函数模型的选择及应用
一、选择题（共21小题）
1、100名学生报名参加A、B两个课外活动小组，报名参加A组的人数是全体学生人数的，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3，两组都没报名的人数是同时报名参加A、B两组人数的多1，求同时报名参加A、B两组人数（ ）
A、36 B、13
C、24 D、2721世纪教育网
2、直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f（t）的图象大致为（ ）
A、 B、
C、 D、
3、已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f（x）=ax?g（x）（a＞0，a≠0））；
②g（x）≠0；
若，则使logax＞1成立的x的取值范围是（ ）
A、（0，）∪（2，+∞） B、（0，）
C、（﹣∞，）∪（2，+∞） D、（2，+∞）21世纪教育网
4、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A、60件 B、80件
C、100件 D、120件
5、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）
A、45.606 B、45.6
C、45.56 D、45.51
6、某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A、95=15（1+x）2 B、15（1+x）3=95
C、15（1+x）+15（1+x）2=95 D、15+15（1+x）+15（1+x）2=95
7、某单位退休职工每年的退休金金额与他服务年数的平方根成正比现有甲、乙、丙三名退休职工．已知乙比甲多服务a年，他的退休金比甲多p元，丙比甲多服务6年（b≠a）．他的退休金比甲多q元，那么甲每年的退休金是（ ）
A、 B、
C、 D、
8、如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是（ ）
A、2.5m B、4m21世纪教育网
C、5m D、6m
9、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（ ）
A、0.28J B、0.12J
C、0.26J D、0.18J
10、某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（ ）
A、 B、
C、﹣1 D、﹣1
11、一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（ ）
A、可在7秒内追上汽车
B、可在9秒内追上汽车
C、不能追上汽车，但其间最近距离为14米
D、不能追上汽车，但其间最近距离为7米
12、由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低，设现在的电脑价格为8100元，则3年后的价格可降为（ ）
A、2400元 B、2700元
C、3000元 D、3600元21世纪教育网
13、某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体结果如下表：
根据以上提供的信息，市场供需平衡点即供给量和需求量相等时的单价大约为（ ）
A、2.3元 B、2.5元
C、2.7元 D、2.9元
14、我市出租车在3km以内，起步价为12.5元，行程达到或超过3km后，每增加1km加付2.4元（不足1km亦按1km计价），昨天汪老师乘坐这种出租车从长城大厦到莲花北，恰巧沿途未遇红灯，下车时支付车费19.7元，汪老师乘出租车走了xkm的路，则（ ）
A、5＜x≤7 B、5＜x≤6
C、5≤x≤6 D、6＜x≤7
15、因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；
方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；21世纪教育网
方案丙：第一次提价，第二次提价，
其中p＞q＞0，比较上述三种方案，提价最多的是（ ）
A、甲 B、乙
C、丙 D、一样多
16、某商品价格a元，降低10%后，又降低了10%，销售量猛增，商店决定再提价20%，提价后这种商品的价格为（ ）
A、a元 B、1.08a元
C、0.972a元 D、0.96a元
17、某市原来居民用电价为0.52元/kw?h，换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上九点）的电价0.55元/kw?h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元/kw?h．对于一个平均每月用电量为200kw?h 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为（ ）
A、110kw?h B、114kw?h
C、118kw?h D、120kw?h
18、国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况，它的计算公式为（x：人均食品支出总额，y：人均个人消费支出总额），且y=2x+475．各种类型家庭情况见下表：
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
n
n≥59%
50%≤n＜59%
40%≤n＜50%
30%≤n＜40%
李先生的居住地2002年比1998年食品价格下降了7.5%，李先生一家在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2002年属于（ ）
A、贫困 B、温饱
C、小康 D、富裕
19、用篱笆围成一个面积为196m2的矩形菜园，所用篱笆最短为（ ）m．
A、56 B、64
C、28 D、20
20、世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就相当于（ ）
A、新加坡（270万） B、香港（560万）
C、瑞士（700万） D、上海（1200万）
21、圆柱体金属饮料罐（有盖）的表面积为定值S，若使其体积最大，则它的高h与底面半径R应满足的关系式为（ ）
A、h=R B、
C、h=2R D、
二、填空题（共5小题）
22、某种储蓄按复利计算时，若本金为a元，每期利率为r，则n期后本利和为 _________ ．
23、汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费用+年均维修费），设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前x年的总维修费y满足y=ax2+bx，已知第一年的总维修费为1000元，前两年的总维修费为3000元，则这种汽车的最佳使用年限为 _________ 年．
24、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= _________ 吨．
25、地震级别的里氏震级是使用测震仪记录的地震曲线的振幅来量化的．震级越高，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．里氏震级的计算公式为：震级M=lgA﹣lgA0（其中A是被测地震的最大振幅，A0为一修正常数）．2008年5月四川汶川大地震为8.0级，2010年4月青海玉树发生的地震为7.1级，则汶川大地震的最大振幅是玉树地震最大振幅的 _________ 倍 （参考数据：lg2=0.3）．
26、若关于x的方程9﹣|x﹣2|﹣4×3﹣|x﹣2|﹣a=0，有实数根，则实数a的范围 _________ ．
三、解答题（共4小题）21世纪教育网
27、某校为解决教师后顾之忧，拟在一块长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如右图中矩形ABCD的教师公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米
（1）要使矩形教师公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？
（2）长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形教师公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？
28、某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元、其中f（x）=a（x﹣1）+2（a＞0）；g（x）=6ln（x+b），（b＞0）已知投资额为零时，收益为零．
（1）试求出a、b的值；
（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值．（精确到0.1，参考数据：ln3≈1.10）．
29、对于函数y=f（x），x∈（0，+∞），如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么f（a），f（b），f（c）也是一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“保三角形函数”．
对于函数y=g（x），x∈[0，+∞），如果a，b，c是任意的非负实数，都有g（a），g（b），g （c）是一个三角形的三边长，则称函数g（x）为“恒三角形函数”．
（1）判断三个函数“f1（x）=x，f2（x）=，f3（x）=3x2（定义域均为x∈（0，+∞））”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；
（2）若函数，x∈[{0，+∞}）是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；
（3）如果函数h（x）是定义在（0，+∞）上的周期函数，且值域也为（0，+∞），试证明：h（x）既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．
30、某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x﹣x2（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润y表示为年产量x的函数；
（2）年产量多少时，企业所得的利润最大？21cnjy
（3）年产量多少时，企业才不亏本？
答案与评分标准
一、选择题（共21小题）
1、100名学生报名参加A、B两个课外活动小组，报名参加A组的人数是全体学生人数的，报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3，两组都没报名的人数是同时报名参加A、B两组人数的多1，求同时报名参加A、B两组人数（ ）21cnjy
A、36 B、13
C、24 D、27
考点：集合的包含关系判断及应用；函数模型的选择与应用。
专题：计算题。
分析：先分别求出报名参加A、B两个课外活动小组的人数，设出同时报名参加A、B两组人数，根据条件建立等式关系，解之即可．
解答：解：∵100名学生报名参加A、B两个课外活动小组，报名参加A组的人数是全体学生人数的
∴报名参加A组的人数是100×=60
∵报名参加B组的人数比报名参加A组的人数多3
∴报名参加B组的人数为63
设同时报名参加A、B两组人数为x
∵两组都没报名的人数是同时报名参加A、B两组人数的多1
∴100﹣（123﹣x）=解得x=36
故选A
点评：本题主要考查了集合的包含关系判断及应用，以及函数模型的选择与应用，属于基础题．
2、直角梯形OABC中AB∥OC、AB=1、OC=BC=2，直线l：x=t截该梯形所得位于l左边图形面积为S，则函数S=f（t）的图象大致为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数的图象与图象变化；函数模型的选择与应用。
专题：数形结合。21cnjy
分析：本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中，首先应该直线l的运动位置分析面积的表达形式，进而得到分段函数：然后分情况即可获得问题的解答．
解答：解：由题意可知：当0＜t≤1时，，
当1＜t≤2 时，；
所以．
结合不同段上函数的性质，可知选项C符合．21cnjy
故选C．
点评：本题考查的是函数的图象和分段函数的综合类问题．在解答的过程当中充分体现了分段函数的知识、分类讨论的思想以及函数图象的知识．值得同学们体会和反思．
3、已知f（x），g（x）都是定义在R上的函数，且满足以下条件：
①f（x）=ax?g（x）（a＞0，a≠0））；
②g（x）≠0；
若，则使logax＞1成立的x的取值范围是（ ）
A、（0，）∪（2，+∞） B、（0，）
C、（﹣∞，）∪（2，+∞） D、（2，+∞）
考点：指数函数综合题；函数模型的选择与应用。
专题：计算题。
分析：由①及解得a=2或a=，然后利用相关对数的单调性解对数不等式
解答：解：由①及可得a+=，变形后得2a2﹣5a+2=0，解得a=2或a=
当 a=2时，由 logax＞1得x＞2
当 a=时，由 logax＞1得0＜x＜
故应选A
点评：本题考查变形的能力，由解题过程可以看出，通过变形解出a的值是求解不等式的关键．
4、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800元．若每批生产x件，则平均仓储时间为天，且每件产品每天的仓储费用为1元．为使平均每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品（ ）
A、60件 B、80件
C、100件 D、120件
考点：函数模型的选择与应用。
专题：应用题。
分析：若每批生产x件，则平均仓储时间为天，可得仓储总费用为，再加上生产准备费用为800元，可得生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=元，由此求出平均每件的生产准备费用与仓储费用之和，再用基本不等式求出最小值对应的x值
解答：解：根据题意，该生产x件产品的生产准备费用与仓储费用之和是=
这样平均每件的生产准备费用与仓储费用之和为（x为正整数）
由基本不等式，得
当且仅当时，f（x）取得最小值、
可得x=80时，每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小
故答案为B21cnjy
点评：本题结合了函数与基本不等式两个知识点，属于中档题，运用基本不等式时应该注意取等号的条件，才能准确给出答案．
5、某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x﹣0.15x2和L2=2x，其中x为销售量（单位：辆）．若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为（ ）
A、45.606 B、45.6
C、45.56 D、45.51
考点：函数模型的选择与应用；函数最值的应用。
专题：计算题。
分析：先根据题意，设甲销售x辆，则乙销售（15﹣x）辆，再列出总利润S的表达式，是一个关于x的二次函数，最后求此二次函数的最大值即可．
解答：解析：依题意，可设甲销售x辆，则乙销售（15﹣x）辆，
∴总利润S=5.06x﹣0.15x2+2（15﹣x）
=﹣0.15x2+3.06x+30（x≥0）．
∴当x=10.2时，Smax=45.6（万元）．
故选B．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．属于基础题．
6、某厂一月份的产值为15万元，第一季度的总产值是95万元，设月平均增长率为x，则可列方程为（ ）
A、95=15（1+x）2 B、15（1+x）3=95
C、15（1+x）+15（1+x）2=95 D、15+15（1+x）+15（1+x）2=95
考点：函数模型的选择与应用。
专题：应用题。
分析：本题可先用x表示出二月份的产值，再根据题意表示出三月份的产值，然后将三个月的产值相加，即可列出方程．
解答：解：二月份的产值为：15（1+x），
三月份的产值为：15（1+x）（1+x）=15（1+x）2，
故第一季度总产值为：15+15（1+x）+15（1+x）2=95．
故选D．
点评：本题考查函数模型的选择与应用，主要考查的是一元二次方程的运用，解此类题目时常常要按顺序列出接下来几月（年）的产值，再根据题意列出方程即可．
7、某单位退休职工每年的退休金金额与他服务年数的平方根成正比现有甲、乙、丙三名退休职工．已知乙比甲多服务a年，他的退休金比甲多p元，丙比甲多服务6年（b≠a）．他的退休金比甲多q元，那么甲每年的退休金是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：函数模型的选择与应用。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：如果设正常工作x年，退休金与服务年数的平方根的比例系数为k，则k﹣k=p①，k﹣k=q②；那么，正常退休时每年的退休金应为，不妨设=t，则，①式可化为=+2=，②式可化为=；两式相比，得出t，即为所求．
解答：解：设正常工作x年，退休金与服务年数的平方根的比例系数为k，则由题意，得
k﹣k=p①，k﹣k=q②；设=t，则，①式可化为?﹣t=p，即﹣1=，∴=+2=③；
同理，②式可化为=④；
③÷④，得=，∴t=；所以，正常退休时每年的退休金为（元）．
故选D．
点评：本题考查了含有二次根式的函数模型的应用，重点是考查了二次根式的运算能力，是中档题．
8、如图，花坛水池中央有一喷泉，水管OP=1 m，水从喷头P喷出后呈抛物线状先向上至最高点后落下，若最高点距水面2 m，P距抛物线对称轴1 m，则在水池直径的下列可选值中，最合算的是（ ）
A、2.5m B、4m
C、5m D、6m
考点：函数模型的选择与应用；函数最值的应用。
专题：计算题；函数思想。
分析：建立直角坐标系，借助坐标法先求出落点的最远距离，从而估算出水池直径即可．
解答：解：以O为原点，OP所在直线为y轴建立直角坐标系（如图），则抛物线方程可设为
y=a（x﹣1）2+2，P点坐标为（0，1），
∴1=a+2．∴a=﹣1．
∴y=﹣（x﹣1）2+2．
令y=0，得（x﹣1）2=2，∴x=1±．
∴水池半径OM=+1≈2.414（m）．
因此水池直径约为2×|OM|=4.828（m）．
点评：解决实际问题通常有几个步骤：（1）阅读理解，认真审题；（2）引进数学符号，建立数学模型，其中关键是建立数学模型．
9、如果10N的力能使弹簧压缩10cm，为在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，则克服弹力所做的功为（ ）
A、0.28J B、0.12J
C、0.26J D、0.18J
考点：函数模型的选择与应用。21*cnjy*com
分析：因为F=10Nl=10cm=0.1m，所以k==100，由此能求出在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，克服弹力所做的功．
解答：解：F=kl
∵F=10N，l=10cm=0.1m
∴k==100
∴在弹性限度内将弹簧从平衡位置拉到离平衡位置6cm处，
克服弹力所做的功：
w=Ep=
=
=0.18J．
故选D．
点评：本题考查物体的弹力做功问题，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．
10、某工厂去年12月份的产值是去年1月份产值的m倍，则该厂去年产值的月平均增长率为（ ）
A、 B、
C、﹣1 D、﹣1
11、一个人以6米/秒的匀速度去追赶停在交通灯前的汽车，当他离汽车25米时交通灯由红变绿，汽车开始作变速直线行驶（汽车与人的前进方向相同），汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，那么，此人（ ）
A、可在7秒内追上汽车
B、可在9秒内追上汽车
C、不能追上汽车，但其间最近距离为14米
D、不能追上汽车，但其间最近距离为7米
考点：函数模型的选择与应用。
专题：常规题型；应用题。
分析：首先根据题意汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒，求出加速度a，然后建立一元二次方程，求解可以判断不能追上汽车，最后判断最短距离即可．
解答：解：∵汽车在时刻t的速度为v（t）=t米/秒
∴a==1M/S
由此判断为匀加速运动
再设人于x秒追上汽车，有6x﹣25=①
∵x无解，因此不能追上汽车
①为一元二次方程，求出最近距离为7米
故选D
点评：本题考查函数模型的选择和应用，考查变形的能力，通过对实际问题的转化，简便的选择答案．本题为基础题．
12、由于生产电脑的成本不断降低，若每年电脑价格降低，设现在的电脑价格为8100元，则3年后的价格可降为（ ）
A、2400元 B、2700元
C、3000元 D、3600元21*cnjy*com
考点：函数模型的选择与应用。
分析：每降低一次价格，在原先的基础上乘一个，3年后的价格为
解答：解：第一年电脑价格为8100，在此基础上降价，可得第1年后的价格为
类似地，可得2年后的价格为
3年后的价格为
故选A
点评：此类问题在运用公式的同时，还要注意参照数的变化，第每次调价应以上次调价后的价格作为参照．
13、某农贸市场出售西红柿，当价格上涨时，供给量相应增加，而需求量相应减少，具体结果如下表：
根据以上提供的信息，市场供需平衡点即供给量和需求量相等时的单价大约为（ ）
A、2.3元 B、2.5元
C、2.7元 D、2.9元
故选：C．
点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，找到相关关系，然后求值．属于中档题．
14、我市出租车在3km以内，起步价为12.5元，行程达到或超过3km后，每增加1km加付2.4元（不足1km亦按1km计价），昨天汪老师乘坐这种出租车从长城大厦到莲花北，恰巧沿途未遇红灯，下车时支付车费19.7元，汪老师乘出租车走了xkm的路，则（ ）
A、5＜x≤7 B、5＜x≤6
C、5≤x≤6 D、6＜x≤7
考点：函数模型的选择与应用。21*cnjy*com
专题：应用题。
分析：出租车付费=12.5+超过3千米的付费，但路程是整数，计算采用的是进一法．所以付费的范围为，付费≤19.7，付费＞19.7﹣2.4元．
解答：解：设汪老师乘出租车走了xkm的路．
由题意得：19.7﹣2.4＜12.5+2.4（x﹣3）≤19.7
解得：5＜x≤6．
答：汪老师乘出租车走了大于5km而小于等于6km的路．
故选B．
点评：解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的不等关系式组．进而找到所求的量的等量关系．
15、因为某种产品的两种原料相继提价，所以生产者决定对产品分两次提价，现在有三种提价方案：
方案甲：第一次提价p%，第二次提价q%；
方案乙：第一次提价q%，第二次提价p%；
方案丙：第一次提价，第二次提价，
其中p＞q＞0，比较上述三种方案，提价最多的是（ ）
A、甲 B、乙
C、丙 D、一样多
考点：函数模型的选择与应用。
专题：计算题。
分析：两次提价属于增长率问题，分别计算出方案甲，方案乙，方案丙增长后的价格，再比较大小．
解答：解：设提价前的价格为1，那么两次提价后的价格为，方案甲：（1+p%）（1+q%）=1+p%+q%+0.01pq%；
方案乙：（1+q%）（1+p%）=1+p%+q%+0.01pq%；
方案丙：（1+）（1+）=1+p%+q%+=1+p%+q%+0.01×%；
∵≥pq，且p＞q＞0，∴上式“=”不成立；所以，方案丙提价最多．
故应选：C．
点评：本题考查了增长率问题和基本不等式的应用，是基础题．
16、某商品价格a元，降低10%后，又降低了10%，销售量猛增，商店决定再提价20%，提价后这种商品的价格为（ ）
A、a元 B、1.08a元
C、0.972a元 D、0.96a元
点评：本题考查函数模型的选择与应用，考查列代数式，得到第二次降价后的价格是解决本题的突破点；得到提价后这种商品的价格的等量关系是解决本题的关键．
17、某市原来居民用电价为0.52元/kw?h，换装分时电表后，峰时段（早上八点到晚上九点）的电价0.55元/kw?h，谷时段（晚上九点到次日早上八点）的电价为0.35元/kw?h．对于一个平均每月用电量为200kw?h 的家庭，换装分时电表后，每月节省的电费不少于原来电费的10%，则这个家庭每月在峰时段的平均用电量至多为（ ）
A、110kw?h B、114kw?h
C、118kw?h D、120kw?h21世纪教育网版权所有
考点：函数模型的选择与应用。
专题：综合题。
分析：设每月峰时段的平均用电量为xkw?h，那么谷时段的用电量为（200﹣x）kw?h，由“峰时段的平均用电量×（原来电价﹣峰时段电价）+谷时段用电量×（原来电价﹣谷时段电价）≥月用电量×原来电价×10%”；代入数值，可求得
每月峰时段的平均用电量至多为多少．
解答：解：设每月峰时段的平均用电量为xkw?h，则谷时段的用电量为（200﹣x）kw?h；
根据题意，得：（0.52﹣0.55）x+（0.52﹣0.35）（200﹣x）≥200×0.52×10%，
解，得：x≤118．
所以，这个家庭每月峰时段的平均用电量至多为118kw?h；
故选C．
点评：本题考查了一元二次不等式的解法，是基础题；本题解题的关键是根据题意，正确列出一元二次不等式．
18、国际上通常用恩格尔系数来衡量一个国家或地区人民生活水平的状况，它的计算公式为（x：人均食品支出总额，y：人均个人消费支出总额），且y=2x+475．各种类型家庭情况见下表：
家庭类型
贫困
温饱
小康
富裕
n
n≥59%
50%≤n＜59%
40%≤n＜50%
30%≤n＜40%
李先生的居住地2002年比1998年食品价格下降了7.5%，李先生一家在2002年购买食品和1998年完全相同的情况下人均少支出75元，则该家庭2002年属于（ ）
A、贫困 B、温饱
C、小康 D、富裕
考点：函数模型的选择与应用。
专题：应用题。
分析：首先设出1998年人均食品消费，然后分别表示出2002年人均食品支出，2002年人均消费支出．最后根据题意列出等式，求出未知数即可．
解答：解析：设1998年人均食品消费x元，
则2002年人均食品支出：x（1﹣7.5%）=92.5%x，
2002年人均消费支出：2×92.5%x+475，
由题意，有2×92.5%x+475+75=2x+475，
∴x=500．
此时，
≈0.3304=33.04%
故选D
点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，构造相关的函数模型，设出未知数求解，需要对函数知识有熟练的把握，属于基础题．
19、用篱笆围成一个面积为196m2的矩形菜园，所用篱笆最短为（ ）m．
A、56 B、64
C、28 D、20
考点：函数模型的选择与应用。
专题：应用题。
分析：设矩形的一边长为xm，根据篱笆围成一个面积为196m2的矩形菜园，我们易求出另一边长，进而可得篱笆周长的表达式，根据均值定理，我们易求出周长的最小值，即可得到答案．
解答：解：设矩形的一边长为x，则另一边为，
所以矩形的周长y=2（x+）
∵x＞0，∴y≥4=5621世纪教育网版权所有
当且仅当，即x=14时，矩形的周长最短，最短为56m
故选A
点评：本题考查的知识点是函数模型的选择与应用，考查利用基本不等式求最值，其中根据已知条件构造出周长函数的解析式，是解答本题的关键．
20、世界人口已超过56亿，若按千分之一的年增长率计算，则两年增长的人口就相当于（ ）
A、新加坡（270万） B、香港（560万）
C、瑞士（700万） D、上海（1200万）
点评：本题考查了增长率问题，即指数函数y=ax（a＞0，且a≠1）模型，是基础题．
21、圆柱体金属饮料罐（有盖）的表面积为定值S，若使其体积最大，则它的高h与底面半径R应满足的关系式为（ ）
A、h=R B、
C、h=2R D、
考点：函数模型的选择与应用。
专题：计算题。
分析：由圆柱体的表面积s，可得高h与底面半径R的关系，代入柱体体积公式，利用求导法，得体积最大时s与R的关系，从而得出h=2R．
解答：解：圆柱体的表面积为S=2πR2+2πRh，∴h=； 圆柱体的体积为V=πR2h=πR2?=Rs﹣πR3；
对V求导，得：V′=s﹣3πR2，令V′=0，则s﹣3πR2=0，此时体积最大；∴s=6πR2∴h==2R；
故选C．
点评：本题利用柱体的表面积，体积公式，考查了利用导数求函数最大值的问题，是基础题．
二、填空题（共5小题）
22、某种储蓄按复利计算时，若本金为a元，每期利率为r，则n期后本利和为 a（1+r）n ．
考点：根据实际问题选择函数类型；函数模型的选择与应用。
专题：应用题。
分析：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答时，首先要理解复利计息的含义，然后根据本金和每期利率逐一列举出前几期每一期的本利和，直至找出规律进而获得问题的解答．
解答：解：由题意可知：第1期后本利和为：a（1+r）；
第2期后本利和为：a（1+r）2；
第3期后本利和为：a（1+r）3；
…
依此类推：
第n期后本利和为：a（1+r）n．
故答案为：a（1+r）n．
点评：本题考查的是根据实际问题选择函数模型的问题．在解答的过程当中充分体现了应用题的特点，同时探索性问题的特点
23、汽车的最佳使用年限是使年均消耗费用最低的年限（年均消耗费用=年均成本费用+年均维修费），设某种汽车的购车的总费用为50000元；使用中每年的保险费、养路费及汽油费合计为6000元；前x年的总维修费y满足y=ax2+bx，已知第一年的总维修费为1000元，前两年的总维修费为3000元，则这种汽车的最佳使用年限为 10 年．
考点：函数模型的选择与应用。
专题：应用题。
分析：设出这种汽车使用n年报废合算，表示出每年的维修费用，根据每年平均消耗费用，建立函数模型，再用基本不等式法求其最值．
解答：解：设这种汽车使用n年报废合算，
由题意可知，每年的平均消耗费用
=
当且仅当，即n=10时，等号成立．
故这种汽车使用10年报废合算．
故答案为：10
点评：本题主要考查函数模型的建立与应用，还涉及了基本不等式求函数最值问题，本题解题的关键是整理出符合基本不等式的代数式．
24、某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为4x万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x= 20 吨．
考点：函数模型的选择与应用。
专题：应用题。
分析：先设此公司每次都购买x吨，利用函数思想列出一年的总运费与总存储费用之和，再结合基本不等式得到一个不等关系即可求得相应的x值．
解答：解：某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买x吨，21世纪教育网版权所有a
则需要购买次，运费为4万元/次，
一年的总存储费用为4x万元，
一年的总运费与总存储费用之和为万元，
≥=160，
当且仅当即x=20吨时，等号成立
即每次购买20吨时，一年的总运费与总存储费用之和最小．
故答案为：20．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数模型的选择与应用、函数最值的应用等基础知识，考查应用数学的能力．属于基础题．
25、地震级别的里氏震级是使用测震仪记录的地震曲线的振幅来量化的．震级越高，地震能量越大，测震仪记录的地震曲线的振幅就越大．里氏震级的计算公式为：震级M=lgA﹣lgA0（其中A是被测地震的最大振幅，A0为一修正常数）．2008年5月四川汶川大地震为8.0级，2010年4月青海玉树发生的地震为7.1级，则汶川大地震的最大振幅是玉树地震最大振幅的 8 倍 （参考数据：lg2=0.3）．
解答：解：设汶川地震最大振幅是A1，旧金山地震最大振幅是A2，
则根据震级M=lgA﹣lgA0得：
lg=8，lg=7.1，
∴≈8．
故答案为：8．
点评：本题考查函数模型的选择与应用、对数的运算法则，解答的关键是建立函数模型后利用对数的运算法则．
26、若关于x的方程9﹣|x﹣2|﹣4×3﹣|x﹣2|﹣a=0，有实数根，则实数a的范围 ﹣3≤a＜0 ．
考点：函数模型的选择与应用。
专题：计算题。
分析：令t=3﹣|x﹣2|，则t∈（0，1]，问题转化为二次方程t2﹣4t﹣a=0的区间根问题，构建二次函数模型，用函数的知识求解．
解答：解：令t=3﹣|x﹣2|，则t∈（0，1]，问题转化为二次方程t2﹣4t﹣a=0在 上应有解．
由t2﹣4t﹣a=0．得a=t2﹣4t，将此等式看成是a关于t的函数．
根据值域的概念，所求a的取值范围即为此二次函数在（0，1]上的值域．
∵a=（t﹣2）2﹣4，函数图象的对称轴t=2，∴函数在（0，1]上减函数．
当t=0时，a=0；当t=1时，a=﹣3，∴﹣3≤a＜0．
故填：﹣3≤a＜0．
点评：本题构建二次函数模型，用函数的知识求解，体现了函数与方程的思想．阅读理解是解应用题的起点，我们应正确使用好常见的函数模型：一次、二次函数；分段函数；指、对数函数等，深入挖掘、捕捉题目中的数学模型与数量关系，合理地运用函数思想解决函数运用题．21世纪教育网版权所有
三、解答题（共4小题）
27、某校为解决教师后顾之忧，拟在一块长AM=30米，宽AN=20米的矩形地块AMPN上施工，规划建设占地如右图中矩形ABCD的教师公寓，要求顶点C在地块的对角线MN上，B，D分别在边AM，AN上，假设AB长度为x米
（Ⅰ）要使矩形教师公寓ABCD的面积不小于144平方米，AB的长度应在什么范围？
（Ⅱ）长度AB和宽度AD分别为多少米时矩形教师公寓ABCD的面积最大？最大值是多少平方米？21世纪教育网版权所有
考点：函数的表示方法；函数的最值及其几何意义；函数模型的选择与应用。
分析：（1）首先利用三角形的相似性，求得边AD与边AB的长度关系，建立三角形面积函数模型，再由s≥144，得出边AB的长度范围；（2）由二次函数求最值求得．
解答：解：（1）依题意设AD=t则，
∴t=20﹣所以s=（20﹣）x，
又∵s≥144，
∴x2﹣30x+216≤0，解得12≤x≤18，
要使教师公寓ABCD的面积不小于144平方米，
即12≤x≤18，即AB的长度应在[12，18]内（6分）
（Ⅱ）s=（20﹣）x=﹣．
答：AB=15米，AD=10米时，教师公寓ABCD的面积最大，最大值是150平方米（12分）
点评：本题主要考查建立函数模型和解模的问题．
28、某个体户计划经销A、B两种商品，据调查统计，当投资额为x（x≥0）万元时，在经销A、B商品中所获得的收益分别为f（x）万元与g（x）万元、其中f（x）=a（x﹣1）+2（a＞0）；g（x）=6ln（x+b），（b＞0）已知投资额为零时，收益为零．
（1）试求出a、b的值；
（2）如果该个体户准备投入5万元经营这两种商品，请你帮他制定一个资金投入方案，使他能获得最大收益，并求出其收入的最大值．（精确到0.1，参考数据：ln3≈1.10）．21世纪教育网版权所有
（2）由（1）的结果可得：f（x）=2x，g（x）=6ln（x+1）依题意，可设投入B商品的资金为x万元（0＜x≤5），则投入A商品的资金为5﹣x万元，若所获得的收入为s（x）万元，则有s（x）=2（5﹣x）+6ln（x+1）=6ln（x+1）﹣2x+10（0＜x≤5）∵s（x）=
当x＜2时，s′（x）＞0；当x＞2时，s′（x）＜0；
∴x=2是s（x）在区间[0，5]上的唯一极大值点，此时s（x）取得最大值：
S（x）=s（2）=6ln3+6≈12.6（万元），此5﹣x=3（万元）
答该个体户可对A商品投入3万元，对B商品投入2万元，这样可以获得12.6万元的最大收益．
点评：本题主要考查函数的实际应用．
29、对于函数y=f（x），x∈（0，+∞），如果a，b，c是一个三角形的三边长，那么f（a），f（b），f（c）也是一个三角形的三边长，则称函数f（x）为“保三角形函数”．
对于函数y=g（x），x∈[0，+∞），如果a，b，c是任意的非负实数，都有g（a），g（b），g（c）是一个三角形的三边长，则称函数g（x）为“恒三角形函数”．
（Ⅰ）判断三个函数“f1（x）=x，f2（x）=，f3（x）=3x2（定义域均为x∈（0，+∞））”中，哪些是“保三角形函数”？请说明理由；
（Ⅱ）若函数，x∈[{0，+∞}）是“恒三角形函数”，试求实数k的取值范围；
（Ⅲ）如果函数h（x）是定义在（0，+∞）上的周期函数，且值域也为（0，+∞），试证明：h（x）既不是“恒三角形函数”，也不是“保三角形函数”．
考点：函数的零点与方程根的关系；函数模型的选择与应用。
专题：证明题；探究型；分类讨论。
分析：（Ⅰ）不妨设a≤b≤c，由a+b＞c，能推出f1（a）+f1（b）＞c=f1（c），可得f1（x）是“保三角形函数”．
同理可得f2（x）是“保三角形函数”．通过举反列a=3，b=3，c=5，f3（a）+f3（b）=f3（c），
故f3（x）不是“保三角形函数”．
（Ⅱ）当x=0时，g（x）=1；当x＞0时，，当k＞﹣1时，g（x）∈（1，k+2]，
由“恒三角形函数”的定义，1+1＞k+2，k＜0，故 有﹣1＜k＜0．
当k＜﹣1时，g（x）∈[k+2，1]，解，得，所以，．
将以上两个范围取并集．
（Ⅲ）因为存在正实数a，b，c，使得h（a）=1，h（b）=1，h（c）=2，故h（x）不是“恒三角形函数”．
由周期函数的定义，存在n＞m＞0，使得h（m）=1，h（n）=2，a，b，c是一个三角形的三边长，但因为
h（a）=h（b）=h（m）=1，h（c）=h（n）=2，故h（a），h（b），h（c）不是一个三角形的三边长，
h（x）也不是“保三角形函数”．
解答：解：（Ⅰ）对于f1（x）=x，它在（0，+∞）上是增函数，
不妨设a≤b≤c，则f1（a）≤f1（b）≤f1（c），因为a+b＞c，
所以f1（a）+f1（b）=a+b＞c=f1（c），故f1（x）是“保三角形函数”（2分）21世纪教育网版权所有
对于，它在（0，+∞）上是增函数，
不妨设a≤b≤c，则f2（a）≤f2（b）≤f2（c），因为a+b＞c，
所以=f2（c），
故f2（x）是“保三角形函数”（4分）
对于f3（x）=3x2，取a=3，b=3，c=5，显然a，b，c是一个三角形的三边长，
但因为f3（a）+f3（b）=3×（32+32）＜3×52=f3（c），
所以，f3（a）、f3（b）、f3（c）不是三角形的三边长，故f3（x）不是“保三角形函数”（6分）
（Ⅱ）∵，
∴当x=0时，g（x）=1； 当x＞0时，．
当k＞﹣1时，因为，
所以，g（x）∈（1，k+2]，
从而当k＞﹣1时，g（x）∈[1，k+2]，由1+1＞k+2，得k＜0，所以，﹣1＜k＜0（9分）
当k＜﹣1时，因为，
所以，g（x）∈[k+2，1），
从而当k＜﹣1时，g（x）∈[k+2，1]，由，
得，所以，，
综上所述，所求k的取值范围是：．（11分）
（Ⅲ）①因为h（x）的值域为（0，+∞），∴存在正实数a，b，c，
使得h（a）=1，h（b）=1，h（c）=2，
显然这样的h（a），h（b），h（c）不是一个三角形的三边长，
故h（x）不是“恒三角形函数”（13分）
②因为h（x）是值域为（0，+∞）的周期函数，所以存在n＞m＞0，
使得h（m）=1，h（n）=2，
设h（x）的最小正周期为T（T＞0），21世纪教育网版权所有
令a=b=m+kT，c=n，其中k∈N*，且，
则a+b＞c，又显然b+c＞a，c+a＞b，所以a，b，c是一个三角形的三边长，
但因为h（a）=h（b）=h（m）=1，h（c）=h（n）=2，
所以h（a），h（b），h（c）不是一个三角形的三边长，
故h（x）也不是“保三角形函数”（16分）
点评：本题考查“保三角形函数”、“恒三角形函数”的定义，函数的单调性与周期性，体现了分类讨论的数学思想．
30、某企业生产一种产品时，固定成本为5000元，而每生产100台产品时直接消耗成本要增加2500元，市场对此商品年需求量为500台，销售的收入函数为R（x）=5x﹣x2（万元）（0≤x≤5），其中x是产品售出的数量（单位：百台）．
（1）把利润y表示为年产量x的函数；
（2）年产量多少时，企业所得的利润最大？
（3）年产量多少时，企业才不亏本？
考点：函数最值的应用；函数模型的选择与应用。
专题：应用题；综合法。
所以y=
=
（2）在0≤x≤5时，y=﹣0.5x2+4.75x﹣0.5，
当x=﹣=4.75（百台）时，ymax=10.78125（万元），
当x＞5（百台）时，
y＜12﹣0.25×5=10.75（万元），
所以当生产475台时，利润最大．
（3）要使企业不亏本，即要求0≤x≤5，﹣0.5x2+4.75x﹣0.5≥0或x＞5，12﹣0.25x≥0
解得5≥x≥4.75﹣≈0.1（百台）或5＜x≤48（百台）时，
即企业年产量在10台到4800台之间时，企业不亏本．
点评：考查根据实际问题抽象函数模型的能力，并能根据模型的解决，指导实际生活中的决策问题，在解模的过程中应用了函数的单调性求最值，和借助于三角函数的有界性放缩不等式，属中档题．
