定义、性质；解题的关键在于根据二次函数的图象分析出a、b的范围．
5、方程的解的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：对数函数的图像与性质；函数的零点与方程根的关系。
专题：数形结合。
分析：根据方程的解的个数，等于函数F（x）=零点的个数，等于函数的图象交点的个数，在同一坐标系中作出函数的图象，分析两个函数的交点个数即可得到答案．
解答：解：在同一坐标系中作出函数的图象如下图所示：
由图可知函数的图象只有一个交点
故方程的解的个数为1个
故选B
点评：本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，函数的零点与方根根的关系，其中根据函数的零点与方根根的关系，将问题转化为一个利用图象法求函数零点个数问题是解答本题的关键．
6、若f（x）=3ax+1﹣2a在（﹣1，1）上存在零点，则实数a的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、a＜﹣1
7、已知a是函数的零点，若0＜x0＜a，则f（x0）的值满足（ ）
A、f（x0）=0 B、f（x0）＞0
C、f（x0）＜0 D、f（x0）的符号不确定
考点：函数的零点；函数的零点与方程根的关系。
分析：a是函数的零点，函数是增函数，本题根据函数的单调性和零点的性质进行求解．
解答：解：∵在（0，+∞）上是增函数，a是函数的零点，即f（a）=0，
∴当0＜x0＜a时，f（x0）＜0，
故选 C．
点评：函数是增函数，单调函数最多只有一个零点，a是函数的唯一零点．
8、已知f（x）=（x﹣2009）（x+2010）的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，有一个圆恰好经过这三个点，则此圆与坐标轴的另一个交点是（ ）
A、（0，1） B、（0，2）
C、（0， D、（0，
考点：函数的零点；函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是相交弦定理，由f（x）=（x﹣2009）（x+2010）的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，我们不难得到这三个点的坐标，我们设圆与坐标轴的另一个交点为（0，b）点，则根据相交弦定理，我们易得b值．
解答：解：f（x）=（x﹣2009）（x+2010）的图象与x轴、y轴有三个不同的交点
这三点坐标为：（2009，0），（﹣2010，0），（0，﹣2010×2009）
我们设该圆与坐标轴的另一个交点是（0，b）点
则由相交弦定理我们可得：
b×（﹣2010×2009）=﹣2010×2009
解得b=1
故选A
点评：本题考查的知识点，是相交弦定理，但切入点是由已知的条件，f（x）=（x﹣2009）（x+2010）的图象与x轴、y轴有三个不同的交点，把坐标轴看成是圆内两条相交的弦，进行求解，故熟练掌握相关定理，包括前提条件在内，是解决问题的捷径．
9、方程2x+x﹣4=0的解所在区间为（ ）21世纪教育网
A、（﹣1，0） B、（1，2）
C、（0，1） D、（2，3）
考点：函数零点的判定定理；函数的零点与方程根的关系。
专题：函数思想；转化思想。
分析：方程2x+x﹣4=0的解转化为函数f（x）=2x+x﹣4的零点问题，把区间端点函数值代入验证即可．
解答：解；令f（x）=2x+x﹣4连续，
∴f（﹣1）=﹣1﹣4＜0
f（0）=1﹣4＜0
f（1）=2+1﹣4＜0
f（2）=4+2﹣4＞0
∴f（x）=2x+x﹣4在区间（1，2）有一个零点，
即方程2x+x﹣4=0在区间（1，2）有解，
故选B．
点评：考查方程的根和函数零点之间的关系，即函数零点的判定定理，体现了转化的思想方法，属基础题．
10、已知函数f（x）=ex﹣1，g（x）=﹣x2+4x﹣3，若有f（a）=g（b），则b的取值范围为（ ）
A、 B、（2﹣，2+）
C、[1，3] D、（1，3）
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：利用f（a）=g（b），整理等式，利用指数函数的性质建立不等式求解即可．
解答：解：∵f（a）=g（b），
∴ea﹣1=﹣b2+4b﹣3
∴﹣b2+4b﹣2=ea＞0
即b2﹣4b+2＜0，求得2﹣＜b＜2+
故选B
点评：本题主要考查了函数的零点与方程根的关系．
11、若函数y=f（x）（x∈R）满足f（x+2）=f（x）且x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，函数g（x）=，则函数h（x）=f（x）﹣g（x）在区间[﹣5，5]内的零点的个数为（ ）
A、5 B、7
C、8 D、10
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：数形结合。
分析：由f（x+2）=f（x），知函数y=f（x）（x∈R）是周期为2的函数，进而根据f（x）=1﹣x2与函数g（x）=的图象得到交点为8个．
解答：解：因为f（x+2）=f（x），所以函数y=f（x）（x∈R）是周期为2函数，
因为x∈[﹣1，1]时，f（x）=1﹣x2，所以作出它的图象，则y=f（x）的图象如图所示：（注意拓展它的区间）
再作出函数g（x）=的图象，21世纪教育网
容易得出到交点为8个．
故选C．
点评：注意周期函数的一些常见结论：若f（x+a）=f（x），则周期为a；若f（x+a）=﹣f（x），则周期为2a；若f（x+a）=，则周期为2a；另外要注意作图要细致．
12、函数f（x）=2x+3x的零点所在的一个区间是（ ）
A、（﹣2，﹣1） B、（﹣1，0）
C、（0，1） D、（1，2）
考点：函数的零点与方程根的关系；函数零点的判定定理。
专题：计算题。
分析：函数零点附近函数值的符号相反，这类选择题通可采用代入排除的方法求解．
解答：解：由及零点定理知f（x）的零点在区间（﹣1，0）上，
故选B．
点评：本题主要考查函数零点的概念与零点定理的应用，属于容易题．
13、若x0是方程的解，则x0属于区间（ ）
A、（，1） B、（，）
C、（，） D、（0，）
考点：函数的零点与方程根的关系。
分析：由题意x0是方程的解，根据指数函数和幂数函数的增减性进行做题．21世纪教育网
解答：解：∵，，
∴x0属于区间（，）．
故选C．
分析：根据y=x3与y=（）x﹣2的图象的交点的横坐标即为g（x）=x3﹣22﹣x的零点，将问题转化为确定函数g（x）=x3﹣22﹣x的零点的所在区间的问题，再由函数零点的存在性定理可得到答案．
解答：解：∵y=（）x﹣2=22﹣x
令g（x）=x3﹣22﹣x，可求得：g（0）＜0，g（1）＜0，g（2）＞0，g（3）＞0，g（4）＞0，
易知函数g（x）的零点所在区间为（1，2）．
故选B．
点评：本题主要考查函数的零点和方程的根的关系和零点存在性定理．考查考生的灵活转化能力和对零点存在性定理的理解．
15、若函数y=和y=|x﹣a|的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是（ ）
A、a＞﹣4 B、a≤﹣4
C、a≤4 D、a＞4
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题；转化思想。
分析：首先根据函数的表达式画出函数的图象，从而根据图象判断函数与直线的公共点的情况，最后结合两曲线相切与方程有唯一解的关系即可求得实数a的取值范围．21cnjy
解答：解：画出函数y=和y=|x﹣a|的图象，
（如图）．
由图可知，当且仅当﹣2＜a＜2时，
直线y=a﹣x与函数y=的图象相切时，
有唯一解，∴a=4，21世纪教育网
函数y=和y=|x﹣a|的图象有三个不同的公共点，则实数a的取值范围是a＞4
故选D．
点评：本题主要考查函数的零点以及数形结合方法，数形结合是数学解题中常用的思想方法，本题由于使用了数形结合的方法，使得问题便迎刃而解，且解法简捷．
16、方程﹣lgx=0必有一个根的区间是（ ）
A、（1，2） B、（2，3）
C、（3，4） D、（4，5）
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：根据题意，结合选项，令f（x）=﹣lgx，分别求f（1），f（2），f（3），f（4）看与0的大小关系，即可判断．
解答：解：令f（x）=﹣lgx，
则f（1）=1﹣0＞0，f（2）=﹣lg2＞0，f（3）=﹣lg3＜0，f（4）=﹣lg4＜0
∴方程﹣lgx=0在区间（2，3）上必有根，
故选B
点评：本题主要考查了函数的零点与方程的根的关系．若函数y=f（x）在闭区间[a，b]上的图象是连续曲线，并且在区间端点的函数值符号不同，即f（a）?f（b）≤0，则在区间[a，b]内，函数y=f（x）至少有一个零点，即相应的方程f（x）=0在区间[a，b]内至少有一个实数解．
17、方程x（x﹣1）=x的根是（ ）
A、x=2 B、x=﹣2
C、x1=﹣2，x2=0 D、x1=2，x2=0
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：移项，然后分解因式得出x（x﹣2）=0，再根据一元二次方程根的结论推出x=0或x﹣2=0，得出x1=2，x2=0，从而求出方程的解．
解答：解：x（x﹣1）=x，
移项得：x（x﹣1）﹣x=0，
分解因式得：x（x﹣1﹣1）=0，
∴x=0，x﹣1﹣1=0，
解得：x1=0，x2=2，
故选D．
点评：本题主要考查对解一元一次方程，解一元二次方程等知识点的连接和掌握，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．
18、函数f（x）=mx2﹣x﹣1在（0，1）内恰有一个零点，则实数m的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，﹣2] B、（﹣∞，﹣2）
C、[2，+∞） D、（2，+∞）21cnjy
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：常规题型。
分析：当m=0时验证不满足条件；当m≠1时，函数f（x）为二次函数，根据二次函数的图象和性质可得只要f（0）f（1）≤0即可得到答案．
解答：解：当m=0时，f（x）=﹣x﹣1=0，x=﹣1不在（0，1）内不满足条件．
当m≠0时，只要f（0）f（1）≤0即可，
解得m≥2
故选C．
点评：本题主要考查函数零点的判定定理．属基础题．
19、方程log3x=3﹣x的解所在区间是（ ）
A、（0，2） B、（2，3）
C、（1，2） D、（3，4）
考点：函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题；数形结合；转化思想。
分析：方程的解所在的区间，则对应的函数的零点在这个范围，把原函数写出两个初等函数，即两个初等函数的交点在这个区间，结合两个函数的草图得到函数的交点的位置在（1，3），再进行进一步检验．
解答：解：∵方程log3x=﹣x+3的解，
根据两个基本函数的图象可知两个函数的交点一定在（1，3），
因m（x）=log3x+x﹣3在（1，2）上不满足m（1）m（2）＜0，
方程 log3x+x﹣3=0 的解所在的区间是（2，3），
故选B．
点评：本题考查函数零点的检验，考查函数与对应的方程之间的关系，是一个比较典型的函数的零点的问题，注意解题过程中数形结合思想的应用．属基础题．
二、填空题（共4小题）
20、已知，且关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N*）个根，则这k个根的和可能是 2、3、4、5、6、7、8 ．（请写出所有可能值）
解答：解：若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有k（k∈N*）个根，
令t=f（x），则方程t2+bt+c=0必有正根
若方程t2+bt+c=0有两个相等的正根α21cnjy
当0＜α＜1时，=α，|x﹣1|=1+，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有2个根，2根之和为2；
当α=1时，=1，|x﹣1|=2，或|x﹣1|=0，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个根，3根之和为3；
当α=1时，=α，|x﹣1|=1±，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有4个根，4根之和为4；
若方程t2+bt+c=0有两个不等的正根α，β
当0＜α＜1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有4个根，4根之和为4；
当0＜α＜1，β=1时，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个根，5根之和为5；
当0＜α＜1，β＞1时，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α=1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有5个根，5根之和为5；
当α=1，β=1时，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α=1，β＞1时，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个根，7根之和为7；
当α＞1，0＜β＜1时，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有6个根，6根之和为6；
当α＞1，β=1时，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有7个根，7根之和为7；
当α＞1，β＞1时，此时关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0有8个根，8根之和为8；
故答案为：2、3、4、5、6、7、8
点评：本题考查的知识点是带绝对值的函数，函数的零点与方程根的关系，其中分类讨论是解答此类复杂问题最常用的方法，而本题中根据函数的解析式，确定分类标准是解答本题的关键．
21、下列几个命题，正确的有 ① ．（填序号）
①方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则a＜0；
②若幂函数的图象与坐标轴没有交点，则m的取值范围为（﹣3，1）
③若f（x+1）为偶函数，则有f（x+1）=f（﹣x﹣1）；
④函数y=f（2x）的定义域为[1，2]，则函数y=f（x）的定义域为[0，1]．
考点：函数的定义域及其求法；函数奇偶性的性质；幂函数的性质；函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题；综合题。
分析：根据韦达定理及一元二次方程根的个数与△的关系，可以判断①的真假；根据幂函数的图象和性质，可以判断②的真假；根据函数的对称性及轴对称函数解析式与对称轴的关系，可以判断③的真假；根据复数函数定义域的求法，根据已知求出函数y=f（x）的定义域，即可得到答案．
解答：解：若方程x2+（a﹣3）x+a=0有一个正实根，一个负实根，则△＞0，且x1?x2=a＜0，解得a＜0，故①正确；
若幂函数的图象与坐标轴没有交点，则m2+2m﹣3≤0，解得m的取值范围为[﹣3，1]；
若f（x+1）为偶函数，则表示函数若f（x）的图象关于直线x=1对称，而f（x+1）=f（﹣x﹣1）表示f（x）的图象关于直线x=0（y轴）对称，故③错误；
若函数y=f（2x）的定义域为[1，2]，则函数y=f（x）的定义域为[2，4]，故④错误；21cnjy
故答案为：①
点评：本题考查的知识点是函数的定义域及其求法，函数奇偶性的性质，幂函数的性质，函数的零点与方程的根的关键，熟练掌握函数与方程之间的辩证关系，掌握初等基本函数的性质是解答此类问题的关键．
22、已知偶函数y=f（x）有四个零点，则方程f（x）=0的所有实数根之和为 0 ．
考点：偶函数；函数的零点与方程根的关系。
分析：由y=f（x）是偶函数知其图象关于y轴对称，则方程f（x）=0的所有实数根也关于y轴对称得解．
解答：解：∵已知y=f（x）是偶函数
则其图象关于y轴对称
则其图象任意一点必关于y轴对称
∴方程f（x）=0的所有实数根成对出现，且互为相反数
∴方程f（x）=0的所有实数根之和为0
故答案为：0
点评：本题主要考查偶函数的图象．
23、已知定义域为R的函数f（x）=|x2﹣1|，若关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同的实数解，则b+c= ﹣1 ．
考点：函数奇偶性的性质；函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：由一元二次方程的性质可得：方程f2（x）+bf（x）+c=0最多有2个解，即f（x）最多有2数值，由函数f（x）=|x2﹣1|的图象可得：x最多四解．由题意可推断f（x）=1能够使方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个解，即1+b+c=0，进而可得答案．
解答：解：由一元二次方程的性质可得：方程f2（x）+bf（x）+c=0最多有2个解，即f（x）最多有2数值，
由函数f（x）=|x2﹣1|的图象可得：x最多四解．
因为关于x的方程f2（x）+bf（x）+c=0恰有7个不同的实数解，
所以可推断f（x）=1能够使方程f2（x）+bf（x）+c=0有3个解，存在f（x）=C能够使方程f2（x）+bf（x）+c=0有4个解，
所以1+b+c=0，即b+c=﹣1，．
故答案为：﹣1．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握一元二次方程与一元二次函数的性质，以及函数的零点与方程的根之间的关系，此题属于中档题．
三、解答题（共7小题）
24、若A={a，0，﹣1}，，且A=B，f（x）=ax2+bx+c．
（1）求f（x）零点个数；
（2）当x∈[﹣1，2]时，求f（x）的值域；21cnjy
（3）若x∈[1，m]时，f（x）∈[1，m]，求m的值．
考点：函数的值域；函数的零点与方程根的关系。
分析：（1）根据A=B，求出a，b，c的值，得出函数f（x）的关系式．根据△判断函数的零点个数．
（2）根据（1）所求的函数式，判断f（x）在区间[﹣1，2]的单调性，求出最值，得出答案．
（3）首先判断函数f（x）在区间[1，m]单调增，进而根据最大值，求出m．
解答：解：（1）∵A=B，
∴，
∴
∴m=1或m=2，又m＞1，
所以m=2．
点评：本题主要考查函数的值域问题．应注意对方程、函数的奇偶性、单调性的巧妙利用．
25、若函数f（x）=ax2﹣x﹣1有且仅有一个零点，求实数a的值；
考点：函数的图象与图象变化；函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题；数形结合。
分析：本题采用直接法，先对二次项系数进行讨论：①a=0；②a≠0；再对②充分利用二次函数的根的判别式解决问题．
解答：解：若a=0，则f（x）=﹣x﹣1，令f（x）=﹣x﹣1=0，得x=﹣1，符合题意；
若a≠0，则f（x）=ax2﹣x﹣1是二次函数，
∴f（x）有且仅有一个零点?△=1+4a=0
综上所述，a=0或
点评：本题主要考查了二次函数的图象和图象变化及数形结合思想，属于基础题．
26、已知二次函数f（x）图象过点（0，3），它的图象的对称轴为x=2，且f（x）的两个零点的平方和为10，求f（x）的解析式．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：由已知中函数f（x）为二次函数，我们可以采用待定系数法求函数的解析式，根据函数f（x）图象过点（0，3），图象的对称轴为x=2，两个零点的平方和为10，结合韦达定理（一元二次方程根与系数的关系），我们可以构造一个关于系数a，b，c的方程组，解方程组求出a，b，c的值后，即可得到f（x）的解析式．
解答：解：设f（x）=ax2+bx+c（a≠0）
因为f（x）图象过点（0，3），所以c=3
又f（x）对称轴为x=2，
∴=2即b=﹣4a
所以f（x）=ax2﹣4ax+3（a≠0）
设方程ax2﹣4ax+3=0（a≠0）的两个实根为x1，x2，
则
∴，
所以
得a=1，b=﹣4
所以f（x）=x2﹣4x+3
点评：本题考查的知识点是待定系数法，待定系数法是求函数解析式的常用方法之一，当函数f（x）类型确定时，可用待定系数法．其解题步骤一般为：①根据函数类型设出函数的解析式（其中系数待定）②根据题意构造关于系数的方程（组）③解方程（组）确定各系数的值④将求出的系数值代入求出函数的解析式
27、已知函数f（x）=lnx﹣ax．21cnjy
（1）求f（x）的单调区间；
（2）f（x）=0在[1，e2]上有解，求a的取值范围．
考点：函数的单调性及单调区间；函数的零点与方程根的关系。
分析：（1）对函数f（x）求导，当导数f'（x）大于0时可求单调增区间，当导数f'（x）小于0时可求单调减区间．
（2）f（x）=0在[1，e2]上有解即在x∈[1，e2]上有解，转化为求函数在[1，e2]上的取值范围．
解答：解：（Ⅰ）定义域为（0，+∞）
当a≤0时，f′（x）＞0恒成立，f（x）的单调递增区间为（0，+∞）
当a＞0时，令
令
故f（x）的单调递增区间为，单调递减区间为
（Ⅱ）lnx﹣ax=0在x∈[1，e2]上有解
故在x∈[1，e2]上有解
令
令g′（x）=0得x=e
∴
∴
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数增减区间的问题．
28、已知函数f（x）=在x=﹣2处有极值．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有一个零点，求b的取值范围．
考点：函数的单调性及单调区间；函数的零点与方程根的关系。
分析：（1）先对函数f（x）进行求导，又因为在x=﹣2处有极值，故f'（﹣2）=0求出a的值
（2）由（1）可求出f（x）的极大值和极小值，根据单调区间和极值的正负可求解．
解答：解：（Ⅰ）f′（x）=x2﹣2ax
由题意知：f′（﹣2）=4+4a=0，得a=﹣1，
∴f′（x）=x2+2x，
令f′（x）＞0，得x＜﹣2或x＞0，
令f′（x）＜0，得﹣2＜x＜0，
∴f（x）的单调递增区间是（﹣∞，﹣2）和（0，+∞），
单调递减区间是（﹣2，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=，
f（﹣2）=为函数f（x）极大值，f（0）=b为极小值．21cnjy
∵函数f（x）在区间[﹣3，3]上有且仅有一个零点，
∴或或或或，
即，
∴，即b的取值范围是．
点评：本题主要考查通过求函数的导数确定函数单调区间的问题．当导数大于0时原函数单调递增，当导数小于0时原函数单调递减．
29、已知x∈，函数f（x）=log3
（1）求函数f（x）最大值和最小值；
（2）若方程f（x）+m=0有两根α，β，试求αβ的值
考点：复合函数的单调性；函数的零点与方程根的关系。
专题：计算题。
分析：（1）将函数变形f（x）=（log3x﹣3）（log3x+1）=（log3x）2﹣2log3x﹣3，令log3x=t，转化为二次函数解决．
（2）方程f（x）+m=0有两根α，β，令log3x=t，则t2﹣2t﹣3+m=0也有两根，再用韦达定理求解．
解答：解：（1）f（x）=（log3x﹣3）（log3x+1）=（log3x）2﹣2log3x﹣3
令log3x=t，由得，t∈[﹣3，﹣2]
∴y=t2﹣2t﹣3，t∈[﹣3，﹣2]
当t=﹣3时，ymax=12
当t=﹣2时，ymin=5
（2）（log3x）2﹣2log3x﹣3+m=0，有两个根α、β
令log3x=t，则t2﹣2t﹣3+m=0也有两根，不妨设t1=log3α，t2=log3β
则t1+t2=log3α+log3β=log3（αβ）=2
∴αβ=9
点评：本题主要考查一般函数通过变形转化为基本函数解决问题的能力．
30、已知函数，．
（1）若函数f（x）为奇函数，求a的值；
（2）若g（2x）﹣a?g（x）=0，有唯一实数解，求a的取值范围；
（3）若a=2，则是否存在实数m，n（m＜n＜0），使得函数y=f（x）的定义域和值域都为[m，n]．若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
考点：函数奇偶性的性质；函数单调性的判断与证明；函数的零点与方程根的关系。
专题：综合题。
分析：（1）由奇函数的性质f（0）=0，代入可求a
（2）令t=2x＞0，则可转化为方程t2﹣at+1﹣a=0在（0，+∞）上有唯一解，令h（t）=t2﹣at+1﹣a，则h（0）≤0，可求
（3）法一：由a=2可得，，证易f（x）在R上是增函数，假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有判断方程的解的存在情况即可21*cnjy*com
法二：易知f（x）在R上是增函数，假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有即m、n是方程f（x）=x的两个不等负根，而由得，令h（x）=2x+1，结合函数g（x）在（﹣∞，0]上为单调递增函数可得（x）＞g（x），即方程在（﹣∞，0）上无解
∴（1分）
令t=2x＞0，则问题转化为方程t2﹣at+1﹣a=0在（0，+∞）上有唯一解．（1分）
令h（t）=t2﹣at+1﹣a，则h（0）≤0
∴a≥1（2分）
（3）法一：不存在实数m、n满足题意．（1分）
∵y=2x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有（2分）
∵m＜0∴0＜2m＜121*cnjy*com
∴
∴（1）式左边＞0，右边＜0，故（1）式无解．
同理（2）式无解．
故不存在实数m、n满足题意．（2分）
法二：不存在实数m、n满足题意．（1分）
易知∵y=2x在R上是增函数∴f（x）在R上是增函数（2分）
假设存在实数m、n（m＜n＜0）满足题意，有
即m、n是方程f（x）=x的两个不等负根．（1分）
由得
令h（x）=2x+1，（1分）
∵函数g（x）在（﹣∞，0]上为单调递增函数
∴当x＜0时，g（x）＜g（0）=121*cnjy*com
而h（x）＞1，∴h（x）＞g（x）
∴方程在（﹣∞，0）上无解
故不存在实数m、n满足题意．（2分）
点评：本题主要考查了函数的奇偶性单调性及函数的零点与方程的根的相互转化，解题的关键是熟练掌握函数的性质并能灵活应用．
