分段函数的应用
一、选择题（共19小题）
1、设函数，若方程f（x）=a有且只有一个实根，则实数a满足（ ）
A、a＜0 B、0≤a＜1
C、a=1 D、a＞1
2、国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费（扣税前）为（ ）
A、2800元 B、3000元
C、3800元 D、3818元21*cnjy*com
3、设函数，则实数a的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，﹣3） B、（1，+∞）
C、（﹣3，1） D、（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
4、若函数，则f（log43）=（ ）
A、 B、
C、3 D、4
5、关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
6、已知函数f（x）=若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A、（3，4） B、（2，3）
C、（1，2） D、（0，1）
7、设函数f（x）=，则满足f（x）=4的x的值是（ ）21*cnjy*com
A、2 B、16
C、2或16 D、﹣2或16
8、已知f（x）=则方程f（x）=2的实数根的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
9、已知f（x）=，则f（2009）等于（ ）
A、0 B、﹣1
C、2 D、1
10、定义max{a，b}=，已知实数x，y满足|x|≤1，|y|≤1，设z=max{x+y，2x﹣y}，则z的取值范围是（ ）
A、[﹣，2] B、[，2] 21*cnjy*com
C、[，3] D、[﹣，3]
11、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.50×[m]+1）给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数（例如[3]=3，[3.7]=4，[3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（ ）
A、3.71 B、3.97
C、4.24 D、4.77C
12、用max{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最大值，则f（x）=max{3x，2x+1，3﹣4x2}在区间[0，2]上的最大值M和最小值m分别是（ ）
A、M=9，m=﹣13 B、M=5，m=﹣13
C、M=9，m=2 D、M=5，m=1
13、某城市出租汽车统一价格：凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费；行程超过2km，超过部分再按1.5元/km收费（不足1km，按1km收费）；遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算（不足6分钟，按6分钟计算）．陈先生坐了一趟这种出租车，车费15元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程（单位：km）介于（ ）
A、9～11 B、7～9
C、5～6 D、3～5
14、据有关官员透露，个人所得税税率调整的部分结果为：
级数
全月应纳税所得额
税率（%）
1
不超过1000元的
5
2
超过1000元至3000元的部分
10
3
超过3000元至10000元的部分
15
4
…
…
规定，上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去3000元后的余数．若某人在某月的个人所得税是368.2元，则他那个月的工资、薪金收入是（ ）
A、7788元 B、5788元
C、6788元 D、8788元21*cnjy*com
15、已知函数，若f（x0）≥1，则x0的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，0] B、（﹣∞，0]∪[2，+∞）
C、0∪[2，+∞） D、R
16、已知函数f（x）=，则f（x）是（ ）
A、非奇非偶函数，且在（0，+∝）上单调递增
B、奇函数，且在R上单调递增
C、非奇非偶函数，且在（0，+∝）上单调递减
D、偶函数，且在R上单调递减
17、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2．则函数f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x）（x∈[﹣2，2]）的最大值等于（“?”和“﹣”仍为通常的乘法和减法）（
A、﹣1 B、1
C、6 D、1221*cnjy*com
18、某百货大楼在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下的规定获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围
[200，400）
[400，500）
[500，700）
[700，900）
…
获得奖券金额/元
30
60
100
130
…
根据上述促销的方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，设购买商品得到的优惠率=，试问：对于标价在[625，800]之内的商品，顾客要得到不小于的优惠率，应购买商品的标价范围是（ ）
A、[525，600] B、[625，750]
C、[650，760] D、[700，800]
19、函数f（x）的图象是如图所示的折线段OAB，点A坐标为（1，2），点B坐标为（3，0）．定义函数g（x）=f（x）?（x﹣1）．则函数g（x）最大值为（ ）
A、0 B、2
C、1 D、4
二、填空题（共3小题）
20、对a，b∈R，记max{a，b}=函数f（x）=max{|x+1|，|x﹣2|}（x∈R）的最小值是 _________ ．
21、对任意实数x，f（x）是x和x2﹣2中的较大者，则f（x）的最小值为 _________ ．
22、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=0.6（0.5?[m]+1）（元）决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数，（如[3]=3，[3.8]=4，[3.1]=4，）则从甲地到乙到通话时间为5.5分钟的电话费为 _________ ．
三、解答题（共8小题）
23、为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用某种药物进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式．
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回答教室．
24、设a为非负实数，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．
（1）当a=2时，求函数的单调区间；21*cnjy*com
（2）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．
25、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．
某市用水收费标准是：水费=基本费+超额费+定额损耗费，且有如下三条规定：
每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；
②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a不超过5元．
（1）求每户每月水费y（元）与月用水量x（立方米）的函数关系；
（2）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
月份
用水量（立方米）
水费（元）
一
4
17
二
5
23
三
2.5
11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．
26、已知函数f（x）满足．
（1）若f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞），求证：f（x）+f（2a﹣x）=﹣2对定义域内所有x都成立；
（2）若f（x）的定义域为时，求f（x）的值域；
（3）若f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞），设函数g（x）=x2+|（x﹣a）f（x）|，当时，求g（x）的最小值．
27、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（1）求第n年初M的价值an的表达式；
（2）设，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．
28、有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
29、当x在实数集R上任取值时，函数f（x）相应的值等于2x、2、﹣2x三个之中最大的那个值．
（1）求f（0）与f（3）；
（2）画出f（x）的图象，写出f（x）的解析式；
（3）证明f（x）是偶函数；21*cnjy*com
（4）写出f（x）的值域．
30、某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费（通话不足1分钟时按1分钟计），试设计一个计算通话费用的算法．要求写出算法，画出程序框图，编写程序．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、设函数，若方程f（x）=a有且只有一个实根，则实数a满足（ ）
A、a＜0 B、0≤a＜1
C、a=1 D、a＞121*cnjy*com
考点：函数的值域；分段函数的应用。
专题：数形结合。
分析：关于x的方程f（x）=a有且只有一个实根?y=f（x）与y=a的图象只有一个交点，结合图象可求观察．
解答：解：关于x的方程f（x）=a有且只有一个实根?y=f（x）与y=a的图象只有一个交点，
画出函数的图象如下图，观察函数的图象可知当a=1时，y=f（x）与y=a的图象只有一个交点
故选C．
点评：本题主要考查了根式函数、绝对值函数的图象性质；但要注意函数的图象的分界点，考查利用图象综合解决方程根的个数问题．
2、国家规定个人稿费纳税办法是：不超过800元的不纳税；超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分的14%纳税；超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税．已知某人出版一本书，共纳税420元，这个人应得稿费（扣税前）为（ ）
A、2800元 B、3000元
C、3800元 D、3818元
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用。
专题：计算题；应用题。
分析：根据题意求出稿费的函数表达式，然后利用纳税420元，求出这个人应得稿费（扣税前）．
解答：解：设扣税前应得稿费为x元，则应纳税额为分段函数，由题意得
y=．
如果稿费为4000元应纳税为448元，现知某人共纳税420元，所以稿费应在800～4000元之间，
∴（x﹣800）×14%=420，
∴x=3800．
故选C．
点评：本题考查分段函数及其应用，考查学生分析问题解决问题的能力，是基础题．
3、设函数，则实数a的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，﹣3） B、（1，+∞）
C、（﹣3，1） D、（﹣∞，﹣3）∪（1，+∞）
点评：本题考查分段函数、解不等式等问题，属基本题，难度不大．
4、若函数，则f（log43）=（ ）
A、 B、
C、3 D、4
考点：函数的值；分段函数的应用。
专题：计算题。
分析：先判断log43＞0，再代入f（x）=4x，利用指对运算性质计算即可
解答：解：∵log43＞0
∴f（log43）==3
故选C
点评：本题考查了分段函数的意义和性质，特别是求函数值时，不同阶段的对应关系不同，需要准确判断
5、关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0，给出下列四个命题：
①存在实数k，使得方程恰有2个不同的实根；
②存在实数k，使得方程恰有4个不同的实根；
③存在实数k，使得方程恰有5个不同的实根；
④存在实数k，使得方程恰有8个不同的实根；
其中假命题的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：分段函数的应用。
专题：数形结合。
分析：将方程的问题转化成函数图象的问题，画出可得．
解答：解：关于x的方程（x2﹣1）2﹣|x2﹣1|+k=0可化为（x2﹣1）2﹣（x2﹣1）+k=0（x≥1或x≤﹣1）（1）
或（x2﹣1）2+（x2﹣1）+k=0（﹣1＜x＜1）（2）
当k=﹣2时，方程（1）的解为±，方程（2）无解，原方程恰有2个不同的实根
当k=时，方程（1）有两个不同的实根±，方程（2）有两个不同的实根±，即原方程恰有4个不同的实根
当k=0时，方程（1）的解为﹣1，+1，±，方程（2）的解为x=0，原方程恰有5个不同的实根
当k=时，方程（1）的解为±，±，方程（2）的解为±，±，即原方程恰有8个不同的实根
故选A
点评：本题考查了分段函数，以及函数与方程的思想，数形结合的思想．21世纪教育网
6、已知函数f（x）=若a，b，c互不相等，且f（a）=f（b）=f（c），则abc的取值范围是（ ）
A、（3，4） B、（2，3）
C、（1，2） D、（0，1）
考点：对数函数的图像与性质；分段函数的应用。
专题：数形结合。
分析：画出函数f（x）=的图象，根据f（a）=f（b）=f（c），不妨a＜b＜c，结合图象求出abc的范围即可．
解答：解：作出函数f（x）的图象如图，
不妨设a＜b＜c，则
﹣log2a=log2b=﹣c+3∈（0，1）
∴ab=1，0＜﹣c+3＜1，
则abc=c∈（2，3）．
故选B．
点评：本题主要考查分段函数、对数的运算性质以及利用数形结合解决问题的能力．解答的关键是图象法的应用，即利用函数的图象交点研究方程的根的问题．
7、设函数f（x）=，则满足f（x）=4的x的值是（ ）
A、2 B、16
C、2或16 D、﹣2或16
点评：本题考查分段函数求值及指数函数与对数函数的基本运算，对基本运算规则掌握的熟练程度要求较高．
8、已知f（x）=则方程f（x）=2的实数根的个数是（ ）
A、0 B、121世纪教育网
C、2 D、3
考点：分段函数的应用。
专题：计算题。
分析：要由f（x）=2求x，需要判断x的范围，分x≥0，f（x）=31﹣x=2，x＜0，f（x）=x2+4x+3=2两种情况讨论，根据x的范围代入相应的解析式即可求解
解答：解：令31﹣x=2，∴1﹣x=log32．∴x=1﹣log32．
又∵log32＜log33=1，∴x=1﹣log32＞0．
∴这个实根符合题意．
令x2+4x+3=2，则x2+4x+1=0．
解得两根x1=﹣2﹣，x2=﹣2+，
x1和x2均小于0，符合题意．
故选D
点评：本题主要考查了分段函数的函数值的求解，体现了分类讨论的思想的运用．
9、已知f（x）=，则f（2009）等于（ ）
A、0 B、﹣1
C、2 D、1
考点：分段函数的应用。
专题：计算题。
分析：利用函数的解析式知道当x≥0时是以5周期的周期函数，故f（2009）=f（﹣1），再代入函数解析式即得
解答：解：∵f（x）=，
∴当x≥0时，f（2009）=f（2009﹣5k），k∈z
∴当k=402时即f（2009）=f（﹣1）=log2|﹣1|=0
故选A
点评：本题主要考查了分段函数的应用，但解题的关键在于根据x≥0时的函数的周期性将f（2009）转化成为f（﹣1），属于基础题．
10、定义max{a，b}=，已知实数x，y满足|x|≤1，|y|≤1，设z=max{x+y，2x﹣y}，则z的取值范围是（ ）
A、[﹣，2] B、[，2]
C、[，3] D、[﹣，3]
考点：分段函数的应用。
专题：计算题。
分析：本题属于线性规划问题，先找出可行域，即四边形ABCD上及其内部，（x+y）与（2x﹣y）相等的分界线﹣x+2y=0，令z1=x+y，点（x，y）在四边形ABCD上及其内部，求得z1范围；令z2=2x﹣y，点（x，y）在四边形ABEF上及其内部（除AB边）求得z2范围，将这2个范围取并集可得答案．
解答：解：∵（x+y）﹣（2x﹣y）=﹣x+2y，
∴21世纪教育网
直线﹣x+2y=0
将约束条件|x|≤1，|y|≤1，所确定的平面区域分为两部分．如图，
令z1=x+y，点（x，y）在四边形ABCD上及其内部，求得﹣≤z1≤2；
令z2=2x﹣y，点（x，y）在四边形ABEF上及其内部（除AB边），求得﹣≤z2≤3．
综上可知，z的取值范围为[﹣，3]．
故选D．
点评：表面上看约束条件和目标函数都是静态的，实际上二者都是动态变化的，目标函数是z=x+y还是z=2x﹣y并没有明确确定下来，直线﹣x+2y=0又将原可行域分为两部分．本题看似风平浪静，实际暗藏玄机，化动为静，在静态状态下，从容破解问题．
11、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=1.06（0.50×[m]+1）给出，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数（例如[3]=3，[3.7]=4，[3.1]=4），则从甲地到乙地通话时间为5.5分钟的话费为（ ）
A、3.71 B、3.97
C、4.24 D、4.77C
考点：分段函数的应用。
专题：计算题；新定义。
分析：先利用[m]是大于或等于m的最小整数求出[5.5]=6，再直接代入f（m）=1.06（0.50×[m]+1）即可求出结论．
解答：解：由[m]是大于或等于m的最小整数可得[5.5]=6．
所以f（5.5）=1.06×（0.50×[5.5]+1）=1.06×4=4.24．
故选：C．
点评：本题涉及到了对新定义的考查．解决本题的关键在于对[m]是大于或等于m的最小整数的理解和应用，求出[5.5]=6．
12、用max{a，b，c}表示a、b、c三个数中的最大值，则f（x）=max{3x，2x+1，3﹣4x2}在区间[0，2]上的最大值M和最小值m分别是（ ）
A、M=9，m=﹣13 B、M=5，m=﹣13
C、M=9，m=2 D、M=5，m=1
21世纪教育网
故选C．
点评：图解法求函数最值，关键是把函数图象准确的画出，体现了应用函数图象解决问题的能力，体现了数形结合的思想．
13、某城市出租汽车统一价格：凡上车起步价为6元，行程不超过2km者均按此价收费；行程超过2km，超过部分再按1.5元/km收费（不足1km，按1km收费）；遇到塞车或等候时，汽车虽没有行驶，仍按6分钟折算1km计算（不足6分钟，按6分钟计算）．陈先生坐了一趟这种出租车，车费15元，车上仪表显示等候时间为11分30秒，那么陈先生此趟行程（单位：km）介于（ ）
A、9～11 B、7～9
C、5～6 D、3～5
考点：分段函数的应用。
专题：计算题。
分析：设陈先生的行程为xkm，根据题意可得，陈先生要付的车费为y=6+（x﹣2）×1.5+2×1.5=15，求解x即可
解答：解：设陈先生的行程为xkm
根据题意可得，陈先生要付的车费为y=6+（x﹣2）×1.5+2×1.5=15
∴x=6
故选C．
点评：本题主要考查了分段函数在实际问题中的应用，解决本题的关键是要根据实际问题抽象出函数表达式，进而解决实际问题．
14、据有关官员透露，个人所得税税率调整的部分结果为：
级数
全月应纳税所得额
税率（%）
1
不超过1000元的
5
2
超过1000元至3000元的部分
10
3
超过3000元至10000元的部分
15
4
…
…
规定，上表中“全月应纳税所得额”是从月工资、薪金收入中减去3000元后的余数．若某人在某月的个人所得税是368.2元，则他那个月的工资、薪金收入是（ ）
A、7788元 B、5788元
C、6788元 D、8788元
考点：分段函数的应用。
专题：应用题。
分析：设月工资、薪金收入为x，纳税额y由题意义可得，当0＜x≤4000，y=0.05×（x﹣3000）≤50；当4000＜x≤6000，y=50+0.1×（x﹣4000）≤250；当6000＜x≤13000，y=50+200+0.15×（x﹣6000）；当y=368.2时．由题意义可得，250+0.15（x﹣6000）=368.2．
解答：解：设月工资、薪金收入为x，纳税额y
当0＜x≤4000，y=0.05×（x﹣3000）≤5021世纪教育网
当4000＜x≤6000 y=50+0.1×（x﹣4000）≤250
当6000＜x≤13000 y=50+200+0.15×（x﹣6000）
当y=368.2．由题意义可得，250+0.15（x﹣6000）=368.2
x=6788
故选C．
点评：本题主要考查了分段函数的应用，解决实际问题的关键是要把实际问题转化为数学问题，利用数学知识进行解决．
15、已知函数，若f（x0）≥1，则x0的取值范围是（ ）
A、（﹣∞，0] B、（﹣∞，0]∪[2，+∞）
C、0∪[2，+∞） D、R
考点：分段函数的应用。
专题：计算题；综合题；分类讨论。
分析：分x≤0和x＞0两种情况求解．x0≤0时，f（x0）=+1≥1；x0＞0时，f（x0）=log2x0≥1，分别求解，再求并集即可求得x0的取值范围．
解答：解：x0≤0时，f（x0）=+1≥1，则x0≤0，
x0＞0时，f（x0）=log2x0≥1，解得x0≥2
所以x0的范围为x0≤0或x0≥2
故选B．
点评：本题考查分段函数、解不等式、指对函数、对数函数等基础知识，体现了分类讨论的思想，属中档题．
16、已知函数f（x）=，则f（x）是（ ）
A、非奇非偶函数，且在（0，+∝）上单调递增 B、奇函数，且在R上单调递增
C、非奇非偶函数，且在（0，+∝）上单调递减 D、偶函数，且在R上单调递减
考点：分段函数的应用；函数奇偶性的判断。
专题：计算题。
分析：根据函数f（x）=求出函数的定义域为{x|x＞0}不关于原点对称，可知该函数为非奇非偶函数；利用复合函数的单调性的判定方法即可求得函数的单调性．
解答：解：函数f（x）=的定义域为，
解得x＞0，即{x|x＞0}不关于原点对称，
因此函数是非奇非偶函数；
根据复合函数的单调性的判定方法，可知：函数f（x）=在（0，+∝）上单调递增．
故选A．
点评：本题考查函数的奇偶性和单调性，注意解决函数奇偶性的问题时，首项判定函数的定义域是否关于原点对称，若函数的定义域不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数，复合函数单调性的判定为“同增异减”，属中档题．
17、在实数的原有运算法则中，我们补充定义新运算“⊕”如下：当a≥b时，a⊕b=a；当a＜b时，a⊕b=b2．则函数f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x）（x∈[﹣2，2]）的最大值等于（“?”和“﹣”仍为通常的乘法和减法）（
A、﹣1 B、1
C、6 D、12
考点：分段函数的应用。
专题：新定义。
分析：首先认真分析找出规律，可以先分别求得（1⊕x）?x和（2⊕x），再求f（x）=（1⊕x）?x﹣（2⊕x）的表达式．然后求出其最大值即可．
解答：解：当﹣2≤x≤1时，
在1⊕x中，1相当于a，x相当于b，
∵﹣2≤x≤1，
∴符合a≥b时的运算公式，
∴1⊕x=1．
（1⊕x）x﹣（2⊕x）
=x﹣（2⊕x），
=x﹣（2⊕x），
=x﹣2，
当1＜x≤2时，
（1⊕x）x﹣（2⊕x）
=x2?x﹣（2⊕x），
=x3﹣（2⊕x），
=x3﹣2，
∴此函数当x=2时有最大值6．
故选C．
点评：此题主要考查了二次函数最值问题，解决此类问题时，主要运用等量代换思想，即要看准用哪一个数字代替哪一个字母．
18、某百货大楼在促销期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后，按如下的规定获得相应金额的奖券：
消费金额（元）的范围
[200，400）
[400，500）
[500，700）
[700，900）
…
获得奖券金额/元
30
60
100
130
…
根据上述促销的方法，顾客在该商场购物可以获得双重优惠，设购买商品得到的优惠率=，试问：对于标价在[625，800]之内的商品，顾客要得到不小于的优惠率，应购买商品的标价范围是（ ）
A、[525，600] B、[625，750]
C、[650，760] D、[700，800]
考点：分段函数的应用。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：先设商品标价为x，求出消费金额的范围是：[500，640]，在第三段，再代入优惠率的计算公式与相比即可求得结论．
解答：解：设商品标价为x
则625≤x≤800，所以有500≤80%x≤640．
即消费金额的范围是：[500，640]
在上述表格中的第三段，
此时购买商品得到的优惠率p=≥?x≤750
故满足要求的商品标价范围是：625≤x≤750．
故选B．
点评：本题主要考查分段函数的应用以及数学在实际生活中的应用．关于分段函数的应用问题，其关键在与判断出变量所在范围，进而代入对应的解析式．
19、函数f（x）的图象是如图所示的折线段OAB，点A坐标为（1，2），点B坐标为（3，0）．定义函数g（x）=f（x）?（x﹣1）．则函数g（x）最大值为（ ）
A、0 B、2
C、1 D、4
解答：解：由题意知：函数f（x）的解析式为：，
又∵g（x）=f（x）?（x﹣1）．
∴函数g（x）的解析式为：
当0≤x≤2时，，∴gmax（x）=g（2）=4；
当2＜x≤3时，g（x）=﹣（x﹣2）2+1＜1．
∴函数g（x）最大值为4．
故选D．
点评：本题考查的是分段函数解析式的求法和分段函数求最值的综合问题．在解答时充分体现了数形结合的思想、新定义的思想、分类讨论的思想以及问题转化的思想．值得同学们体会反思．
二、填空题（共3小题）
20、对a，b∈R，记max{a，b}=函数f（x）=max{|x+1|，|x﹣2|}（x∈R）的最小值是 ．
考点：函数的值域；函数最值的应用；分段函数的应用。
专题：计算题；综合题。21世纪教育网
分析：本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式的综合类问题．在解答时应先根据|x+1|和|x﹣2|的大小关系，结合新定义给出函数f（x）的解析式，再通过画函数的图象即可获得问题的解答．
解答：解：由|x+1|≥|x﹣2|?（x+1）2≥（x﹣2）2?x≥，
故f（x）=，
其图象如右，
则．
故答案为：．
点评：本题考查新定义函数的理解和解绝对值不等式等问题，属于中档题．在解答过程当中充分考查了同学们的创新思维，培养了良好的数学素养．
21、对任意实数x，f（x）是x和x2﹣2中的较大者，则f（x）的最小值为 ﹣1 ．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用。
分析：作出y=x和y=x2﹣2的图象，求出其交点坐标，确定出f（x）的解析式，再求其最小值．
解答：解：x=x2﹣2时，x=﹣1或x=2，由图象可知，
f（x）=，故f（x）的最小值为﹣121cnjy
故答案为：﹣1．
点评：本题考查分段函数的最值问题，注意数形结合思想解题．
22、拟定从甲地到乙地通话m分钟的电话费由f（m）=0.6（0.5?[m]+1）（元）决定，其中m＞0，[m]是大于或等于m的最小整数，（如[3]=3，[3.8]=4，[3.1]=4，）则从甲地到乙到通话时间为5.5分钟的电话费为 2.4元 ．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；函数的表示方法；分段函数的应用。
专题：计算题。
分析：先求出[5.5]，代入已知的式子中即可．
解答：解：由题意[5.5]=6，故电话费为f（m）=0.6（0.5?6+1）=2.4元，
故答案为：2.4元
点评：本题考查函数的应用问题，属基本题，难度不大．
三、解答题（共8小题）
23、为了预防甲型H1N1流感，某学校对教室用某种药物进行消毒．已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）成正比；药物释放完毕后，y与t的函数关系式为（a为常数），如图所示，根据图中提供的信息，回答下列问题：
（1）求从药物释放开始，每立方米空气中的含药量y（毫克）与时间t（小时）之间的函数关系式．
（2）据测定，当空气中每立方米的含药量降低到0.25毫克以下时，学生方可进教室，那么从药物释放开始，至少需要经过多少小时后，学生才能回答教室．
考点：分段函数的解析式求法及其图象的作法；分段函数的应用。
分析：（1）利用函数图象，借助于待定系数法，求出函数解析法，进而发现函数性质；
（2）根据函数解析式，挖掘其性质解决实际问题．
解答：解：（1）由于图中直线的斜率为，21cnjy
所以图象中线段的方程为y=10t（0≤t≤0.1），
又点（0.1，1）在曲线上，所以，
所以a=0.1，因此含药量y（毫克）与时间（小时）之间的函数关系式为
（5分）
（2）因为药物释放过程中室内药量一直在增加，即使药量小于0.25毫克，学生也不能进入教室，
所以，只能当药物释放完毕，室内药量减少到0.25毫克以下时学生方可进入教室，即＜0.25，
解得t＞0.6
所以从药物释放开始，至少需要经过0.6小时，学生才能回到教室．（10分）
点评：根据题意，利用函数的图象，求得分段函数的解析式，利用解析式进一步解决具体实际问题．
24、设a为非负实数，函数f（x）=x|x﹣a|﹣a．
（Ⅰ）当a=2时，求函数的单调区间；
（Ⅱ）讨论函数y=f（x）的零点个数，并求出零点．
f（x）=x2﹣2x﹣2=（x﹣1）2﹣3，
∴f（x）在（2，+∞）上单调递增；
②当x＜2时，f（x）=﹣x2+2x﹣2=﹣（x﹣1）2﹣1，
∴f（x）在（1，2）上单调递减，在（﹣∞，1）上单调递增；
综上所述，f（x）的单调递增区间是（﹣∞，1）和（2，+∞），单调递减区间是（1，2）．
（Ⅱ）（1）当a=0时，f（x）=x|x|，函数y=f（x）的零点为x0=0；
（2）当a＞0时，，
故当x≥a时，，二次函数对称轴，
∴f（x）在（a，+∞）上单调递增，f（a）＜0；
当x＜a时，，二次函数对称轴，21cnjy
∴f（x）在上单调递减，在上单调递增；
∴f（x）的极大值为，
1°当，即0＜a＜4时，函数f（x）与x轴只有唯一交点，即唯一零点，
由x2﹣ax﹣a=0解之得函数y=f（x）的零点为或（舍去）；
2°当，即a=4时，函数f（x）与x轴有两个交点，即两个零点，分别为x1=2和；
3°当，即a＞4时，函数f（x）与x轴有三个交点，即有三个零点，
由﹣x2+ax﹣a=0解得，，
∴函数y=f（x）的零点为和．
综上可得，当a=0时，函数的零点为0；
当0＜a＜4时，函数有一个零点，且零点为；
当a=4时，有两个零点2和；
当a＞4时，函数有三个零点和．
点评：本题主要考查了函数的单调性，以及函数零点问题，同时考查了分类讨论的数学思想和计算能力，属于中档题．
25、我国是水资源比较贫乏的国家之一，各地采用价格调控等手段以达到节约用水的目的．
某市用水收费标准是：水费=基本费+超额费+定额损耗费，且有如下三条规定：
①若每月用水量不超过最低限量m立方米时，只付基本费9元和每户每月定额损耗费a元；
②若每月用水量超过m立方米时，除了付基本费和定额损耗费外，超过部分每立方米付n元的超额费；
③每户每月的定额损耗费a不超过5元．
（1）求每户每月水费y（元）与月用水量x（立方米）的函数关系；
（2）该市一家庭今年第一季度每月的用水量和支付的费用如下表所示：
月份
用水量（立方米）
水费（元）
一
4
17
二
5
23
三
2.5
11
试分析该家庭今年一、二、三各月份的用水量是否超过最低限量，并求m，n，a的值．
考点：函数与方程的综合运用；分段函数的应用。
专题：应用题。
分析：（1）根据水费=基本费+超额费+定额损耗费，把几项费用加到一起列出关于x的等式即得到．
（2）由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于最低限量m立方米．故可由（1）列出方程式求出x，y．再求出m，n，同理可以求出3月份的．即得到答案．
解答：（1）解：依题意，得其中0＜a≤5．21cnjy
（2）解：∵0＜a≤5，
∴9＜9+a≤14．
由于该家庭今年一、二月份的水费均大于14元，故用水量4立方米，5立方米都大于
最低限量m立方米．
将和分别代入（**），
得
两式相减，得n=6．
代入17=9+n（4﹣m）+a，得a=6m﹣16．
又三月份用水量为2.5立方米，
若m＜2.5，将代入（**），得a=6m﹣13，
这与a=6m﹣16矛盾．（10分）
∴m≥2.5，即该家庭三月份用水量2.5立方米没有超最低限量．
将代入（*），得11=9+a，
由解得
故该家庭今年一、二月份用水超过最低限量，三月份用水没有超过最低限量，且m=3，n=6，a=2．
点评：本小题主要考查函数和方程、分段函数等知识，考查函数与方程、分类与整合的数学思想方法，以及抽象概括能力、推理论证能力、运算求解能力和应用意识．
26、已知函数f（x）满足．
（Ⅰ）若f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞），求证：f（x）+f（2a﹣x）=﹣2对定义域内所有x都成立；
（Ⅱ）若f（x）的定义域为时，求f（x）的值域；
（Ⅲ）若f（x）的定义域为（﹣∞，a）∪（a，+∞），设函数g（x）=x2+|（x﹣a）f（x）|，当时，求g（x）的最小值．
考点：函数最值的应用；函数的值域；分段函数的应用。
专题：证明题；综合题；压轴题；分类讨论；换元法。
分析：（Ⅰ）根据函数f（x）满足，求出f（x）和f（2a﹣x），代入验证f（x）+f（2a﹣x）=﹣2；（Ⅱ）根据（Ⅰ）求得f（x）和f（x）的定义域为，分析求出f（x）的值域；（Ⅲ）把（Ⅰ）求得f（x）代入函数g（x）=x2+|（x﹣a）f（x）|，去绝对值，转化为分段函数求最小值．
解答：解：（Ⅰ）∵f（x+a）=﹣﹣1=﹣﹣1
∴f（x）=（a∈R且x≠a）
∴f（x）+f（2a﹣x）=
==﹣2．21cnjy
（Ⅱ）当a+≤x≤a+1时，
﹣1≤a﹣x≤﹣，即﹣2≤≤﹣2，
∴﹣3≤≤﹣2，
故f（x）的值域为[﹣3，﹣2]．
（Ⅲ）g（x）=x2+|x+1﹣a|=，（x≠a）．
①当x≥a﹣1且x≠a时，g（x）=x2+x+1﹣a=﹣a，
∵a≥，∴a﹣1≥﹣，即a≥时，
在函数在[a﹣1，a）和（a，+∞）上单调递增，
gmin（x）=g（a﹣1）=（a﹣1）2；．
②当x≤a﹣1时，g（x）=x2﹣x﹣1+a=，
如果a﹣1≤，即a≤时，g（x）在（﹣∞，a﹣1]上为减函数，
gmin（x）=g（a﹣1）=（a﹣1）2．
如果a﹣1＞，即a＞时，gmin（x）=g；
因为当a＞时，＞0，
即（a﹣1）2＞a﹣．
综上所述，当时，g（x）的最小值是（a﹣1）2；
当a＞时，g（x）的最小值是a﹣．
点评：考查根据复合函数求函数的解析式，函数值域的求法，即分段函数的最值问题，应用了换元的方法，体现了分类讨论的思想，属难题．
27、某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M，M的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M的价值为上年初的75%．
（Ⅰ）求第n年初M的价值an的表达式；
（Ⅱ）设，若An大于80万元，则M继续使用，否则须在第n年初对M更新．证明：须在第9年初对M更新．
an=120﹣10（n﹣1）=130﹣10n
当n≥6时，数列{an}是以a6为首项，公比为的等比数列，又a6=70
所以
因此，第n年初，M的价值an的表达式为
（II）设Sn表示数列{an}的前n项和，由等差、等比数列的求和公式得
当1≤n≤6时，Sn=120n﹣5n（n﹣1），An=120﹣5（n﹣1）=125﹣5n
当n≥7时，由于S6=570故
Sn=S6+（a7+a8+…+an）
==
因为{an}是递减数列，
所以{An}是递减数列，
又
所以须在第9年初对M更新．
点评：本题考查等差数列的通项公式，前n项和公式、考查等比数列的通项公式及前n项和公式、考查分段函数的问题要分到研究．
28、有时可用函数f（x）=，描述学习某学科知识的掌握程度．其中x表示某学科知识的学习次数（x∈N*），f（x）表示对该学科知识的掌握程度，正实数a与学科知识有关．
（1）证明：当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降；
（2）根据经验，学科甲、乙、丙对应的a的取值区间分别为（115，121]，（121，127]，（127，133]．当学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，请确定相应的学科．
考点：分段函数的应用。
专题：应用题；探究型；数学模型法。
分析：（1）x≥7时，作差求出增长量f（x+1）﹣f（x），研究其单调性知，差是一个减函数，故掌握程度的增长量总是下降、
（2）学习某学科知识6次时，掌握程度是85%，故得方程由此方程解出a的值即可确定相应的学科．
解答：证明：（1）当x≥7时，
而当x≥7时，函数y=（x﹣3）（x﹣4）单调递增，且（x﹣3）（x﹣4）＞0
故函数f（x+1）﹣f（x）单调递减
当x≥7时，掌握程度的增长量f（x+1）﹣f（x）总是下降
（2）由题意可知
整理得21cnjy
解得（13分）
由此可知，该学科是乙学科..（14分）
点评：本题是分段函数在实际问题中的应用，在实际问题中，分段函数是一个很重要的函数模型．
29、当x在实数集R上任取值时，函数f（x）相应的值等于2x、2、﹣2x三个之中最大的那个值．
（1）求f（0）与f（3）；
（2）画出f（x）的图象，写出f（x）的解析式；
（3）证明f（x）是偶函数；
（4）写出f（x）的值域．
解答：解：（1）f（0）=2，f（3）=6．
（2）f（x）=
（3）当x＞1时，﹣x＜﹣1，所以f（﹣x）=﹣2（﹣x）=2x，f（x）=2x，有f（﹣x）=f（x）；
当x＜﹣1时，﹣x＞1，所以f（﹣x）=2（﹣x）=﹣2x，f（x）=﹣2x，有f（﹣x）=f（x）；
当﹣1≤x≤1时，f（﹣x）=2=f（x）．
综上所述，对定义域中任意一个自变量x都有f（﹣x）=f（x）成立．
所以f（x）是偶函数．
（4）观察图象得，函数的值域为：[2，+∞）．
点评：本小题主要考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、分段函数的应用等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想、化归与转化思想．属于基础题．
30、某电信部门规定：拨打市内电话时，如果通话时间不超过3分钟，则收取通话费0.2元，如果通话时间超过3分钟，则超过部分以每分钟0.1元收取通话费（通话不足1分钟时按1分钟计），试设计一个计算通话费用的算法．要求写出算法，画出程序框图，编写程序．
考点：分段函数的应用。
专题：综合题。
分析：本题考查的知识点是设计程序框图解决实际问题，我们根据题目已知中物品的托运费用计算规则，然后可根据分类标准，设置两个判断框的并设置出判断框中的条件，再由各段的输出，确定判断框的“是”与“否”分支对应的操作，由此即可画出流程图，再编写满足题意的程序．
解答：解 我们用c（单位：元）表示通话费，t（单位：分钟）表示通话时间，21cnjy
则依题意有
算法步骤如下：第一步，输入通话时间t；
第二步，如果t≤3，那么c=0.2；否则令 c=0.2+0.1 （t﹣3）；
第三步，输出通话费用c；
程序框图如图所示
点评：本题考查的知识点是算法程序框图，伪代码，编写程序解决分段函数问题，其中根据算法步骤画出程序框图，熟练掌握各种框图对应的语句是解答本题的关键．
