机械振动与机械波　光　电磁波——机械振动与机械波的综合问题(学案)-2023年新高考物理二轮复习专题讲义

机械振动与机械波的综合问题
简谐运动
（2022·浙江历年真题）如图所示，一根固定在墙上的水平光滑杆，两端分别固定着相同的轻弹簧，两弹簧自由端相距x。套在杆上的小球从中点以初速度v向右运动，小球将做周期为T的往复运动，则（　　）
A．小球做简谐运动
B．小球动能的变化周期为
C．两根弹簧的总弹性势能的变化周期为T
D．小球的初速度为时，其运动周期为2T
关键信息：水平光滑杆 → 未与弹簧接触时小球做匀速直线运行，与弹簧接触时小球只受弹簧的弹力
小球将做周期为T的往复运动 → 从出发到压缩右侧弹簧，然后回到出发点，再向左压缩左边弹簧，最后又回到出发点所用时间为T
解题思路：由于水平杆光滑，小球未接触弹簧或是与弹簧分离后均做匀速直线运动，接触弹簧后由于只受弹簧弹力，做简谐运动。小球和弹簧组成的系统机械能守恒，所以接触弹簧前的速度和离开弹簧的速度都为v。
设杆中点位置记为O点，小球运动到最左、右端的位置为分别记为A点和B点，如图，
A．小球做简谐运动的条件是所受回复力与位移成正比，且方向始终指向平衡位置。由于杆光滑，所以小球在杆中点到接触弹簧的过程中，所受合力为零，故小球不是简谐运动，A错误；
BC．小球做周期T内的往复运动，其运动过程为：O—B—O—A—O，由对称性可知O—B—O和O—A—O，这两过程的动能变化完全一致，两根弹簧的总弹性势能的变化完全一致，故小球动能的变化周期为，两根弹簧的总弹性势能的变化周期为，B正确、C错误；
D．当小球的初速度变为时，匀速运动阶段的时间变为原来的两倍；但是小球与弹簧接触后做简谐运动的周期T0＝2π（m为小球质量，k为弹簧的劲度系数）却是不变的，这样小球做往复运动的周期小于2T，D错误；
故选B。
（智学精选）下端附着重物的粗细均匀木棒，竖直浮在河面，在重力和浮力作用下，沿竖直方向做频率为1Hz的简谐运动：与此同时，木棒在水平方向上随河水做匀速直线运动，如图（a）所示。以木棒所受浮力F为纵轴，木棒水平位移x为横轴建立直角坐标系，浮力F随水平位移x的变化如图（b）所示。已知河水密度为ρ，木棒横截面积为S，重力加速度大小为g。下列说法错误的是（　　）
A．x从0.05m到0.15m的过程中，木棒的动能先增大后减小
B．x从0.21m到0.25m的过程中，木棒加速度方向竖直向下，大小逐渐变小
C．木棒在竖直方向做简谱运动的振幅为
D．木棒的运动为向x轴正方向传播的机械横波，波速为0.4m/s
A．由简谐运动的对称性可知，0.1 m、0.3 m、0.5 m时木棒处于平衡位置；则x从0.05m到0.15m的过程中，木棒从平衡位置下方向上移动，经平衡位置后到达平衡位置上方，速度先增大后减小，所以动能先增大后减小，A正确；
B．x从0.21m到0.25m的过程中，木棒从平衡位置上方靠近最大位移处向下运动（未到平衡位置），加速度竖直向下，大小减小，B正确；
C．设木棒在平衡位置处浸没的深度为h，振幅为A，浮力最大时，有：F1＝ρgS(A＋h)，
浮力最小时，有：F2＝ρgS(h－A)，
联立解得：A＝，故C正确；
D．木棒上各质点相对静止随木棒一起运动，不能看成向x轴正方向传播的机械横波，D错误。
选择错误的选项，故选D。
①简谐运动的条件：F＝－kx；
②简谐运动的对称条件：做简谐运动的物体经过关于平衡位置对称的两位置时，物体的位移、回复力、加速度、动能、势能、速度、动量等均是大小相等的（位移、回复力、加速度的方向相反，速度、动量的方向不确定）；
③弹簧振子做简谐运动的周期公式：T＝；
④简谐运动中动能和势能在发生相互转化，但系统机械能的总量保持不变，即系统机械能守恒；简谐运动的能量由劲度系数和振幅决定，劲度系数越大，振幅越大，振动的能量越大。
波动图像与振动图像
（2020·北京历年真题）一列简谐横波t＝0时刻的波动图像如图1所示，介质中x＝2m处的P质点的振动图像如图2表示。以下说法正确的是（　　）
A．该波的波速为0.2m/s
B．该波沿x轴的正方向传播
C．t＝0.2s时，P点的位移为－5cm
D．t＝0.4s时，P点在平衡位置沿y轴正方向运动
关键信息：图1为t＝0时刻的波动图像 → 波长λ＝4m
图2为x＝2m处的P质点的振动图像 → 振动周期T＝0.8s（注意：质点的振动周期与波的传播周期相同） t＝0时刻，振动方向向上
解题思路：从波的图像与振动图像分别读出波长λ和周期T，利用v＝即可得到波速；通过振动图像得到P质点在t＝0时刻的振动情况，然后在波动图中的P质点用“同侧法”即可判断波的传播方向，灵活应用波的传播方向与质点的振动关系是解题的核心。
A、由图1可知波长λ＝4m，由图2可知周期T＝0.8s，则波速为v＝＝m/s＝5m/s，故A错误；
B、由图2可知，质点P在t＝0时刻沿y轴正方向运动，根据“同侧法”可得该波沿x轴的正方向传播，故B正确；
C、由图2可知t＝0.2s时，质点P在正的最大位移处，位移为5cm，故C错误；
D、由图2知t＝0.4s时，质点P的位移为零，正通过平衡位置向负方向运动，故D错误。
故选：B。
（2022山东模拟）一列沿x轴传播的简谐横波在t＝0时刻的波形如图甲所示，图乙是位于x＝1m的质点N此后的a－t图像，Q是位于x＝10m处的质点。则下列说法正确的是（　　）
A．波沿x轴正方向传播，波源的起振方向向下
B．在5～5.5s时间内，质点M的速度在增大，加速度在减小
C．在t＝12s时，质点Q的位置坐标为（10m，－8cm）
D．在t＝7s时，质点Q开始向下振动
由图乙可知0时刻之后质点N的加速度先为正方向，所以质点N先向下振动，则由a－t图像即可画出质点N的振动图像，如下
A．由振动图像可知t＝0时刻质点N向下振动，在波形图中的质点N处使用“同侧法”即可得到波沿x轴正方向传播。由图甲可知t＝0时刻质点M开始起振，由“同侧法”可知其向上的振动，即波源的起振方向向上。故A错误；
B．t＝0时刻质点M开始向上起振，由图乙可知T＝4s，5～5.5s时间内质点振动时间大于T，小于T，故此时质点M正处于x轴上方且正向平衡位置运动，所以其速度在增大，加速度在减小，故B正确；
CD．波的传播速度为v＝＝m/s＝1m/s，波从质点M处传播到质点Q处所需要的的时间t＝＝7s，故质点Q在t＝7s时刚开始向上起振，故D错误。
在t＝12s时，质点的振动时间t＝(12－7)s＝5s＝，此时质点Q处于x轴上方最大位移处，即位置坐标为（10m，8cm），故C错误；
故选B。
波动图像与振动图像的解题方法：
1、首先根据横纵坐标识别哪个是波形图，哪个是振动图；
2、波形图一般能够得到波长λ、振幅A，而振动图一般能够得到周期T、振幅A；
3、若求波速可以使用v＝（或v＝）；
4、同一质点在同一个时刻，可根据振动图像的斜率得到其振动方向，与其在波形图中的波传播方向位于波形的同一侧。故可用“同侧法”由质点的振动方向来判断波的传播方向，也可由波的传播方向来判断质点的振动方向。
注意事项：
1、振动图像随着时间的推移是把波形往后延伸即可，而波形图像随着时间的推移是把波沿传播方向平移；
2、振动图形反映某一个质点相对平衡位置的位移随时间的变化规律，而波形图反映的是某一时刻介质中各质点相对平衡位置的位移。
波的多解问题
（2022江苏模拟）一列简谐横波沿x轴传播，已知x轴上x1＝1 m和x2＝4 m处质点的振动图像如图甲、图乙所示，则此列波的传播速度不可能是（ ）
A．0.6 m/s B．1 m/s C．2 m/s D．3 m/s
关键信息：简谐横波沿x轴传播 → 传播方向未知
图甲、图乙 → t＝0时刻图甲在平衡位置、图乙在波峰
解题思路：传播方向未知，则可能是水平向左传播，也可能是水平向右传播，故波在传播方向上的不确定导致多解；波形周期性的重复也导致多解。
由图甲可知t＝0时刻x1＝1 m的质点在平衡位置，且振动方向向上，图乙在波峰，故当该列波向左传播时波形图如下，
由于波形周期性的重复可知1 m和4 m之间的距离满足的关系为3m＝(n＋)λ，则由v＝可得波速为v＝ m/s，当n＝0时，可得v＝3 m/s；当n＝1时，可得v＝0.6 m/s；
同理，当波向右传播时波形图如下，
由于波形周期性的重复可知1 m和4 m之间的距离关系满足3m＝(n＋)λ，则v＝ m/s，当n＝0时，可得v＝1 m/s；当n＝1时，可得v＝ m/s≈0.4 m/s。故ABD正确，C错误。
本题选不可能的，故选C。
（2022安徽模拟）甲、乙两列简谐横波分别沿x轴负方向和正方向传播，两波源分别位于x＝0.8m处和x＝－0.6m处，两列波的波速大小相等，波源的振幅均为2cm，两列波在t＝0时刻的波形如图所示，此时平衡位置在x＝－0.2m和x＝0m处的M、N两质点刚要开始振动。已知甲波的周期为0.8s，求：
（1）乙波传播到N质点所需要的时间；
（2）在0～2.5s时间内，N质点沿y轴正方向速度最大的时刻。
（1）甲波的波长为λ甲＝0.8m，甲波的周期为T甲＝0.8s，则波速为：v＝＝1m/s两波波速大小相等，则乙波传播到N质点所需要的时间为：Δt＝＝0.2s
（2）由题图可知乙波的波长为λ乙＝0.4m，则乙波的周期为：T乙＝＝0.4s
甲波使N质点沿y轴正方向速度最大，应有：t甲＝(a＋)T甲（a＝0，1，2……）①
乙波使N质点沿y轴正方向速度最大，应有：t乙＝Δt＋(b＋)T乙（b＝0，1，2……）②
在0～2.5s时间内，欲使两列波相遇后N质点沿y轴正方向速度最大，则必有t＝t甲＝＝t乙 ③
由①②③可得：b＝2a
a、b只能取整数，可得：a＝0、b＝0时，t＝0.4s；a＝1、b＝2时，t＝1.2s；a＝2、b＝4时，t＝2.0s
故在0～2.5s时间内，N质点沿y轴正方向速度最大时刻分别为0.4s、1.2s和2.0s。
一、造成波的多解的主要因素：
①时间周期性：相隔周期整数倍时间的两个时刻的波形完全相同，时间间隔Δt与周期T的关系不明确造成多解；
②空间周期性：沿传播方向上，相隔波长整数倍距离的两个质点的振动情况完全相同，质点间距离Δx与波长λ的关系不明确造成多解；
③传播方向双向性：在一维情况下，波可以沿x轴正向（或负向）传播，波的传播方向不确定造成多解；
④振动方向的双向性：在一维情况下，质点可以沿y轴正向（或负向）振动，质点的振动方向不确定造成多解；
二、波动问题的几种可能性
①质点达到最大位移处，则有正向和负向最大位移两种可能；
②质点由平衡位置开始振动，则有起振方向向上、向下两种可能；
③只告诉波速不指明波的传播方向时，应考虑波沿两个方向传播的可能；
④只给出两时刻的波形，则有多次重复出现的可能；
⑤只给出部分波形或几个特殊点，这样完整波形就有多种情况。
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