力与运动——圆周运动(学案)-2023年新高考物理二轮复习专题讲义

圆周运动
水平面内圆周运动及临界问题
（2021.湖北.检测）水平圆盘上沿直径方向放置以轻绳相连的两个小物块A和B，两物块的质量分别为mA和mB，到圆心的距离分别为rA和rB，且rA＜rB。两物块与圆盘间的最大静摩擦力均为自身重力的μ倍，重力加速度为g。忽略小物块A、B的大小，不考虑轻绳拉力上限，轻绳伸直且最初拉力为零。圆盘绕过圆心的竖直轴转动，转动的角速度ω由零缓慢增大。
（1）当圆盘以角速度ω1匀速转动时，轻绳上开始出现拉力，求ω1的大小；
（2）当圆盘以角速度ω2匀速转动时，小物块A将开始滑动，求ω2的大小；
（3）在角速度从零缓慢地增加到小物块A将开始滑动过程中，小物块A与圆盘间摩擦力大小为fA，试通过计算，在坐标系中作出fA－ω2图象（要求：必须标出每段图象转折点的纵坐标值）。
关键信息：、随圆盘一起绕过圆心的竖直轴转动 → 水平圆盘模型
A、B随圆盘一起绕过圆心的竖直轴转动 → 水平圆盘模型
rA＜rB，且圆盘转速逐渐增大 → 物块滑动的临界状态为，则，，故wB临＜wA临，即B比A先达到临界状态。
解题思路：抓住A刚要滑动和B刚要滑动时的两个临界状态，B所受的静摩擦力刚好达最大值时，细绳刚开始有拉力；A所受的静摩擦力刚好到达最大值时，A、B刚好同时相对圆盘发生滑动。
（1）当角速度较小时，轻绳张力T＝0，
圆盘对A、B的静摩擦力提供其绕轴做圆周运动的向心力，即f0＝mω2r。
当圆盘转速增大时，因为rA＜rB，所以物体B先达到最大静摩擦力，
对B：μmBg＝mBω12rB，即当ω1＝时，轻绳上开始出现拉力。
（2）当ω＞ω1时，轻绳开始出现张力，
对A：fA－T＝mA ω2 rA ①
对B：μmBg＋T＝mBω2rB ②
由①＋②得fA＋μmBg＝(mArA＋mBrB)ω2，则当角速度ω增大时，fA一直增大，当A将要开始滑动时fA＝μmAg，解得ω2＝。
（3）由第（1）问可得，当0＜ω≤ω1时，fA＝mArAω2，令ω＝ω1时，解得fA＝
由第（2）问可得，当ω1＜ω≤ω2时，
fA＝(mArA＋mBrB)ω2－μmBg，
令ω＝ω2时，解得fA＝μmAg
综上作出fA－ω2图象如图所示
（2022.重庆.检测）如图所示，半径为R的半球形陶罐，固定在可以绕竖直轴转动的水平转台上，转台转轴与过陶罐球心O的对称轴OO′重合。转台以一定角速度匀速转动，一质量为m的小物块（可视为质点）落入陶罐内，经过一段时间后小物块随陶罐一起转动且相对罐壁静止，小物块与陶罐内壁间的动摩擦因数为μ，且它和O点的连线与OO′之间的夹角为θ，转动角速度为ω，重力加速度为g。则下列说法正确的是（ ）
A．当ω2＝时，小物块与陶罐内壁间的弹力为mgcosθ
B．当ω2＝时，小物块与陶罐内壁间的弹力为
C．当ω2＝时，小物块与陶罐内壁间的摩擦力沿罐壁向上
D．当ω2＝时，小物块将向陶罐上沿滑动
ABC、当摩擦力恰好为零，受力分析如图所示，支持力和重力的合力提供向心力，设此时角速度为ω0，有：mgtanθ＝mRsinθω02，
解得ω02＝，此时小物块与陶罐内壁间的弹力为N＝，故AC错误，B正确；
D、当角速度最大时，摩擦力方向沿罐壁切线向下达最大值，超过最大值物块将向陶罐上沿滑动，受力分析图如下：
设此最大角速度为ω，
水平方向：fcosθ＋Nsinθ＝mRsinθω2，
竖直方向：fsinθ＋mg＝Ncosθ，其中f＝μN，
联立解得ω2＝，D错误，故选B。
水平面内圆周运动常见的三种临界情况分析：
临界情况 典型模型 临界条件分析
相对滑动的临界条件 两物体相对静止且存在着摩擦力时，二者相对滑动的临界条件是静摩擦力刚好达到最大值
接触与分离的临界条件 两物体恰好接触或分离，临界条件是弹力Fn＝0
绳子断裂与松弛的临界条件 绳子所能承受的张力是有限度的，绳子恰不断裂的临界条件是绳中张力等于它所能承受的最大张力，绳子松弛的临界条件是绳子张力为0
竖直面内圆周运动及临界问题
（2022.海南.检测） 如图所示，一质量为m＝0.1kg的小球以竖直向上的初速度v0＝10m/s冲入一管道。该管道为圆管道，半径为R＝5m。已知小球的入口与圆心在同一高度。经过管道后，它又沿着水平导轨进入另一半径为r的圆轨道，且恰好能通过圆轨道的最高点，若所有衔接处均不损失机械能，不计摩擦，小球直径以及管道内径可忽略，圆轨道和圆轨道底端均与水平导轨相切，g取10 m/s2。下列说法正确的是（ ）
A．小球到达管道最高点时对管道的压力为零
B．小球到达管道最高点时速度为m/s
C．小球到达管道最低点时对管道的压力为6N
D．圆轨道半径r为4m
关键信息：光滑圆管道 → 轻杆模型，最高点速度v≥0
光滑圆轨道 → 轻绳模型，恰好能通过最高点的临界v＝
解题思路：“两点”即最高点和最低点，在最高点和最低点对小球受力分析，找出向心力的来源，根据牛顿第二定律列方程，“一过程”，即从最高点到最低点（或从最低点到最高点），用动能定理或机械能守恒定律将这两点联系起来。
B．小球从出发点到管道最高点，由动能定理可得－mgR＝mv12－mv02，解得小球到达管道最高的点时速度v1＝0，选项B错误；
A．小球在最高点时，小球对管道的压力等于小球的重力，选项A错误；
C．小球从出发点到管道最低点，由动能定理可得mgR＝mv22－mv02，解得小球到达管道最低点时速度v2＝m/s，在最低点，由牛顿第二定律F－mg＝，解得管道最低点对小球的支持力F＝5N，再结合牛顿第三定律可知，选项C错误；
D．小球刚好通过圆轨道最高点，在最高点速度v满足mg＝，解得v＝，小球从出发点到圆轨道最高点由动能定理可得：mgR－2mgr＝mv2－mv02，联立得：r＝4m，故D正确。
（2022.广东.检测）如图甲所示，陀螺可在圆轨道外侧旋转而不脱落，好像轨道对它施加了魔法一样，被称为“魔力陀螺”。它可等效为一质点在圆轨道外侧运动的模型，如图乙所示。在竖直平面内固定的强磁性圆轨道半径为R，A、B两点分别为轨道的最高点与最低点。质点沿轨道外侧做完整的圆周运动，所受圆轨道的强磁性引力始终指向圆心O且大小恒为F，当质点以速率v＝通过A点时，对轨道的压力为其重力的8倍，不计摩擦和空气阻力，质点质量为m，重力加速度为g，则（ ）
A．强磁性引力的大小F＝7mg
B．质点在A点对轨道的压力小于在B点对轨道的压力
C．只要质点能做完整的圆周运动，则质点对A、B两点的压力差恒为5mg
D．若强磁性引力大小恒为2F，为确保质点做完整的圆周运动，则质点通过B点的最大速率为
A、质点在A点，由牛顿第二定律有：F＋mg－FA＝，根据牛顿第三定律有：FA＝FA′＝8mg，联立解得：F＝8mg，选项A错误；
BC、质点能完成圆周运动，则在A点根据牛顿第二定律有：F＋mg－NA＝，根据牛顿第三定律有：NA＝NA′；在B点，根据牛顿第二定律有：F－mg－NB＝，根据牛顿第三定律有：NB＝NB′；从A点到B点过程，根据动能定理有：mg 2R＝－。
联立解得：NA′－NB′＝6mg，选项BC错误；
D、若强磁性引力大小恒为2F，在B点根据牛顿第二定律有2F－mg－FB＝，当FB＝0时，质点速度最大，联立解得vB′＝，故选D。
解决竖直平面内的圆周运动临界问题的解题思路：
斜面上的圆周运动及临界问题
（2022.河北.月考）如图所示，一倾斜的匀质圆盘可绕垂直于盘面的固定中心轴转动，盘面上离转轴距离为l＝6.25cm处有一质量为m＝0.4kg的小物体（可视为质点）静止在倾斜的匀质圆盘上，物体与盘面间的动摩擦因数为μ＝，盘面与水平面的夹角为θ＝30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度g取10m/s2。
（1）若小物体与圆盘始终保持相对静止，求圆盘匀速转动角速度的最大值；（计算结果保留根式）
（2）若小物体与圆盘始终保持相对静止，当圆盘匀速转动的角速度达最大值时，求小物体运动到最高点时所受摩擦力；
（3）若小物块在最高点不受摩擦力，求此时小物块的角速度和线速度大小。（计算结果保留根式）
关键信息：小物体随圆盘一起做匀速转动 → 斜面模型＋匀速圆周运动；
小物体在圆盘最低点 → 所受摩擦力最大，临界点1：角速度最大；
小物体在圆盘最高点 → 所受摩擦力为零，临界点2：只有重力沿斜面向下的分力提供向心力。
解题思路：“两点”即最高点和最低点，在最高点和最低点对小球受力分析，找出向心力的来源，根据牛顿第二定律列方程求解。
（1）小物块在最低点相对圆盘即将滑动时，圆盘匀速转动角速度最大，受力分析如图所示：
f1＝μmgcos30°
由牛顿第二定律有μmgcos30°－mgsin30°＝，
代入数据解得ω1＝rad/s；
（2）设小物体在最高点所受摩擦力大小为f，方向沿斜面向上，受力分析如图所示：
根据牛顿第二定律得mgsin30°－f＝，
代入数据解得f＝1N，方向沿圆盘面向上；
（3）小物块在最高点不受摩擦力，根据牛顿第二定律有
mgsin30°＝，
解得小物块在最高点不受摩擦力时的角速度ω2＝，
代入数据解得ω2＝rad/s，
小物块在最高点不受摩擦力时的线速度大小v＝ω2l＝m/s
（2021.江苏.检测）如图所示，两个质量均为m的小物块a和b（可视为质点），静止在倾斜的匀质圆盘上，圆盘可绕垂直于盘面的固定轴转动，a到转轴的距离为l，b到转轴的距离为2l，物块与盘面间的动摩擦因数为，盘面与水平面的夹角为30°。设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，重力加速度大小为g，若a、b随圆盘以角速度ω匀速转动，下列说法正确的是（ ）
A．a在最高点时所受摩擦力可能为0 B．a在最低点时所受摩擦力可能为0
C．ω＝是a开始滑动的临界角速度 D．ω＝是b开始滑动的临界角速度
A．假设在最高点，若a所受的摩擦力为零，仅靠重力沿圆盘向下的分力提供向心力，有：mgsinθ＝mlω2，在最低点，有f－mgsinθ＝mlω2，解得最低点的摩擦力f＝mg，而最大静摩擦力fm＝μmgcosθ＝0.75mg，可知最高点a的摩擦力不会为零，选项A错误；
B．在最低点，a靠静摩擦力和重力沿圆盘方向的分力提供向心力，合力指向圆心，则静摩擦力大于重力沿圆盘方向的分力，选项B错误；
C．在最低点，对a，根据牛顿第二定律得，μmgcos30°－mgsin30°＝mlω2，解得a开始滑动的临界角速度ω＝，选项C错误；
D．在最低点，对b，根据牛顿第二定律得，μmgcos30°－mgsin30°＝m 2lω'2，解得b开始滑动的临界角速度ω'＝，选项D正确；
故选D。
求解斜面上圆周运动问题的“三个关键”：
（1）物体在垂直于斜面方向上的合力一定为零；
（2）物体在斜面内指向圆心方向的合力提供向心力；
（3）物体经过斜面上最高点、最低点时的临界条件。
斜面上的圆周运动要根据具体情境，可以借助于处理竖直面内的圆周运动模型的方法分析解决。