能量与动量——功能关系的理解和应用(学案)-2023年新高考物理二轮复习专题讲义

功能关系的理解和应用
功和功率
（2022山东模拟）“复兴号”动车在世界上首次实现了速度350km/h状态下的自动驾驶，成为我国高铁自主创新的又一重大标志性成果。某列质量m＝8.5×104 kg的动车，由静止开始以加速度a＝2m/s2匀加速启动，经时间t1达到额定功率P＝8.0×103 kw后，保持该功率在平直轨道上行驶，经时间t2＝4min达到最大速度vm＝360km/h。设动车行驶过程所受到的阻力大小保持不变，则下列说法正确的是（ ）
A．动车达到额定功率后仍然做匀加速运动
B．动车匀加速行驶时的牵引力为2.0×105 N
C．动车匀加速行驶所用的时间为t1＝50s
D．动车加速过程中的牵引力做的功W＝1.984×109 J
关键信息：加速度a＝2m/s2匀加速启动 → 类比“机车恒定加速度启动”运动模型
达到额定功率P＝8.0×103 kw后，保持该功率在平直轨道上行驶 → 类比“机车恒功率运行”模型
解题思路：
以恒定加速度（牵引力恒定）启动，结合牛顿第二定律F－F阻＝ma以及P＝Fv可知，速度增大，动车功率相应增加，当P＝P额时，匀加速运动结束，此时满足：v1＝at1＝＝；
以恒功率运行时，根据牛顿第二定律F－F阻＝ma以及F＝可知， 速度增大， 牵引力减小，动车加速度逐渐减小，当F＝F阻时，速度达到最大值，此后做匀速运动，此时满足：F＝F阻＝。
A．动车达到额定功率后，根据P＝Fv可知随着速度的增大，牵引力减小，结合牛顿第二定律F－f＝ma可知，动车做加速度减小的加速运动，故A错误；
B．动车行驶到最大速度时，有F＝f
根据P＝Fv可得P＝fvmax
解得：f＝8.0×104 N
因为阻力大小保持不变，动车匀加速行驶时，根据牛顿第二定律有：a＝
解得此时的牵引力为：F＝2.5×105 N，故B错误
C．设动车匀加速行驶达到额定功率P＝8.0×103 kw时的速度为v1，匀加速运动的时间为t1
根据v1＝，解得v1＝32m/s
根据t1＝，动车匀加速行驶所用的时间为16s，故C错误；
D．根据x＝at2可得，动车匀加速运动的位移为256m
动车加速过程中的牵引力做的功：W＝Fx＋P额t2
解得W＝1.984×109J，D正确。
故选D。
（2021·湖南历年真题）“复兴号”动车组用多节车厢提供动力，从而达到提速的目的。总质量为m的动车组在平直的轨道上行驶。该动车组有四节动力车厢，每节车厢发动机的额定功率均为P，若动车组所受的阻力与其速率成正比（F阻＝kv，k为常量），动车组能达到的最大速度为vm。下列说法正确的是（　　）
A．动车组在匀加速启动过程中，牵引力恒定不变
B．若四节动力车厢输出功率均为额定值，则动车组从静止开始做匀加速运动
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶的速度为
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，则这一过程中该动车组克服阻力做的功为－Pt
A．对动车受力分析，由牛顿第二定律有F－F阻＝ma，若动车组在匀加速启动，即加速度a恒定，但F阻＝kv随速度增大而增大，则牵引力也随阻力增大而变大，故A错误；
B．根据动力车厢输出功率均为额定值，则总功率为4P，由牛顿第二定律有－kv＝ma，
可知加速启动的过程，牵引力减小，阻力增大，则加速度逐渐减小，故B错误；
C．若四节动力车厢输出的总功率为2.25P，则动车组匀速行驶时加速度为零，有＝kv
而以额定功率匀速时，有＝kvm，联立解得v＝vm，故C正确；
D．若四节动力车厢输出功率均为额定值，动车组从静止启动，经过时间t达到最大速度vm，由动能定理可知4Pt－WF阻＝－0，可得动车组克服阻力做的功为WF阻＝4Pt－，故D错误；
故选C。
1．无论哪种启动过程，机车的最大速度都等于其匀速运动时的速度，即vm＝；
2．机车以恒定加速度启动的过程中，匀加速过程结束时，功率最大，但速度不是最大，v＝＜vm＝；
3．机车以恒定功率启动时，牵引力做的功W＝P额t。由动能定理得：P额t－F阻x＝ΔEk，此式经常用于求解机车以恒定功率启动过程的位移大小和时间。机车以恒定加速度启动时，牵引力做的功可以分段求解，匀加速阶段可以利用功的定义式求解，即整个加速过程牵引力做的功可以表示为W＝Fx＋P额t（式中x为匀加速运动的位移，t为达到额定功率后变加速阶段所用时间）。
动能定理及其应用
（2022·浙江模拟）我国选手谷爱凌在北京冬奥会自由式滑雪女子U型场地技巧决赛中夺得金牌。如图所示，某比赛用U型池场地长度L＝160m、宽度d＝20m、深度h＝7.25m，两边竖直雪道与池底平面雪道通过圆弧雪道连接组成，横截面像“U”字形状，池底雪道平面与水平面夹角为θ＝20°。为测试赛道，将一质量m＝1kg的小滑块从U型池的顶端A点以初速度v0＝ m/s滑入；滑块从B点第一次冲出U型池，冲出B点的速度vB＝10m/s，与竖直方向夹角为α（α未知），再从C点重新落回U型池（C点图中未画出）。已知A、B两点间直线距离为25m，不计滑块所受的空气阻力，sin20°＝0.34，cos20°＝0.94，tan20°＝0.36。
（1）A点至B点过程中，求小滑块克服雪道阻力所做的功Wf；
（2）忽略雪道对滑块的阻力，若滑块从池底平面雪道离开，求滑块离开时速度v的大小；
（3）若保持vB大小不变，调整速度vB与竖直方向的夹角为α0时，滑块从冲出B点至重新落回U型池的时间最长，求tanα0。
关键信息：已知A到B过程的初末速度以及A、B两点间直线距离 → 求出A、B位置的动能以及重力做功
滑块从池底平面雪道离开 → 确定初末位置以及重力做功
保持vB大小不变，调整速度vB与竖直方向的夹角为α0 → 利用运动的合成与分解进行分析求解
解题思路：已知A、B初末状态的动能以及高度差，结合动能定理即可求解雪道阻力所做的功；在忽略阻力的情况下，已知初末位置的高度差，同样利用动能定理可求出末动能（末速度）；关于斜抛运动，常常利用运动的分解思想进行相关的计算以及判断。
（1）小滑块从A点至B点过程中，由动能定理得：mgxsin20°－Wf＝－
由几何关系得x＝，解得Wf＝1.35J
（2）忽略雪道对滑块的阻力，滑块从A点运动到池底平面雪道离开的过程中，由动能定理得：
mgLsin20°＋mghcos20°＝mv2－，代入数据解得v＝35m/s
（3）当滑块离开B点后设速度方向与U型池斜面的夹角为θ，沿U型池斜面方向分解速度及加速度vy＝vBsinθ，vx＝vBcosθ，ay＝gcos20°，ax＝gsin20°，vy＝ayt1，t＝2t1
由此可知，当vy最大时，滑块从冲出B点至重新落回U型池的时间最长，此时θ＝90°，即vB垂直于U型池斜面，所以α0＝20°，tanα0＝＝＝。
（2022·河北月考）冰滑梯是东北地区体验冰雪运动乐趣的设施之一。某冰滑梯的示意图如图所示，螺旋滑道的摩擦可忽略，倾斜滑道和水平滑道与同一滑板间的动摩擦因数μ相同，不同滑板与滑道的动摩擦因数μ不同，但是μ满足μ0≤μ≤1.2μ0。在设计滑梯时，要确保所有游客在倾斜滑道上匀减速下滑，且滑行结束时停在水平滑道上，以下L1、L2的组合符合设计要求的是（ ）
A．L1＝，L2＝ B．L1＝，L2＝
C．L1＝，L2＝ D．L1＝，L2＝
设斜面倾角为θ，游客在倾斜滑道上匀减速下滑，则需满足：mgsinθ＜μmgcosθ
可得：μ＞tanθ＝
即：L1＞
因μ0≤μ≤1.2μ0，确保所有游客在倾斜滑道上匀减速下滑，所以：L1＞
滑行结束时停在水平滑道上，由动能定理得：mg 2h－μmgcosθ －μmgx＝0
其中0＜x≤L2，可得：L1＜，L1＋L2≥
代入μ0≤μ≤1.2μ0，可得：L1＜，L1＋L2≥
综合需满足：＜L1＜，L1＋L2≥
ABD错误，C正确。
故选C。
应用动能定理的四点提醒：
1．动能定理用于处理单个物体的运动过程，由于不涉及加速度及时间，比动力学方法要简捷。
2．动能定理表达式是一个标量式，在某个方向上应用动能定理是没有依据的。
3．物体在某个运动过程中包含几个运动性质不同的小过程（如加速、减速的过程），对全过程应用动能定理，往往能使问题简化。
4．多过程往复运动问题一般应用动能定理求解比较简洁。
功能关系及其应用
（2022·湖北模拟）如下图所示，楔形木块abc固定在水平面上，粗糙斜面ab和粗糙斜面bc与水平面的夹角相同，顶角b处安装一个定滑轮。质量分别为M、m（M大于m）的滑块1、2，通过不可伸长的轻绳跨过定滑轮连接，轻绳与斜面平行。两滑块由静止释放后，沿斜面做匀加速运动。若不计滑轮的质量和摩擦，两斜面粗糙程度相同，在两滑块沿斜面运动的过程中（ ）
A．轻绳对滑块2做的功等于滑块2增加的机械能
B．重力对滑块1做的功小于滑块1减少的重力势能
C．轻绳对滑块2做的功等于滑块2增加的动能与滑块2克服摩擦力所做的功之和
D．两滑块与轻绳组成的系统损失的机械能等于滑块1、滑块2克服摩擦力所做的功之和
关键信息：示意图形 → 斜面模型、连接体模型
粗糙斜面ab和粗糙斜面bc → 机械能不守恒
解题思路：
AC．对滑块2进行分析，在其匀加速上滑的过程中，受力分析如图所示
根据功能关系，拉力T与摩擦力f做功之和等于滑块2增加的机械能，故A错误。同理可知，轻绳对滑块2做的功等于滑块2增加的动能、增加的重力势能与滑块2克服摩擦力所做的功之和，故C错误。
B．根据重力做功与重力势能变化的关系可知，重力对滑块1做的功等于滑块1减少的重力势能，故B错误。
D．对两滑块组成的系统进行分析，可知除重力弹力以外的力做功，只有摩擦力对系统做负功，根据功能关系可知，除重力弹力以外的力做功，将导致机械能变化。摩擦力做负功，造成系统的机械能损失，所以两滑块与轻绳组成的系统损失的机械能等于滑块1、2克服摩擦力做的功，所以D正确。
故选D
（2021云南月考）如图所示，绝缘细杆倾斜放置，小球M套在杆上可沿杆滑动，用弹簧与固定小球N相连，杆和弹簧处于同一竖直平面内，现使M从与小球N等高的A位置由静止释放，M运动到B点时弹簧与杆垂直且为原长，运动到C点时速度减为零，M在A，C两点时弹簧长度相同。下列说法正确的是（ ）
A．M从A到C的过程，两小球重力势能一直减小
B．M在A、C两点的加速度大小一定相等
C．M从A到B的过程，重力势能减少量大于其克服摩擦力做的功
D．M从A到B的过程，两小球重力势能减少量与弹簧弹性势能的减少量之和等于M在B点处的动能
A．M从A到C的过程，N的重力势能不变，M的重力势能一直减小，所以两小球重力势能一直减小，故A正确；
B．设M运动到A、C两点时弹簧的弹力大小为F，摩擦力大小为f，杆与水平方向的夹角设为α，
根据牛顿第二定律得：
M在A点有：mgsinα＋Fcosα－f＝maA
M在C点有：Fcosα＋f－mgsinα＝maC，对比可知，由于f与mgsinα的大小关系不能判断，所以aA与aC的大小关系不能确定，故B错误；
C．由于M从A位置静止释放，到C时速度为0，且M在A、C两点时弹簧长度相同，弹性势能相同，所以M从A到C重力势能减小量等于其克服摩擦力做功，根据对称性可知，M从A运动到B的过程中，重力势能减小量也等于其克服摩擦力做功，故C错误；
D．M从A到B的过程，两小球重力势能减少量与弹簧弹性势能的减少量之和等于M在B点处的动能和M克服摩擦力做的功之和，故D错误。
故选A
几个重要的功能关系：
1．重力做的功等于重力势能减少量，即WG＝－ΔEp ；
2．弹力做的功等于弹性势能减少量，即W弹＝－ΔEp；
3．合力做的功等于动能的变化，即W＝ΔEk；
4．重力（或系统内弹力）之外的其他力做的功等于机械能的变化，即W其他＝ΔE；
5．系统内一对滑动摩擦力做的功是系统内能改变的量度，即Q＝Ff x相对；
6．电场力做的功等于电势能的减少量，即W电＝－ΔEp；
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