函数最值的应用
一、选择题（共21小题）
1、已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，，当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，
则a的值等于（ ）
A、 B、
C、 D、1
2、植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A、（1）和（20） B、（9）和（10）
C、（9）和（11） D、（10）和（11）
3、函数y=x4﹣8x2+2在[﹣1，3]上的最大值为（ ）
A、11 B、2
C、12 D、10
4、在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：21世纪教育网版权所有
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．
关于函数的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为．其中所有正确说法的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
5、生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）=x2+2x+20（万元）．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）
A、36万件 B、18万件
C、22万件 D、9万件
6、用篱笆围成一个面积为196m2的矩形菜园，所用篱笆最短为（ ）
A、56m B、64m
C、28m D、20m
7、制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是（ ）．
A、5.2m B、5m
C、4.8m D、4.6m
8、定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界、若函数f（x）=1+a?x+x在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，则实数a的取值范围是（ ）
A、[﹣5，0] B、[﹣4，1]
C、[﹣4，0] D、[﹣5，1]
9、函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是（ ）
A、 B、
C、（﹣∞，0] D、
10、在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做高斯函数，它表示数x的整数部分（即小于等于x的最大整数，如[3.15]=3，[0.7]=0，[﹣2.6]=﹣3）设函数，则函数的值域为（ ）
A、{﹣1，0} B、{0}
C、{﹣1} D、{﹣1，0，1}
11、用max{a，b}表示a，b两数中的较大数，若函数f（x）=max（|x|，|x﹣a|）的最小值为2，则a的值为（ ）
A、4 B、±4
C、2 D、±2
12、不等式x2+2x+a≥﹣y2﹣2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A、a≥0 B、a≥1
C、a≥2 D、a≥3
13、当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A、（﹣∞，2） B、[2，+∞]
C、[3，+∞] D、（﹣∞，3）
14、函数的值域为（ ）
A、（﹣∞，+∞） B、[﹣2，+∞）
C、（0，+∞） D、[﹣2，0）
15、某大学的信息中心A与大学各部门，各院系B、C、D、E、F、G、H、I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元），请观察图形，可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院系都能联通（直接或中转），则最少的建网费用是（ ）
A、12万元 B、13万元
C、14万元 D、16万元
16、函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，则函数y=2ax﹣1在[0，1]上的最大值是（ ）
A、6 B、1
C、3 D、
17、如果对于函数f（x）定义域内任意的x，都f（x）≥M（M为常数），称M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界．下列函数中，有下确界的函数是（ ）
①f（x）=sinx ②f（x）=lgx ③f（x）=ex④f（x）=
A、①② B、①③
C、②③④ D、①③④
18、对一切实数x，不等式x4+ax2+1≥0恒成立，则实a的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，﹣2） B、[﹣2，+∞）
C、[0，2] D、[0，+∞）
19、若关于x的方程在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A、（0，1） B、（1，2）
C、（﹣∞，1）∪（2，+∞） D、（﹣∞，0）∪（1，+∞）
20、点P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，若点P的坐标满足不等式x+y+m≥0，则实数m的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
21、已知x，y∈R，且x+2y≥1，则二次函数式u=x2+y2+4x﹣2y的最小值为．（ ）
A、﹣3 B、
C、24 D、
二、填空题（共3小题）
22、设集合，B={（x，y）|y≤﹣|x|+b}，A∩B≠?．21世纪教育网版权所有
（1）b的取值范围是 _________ ；
（2）若（x，y）∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是 _________ ．
23、已知函数f（x）=x2+abx+a+2b．若f（0）=4，则f（1）的最大值为 _________ ．
24、已知函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且在区间（﹣∞，0）上，当x=﹣1时，f（x）有最小值3，则在区间（4，+∞）上，当x= _________ 时，f（x）有最 _________ 值为 _________ ．
三、解答题（共6小题）
25、定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．
（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；
（2）求f（x）在区间[2k﹣1，2k+1]，k∈Z上的函数解析式；
（3）是否存在整数k，使对任意x∈[2k﹣1，2k+1]恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
26、定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x2﹣af（x），h（x）=x﹣a，且g（x）在x=1处取得极值．
（1）求a的值及h（x）的单调区间；
（2）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜；
（3）把h（x）对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2，求C2与g（x）对应曲线C3的交点的个数，并说明道理．
27、已知函数f（x）=．
（1）用定义证明函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的值域；
（3）若g（x）=，且当x∈[1，2]时g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
28、（2006?上海）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x2+（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；21世纪教育网版权所有
（3）对函数y=x+和y=x2+（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=+（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．21世纪教育网
29、已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
30、已知函数f（x）=（）x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
答案与评分标准
一、选择题（共21小题）
1、已知y=f（x）是奇函数，当x∈（0，2）时，，当x∈（﹣2，0）时，f（x）的最小值为1，
则a的值等于（ ）
A、 B、
C、 D、121世纪教育网版权所有
考点：函数奇偶性的性质；函数最值的应用。21世纪教育网
专题：计算题；综合题；转化思想。
分析：利用奇函数的性质，求出x∈（0，2）时函数的最大值为﹣1，通过导数求出函数的最大值，然后求出a．
解答：解：∵f（x）是奇函数，∴f（x）在（0，2）上的最大值为﹣1，
当x∈（0，2）时，，令f'（x）=0得，又，∴．
令f'（x）＞0时，，f（x）在上递增；
令f'（x）＜0时，，f（x）在上递减；
∴，∴，
得a=1．
故选D．
点评：本题考查函数奇偶性，函数最大值的求法，导数的应用，考查计算能力，是中档题．
2、植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，现将树坑从1到20依次编号，为使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小，树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为（ ）
A、（1）和（20） B、（9）和（10）
C、（9）和（11） D、（10）和（11）
考点：函数最值的应用。
专题：计算题；转化思想。
分析：根据已知中某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，我们设树苗集中放置的树坑编号为x，并列出此时各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和，根据绝对值的性质，结合二次函数的性质即可得到使各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和最小时，树苗放置的最佳坑位的编号．
解答：解：设树苗可以放置的两个最佳坑位的编号为x
则各位同学从各自树坑前来领取树苗所走的路程总和为：
S=|1﹣x|×10+|2﹣x|×10+…+|20﹣x|×10
若S取最小值，则函数y=（1﹣x）2+（2﹣x）2+…+（20﹣x）2=20x2﹣420x+（12+22+202）也取最小值
由二次函数的性质，可得函数y20x2﹣420x+（12+22+202）的对称轴为y=10.5
又∵为正整数，故x=10或11
故选D
点评：本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据绝对值的定义，我们将求一个绝对值函数最值问题，转化为一个二次函数的最值问题是解答本题的关键．
3、函数y=x4﹣8x2+2在[﹣1，3]上的最大值为（ ）
A、11 B、2
C、12 D、10
考点：函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：研究高次函数最值问题往往研究函数的极值，然后与端点的函数值比较大小确定出最值．
解答：解：y′=4x3﹣16x=4x（x2﹣4），
由y′=0及x∈[﹣1，3]知x=0或x=2，
根据单调性知f（x）max=f（3）=11；
故选A
点评：本题考查了四次函数研究最值问题，注意题目中的范围的限制．
4、在实数集R中定义一种运算“*”，对任意a，b∈R，a*b为唯一确定的实数，且具有性质：
（1）对任意a，b∈R，a*b=b*a；21世纪教育网版权所有
（2）对任意a∈R，a*0=a；
（3）对任意a，b∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（c*b）﹣2c．21世纪教育网
关于函数的性质，有如下说法：①函数f（x）的最小值为3；②函数f（x）为奇函数；③函数f（x）的单调递增区间为．其中所有正确说法的个数为（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：函数最值的应用；奇偶性与单调性的综合。
专题：新定义。
分析：对于新定义的运算问题常常通过赋值法得到一般性的结论，本题的关键是对f（x）的化简．
解答：解：在（3）中，令c=0，则，
因x没有范围故不能直接利用不等式求最值，故①不正确
而②显然不正确
而，
易知函数f（x）的单调递增区间为，
故选B．
点评：本题是一个新定义运算型问题，考查了函数的最值、奇偶性、单调性等有关性质以及同学们类比运算解决问题的能力．
5、生产一定数量的商品的全部费用称为生产成本，某企业一个月生产某种商品x万件时的生产成本为C（x）=x2+2x+20（万元）．一万件售价是20万元，为获取更大利润，该企业一个月应生产该商品数量为（ ）
A、36万件 B、18万件
C、22万件 D、9万件
解函数应用问题，一般地可按以下四步进行：
1、读题：读懂和深刻理解，译为数学语言，找出主要关系，审题时要抓住题目中的关键的量，要勇于尝试、探索，敏于发现、归纳，善于联想、化归，实现应用问题向数学问题的转化；
2、建模：把主要关系近似化、形式化，抽象成数学问题；
3、求解：化归为常规问题，选择合适的数学方法求解；
4、评价：对结果进行验证或评估，对错误加以调节，最后将结果应用于现实，作出解释或验证．
6、用篱笆围成一个面积为196m2的矩形菜园，所用篱笆最短为（ ）
A、56m B、64m
C、28m D、20m
考点：函数最值的应用。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：设矩形的一边长为x，根据篱笆围成一个面积为196m2的矩形菜园，我们易求出另一边长，进而根据周长计算公式，我们易求出篱笆周长的表达式，进而根据均值定理，我们易求出周长的最小值，进而得到答案．
解答：解：设矩形的一边长为x，则另一边为，
则矩形的周长y=2（x+）≥4=56
故所用篱笆最短为56m
故选A
点评：本题考查的知识点是函数最值的应用，其中根据已知条件构造出周长函数的解析式，是解答本题的关键．
7、制作一个面积为1 m2，形状为直角三角形的铁架框，有下列四种长度的铁管供选择，较经济的（既够用又耗材量少）是（ ）．
A、5.2m B、5m
C、4.8m D、4.6m
考点：函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：由题间设一条直角边为x，则另一条直角边是，建立起周长的函数，据其形式特点用基本不等式求周长的最小值
解答：解：设一条直角边为x，则另一条直角边是，斜边长为
故周长 l=x++≥2+2≈4.82当且仅当x=时等号成立，
故较经济的（既够用又耗材量少）是5m
故应选B．
点评：考查材料最省的问题，此类题一般是建立起函数关系式，再用单调性或者用基本不等式求出最小值．用基本不等式求最值时要注意等号成立的条件是否具备，
8、定义在D上的函数f（x），如果满足：对任意x∈D，存在常数M＞0，都有|f（x）|≤M成立，则称f（x）是D上的有界函数，其中M称为函数f（x）的上界、若函数f（x）=1+a?x+x在[0，+∞）上是以3为上界的有界函数，则实数a的取值范围是（ ）
A、[﹣5，0] B、[﹣4，1]
C、[﹣4，0] D、[﹣5，1]
考点：函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：遇到求参数的取值范围问题，我们往往采用参数分离法进行求解，恒成立问题转化成研究最值问题，即[h（x）]max≤a≤[p（x）]min
解答：解：由题意知，|f（x）|≤3在[0，+∞）上恒成立，即
﹣3≤f（x）≤3，
∴﹣4﹣x≤ax≤2﹣x，
∴﹣4?2x﹣x≤a≤2?2x﹣x在[0，+∞）上恒成立，
∴[﹣4?2x﹣x]max≤a≤[2?2x﹣x]min，21世纪教育网
设2x=t，则h（t）=﹣4t﹣，p（t）=2t﹣，由x∈[0，+∞），得t≥1，
易知：h（t）在[1，+∞）上递减，p（t）在[1，+∞）上递增，
所以h（t）在[1，+∞）上的最大值为h（1）=﹣5，
p（t）在[1，+∞）上的最小值为p（1）=1，
∴实数a的取值范围为[﹣5，1]．
故选D
点评：本题考查了恒成立问题，函数最值问题，换元转化成二次函数的思想．
9、函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则a的范围是（ ）
A、 B、
C、（﹣∞，0] D、
考点：函数最值的应用。
专题：常规题型。
分析：先画出分段函数f（x）的图象，如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2； 欲使得函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，从而解得a的范围．
解答：解：先画出分段函数f（x）的图象，
如图．当x∈[﹣2，0]上的最大值为2；
欲使得函数在[﹣2，2]上的最大值为2，则当x=2时，e2a的值必须小于等于2，
即e2a≤2，
解得：a
故选D．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数最值的应用的应用、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．21世纪教育网
10、在计算机的算法语言中有一种函数[x]叫做高斯函数，它表示数x的整数部分（即小于等于x的最大整数，如[3.15]=3，[0.7]=0，[﹣2.6]=﹣3）设函数，则函数的值域为（ ）
A、{﹣1，0} B、{0}
C、{﹣1} D、{﹣1，0，1}
∴f（﹣x）的值域也是（﹣，）；分x=0，x＞0，x＜0时讨论函数y的值即可．
解答：解：由题意，g（x）=f（x）﹣==1﹣﹣=﹣；f（﹣x）=﹣=；
∴g（﹣x）=﹣g（x），即g（x）是奇函数．
又∵2x＞0，∴1+2x＞1，∴，∴；
即＜g（﹣x）＜．所以，g（x）＜．
当x=0时，g（x）=g（﹣x）=0，y=[g（x）]+[g（﹣x）]=0；
当x≠0时，若x＞0，则0＜g（x）＜，﹣＜g（﹣x）＜0，
∴y=[g（x）]+[g（﹣x）]=0+（﹣1）=﹣1，
若x＜0，则y=[g（x）]+[g（﹣x）]=（﹣1）+0=﹣1．
所以函数y的值域为{0，﹣1}．
故选A．
点评：本题用求值域来考查指数函数的性质，函数的奇偶性，函数取整问题，应该是有难度的小题．
11、用max{a，b}表示a，b两数中的较大数，若函数f（x）=max（|x|，|x﹣a|）的最小值为2，则a的值为（ ）
A、4 B、±4
C、2 D、±2
考点：函数最值的应用。
专题：计算题；数形结合。
分析：由题设，函数是一个非常规的函数，在同一个坐标系中作出两个函数的图象，及函数f（x）=max（|x|，|x﹣a|）的最小值为2，建立等式解之即可得出结论．
解答：解：当a＞0时，画出函数f（x）=max（|x|，|x﹣a|）的图象
函数f（x）=max（|x|，|x﹣a|）的最小值为2，则a=4
当a＜0时，画出函数f（x）=max（|x|，|x﹣a|）的图象21cnjy
函数f（x）=max（|x|，|x﹣a|）的最小值为2，则a=﹣4
故选：B
点评：本题的考点是函数的图象与图象的变化，通过新定义考查学生的创新能力，考查函数的图象，考查考生数形结合的能力，解决本题的关键是作图．
12、不等式x2+2x+a≥﹣y2﹣2y对任意实数x、y都成立，则实数a的取值范围是（ ）
A、a≥0 B、a≥1
C、a≥2 D、a≥3
考点：函数最值的应用。
专题：计算题；转化思想。
分析：本题可以寻求转化等价为不等式（x+1）2+（y+1）2≥2﹣a，从而成为一个恒成立问题，只需要2﹣a≤0即可，下面来解答．
解答：解：原不等式等价于（x+1）2+（y+1）2≥2﹣a，
要对任意的x、y都成立，则有2﹣a≤0，
即：a≥2．
故选C
点评：本题考查二次函数与二次不等式的内容，解不等式的思想方法，恒成立问题以及转化与化归的思想．
13、当x＞1时，不等式恒成立，则实数a的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，2） B、[2，+∞]
C、[3，+∞] D、（﹣∞，3）
点评：本题考查了基本不等式，要注意不等式成立的条件．
14、函数的值域为（ ）
A、（﹣∞，+∞） B、[﹣2，+∞）
C、（0，+∞） D、[﹣2，0）
考点：函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：先求y=3﹣2x﹣x2的值域的取值范围，注意对数函数的真数大于零这个条件，再利用对数函数的单调性求其值域．
解答：解：∵令t=3﹣2x﹣x2=﹣（x+1）2+4，21cnjy
则t∈（0，4]，
而y=在（0，4]上是单调减函数，
∴值域为[﹣2，+∞），
故选B．
点评：本题考查了函数的值域，利用函数的单调性进行求解最值，注意定义域．
15、某大学的信息中心A与大学各部门，各院系B、C、D、E、F、G、H、I之间拟建立信息联网工程，实际测算的费用如图所示（单位：万元），请观察图形，可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院系都能联通（直接或中转），则最少的建网费用是（ ）
A、12万元 B、13万元
C、14万元 D、16万元
考点：函数最值的应用。
专题：阅读型。
分析：根据题意可知可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院系都能联通（直接或中转），从图形可以看出，最佳建网路线：A﹣H﹣G﹣F，A﹣E﹣D﹣C，A﹣B，A﹣I，最后计算出此时费用即可．
解答：解：可以不建部分网线而使得信息中心与各部门、各院系都能联通（直接或中转），
可考虑实际测算的费用每段中最小的网路线
最佳建网路线：A﹣H﹣G﹣F，A﹣E﹣D﹣C，A﹣B，A﹣I
此时费用为：1+1+1+1+2+2+3+2=13
故选B
点评：本题考查函数最值的应用，是一个读图题，从图形中观测出信息中心A与大学各部门，各院系B、C、D、E、F、G、H、I之间拟建立信息联网工程共有几条网路线，找一条包括实际测算的费用最小的网路线，是解题的关键，易错在未找到最佳建网路线．
16、函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，则函数y=2ax﹣1在[0，1]上的最大值是（ ）
A、6 B、1
C、3 D、
考点：函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：本题要分两种情况进行讨论：①0＜a＜1，函数y=ax在[0，1]上为单调减函数，根据函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a②a＞1，函数y=ax在[0，1]上为单调增函数，根据函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3，求出a，最后代入函数y=2ax﹣1，即可求出函数y=3ax﹣1在[0，1]上的最大值．
解答：解：①当0＜a＜1时
函数y=ax在[0，1]上为单调减函数
∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为1，a
∵函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3
∴1+a=3
∴a=2（舍）
②当a＞1时
函数y=ax在[0，1]上为单调增函数
∴函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值分别为a，121cnjy
∵函数y=ax在[0，1]上的最大值与最小值和为3
∴1+a=3
∴a=2
∴函数y=2ax﹣1在[0，1]上的最大值是3
故选C
点评：本题考查了函数最值的应用，但阶梯的关键要注意对a进行讨论，属于基础题．
17、如果对于函数f（x）定义域内任意的x，都f（x）≥M（M为常数），称M为f（x）的下界，下界M中的最大值叫做f（x）的下确界．下列函数中，有下确界的函数是（ ）
①f（x）=sinx ②f（x）=lgx ③f（x）=ex④f（x）=
A、①② B、①③
C、②③④ D、①③④
考点：函数最值的应用。
专题：常规题型。
分析：本题考查的是函数的最值问题．在解答的过程当中，要先充分体会题目所给的新定义含义，然后针对所给的四个函数逐一进行验证即可．解答时要充分利用好函数的性质求解相应函数的最小值．
解答：解：对f（x）=sinx≥﹣1 在R上恒成立，所以此函数有下确界；
对f（x）=lgx∈R在（0，+∞）上恒成立，所以此函数无下确界；
对f（x）=ex∈（0，+∞）在R上恒成立，所以此函数有下确界；
对f（x）=∈{﹣1，0，1}在（0，+∞）上恒成立，所以此函数有下确界；
综上可知①③④对应的函数都有下确界．
故选D．
点评：本题考查的是函数的最值和新定义相联系的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了新定义问题的特点、问题转化的思想以及函数求最值的方法．值得同学们体会反思．
18、对一切实数x，不等式x4+ax2+1≥0恒成立，则实a的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，﹣2） B、[﹣2，+∞）
C、[0，2] D、[0，+∞）21cnjy
考点：函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：讨论x是否为零，然后将a分离出来，使得﹣a恒小于不等式另一侧的最小值即可，求出a的范围即为所求．
解答：解：∵对一切实数x，不等式x4+ax2+1≥0
∴x4+1≥﹣ax2在R上恒成立
当x=0时不等式恒成立
当x≠0时，﹣a≤在R上恒成立
而≥2
∴﹣a≤2即a≥﹣2
故选B．
点评：本题主要考查了恒成立问题，以及参数分离法和利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．
19、若关于x的方程在区间（0，1）上有解，则实数m的取值范围是（ ）
A、（0，1） B、（1，2）
C、（﹣∞，1）∪（2，+∞） D、（﹣∞，0）∪（1，+∞）
所以，
∴，
∴实数m的取值范围是（0，1）．
故选A．
点评：此题考查的是函数最值得问题．在解答的过程当中充分体现了函数与方程的思想、问题转化的思想以及函数的性质和解不等式的方法．值得同学们体会反思．
20、点P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上任意一点，若点P的坐标满足不等式x+y+m≥0，则实数m的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：此题考的查的是函数的最值问题．在解答时，应先将问题转化为当满足点P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上时，求Z=x+y的最小值；然后由﹣m小于等于最小值恒成立，解不等式即可获得问题的解答．
解答：解：由点P的坐标满足不等式x+y+m≥0，
即知当满足点P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上时﹣m≤x+y恒成立．
∴只需要求当满足点P（x，y）是圆x2+（y﹣1）2=1上时，Z=x+y的最小值即可．21cnjy
如图可知：Z的最小值为，
∴，
∴．
故选B．
点评：此题考的查的是函数的最值问题．在解答的过程当中充分体现了圆的知识、线性规划的知识以及数形结合的思想和问题转化的思想．值得同学们体会反思．
21、已知x，y∈R，且x+2y≥1，则二次函数式u=x2+y2+4x﹣2y的最小值为．（ ）
A、﹣3 B、
C、24 D、
考点：函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：将二次函数式u=x2+y2+4x﹣2y进行配方，根据几何意义可知（x+2）2+（y﹣1）2表示区域里的点到点（﹣2，1）的距离的平方，然后求出最小值即可．
解答：解：u=x2+y2+4x﹣2y=（x+2）2+（y﹣1）2﹣5
而x，y∈R，且x+2y≥1，表示区域里的点到点（﹣2，1）的最小距离为
∴（x+2）2+（y﹣1）2的最小值为
则u=x2+y2+4x﹣2y的最小值为﹣5=﹣
故选D．
点评：本题主要考查了函数最值的应用，以及几何意义和点到直线的距离，属于中档题．
二、填空题（共3小题）
22、设集合，B={（x，y）|y≤﹣|x|+b}，A∩B≠?．
（1）b的取值范围是 [1，+∞） ；
（2）若（x，y）∈A∩B，且x+2y的最大值为9，则b的值是 ．
考点：空集的定义、性质及运算；交集及其运算；函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：（1）分别作出集合A，B表示的平面区域，由图求出b的范围
（2）由线性规划，在可行域内，给x+2y几何意义为直线的纵截距，使直线动起来，求出最值．
解答：解：（1）由图象可知b的取值范围是[1，+∞）．21cnjy
（2）若（x，y）∈A∩B，令z=2y+x
作直线z=2y+x，由图知当直线过（0，b）时，z最大所以0+2b=9，所以b=
点评：本题考查利用不等式表示的平面求参数的范围及求二元一次函数的最值：关键是给函数赋予几何意义．
23、已知函数f（x）=x2+abx+a+2b．若f（0）=4，则f（1）的最大值为 7 ．
点评：用配方法求二次函数的最值问题
24、已知函数f（x）的图象关于直线x=2对称，且在区间（﹣∞，0）上，当x=﹣1时，f（x）有最小值3，则在区间（4，+∞）上，当x= 5 时，f（x）有最 小 值为 3 ．
考点：函数的图象；函数最值的应用。
专题：数形结合。
分析：先根据函数f（x）的图象关于直线x=2对称，画出满足条件的图象，然后根据图象的对称性求出所求即可．
解答：解：根据函数f（x）的图象关于直线x=2对称，
以及在区间（﹣∞，0）上，当x=﹣1时，f（x）有最小值3，
在其对称的区间（4，+∞）上，当x=5时，f（x）有最小值3，
故答案为：5，小，3．
点评：本题主要考查了函数的图象，以及函数的对称性等有关基础知识，同时考查了数形结合的数学思想．
三、解答题（共6小题）
25、定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）=﹣f（x），且当x∈[﹣1，1]时，f（x）=x2．
（1）求证：2是函数f（x）的一个周期；
（2）求f（x）在区间[2k﹣1，2k+1]，k∈Z上的函数解析式；
（3）是否存在整数k，使对任意x∈[2k﹣1，2k+1]恒成立？若存在，请求出k的取值范围；若不存在，请说明理由．
考点：函数解析式的求解及常用方法；函数的周期性；函数最值的应用。
专题：计算题；分类讨论。21cnjy
分析：（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x）可得结论．
（2）设x∈[2k﹣1，2k+1]，则x﹣2k∈[﹣1，1]∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x﹣2k）=f（x）可求解．
（3）当x∈[2k﹣1，2k+1]时，恒成立，再用二次函数法求解．
解答：解：（1）因为f（x+2）=f[（x+1）+1]=﹣f（x+1）=﹣[﹣f（x）]=f（x）
所以：2是函数f（x）的一个周期（2分）
（2）∵f（x）是以2为周期的函数，即f（x﹣2k）=f（x），k∈Z
设x∈[2k﹣1，2k+1]，则x﹣2k∈[﹣1，1]∴f（x﹣2k）=（x﹣2k）2，
即f（x）=（x﹣2k）2，x∈[2k﹣1，2k+1]（k∈Z）（6分）
（3）当x∈[2k﹣1，2k+1]时，
①当k≥1时，则2k﹣1≥1，∴x＞0
∴原题等价于x2﹣2kx+4k2﹣9＞0对任意x∈[2k﹣1，2k+1]恒成立．
设g（x）=x2﹣2kx+4k2﹣9
当k≥1时，对称轴x=k≤2k﹣1
则g（2k﹣1）=4k2﹣2k﹣8≥0，
解得或∴整数k≥2（10分）
②当k≤﹣1时，则2k+1≤﹣1，∴x＜0，
∴原题等价于x2﹣2kx+4k2﹣9＜0对任意x∈[2k﹣1，2k+1]恒成立，
设g（x）=x2﹣2kx+4k2﹣9
当k≤﹣1时，对称轴x=k≥2k+1
则g（2k﹣1）=4k2﹣2k﹣8＞0，
解得∴整数k=﹣1（14分）
③当k=0时，原命题等价于对任意x∈[﹣1，1]恒成立
当x=1时，则﹣8＞0显然不成立∴k≠0（15分）
综上所述，所求k的取值范围是[2，+∞）∪﹣1．（16分）
点评：本题主要考查函数的周期性及用周期性求函数解析式，这类问题要注意转化自变量所在区间是关键．还考查了恒成立问题，要通过函数类型来求最值解决，本题用的是二次函数法，对称轴与区间的相对位置，即研究了单调性，也明确了自变量的正负，题目设计可谓巧妙．
26、定义在（0，+∞）上的三个函数f（x）、g（x）、h（x），已知f（x）=lnx，g（x）=x2﹣af（x），h（x）=x﹣a，且g（x）在x=1处取得极值．
（1）求a的值及h（x）的单调区间；
（2）求证：当1＜x＜e2时，恒有x＜；
（3）把h（x）对应的曲线C1向上平移6个单位后得到曲线C2，求C2与g（x）对应曲线C3的交点的个数，并说明道理．
令h'（x）=1﹣＞0 得 x＞1，所以 h（x）在（1，+∞）上位增函数
令h'（x）=1﹣＜0 得 0＜x＜1，h（x）在（0，1）上为减函数．
（2）∵1＜x＜e2∴0＜lnx＜2，∴2﹣lnx＞0，
欲证：x＜．只需证：x[2﹣f（x）]＜2+f（x），即证：f（x）＞
记k（x）=f（x）﹣=lnx﹣
∴k'（x）=
∴当x＞1时，k'（x）＞0∴k（x）在[1，+∞）上为增函数
∴k（x）＞k（1）=0，∴k（x）＞0
即lnx﹣＞0，∴lnx＞
∴结论成立
（3）由（1）知：g（x）=x2﹣2lnx，h（x）=x﹣2
∴C2对应表达式为
∴问题转化为求函数g（x）=x2﹣2lnx与交点的个数
即方程：的根的个数
即：21cnjy
设，h3（x）=﹣x2+x+6，
∴当x∈（0，4）时，h2′（x）＜0，h2（x）为减函数
当x∈（4，+∝）时，h2′（x）＞0，h2（x）为增函数
而h3（x）=﹣x2+x+6的图象开口向下的抛物线
∴h3（x）与h2（x）的大致图象如图：
∴h3（x）与h2（x）的交点个数为2个，即C2与C3的交点个数为2个．
点评：本题主要考查通过求函数的导数来确定函数的增减区间的问题．这里要熟记各种函数的求导法则．
27、已知函数f（x）=．
（1）用定义证明函数f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数；
（2）若x∈[1，2]，求函数f（x）的值域；
（3）若g（x）=，且当x∈[1，2]时g（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．
考点：函数单调性的判断与证明；函数的值域；函数最值的应用。
专题：证明题；综合题。
分析：（1）根据函数单调性的定义，先在所给区间上任设两个数并确定好大小，然后通过作差法即可获得自变量对应函数值的大小关系，由定义即可获得问题的解答；
（2）结合（1）所证明的结论即可获得函数在[1，2]上的单调性，从而可以求的函数在[1，2]上的最值，进而问题即可获得解答；
（3）充分利用前两问答结论，即可获得g（x）=在[1，2]上的最值，结合恒成立的条件即可将问题转化为实数a的不等关系，求解即可获得问题的解答．
解答：解：（1）设x1＜x2，
则f（x1）﹣f（x2）=﹣
∵x1＜x2，∴2x2﹣2x1＞0
又2x1+1＞0，2x2+1＞0，
f（x1）﹣f（x2）＞0即f（x1）＞f（x2）
∴f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数．
（2）∵f（x）在（﹣∞，+∞）上为减函数，
∴f（x）值域为．
（3）当x∈[{1，2}]时，g（x）∈21*cnjy*com
∵g（x）≥0在x∈[1，2]上恒成立，
∴，∴．
点评：本题考查的是函数单调性的问题．在解答的过程当中充分体现了函数单调性的定义、作差法、函数的最值以及恒成立问题．值得同学们体会和反思．
28、（2006?上海）已知函数y=x+有如下性质：如果常数a＞0，那么该函数在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数．
（1）如果函数y=x+（x＞0）的值域为[6，+∞），求b的值；
（2）研究函数y=x2+（常数c＞0）在定义域内的单调性，并说明理由；
（3）对函数y=x+和y=x2+（常数a＞0）作出推广，使它们都是你所推广的函数的特例．研究推广后的函数的单调性（只须写出结论，不必证明），并求函数F（x）=+（n是正整数）在区间[，2]上的最大值和最小值（可利用你的研究结论）．
考点：函数单调性的性质；函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：（1）函数y=x+（x＞0）的最小值是2=6，由此可求出b的值．
（2）设0＜x1＜x2，y2﹣y1=．由此入手经过讲座可知该函数在（﹣∞，﹣]上是减函数，在[﹣，0）上是增函数．
（3）可以把函数推广为y=（常数a＞0），其中n是正整数．当n是奇数时，函数y=在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，在（﹣∞，﹣]上是增函数，在[﹣，0）上是减函数；当n是偶数时，函数y=在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，在（﹣∞，﹣]上是减函数，在[﹣，0）上是增函数．并且由函数的单调性可求出当x=1时F（x）取得最小值2n+1．
解答：解：（1）函数y=x+（x＞0）的最小值是2，则2=6，
∴b=log29．
（2）设0＜x1＜x2，y2﹣y1=．
当＜x1＜x2时，y2＞y1，函数y=在[，+∞）上是增函数；
当0＜x1＜x2＜时y2＜y1，函数y=在（0，]上是减函数．
又y=是偶函数，于是，
该函数在（﹣∞，﹣]上是减函数，在[﹣，0）上是增函数；
（3）可以把函数推广为y=（常数a＞0），其中n是正整数．21*cnjy*com
当n是奇数时，函数y=在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，
在（﹣∞，﹣]上是增函数，在[﹣，0）上是减函数；
当n是偶数时，函数y=在（0，]上是减函数，在[，+∞）上是增函数，
在（﹣∞，﹣]上是减函数，在[﹣，0）上是增函数；
F（x）=+
=
因此F（x）在[，1]上是减函数，在[1，2]上是增函数．
所以，当x=或x=2时，F（x）取得最大值（）n+（）n；
当x=1时F（x）取得最小值2n+1；
点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答．
29、已知函数f（x）=x|x﹣a|+2x．
（1）若函数f（x）在R上是增函数，求实数a的取值范围；
（2）求所有的实数a，使得对任意x∈[1，2]时，函数f（x）的图象恒在函数g（x）=2x+1图象的下方；
（3）若存在a∈[﹣4，4]，使得关于x的方程f（x）=tf（a）有三个不相等的实数根，求实数t的取值范围．
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，即，，，故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，在x∈[1，2]时，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可．由此可知答案．
（3）当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则，即存在a∈（2，4]，使得即可，由此可证出实数t的取值范围为．
解答：解：（1）
由f（x）在R上是增函数，则即﹣2≤a≤2，则a范围为﹣2≤a≤2；（4分）
（2）由题意得对任意的实数x∈[1，2]，f（x）＜g（x）恒成立，21*cnjy*com
即x|x﹣a|＜1，当x∈[1，2]恒成立，即，，，故只要且在x∈[1，2]上恒成立即可，
在x∈[1，2]时，只要的最大值小于a且的最小值大于a即可，（6分）
而当x∈[1，2]时，，为增函数，；
当x∈[1，2]时，，为增函数，，
所以；（10分）
（3）当﹣2≤a≤2时，f（x）在R上是增函数，则关于x的方程f（x）=tf（a）不可能有三个不等的实数根；（11分）
则当a∈（2，4]时，由得x≥a时，f（x）=x2+（2﹣a）x对称轴，
则f（x）在x∈[a，+∞）为增函数，此时f（x）的值域为[f（a），+∞）=[2a，+∞），x＜a时，f（x）=﹣x2+（2+a）x对称轴，
则f（x）在为增函数，此时f（x）的值域为，f（x）在为减函数，此时f（x）的值域为；
由存在a∈（2，4]，方程f（x）=tf（a）=2ta有三个不相等的实根，则，
即存在a∈（2，4]，使得即可，令
，
只要使t＜（g（a））max即可，而g（a）在a∈（2，4]上是增函数，，
故实数t的取值范围为；（15分）
同理可求当a∈[﹣4，﹣2）时，t的取值范围为；
综上所述，实数t的取值范围为．（16分）
点评：本题考查函安息性质的综合应用，解题时要认真审题．
30、已知函数f（x）=（）x，x∈[﹣1，1]，函数g（x）=f2（x）﹣2af（x）+3的最小值为h（a）．
（1）求h（a）的解析式；
（2）是否存在实数m，n同时满足下列两个条件：①m＞n＞3；②当h（a）的定义域为[n，m]时，值域为[n2，m2]？若存在，求出m，n的值；若不存在，请说明理由．
知，
令
记g（x）=y=t2﹣2at+3，则g（x）的对称轴为t=a，故有：
①当时，g（x）的最小值h（a）=
②当a≥3时，g（x）的最小值h（a）=12﹣6a
③当时，g（x）的最小值h（a）=3﹣a2
综上所述，
（2）当a≥3时，h（a）=﹣6a+12，故m＞n＞3时，h（a）在[n，m]上为减函数，
所以h（a）在[n，m]上的值域为[h（m），h（n）]．
由题意，则?，
两式相减得6n﹣6m=n2﹣m2，
又m≠n，所以m+n=6，这与m＞n＞3矛盾，
故不存在满足题中条件的m，n的值．
点评：本题主要考查一次二次函数的值域问题，二次函数在特定区间上的值域问题一般结合图象和单调性处理，“定轴动区间”、“定区间动轴”．
