根据实际问题选择函数类型
一、选择题（共20小题）
1、计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ）
A、6E B、72
C、5F D、B0
2、某地西红柿2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
根据表中数据，下列函数模型中可以描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系的是（ ）
A、Q=at+b B、Q=at2+bt+c，0＜a＜
C、Q=a?bt D、Q=a?logbt21世纪教育网
3、将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（ ）
A、6.5m B、6.8m
C、7m D、7.2m
4、某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，为准确研究其价格走势，下面给出四个价格模拟函数中适合的是（其中为p、q常数，0＜q＜4，且x∈（0，5））（ ）
A、f（x）=p?qx B、f（x）=px2+qx+1
C、f（x）=plnx+qx2 D、f（x）=x（x﹣q）2+p
5、某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（ ）
A、10% B、9%
C、11% D、11%
6、油槽储油20m3，若油从一管道等速流出，则50min流完．关于油槽剩余量Q（m3）和流出时间t（min）之间的关系可表示为（ ）
A、 B、
C、 D、
7、据报道，全球变暖，使北冰洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此规律，设2009年的冬季冰盖面积为m，从2009年起，经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系是（ ）
A、y= B、y=
C、y=0.9550?x?m D、y=（1﹣0.0550?x）?m
8、一等腰三角形的周长是20，则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是（ ）
A、y=20﹣2x（x≤10）
B、y=20﹣2x（x＜10）
C、y=20﹣2x（5≤x≤10）
D、y=20﹣2x（0＜x＜10）21世纪教育网
9、某地一个中型水库，在无洪水时上游来水量a（立方米/小时），与发电用水量相同，水库保持正常蓄水量m（万立方米）．因为8月的大雨，上游形成48小时的洪水流入水库，第20小时洪水到达高峰b（立方米/小时），以后逐步消退至正常水量a（立方米/小时）．为保证下游防洪，水库拦蓄洪水（除正常发电用水外，不增加排水量），整个过程水库蓄水量未超过最大蓄水量n（万立方米）．下面流入水库的流量g（t）与水库蓄水量f（t）（t为小时）的图象中，比较符合上述情况的一组是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（ ）
A、f1（x）=x2 B、f2（x）=4x
C、f3（x）=log2x D、f4（x）=2x
11、某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为（ ）
A、10% B、12%
C、25% D、40%
12、今有一组实验数据如下：
t
1.99
3.00
4.00
5.10
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A、v=log2t B、v=t
C、v= D、v=2t﹣2
13、在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%（a，b＞0，a≠b），则x与y的函数关系式是（ ）
A、y=x B、y=x
C、y=x D、y=x
14、如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）
A、第3分时汽车的速度是40千米/时
B、第12分时汽车的速度是0千米/时21世纪教育网
C、从第3分到第6分，汽车行驶了120千米
D、从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
15、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（ ）
A、20% B、30%
C、40% D、50%
16、从盛装20升纯酒精的容器里倒出1升酒精，然后用水加满，再倒出1升酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果第k次时共倒出了纯酒精x升，则倒出第k+1次时，共倒出了纯酒精f（x）的表达式是（ ）
A、 B、
C、 D、
17、某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差（ ）
A、10元 B、20元
C、30元 D、元
18、某厂同时生产两种成本不同的产品，由于市场销售情况发生变化，A产品连续两次分别提价20%，B产品连续两次分别降价20%，结果A、B两种产品现在均以每件相同的价格售出，则现在同时售出A、B两种产品各一件比原价格售出A、B两种产品各一件的盈亏情况为（ ）
A、亏 B、盈
C、不盈不亏 D、与现在售出的价格有关
19、某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时不满意度为，则此人应选（ ）
A、1楼 B、2楼
C、3楼 D、4楼
20、为了提高某种农作物的产量，农场通常采用喷施药物的方法控制其高度．已知该农作物的平均高度y（米）与每公顷所喷施药物的质量x（千克/公顷）之间的关系如图所示，经验 表明，该种农作物高度在1.25米左右时，它的产量最高，那么每公顷应喷施药物 （ ）千克．
A、2.5 B、3
C、3.5 D、4
二、填空题（共6小题）
21、函数y=|x|的图象与x轴、定直线x=﹣1及动直线x=t（t∈[﹣1，1]）所围成图形（位于两条平行直线x=﹣1与x=t之间的部分）的面积为S，则S关于t的函数关系式S=f（t）= _________ ．
22、某工程由下列工序组成，则工程总时数为 _________ 天．21世纪教育网
工序
a
b
c
d
e
f
紧前工序
﹣
﹣
a、b
c
c
d、e
工时数（天）
2
3
2
5
4
1
23、把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是Q1，空气温度是Q0，t分钟后温度Q可由公式Q=Q0+（Q1﹣Q0）e﹣tln1.5求得，现在60？的物体放在15？的空气中冷却，当物体温度为35°时，冷却时间t= _________ 分钟．
24、甲用1000元买入一种股票，后将其转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票卖给甲，乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将股票售出，甲在上述交易中盈利 _________ 元．
25、据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数关系式分别是y甲=ex和y乙=x2．显然，当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是 _________ ．
26、如图，在坐标平面内△ABC的顶点A（0，2），B（﹣1，0），C（1，0），有一个随t变化的带形区域，其边界为直线y=t和y=t+1，设这个带形区域覆盖△ABC的面积为S，试求以t为自变量的函数S的解析式，并画出这个函数的图象．
三、解答题（共4小题）
27、在一条公路上，每隔100km有个仓库（如图），共有5个仓库．一号仓库存有10t货物，二号仓库存20t，五号仓库存40t，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km需要0.5元运输费，那么要多少才行？
28、某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得相应的补贴分别为p，mln（q+1）（m＞0）万元已知厂家把价值为10万元的A、B两种型号的电视机投放市场，且A、B两种型号的电视机投放金额都不低于1万元（精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4）．
（1）当时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；
（2）讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况．
29、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）（2）；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）21世纪教育网
30、（1）证明下列命题：
已知函数f（x）=kx+p及实数m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，则对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）利用（1）的结论解决下列各问题：
①若对于﹣6≤x≤4，不等式2x+20＞k2x+16k恒成立，求实数k的取值范围．
②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞﹣1．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、计算机中常用十六进制是逢16进1的计数制，采用数字0～9和字母A～F共16个计数符号，这些符号与十进制的数的对应关系如下表：21世纪教育网
16进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
10进制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六进制表示：E+D=1B，则A×B=（ ）
A、6E B、72
C、5F D、B0
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：计算题。
分析：先算出十进制下的结果，再由进位制下转换的规则转换．
解答：解：由表，10×11=110，
110÷16商是6余数是14，
故A×B=6E
应选A．
点评：考查不同进位制之间转化的规则．
2、某地西红柿2月1日开始上市，通过市场调查，得到西红柿的种植成本Q（单位：元/100kg）与上市时间t（单位：天）的数据如下表：
时间t
50
110
250
种植成本Q
150
108
150
根据表中数据，下列函数模型中可以描述西红柿的种植成本Q与上市时间t的变化关系的是（ ）
A、Q=at+b B、Q=at2+bt+c，0＜a＜
C、Q=a?bt D、Q=a?logbt
考点：根据实际问题选择函数类型。
分析：由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是单调函数，故可求得．
解答：解：由提供的数据知，描述西红柿种植成本Q与上市时间t的变化关系函数不可能是常数函数，也不是单调函数；而A，C，D对应的函数，在a≠0时，均为单调函数，这与表格提供的数据不吻合，
所以，选取B，
故选B．
点评：本题考查了二次函数模型的应用，根据所给数据，判断函数不可能是单调函数是关键
3、将一根铁丝切割成三段做一个面积为2m2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是（ ）
A、6.5m B、6.8m
C、7m D、7.2m
考点：根据实际问题选择函数类型。
分析：先设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）则xy=2，此时三角形框架的周长为x+y+，则根据基本不等式，可以求出周长的最小值．
解答：解：设直角三角形的框架的两条直角边为x，y（x＞0，y＞0）
则xy=4，
此时三角形框架的周长C为：
x+y+=x+y+
∵x+y≥2=4
∴C≥4+2≈6.83
故用7米的铁丝最合适．
故选C．
点评：基本不等式具有将“和式”转化为“积式”与将“积式”转化为“和式”的放缩功能，在证明或求最值时，要注意这种转化思想的应用．本题中面积与两直角边的积有关系，周长与两直角边的和有关系，且均为正值，故使用基本不等式是首选的数学模型．
4、某地区的一种特色水果上市时间仅能持续几个月，预测上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，为准确研究其价格走势，下面给出四个价格模拟函数中适合的是（其中为p、q常数，0＜q＜4，且x∈（0，5））（ ）
A、f（x）=p?qx B、f（x）=px2+qx+1
C、f（x）=plnx+qx2 D、f（x）=x（x﹣q）2+p
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：探究型。
分析：欲找出能较准确反映数学成绩与考试序次关系的模拟函数，主要依据是上市初期和后期会因供不应求使价格呈连续上涨的态势，而中期又将出现供大于求使价格连续下跌，故可从三个函数的单调上考虑，分析答案中四个函数的单调性，并与已知要求进行比照，即可得到拟合效果最好的函数模型．
解答：解：因为A中，f（x）=pqx，是单调函数，不满足要求；
B中，f（x）=px2+qx+1，为二次函数，有一个单调递增区间和一个单调递减区间，不满足要求；
C中，f（x）=plnx+qx2中，f′（x）=，到多也只有一个单调递增区间和一个单调递减区间，不满足要求；
D中，f（x）=（x﹣1）（x﹣q）2+q时，f′（x）=3x2﹣（4q+2）+q2+2q，令f′（x）=0，得x=q，x=，f（x）有两个零点，
可以出现两个递增区间和一个递减区间，满足要求．
故选D
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题通常有四个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型；（3）利用数学的方法，得到数学结果；（4）转译成具体问题作出解答，其中关键是建立数学模型．
5、某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价（ ）21世纪教育网版权所有
A、10% B、9%
C、11% D、11%
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：计算题；应用题。
分析：首先设出某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价x%，然后根据题意建立等式，并解出x的值，从而作答．
解答：解：设某一种商品降价10%后，欲恢复原价，则应提价x%，
根据题意：
a（1﹣10%）（1+x%）=a，
∴x=11．
故选D
点评：本题考查实际问题选择函数类型，通过实际问题的分析，建造等式，属于基础题．
6、油槽储油20m3，若油从一管道等速流出，则50min流完．关于油槽剩余量Q（m3）和流出时间t（min）之间的关系可表示为（ ）
A、 B、
C、 D、
点评：本题考查函数的图象特征，注意Q和t的关系以及各自的取值范围．
7、据报道，全球变暖，使北冰洋冬季冰盖面积在最近50年内减少了5%，如果按此规律，设2009年的冬季冰盖面积为m，从2009年起，经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系是（ ）
A、y= B、y=
C、y=0.9550?x?m D、y=（1﹣0.0550?x）?m
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：计算题。
分析：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，首先应该确定北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率，然后在建立冬季冰盖面积y与x的函数关系即可．
解答：解：设北冰洋冬季冰盖面积的年平均变化率为P，则P50=0.95，
∴，
∴设2009年的冬季冰盖面积为m，从2009年起，经过x年后冬季冰盖面积y与x的函数关系是：，
即为：y=．21世纪教育网版权所有
故选A．
点评：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答的过程当中充分体现了应用题的特点，同时平均变化率的求法以及指数型函数解析式的求法在此题中都得到了淋漓尽致的体现．
8、一等腰三角形的周长是20，则其底边长y关于其腰长x的函数关系式是（ ）
A、y=20﹣2x（x≤10） B、y=20﹣2x（x＜10）
C、y=20﹣2x（5≤x≤10） D、y=20﹣2x（0＜x＜10）
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：常规题型。
分析：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应先充分考虑图形的特点，利用三角形的周长为底边加腰长的两倍，即可找到底边长y关于其腰长x的函数关系式，进而问题即可获得解答．
解答：解：由题意可知：
∵等腰三角形的周长是20，底边长为y，腰长为x．
∴2x+y=20，
∴y=20﹣2x，
又∵0＜2x＜20，且2x＞20﹣2x
∴5＜x＜10，
底边长y关于其腰长x的函数关系式为：
y=20﹣2x（5≤x≤10）
故选C．
点评：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答的过程当中充分体现了数形结合的思想、三角形的知识以及问题转化的思想．值得同学们体会和反思．
9、某地一个中型水库，在无洪水时上游来水量a（立方米/小时），与发电用水量相同，水库保持正常蓄水量m（万立方米）．因为8月的大雨，上游形成48小时的洪水流入水库，第20小时洪水到达高峰b（立方米/小时），以后逐步消退至正常水量a（立方米/小时）．为保证下游防洪，水库拦蓄洪水（除正常发电用水外，不增加排水量），整个过程水库蓄水量未超过最大蓄水量n（万立方米）．下面流入水库的流量g（t）与水库蓄水量f（t）（t为小时）的图象中，比较符合上述情况的一组是（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
考点：根据实际问题选择函数类型；函数的图象。
专题：作图题。
分析：由水库蓄水量f（t）（t为小时）在第48小时达到高峰，能排除A，B，D三个选项，由此能得到正确答案．
解答：解：由题设条件知，流入水库的流量g（t）在第20小时洪水到达高峰b（立方米/小时），
以后逐步消退至正常水量a（立方米/小时）．
水库蓄水量f（t）（t为小时）在第48小时达到高峰，
整个过程水库蓄水量未超过最大蓄水量n（万立方米）．
由水库蓄水量f（t）（t为小时）在第48小时达到高峰，
能排除A，B，D三个选项．
故选C．
点评：本题考查函数图象的应用，是基础题．解题时要认真审题，仔细观察图象，注意数形结合思想的灵活运用．
10、四人赛跑，假设其跑过的路程和时间的函数关系分别是f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x如果他们一直跑下去，最终跑在最前面的人具有的函数关系是（ ）
A、f1（x）=x2 B、f2（x）=4x
C、f3（x）=log2x D、f4（x）=2x
考点：根据实际问题选择函数类型。21世纪教育网版权所有
专题：常规题型；应用题。
分析：根据题意，本题实际考查各类函数的增长模型，通过对四类函数分析，指数函数增长最快，选出选项．
解答：解：根据题意
最终跑在最前面的人一为f值最大的函数
通过分析各种类型函数的增长f1（x）=x2，f2（x）=4x，f3（x）=log2x，f4（x）=2x，D中，f4（x）=2x增长最快
故选D
点评：本题考查根据实际问题选择函数类型，通过对二次函数，一次函数，对数函数，指数函数的分析选出选项，属于基础题．
11、某企业去年销售收入1000万元，年成本为生产成本500万元与年广告成本200万元两部分．若年利润必须按p%纳税，且年广告费超出年销售收入2%的部分也按p%纳税，其他不纳税．已知该企业去年共纳税120万元．则税率p%为（ ）
A、10% B、12%
C、25% D、40%
税率为：=25%．
故选C．
点评：本小题主要考查根据实际问题选择函数类型等基础知识，考查运算求解能力，考查解决实际问题的能力．属于基础题．
12、今有一组实验数据如下：
t
1.99
3.00
4.00
5.10
6.12
v
1.5
4.04
7.5
12
18.01
现准备用下列函数中的一个近似地表示这些数据满足的规律，其中最接近的一个是（ ）
A、v=log2t B、v=t
C、v= D、v=2t﹣2
考点：根据实际问题选择函数类型。
分析：因为所给数据无明显规律，且是选择题，故可用特值检验，排除错误答案即可求解．
解答：解：当t=4时，
A、v=log24=2，故选项错误；
B、v=4=﹣2，，故选项错误；
C、v==7.5．故选项正确；
D、v=2×4﹣2=6，故选项错误；21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：针对某些选择题，利用特值检验可以快速有效地解决．
13、在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%（a，b＞0，a≠b），则x与y的函数关系式是（ ）
A、y=x B、y=x
C、y=x D、y=x
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：计算题。
分析：根据混合前后盐份=盐份，我们可以结合在x克a%的盐水中，加入y克b%的盐水，浓度变成c%（a，b＞0，a≠b），构造方程，变形后，即可得到x与y的函数关系式．
解答：解：x克a%的盐水中含盐（ax+by）%克
即c%=（x+y）×（ax+by）%
即c=（x+y）×（ax+by）
整理得y=x21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：本题考查的知识点是根据实际问题选择函数的类型，其中构造方程，进而变形得到函数的解析式，是解答本题的关键．
14、如图，图象（折线OEFPMN）描述了某汽车在行驶过程中速度与时间的函数关系，下列说法中错误的是（ ）
A、第3分时汽车的速度是40千米/时 B、第12分时汽车的速度是0千米/时
C、从第3分到第6分，汽车行驶了120千米 D、从第9分到第12分，汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：应用题。
分析：根据图象反应的速度与时间的关系，可以计算路程，针对每一个选项，逐一判断．
解答：解：横轴表示时间，纵轴表示速度．
当第3分的时候，对应的速度是40千米/时，A对；
第12分的时候，对应的速度是0千米/时，B对；
从第3分到第6分，汽车的速度保持不变，是40千米/时，行驶的路程为40×=2千米，C错；
从第9分到第12分，汽车对应的速度分别是60千米/时，0千米/时，所以汽车的速度从60千米/时减少到0千米/时，D对．
综上可得：错误的是C．
故选C．
点评：读函数的图象时首先要理解横纵坐标表示的含义，理解问题叙述的过程，能够通过图象得到函数是随自变量的增大，知道函数值是增大还是减小．
15、某农户种植花生，原来种植的花生亩产量为200千克，出油率为50%（即每100千克花生可加工成花生油50千克）．现在种植新品种花生后，每亩收获的花生可加工成花生油132千克，其中花生出油率的增长率是亩产量的增长率的．则新品种花生亩产量的增长率为（ ）
A、20% B、30%
C、40% D、50%
200（1+x）×50%（1+x）=132
x=或x=﹣（舍去）
x==20%
故选A．
点评：本题考查的是根据实际问题选择函数类型、增长率问题，首先表示新植花生的亩产量，再表示出出油率增长后出的油，然后列方程求解．
16、从盛装20升纯酒精的容器里倒出1升酒精，然后用水加满，再倒出1升酒精溶液，再用水加满，照这样的方法继续下去，如果第k次时共倒出了纯酒精x升，则倒出第k+1次时，共倒出了纯酒精f（x）的表达式是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：计算题。21世纪教育网版权所有
分析：求出第k次倒出酒精后容器中含纯酒精的质量，求出倒出第k+1次倒出的纯酒精的质量，求出倒k+1次共倒出的纯酒精．
解答：解：∵第k次时共倒出了纯酒精x升，
∴第k次倒出后容器中含纯酒精为（20﹣x）升
第k+1次倒出的纯酒精是升
所以倒出第k+1次时，共倒出了纯酒精f（x）=x+=
故选A
点评：本题考查将实际问题转化为数学模型的能力、考查溶液的纯质量=溶液的质量×溶液容量．
17、某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内打出电话时间t（分钟）与打出电话费s（元）的函数关系如图，当打出电话150分钟时，这两种方式电话费相差（ ）
A、10元 B、20元
C、30元 D、元
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：应用题。
分析：先设A种方式对应的函数解析式及B种方式对应的函数解析式，分别计算出打出电话150分钟时，这两种方式电话费，后作差即得．
解答：解：设A种方式对应的函数解析式为S=k1t+20
B种方式对应的函数解析式为S=k2t
当t=100时，100k1+20=100k2，
∴k2﹣k1=，
t=150时，150k2﹣150k1﹣20=150×﹣20=10．
故选：A．
点评：本小题主要考查函数模型的选择与应用，属于基础题．解决实际问题关键是建立数学模型．
18、某厂同时生产两种成本不同的产品，由于市场销售情况发生变化，A产品连续两次分别提价20%，B产品连续两次分别降价20%，结果A、B两种产品现在均以每件相同的价格售出，则现在同时售出A、B两种产品各一件比原价格售出A、B两种产品各一件的盈亏情况为（ ）
A、亏 B、盈
C、不盈不亏 D、与现在售出的价格有关
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：应用题。
分析：设出A，B原来的价格为a，b，根据题意表示出现在的价格，利用现在价格相等找出a与b的关系；则同时售出A、B两种产品各一件比原价格售出A、B两种产品各一件的盈亏情况为0.44a﹣0.36b判断其正负即可知道盈亏．
解答：解：设A，B两种产品的价格分别为a，b则A提价后售价为a（1+20%）2，B降价后售价为b（1﹣20%）2且A与B现在是相同的价格，则得到9a=4b；21世纪教育网
售出A、B两种产品各一件比原价格售出A、B两种产品各一件的盈亏情况为：
a（1+20%）2﹣a+b（1﹣20%）2﹣b=0.44a﹣0.36b（1）
利用9a=4b得a=．代入（1）中得到
0.44a﹣0.36b＜0，即同时售出A、B两种产品各一件比原价格售出A、B两种产品各一件的盈亏情况为亏．
故答案选A
点评：考查学生根据实际问题选择函数类型的能力．
19、某人要买房，随着楼层的升高，上下楼耗费的精力增多，因此不满意度升高，当住第n层楼时，上下楼造成的不满意度为n，但高处空气清新，嘈杂音较小，环境较为安静，因此随楼层升高，环境不满意度降低，设住第n层楼时不满意度为，则此人应选（ ）
A、1楼 B、2楼
C、3楼 D、4楼
故选C．
点评：本题主要考查了基本不等式在最值问题中的应用．考查了学生运用所学知识解决实际问题的能力．
20、为了提高某种农作物的产量，农场通常采用喷施药物的方法控制其高度．已知该农作物的平均高度y（米）与每公顷所喷施药物的质量x（千克/公顷）之间的关系如图所示，经验表明，该种农作物高度在1.25米左右时，它的产量最高，那么每公顷应喷施药物 （ ）千克．
A、2.5 B、3
C、3.5 D、4
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：应用题。
分析：根据已知两点的坐标求出直线解析式，再求当y=1.25时x的值即可．
解答：解：设y=kx+b，由图象可得解得
所以y=﹣x+1.5．
当y=1.25时，1.25=﹣x+1.5，所以x=2.5．
即每公顷应喷施药物2.5千克．
故选A．21世纪教育网
点评：本题主要考查根据实际问题选择函数类型、用待定系数法求一次函数关系式，并会用一次函数研究实际问题，具备在直角坐标系中的读图能力．
二、填空题（共6小题）
21、函数y=|x|的图象与x轴、定直线x=﹣1及动直线x=t（t∈[﹣1，1]）所围成图形（位于两条平行直线x=﹣1与x=t之间的部分）的面积为S，则S关于t的函数关系式S=f（t）= ．
考点：函数解析式的求解及常用方法；根据实际问题选择函数类型。
专题：作图题。
分析：先由题意画出图形，再根据三角形的面积公式，结合图求出对应图形的面积．
解答：解：根据题意在坐标系中画出函数的图象：
当﹣1≤t≤0时，s=×1×1﹣×t×t=﹣；当0＜t≤1时，s=+×t×t=，
∴s=f（t）=，
故答案为：．
点评：本题考查了分段函数的解析式的求法，对于图形面积问题应先画出图形，再分类讨论求出对应的关系式．
22、某工程由下列工序组成，则工程总时数为 11 天．
工序
a
b
c
d
e
f
紧前工序
﹣
﹣
a、b
c
c
d、e
工时数（天）
2
3
2
5
4
1
考点：根据实际问题选择函数类型。21世纪教育网
专题：创新题型；图表型。
分析：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，应结合所给表格分析好可以合并的工序，注意利用优选法对重复的供需选择用时较多的．进而问题即可获得解答．
解答：解：由题意可知：工序c可以和工序a、b合并，工序e和工序d可以合并为工序d，工序f无法合并，是单独工序．
所以所用工程总时数为：2+3+5+1=11天．21世纪教育网
故答案为：11．
点评：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答的过程当中充分体现了优选法的利用、读图表审图表的能力以及问题的转化和分析能力．值得同学们体会和反思．
23、把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度是Q1，空气温度是Q0，t分钟后温度Q可由公式Q=Q0+（Q1﹣Q0）e﹣tln1.5求得，现在60？的物体放在15？的空气中冷却，当物体温度为35°时，冷却时间t= 2 分钟．
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：计算题；应用题。
分析：根据Q=Q0+（Q1﹣Q0）e﹣tln1.5，可得对数方程，解之即可得答案．
解答：解：由题意，Q0=15°，Q1=60°，Q=35°，
∵Q=Q0+（Q1﹣Q0）e﹣tln1.5
∴35=15+（60﹣15）e﹣tln1.5
∴
∴t=2
故答案为：2．
点评：本题以具体函数为载体，考查解决实际问题，考查对数方程的求解，属于基础题
24、甲用1000元买入一种股票，后将其转卖给乙，获利10%，而后乙又将这些股票卖给甲，乙损失了10%，最后甲按乙卖给甲的价格九折将股票售出，甲在上述交易中盈利 1 元．
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：计算题。
分析：首先计算出甲卖给乙获利多少元，计算出乙卖给甲的价钱后，再计算甲卖给丙的价钱，算出甲赔了多少，综合以上情况得到甲的盈亏情况．
解答：解：由题意，甲卖给乙获利：1000×10%=100（元），
乙卖给甲：1000×（1+10%）（1﹣10%）=990（元），21世纪教育网
甲卖给丙；1000×（1+10%）（1﹣10%）×90%=1000×1.1×0.9×0.9=891（元），
甲赔了：990﹣891=99（元），
甲的盈亏情况为：100﹣99=1（元），
故答案为：盈利1元．
点评：本题以实际问题为载体，考查学生分析解决问题的能力，弄清题意，计算出每次买卖的价钱做题的关键．
25、据研究，甲、乙两个磁盘受到病毒感染，感染的量y（单位：比特数）与时间x（单位：秒）的函数关系式分别是y甲=ex和y乙=x2．显然，当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大．试根据上述事实提炼一个不等式是 ex＞x2 ．
考点：根据实际问题选择函数类型。
专题：常规题型；应用题。
分析：首先分析甲乙两个函数，然后根据当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大得出不等关系即可．
解答：解：∵y甲=ex和y乙=x2．
而当x≥1时，甲磁盘受到的病毒感染增长率比乙磁盘受到的病毒感染增长率大
∴ex＞x2故答案为：ex＞x2
点评：本题考查实际问题选择函数类型，通过对实际问题的分析与提炼，得出不等式．属于基础题．
26、如图，在坐标平面内△ABC的顶点A（0，2），B（﹣1，0），C（1，0），有一个随t变化的带形区域，其边界为直线y=t和y=t+1，设这个带形区域覆盖△ABC的面积为S，试求以t为自变量的函数S的解析式，并画出这个函数的图象．
根据梯形的面积公式得：S==﹣4t+2 0≤t≤
2）当1＜t≤2时，带形区域覆盖△ABC的图形为三角形ADE的面积，则三角形的高为2﹣t，底为DE=﹣4t+4
根据三角形的面积公式得：S==2t2﹣6t+4因为t＞1舍去；
（3）当﹣1＜t＜0时，带形区域覆盖△ABC的图形为梯形BCGF，高为t+1，上底为FG=﹣4t，下底为2
根据梯形的面积公式得：S==﹣2t2﹣t+1．
∴S=
据（1）（3）中的解析式画出函数的草图为：
点评：此题考查学生根据实际问题选择函数关系的能力．
三、解答题（共4小题）
27、在一条公路上，每隔100km有个仓库（如图），共有5个仓库．一号仓库存有10t货物，二号仓库存20t，五号仓库存40t，其余两个仓库是空的．现在想把所有的货物放在一个仓库里，如果每吨货物运输1km需要0.5元运输费，那么要多少才行？21世纪教育网
考点：函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型。
专题：应用题；转化思想。
分析：要求把所有的货物放在一个仓库里运费最少，其实就是要求运输的总路程最少．先把实际问题转化为数学问题，以一号仓库为原点建立坐标轴，表示五个仓库的坐标，然后假设货物集中于某一点坐标设为x，利用绝对值的意义表示出总运费y．然后根据x的取值范围化简绝对值得到y与x的分段函数，分别求出各段的最小值，最后比较去最小得解．
解答：解：以一号仓库为原点建立坐标轴，
则五个点坐标分别为A1：0，A2：100，A3：200，A4：300，A5：400，
设货物集中于点B：x，则所花的运费y=5|x|+10|x﹣100|+20|x﹣200|，
当0≤x≤100时，y=﹣25x+9000，此时，当x=100时，ymin=6500；
当100＜x＜200时，y=﹣5x+7000，此时，5000＜y＜6500；
当x≥200时，y=35x﹣9000，此时，当x=200时，ymin=5000．
综上可得，当x=200时，ymin=5000，
即将货物都运到五号仓库时，花费最少，为5000元．
点评：此题考查学生的数学建模思想，用数学解决实际问题的能力．分情况讨论求最值的方法以及绝对值的意义和绝对值的化简方法．
28、某电视生产厂家有A、B两种型号的电视机参加家电下乡活动．若厂家投放A、B型号电视机的价值分别为p、q万元，农民购买电视机获得相应的补贴分别为p，mln（q+1）（m＞0）万元已知厂家把价值为10万元的A、B两种型号的电视机投放市场，且A、B两种型号的电视机投放金额都不低于1万元（精确到0.1，参考数据：ln4≈1.4）．
（1）当时，请你制定一个投放方案，使得在这次活动中农民得到的补贴最多，并求出其最大值；
（2）讨论农民得到的补贴随厂家投放B型号电视机金额的变化而变化的情况．
设厂家投放市场A、B两种型号的电视机的价值分别为x万元，（10﹣x）万元，这次活动中农民得到的补贴为y万元
则y=+ln（11﹣x）．然后令y′=0得=0
解得x=7
∵1＜x＜7时，y′＞0，y是增函数；7＜x＜11时，y′＜0，y是减函数．
∴x=7时，y有最大值．yMAX=ln4≈6.3万元
（2）设投放B型号电视机金额为b
这次活动中农民得到的补贴为y=+mln（1+b）∵1≤b＜10
因为y=lnx是增函数，所以投放B型号电视机金额大农民得到的补贴就多．
点评：考查学生利用导数在函数闭区间求最大值问题．
29、某蔬菜基地种植西红柿，由历年市场行情得知，从二月一日起的300天内，西红柿场售价与上市时间的关系如图一的一条折线表示；西红柿的种植成本与上市时间的关系如图二的抛物线段表示．
（1）写出图一表示的市场售价与时间的函数关系式p=f（t）（2）；
写出图二表示的种植成本与时间的函数关系式Q=g（t）；
（2）认定市场售价减去种植成本为纯收益，问何时上市的西红柿纯收益最大？
（注：市场售价各种植成本的单位：元/102㎏，时间单位：天）
考点：函数的最值及其几何意义；根据实际问题选择函数类型。
专题：应用题；函数思想。
分析：（1）观察图一可知此函数是分段函数（0，200）和（200，300）的解析式不同，分别求出各段解析式即可；第二问观察函数图象可知此图象是二次函数的图象根据图象中点的坐标求出即可．
（2）要求何时上市的西红柿纯收益最大，先用市场售价减去种植成本为纯收益得到t时刻的纯收益h（t）也是分段函数，分别求出各段函数的最大值并比较出最大即可．
解答：解：（1）由图一可得市场售价与时间的函数关系为（2分）
由图二可得种植成本与时间的函数关系为
．（4分）
（2）设t时刻的纯收益为h（t），则由题意得h（t）=f（t）﹣g（t），
即h（t）=（6分）
当0≤t≤200时，配方整理得h（t）=．
所以，当t=50时，h（t）取得区间[0，200]上的最大值100；
当200＜t≤300时，配方整理得h（t）=，
所以，当t=300时，h（t）取得区间（200，300）上的最大值87.5（10分）、21cnjy
综上，由100＞87.5可知，h（t）在区间[0，300]上可以取得最大值100，此时t=50，
即从二月一日开始的第50天时，上市的西红柿纯收益最大．（12分）
点评：本小题主要考查由函数图象建立函数关系式和求函数最大值的问题，考查运用所学知识解决实际问题的能力．
30、（1）证明下列命题：
已知函数f（x）=kx+p及实数m，n（m＜n），若f（m）＞0，f（n）＞0，则对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）利用（1）的结论解决下列各问题：
①若对于﹣6≤x≤4，不等式2x+20＞k2x+16k恒成立，求实数k的取值范围．
②a，b，c∈R，且|a|＜1，|b|＜1，|c|＜1，求证：ab+bc+ca＞﹣1．
考点：函数恒成立问题；根据实际问题选择函数类型。
专题：综合题。
分析：（1）先证明f（x）的单调性，利用单调性再去证明f（x）＞0．
（2）构造函数f（x）=2x+20﹣k2x﹣16k=（2﹣k2）x+（20﹣16k），利用（1）的结果得出f（﹣6）＞0，f（4）＞0，解出实数k的取值范围．
构造函数 h（a）=ab+bc+ca+1，a∈（﹣1，1）且h（﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）＞0，h（1）=（b+1）（c+1）＞0，可得结论．
解答：解：（1）设x1，x2∈（m，n） 且x1＜x2，
当k＞0时，f（x2）﹣f（x1）=k（x2﹣x1）＞0，f（x）为增函数．f（x）＞f（m）＞0．
当k＜0时，f（x2）﹣f（x1）=k（x2﹣x1）＜0，f（x）为减函数．f（x）＞f（n）＞0．
当k=0时，f（x）为常函数．f（x）=f（m）＞0．
综上对于一切实数x∈（m，n）都有f（x）＞0．
（2）①将不等式2x+20＞k2x+16k，移向（2﹣k2）x+（20﹣16k）＞0，
构造函数f（x）=2x+20﹣k2x﹣16k=（2﹣k2）x+（20﹣16k）
只要同时满足f（﹣6）＞0，f（4）＞0即可．解得：
②将证明不等式的问题“转化”为关于a（或b、c）的一次函数，这就需要“造”一个一次函数如下：
令h（a）=ab+bc+ca+1；
即h（a）=a（b+c）+bc+1，a∈（﹣1，1）
由h（﹣1）=（b﹣1）（c﹣1）＞0，h（1）=（b+1）（c+1）＞0，可得结论．21cnjy
∴h（a）=ab+bc+ca+1＞0，即ab+bc+ca＞﹣1．
点评：本题考查函数与不等式，函数单调性的证明与应用，构造法解决问题的能力．
