能量与动量——机械能守恒定律的应用(学案)-2023年新高考物理二轮复习专题讲义

机械能守恒定律的应用
单个物体机械能守恒的应用
（2021.黑龙江.月考）如图所示，粗细均匀、两端开口的U形管内装有同种液体，开始时两边液柱高度差为h，管中液柱总长度为4h，后来打开阀门让液体自由流动，不计液体产生的摩擦阻力，当两边液柱高度相等时，右侧液柱下降的速度为（ ）
A． B． C． D．
关键信息：不计液体产生的摩擦阻力 → 满足机械能守恒
两边液柱高度差为h，管中液柱总长度为4h → 确定重力势能的改变量
解题思路：利用等效的方法确定液体减小的重力势能，然后利用机械能守恒，即系统减小的重力势能与系统增加的动能相等进行解答。
设管的横截面积为S，液体的密度为ρ，打开阀门后，液体开始运动，不计液体产生的摩擦阻力，液体机械能守恒。两边液柱相平时，相当于右管高的液柱移到左管中，重心下降的高度为，即右管高的液柱下降减少的重力势能转化为全部液体的动能，由机械能守恒定律得：＝，解得v＝，故A正确。
（2022·浙江·月考）如图所示，MN为光滑的水平面，NO是一长度S＝1.25m、倾角为θ＝37°的光滑斜面（斜面体固定不动），OP为一粗糙的水平面。MN、NO间及NO、OP间用一小段光滑圆弧轨道相连。一条质量为m＝2kg，总长L＝0.8m的均匀柔软链条开始时静止的放在MNO面上，其AB段长度为L1＝0.4m，链条与OP面的动摩擦因数μ＝0.5，（g＝10m/s2，sin37°＝0.6，cos37°＝0.8），现自由释放链条，求：
（1）链条的A端滑到O点时，链条的速率为多大？
（2）链条在水平面OP停下时，其C端离O点的距离为多大？
（1）链条的A端滑到O点的过程中，因为只有重力做功，所以机械能守恒。
设水平面为重力势能的零点。链条开始运动时的机械能为E1，
AB段链条质量为m1＝1.0kg，BC段链条质量为m2＝1.0kg。
E1＝m2gSsinθ＋m1g(Ssinθ sinθ)
因为S＞L，链条的A端滑到O点时，C点已在斜面上，设此时的机械能为E2，
E2＝mgsinθ＋mv2
由机械能守恒定律E1＝E2，代入数据得：v＝3m/s
（2）根据题意，链条开始进入水平面阶段，摩擦力是变力。
但摩擦力随距离均匀增大，可以用平均摩擦力求摩擦力做功，
从链条的A端滑到O点到最终链条停下的过程，
设链条在水平面OP停下时，其C端离O点的距离x，由动能定理得：
mgsinθ μmgL μmgx＝0 mv2
解得：x＝0.98m。
1．应用机械能守恒定律的注意事项：
（1）应用机械能守恒定律时，需要先对研究对象在所研究的过程中机械能是否守恒做出判断。
（2）列方程时，选取的角度不同，表达式也会不同，对参考平面的选取要求也不一定相同。
（3）在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。
2．非质点模型机械能守恒的处理：
（1）像“链条”“液柱”类的物体，其在运动过程中往往将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看成质点来处理。
（2）即使不能看成质点来处理，但若只有重力做功，则物体整体机械能守恒。一般情况下，可将物体分段处理，确定形状规则、质量分布均匀的物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。一般情况下物体各部分速度大小相同，动能可以用表示。
多物体系统机械能守恒的应用
（2022·福建·月考）如图所示，滑块2套在光滑的竖直杆上并通过细绳绕过光滑定滑轮连接物块1，物块1又与一轻质弹簧连接在一起，轻质弹簧另一端固定在地面上。开始时用手托住滑块2，使绳子刚好伸直处于水平位置但无张力，此时弹簧的压缩量为d。现将滑块2从A处由静止释放，经过B处的速度最大，到达C处的速度为零，此时物块1还没有到达滑轮位置。已知滑轮与杆的水平距离为3d，AC间距离为4d，不计滑轮质量、大小及摩擦。下列说法中正确的是（ ）
A．滑块2下滑过程中，机械能先增大后减小
B．滑块2经过B处时的加速度不等于零
C．物块1和滑块2的质量之比为2∶1
D．若滑块2质量增加一倍，其它条件不变，仍让滑块2由A处从静止滑到C处，滑块2到达C处时，物块1和滑块2的速度之比为5∶4
关键信息：光滑的竖直杆、不计滑轮质量、大小及摩擦 → 整个系统满足机械能守恒
已知滑轮与杆的水平距离为3d，AC间距离为4d → 确定物块1上升的高度以及弹簧对物块1和系统的做功情况
滑块2经过B处的速度最大 → 加速度为零
滑块2套在光滑的竖直杆上并通过细绳绕过光滑定滑轮连接物块1 → 存在速度关联，物块1与滑块2沿绳子方向上的速度相等
解题思路：根据功能关系对滑块2进行做功分析，确定滑块2的机械能变化情况；再根据牛顿运动定律分析滑块2的受力情况，确定滑块2的加速度变化情况；利用系统机械能守恒定律处理物块1、滑块2以及弹簧构成的系统，确定物块1和滑块2的质量关系；利用速度关联问题中的速度关系，分析物块1和滑块2的速度关系。
AB．对滑块2下滑过程中进行分析，绳子拉力一直对滑块2做负功，所以滑块2的机械能一直减小；滑块2下滑过程中经过B处时速度最大，根据牛顿第二定律可得加速度为0，所以A、B错误。
C．对物块1静止时分析，弹簧压缩量为x1＝d；当2下滑到C点时，根据几何关系，物块1上升的高度为： ＝ 3d＝2d，则当物体2到达C时弹簧伸长的长度为d，此时弹簧的弹性势能等于物体1静止时的弹性势能，对于物块1、滑块2及弹簧组成的系统，由机械能守恒定律应有：m1g 2d＝m2g 4d，得m1∶m2＝2∶1，故C正确。
D．设绳子与竖直杆之间的夹角为θ，根据物块1和2沿绳子方向的分速度大小相等，则得v2cosθ＝v1，其中cosθ＝，则得滑块2到达C处时，物块1和滑块2的速度之比v1∶v2＝4∶5，故D错误。
故选：C。
（2022·辽宁·月考）质量不计的直角形支架两端分别连接质量为2m的小球A和质量为3m的小球B。支架的两直角边长度分别为2L和L，支架可绕固定轴O在竖直平面内无摩擦转动，如图所示。开始时OA边处于水平位置，取此时OA所在水平面为零势能面，现将小球A由静止释放，求：
（1）小球A到达最低点时，整个系统的总机械能E；
（2）小球A到达最低点时的速度大小vA；
（3）当OA直角边与水平方向的夹角θ为多大时，小球A的速度达到最大？并求出小球A的最大速度v。
（1）由题意得，小球A从静止至到达最低点的过程中，两球组成的系统机械能守恒，则小球A到达最低点时，整个系统的总机械能为：E＝Ep初＝ 3mgL
（2）小球A从静止至到达最低点的过程中，根据系统机械能守恒可得：
3mgL＝ 2mg·2L＋＋
由题意得两球的角速度相同，由v＝ωr知A、B两球的线速度之比为vA∶vB＝2L∶L＝2∶1
联立解得：vA＝
（3）当OA直角边与水平方向的夹角为θ时，由系统机械能守恒可得：
3mgL＝ 2mg·2Lsinθ 3mg·Lcosθ＋＋
结合vA∶vB＝2∶1
解得：＝gL(4sinθ＋3cosθ) gL＝gLsin(θ＋α) gL
其中tanα＝，α＝37°，
根据数学知识可知，当θ＝53°时，有最大值，
解得小球A的速度最大值为：v＝
1．轻绳连接：
（1）分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。
（2）用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。
（3）对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。
2．轻杆连接
（1）用杆连接的两个物体，其线速度大小一般有以下两种情况：
a．若两物体绕某一固定点做圆周运动，根据角速度ω相等确定线速度v的大小。
b．“关联速度法”：两物体沿杆方向速度大小相等。
（2）杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。
（3）对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。
3．轻弹簧连接
（1）由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。
（2）两点注意:
①对同一弹簧，弹性势能的大小由弹簧的形变量完全决定，无论弹簧伸长还是压缩。
②物体运动的位移与弹簧的形变量或形变量的变化量有关。
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