棱柱的结构特征
一、选择题（共20小题）
1、设集合M={正四棱柱}，N={正方体}，P={直四棱柱}，Q={直平行六面体}，则M、N、P、Q 的包含关系是（ ）
A、M?N?P?Q B、M?N?Q?P
C、N?M?P?Q D、N?M?Q?P21世纪教育网版权所有
2、在数列{an}中，n∈N*，若（k为常数），则称{an}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0
②等差数列一定是等差比数列21世纪教育网版权所有
③等比数列一定是等差比数列
④等差比数列中可以有无数项为0
其中正确的判断是（ ）
A、①② B、②③
C、③④ D、①④
3、把一个正方体的每个角沿各棱的中点都截去一个三棱锥，变成一个新的几何体，那么在新几何体中任意两个顶点连成直线段，则其位于正方体内部的概率为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
4、以平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的概率P为（ ）
A、 B、
C、 D、
5、在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
6、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
A、20 B、15
C、12 D、10
7、如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF∥B1C1，用 平面BCFE把这个长方体分成了（1）、（2）两部分后，这两部分几何体的形状是（ ）
A、（1）是棱柱，（2）是棱台
B、（1）是棱台，（2）是棱柱
C、（1）（2）都是棱柱
D、（1）（2）都是棱台
8、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠ACC1=60°，∠BCC1=45°，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
9、如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（ ）
A、2 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、
10、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ）
A、三角形 B、四边形21世纪教育网版权所有
C、五边形 D、六边形
11、如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A、①②③ B、②④
C、③④ D、②③④
12、两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们重叠在一起组成一个新的长方体，在这些长方体中，最长对角线的长度是（ ）21世纪教育网版权所有
A、cm B、7cm
C、5cm D、10cm
13、六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．已知在平行四边形ABCD中，AC2+BD2=2（AB2+AD2），则在平行六面体
ABCD﹣A1B1C1D1中，AC12+BD12+CA12+DB12等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、2（AB2+AD2+AA12） B、3（AB2+AD2+AA12）
C、4（AB2+AD2+AA12） D、4（AB2+AD2）
14、阅读程序框图，该程序输出的结果是（ ）21世纪教育网版权所有
A、9 B、81
C、729 D、6561
15、若长方体的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体体对角线长为（ ）
A、 B、
C、 D、
16、如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E是A1C1、、AC的中点，则下面判断不正确的为（ ）
A、直线A1E∥平面B1DC
B、直线AD⊥平面B1DC
C、平面B1DC⊥平面ACC1A1
D、直线AC与平面B1DC所成的角为60°
17、一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）
A、棱锥 B、棱柱
C、平面 D、长方体
18、四棱柱的顶点数、棱数、面数分别是（ ）
A、8，12，6 B、8，10，6
C、6，8，12 D、8，6，12
19、在边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1上的点，且AE=C1F，则四边形EBFD1的面积最小值为（ ）
A、 B、
C、 D、
20、一长方体木料，沿下图所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD，那么以下四个图形是截面的是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
21、在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为 _________ ．
22、若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 _________ 和 _________ ．
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23、如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则a= _________ ．
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24、空间中一长方体如下图所示，其中ABCD为正方形，为长方体的一边．已知，则cot∠CED= _________
25、如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，
容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））
有下列四个命题：
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是： _________ （写出所有真命题的代号）．21世纪教育网
三、解答题（共5小题）
26、如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点21世纪教育网
（1）求A1A与底面ABC所成的角；
（2）证明A1E∥平面B1FC；
（3）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．21世纪教育网
27、将一个直三棱柱分割成三个三棱锥，试将这三个三棱锥分离．
28、根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．
29、已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O1是上底面对角线A1C1、B1D1的交点，体对角线A1C交截面AB1D1于点P，求证：O1、P、A三点在同一条直线上．
30、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、设集合M={正四棱柱}，N={正方体}，P={直四棱柱}，Q={直平行六面体}，则M、N、P、Q的包含关系是（ ）
A、M?N?P?Q B、M?N?Q?P
C、N?M?P?Q D、N?M?Q?P
考点：集合的包含关系判断及应用；棱柱的结构特征。
专题：常规题型。
分析：本题考查的是集合的包含关系判断及应用．在解答时，首先要充分考虑集合种元素的特征、区别及联系．即对直四棱柱、直平行六面体、正四棱柱和正方体之间的联系和区别进行分析即可获得问题的解答．
解答：解：由题意可知：
是直四棱柱不一定是直平行六面体，而是直平行六面体一定是直四棱柱，所以Q是P的子集；
是直平行六面体不一定是正四棱柱，而是正四棱柱一定是直平行六面体，所以M是Q的子集；
是正四棱柱不一定是正方体，而是正方体一定是正四棱柱，所以N是M的子集；
∴N?M?Q?P．21世纪教育网
故选D．
点评：本题考查的是集合的包含关系判断及应用．在解答的过程当中充分体现了集合的包含关系、几何体的特征以及包含关系的表示等知识．值得同学们体会和反思．
2、在数列{an}中，n∈N*，若（k为常数），则称{an}为“等差比数列”．下列是对“等差比数列”的判断：
①k不可能为0
②等差数列一定是等差比数列21世纪教育网
③等比数列一定是等差比数列
④等差比数列中可以有无数项为0
其中正确的判断是（ ）
A、①② B、②③
C、③④ D、①④
考点：等差数列与等比数列的综合；棱柱的结构特征。21世纪教育网
专题：综合题。
分析：当k=0时，则数列成了常数列，则分母也为0，进而推断出k不可能为0，判断出①正确．当等差数列和等比数列为常数列时不满足题设的条件，排除②③；把④通项公式代入题设中，满足条件，进而推断④正确．
解答：解：若公差比为0，则an+2﹣an+1=0，故{an}为常数列，从而的分母为0，无意义，所以公差比一定不为零，故①正确．
当等差数列为常数列时不满足题设的条件，故②不正确．
当等比数列为常数列时，不满足题设，故③不正确．
对于④等差比数列中可以有无数项为0．
故选D
点评：本题以新定义公式为载体，考查了等比数列的通项公式，前n项和公式的灵活应用；也考查了一定的计算能力，是中档题．
3、把一个正方体的每个角沿各棱的中点都截去一个三棱锥，变成一个新的几何体，那么在新几何体中任意两个顶点连成直线段，则其位于正方体内部的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、以平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的概率P为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：等可能事件的概率；棱柱的结构特征。
专题：计算题。
分析：根据平行六面体的几何特征，我们可以求出以平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的任意三个顶点为顶点作三角形的总个数，及从中随机取出2个三角形的情况总数，再求出这两个三角形共面的情况数，即可得到这两个三角形不共面的情况数，代入古典概型概率公式，即可得到答案．
解答：解：∵平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点任意三个均不共线21cnjy
故从8个顶点中任取三个均可构成一个三角形共有C83=56个三角形，从中任选两个，共有C562=1540种情况
从8个顶点中4点共面共有12种情况（六个面，六个对角面），每个面的四个顶点共确定6个不同的三角形
故任取出2个三角形，则这2个三角形不共面共有1540﹣12×6=1468种
故从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的概率P==
故选C
点评：本题考查的知识点是等可能事件的概率，古典概型概率计算公式，棱柱的结构特征，其中根据棱柱的结构特征，求出基本事件总个数和满足条件的基本事件个数是解答本题的关键．
5、在正方体八个顶点中任取四个顺次连接得到三棱锥，则所得三棱锥中至少有三个面都是直角三角形的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
6、正五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个正五棱柱对角线的条数共有（ ）
A、20 B、1521cnjy
C、12 D、10
考点：棱柱的结构特征。21cnjy
专题：计算题。
分析：抓住上底面的一个顶点，看从此顶点出发的对角线有多少条即可解决．
解答：解：由题意正五棱柱对角线一定为上底面的一个顶点和下底面的一个顶点的连线，因为不同在任何侧面内，
故从一个顶点出发的对角线有2条．正五棱柱对角线的条数共有2×5=10条．
故选D21cnjy
点评：本题考查计数原理在立体几何中的应用，考查空间想象能力．
7、如图，在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF∥B1C1，用 平面BCFE把这个长方体分成了（1）、（2）两部分后，这两部分几何体的形状是（ ）
A、（1）是棱柱，（2）是棱台 B、（1）是棱台，（2）是棱柱21cnjy
C、（1）（2）都是棱柱 D、（1）（2）都是棱台
考点：棱柱的结构特征。
专题：阅读型。
分析：我们想知道几何体的形状，只要观察它的特征，严格按照棱柱、棱台定义来判断即可．
解答：解：（1）中，有两个平行的平面BB1E与平面CC1F，其余各面都是四边形，并且每相邻两
个四边形的公共边互相平行，这符合棱柱的定义，所以（1）是三棱柱；
（2）中，有两个平行的平面ABEA1与平面DCFD1，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公
共边互相平行，符合棱柱的定义，所以（2）是四棱柱．
故选C
点评：本题易出现的错误是把（2）看成棱台．我们知道台体是由锥体截得的，但是题中的部分（2）是如何都不能还原成锥体的，故（2）不是棱台．
8、如图，在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=90°，∠ACC1=60°，∠BCC1=45°，侧棱CC1的长为1，则该三棱柱的高等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：棱柱的结构特征。
专题：计算题；作图题。
分析：过C1作面ACB、线BC、AC的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，推出四边形OECD为矩形，求出OC，然后求出该三棱柱的高．21cnjy
解答：解：过C1作面ACB、线BC、AC的垂线，交点分别为O，D，E，连接OD、OC、OE，
可知OE⊥AC，OD⊥BE，又因为∠ACB=90°，所以四边形OECD为矩形．
∠ACC1=60°，则CE=CC1=，同理CD=21cnjy
在直角三角形OCD中，由勾股定理得 OC=，
在直角三角形COC1中0C1==
故选A．
点评：本题考查棱柱的结构特征，考查作图和计算能力，是基础题．21cnjy
9、如图，正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各棱长都2，E，F分别是AB，A1C1的中点，则EF的长是（ ）
A、2 B、
C、 D、
点评：本题考查学生对棱柱的结构认识，以及学生的综合能力，是基础题．
10、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P、Q、R分别是AB、AD、B1C1的中点．那么，正方体的过P、Q、R的截面图形是（ ）
A、三角形 B、四边形
C、五边形 D、六边形21cnjy
选D．
点评：本题主要考查学生对截面图形的空间想像，以及用所学知识进行作图的能力．
11、如图是正方体的平面展开图．在这个正方形中，21cnjy
①BM与ED平行；
②CN与BE是异面直线；
③CN与BM成60°角；
④DM与BN垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A、①②③ B、②④
C、③④ D、②③④
考点：棱柱的结构特征。
专题：作图题。
分析：正方体的平面展开图复原为正方体，不难解答本题．
解答：解：由题意画出正方体的图形如图：
显然①②不正确；③CN与BM成60°角，即∠ANC=60°
正确；④DM⊥平面BCN，所以④正确；
故选C．
点评：本题考查正方体的结构特征，异面直线，直线与直线所成的角，直线与直线的垂直，是基础题．
12、两个完全相同的长方体的长、宽、高分别为5 cm、4 cm、3 cm，把它们重叠在一起组成一个新的长方体，在这些长方体中，最长对角线的长度是（ ）21*cnjy*com
A、cm B、7cm
C、5cm D、10cm
考点：棱柱的结构特征。
专题：计算题。
分析：把两个完全相同的长方体重叠在一起组成一个新的长方体，可能有三种情形：分别是长、宽、高各加长原来的两倍，再分别计算出三种情况的体对角线后比较大小即可．
解答：解：两个完全相同的长方体重叠在一起有三种情况，
分别计算三种情况的体对角线为=、21*cnjy*com
或=、
或=，21*cnjy*com
所以最长对角线的长为5．
故选C．
点评：本题主要考查了点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力和推理论证能力，属于基础题．
13、六个面都是平行四边形的四棱柱称为平行六面体．已知在平行四边形ABCD中，AC2+BD2=2（AB2+AD2），则在平行六面体
ABCD﹣A1B1C1D1中，AC12+BD12+CA12+DB12等于（ ）
A、2（AB2+AD2+AA12） B、3（AB2+AD2+AA12）
C、4（AB2+AD2+AA12） D、4（AB2+AD2）
考点：棱柱的结构特征。
分析：根据平行六面体的性质，可以得到它的各个面以及它的对角面均为平行四边形，多次使用已知条件中的定理，再将所得等式相加，可以计算出正确结论．
解答：解：如图，平行六面体的各个面以及对角面都是平行四边形，
因此，在平行四边形ABCD中，AC2+BD2=2（AB2+AD2）…①；21*cnjy*com
在平行四边形ACA1C1中，A1C2+AC12=2（AC2+AA12）…②；
在平行四边形BDB1D1中，B1D2+BD12=2（BD2+BB12）…③；
②、③相加，得A1C2+AC12+B1D2+BD12=2（AC2+AA12）+2（BD2+BB12）…④
将①代入④，再结合AA1=BB1得，AC12+B1D2+A1C2+BD12=4（AB2+AD2+AA12）21*cnjy*com
故选C．
点评：此题主要考查学生对平行六面体的认识，对平行四边形的性质的理解和掌握，考查学生方程组的处理能力，属于中档题．
14、阅读程序框图，该程序输出的结果是（ ）21*cnjy*com
A、9 B、81
C、729 D、6561
考点：棱柱的结构特征。
专题：图表型。
分析：这是一个当型循环结构的程序框图，只需按程序流程操作，根据程序框图，可知，实际是一个求等比数列的第四项的问题，再根据等比数列通项公式可求．
解答：解：当a=1时，不满足a≥4，执行循环体，s=s×9，a=a+1
此时s=9，a=2，不满足a≥4，继续执行循环体，s=s×9，a=a+1
得到s=81，a=3，不满足a≥4，继续执行循环体，s=s×9，a=a+1
得到s=729，a=4，满足a≥4，输出s．
故答案为729．
点评：本题考查了根据循环结构的程序框图，求等比数列的某一项．
15、若长方体的三个面的对角线长分别是a，b，c，则长方体体对角线长为（ ）
A、 B、
C、 D、
16、如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的，底面边长是侧棱长2倍，D、E是A1C1、、AC的中点，则下面判断不正确的为（ ）
A、直线A1E∥平面B1DC B、直线AD⊥平面B1DC21*cnjy*com
C、平面B1DC⊥平面ACC1A1 D、直线AC与平面B1DC所成的角为60°
考点：棱柱的结构特征。
专题：计算题。
分析：由线面平行的判定定理，可判断A的真假；由直三棱柱的结构特征，结合线面垂直的判定定理，可判断B的真假；由B中结论结合面面垂直的判定定理，可判断C的真假，由B中结论，结合线面夹角的定义，可判断D的真假，进而得到答案．
解答：解：∵A1E∥DC，由线面平行的判断定理，可得直线A1E∥平面B1DC，故A正确；
∵底面边长是侧棱长2倍，∴△ADC为等腰直角三角形，即AD⊥DC，再根据直三棱柱的性质，我们易得B1D⊥平面A1ACC1，进而B1D⊥AD，结合线面垂直的判断定理，可以得到直线AD⊥平面B1DC，故B正确；
结合B中结论，由面面垂直的判定定理可得平面B1DC⊥平面ACC1A1，故C正确；
由B中结论，∠ACD即为直线AC与平面B1DC所成的角，∵∠ACD=45°，故D错误；
故选D
点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，线面平行的判定，线面垂直的判定，面面垂直的判定，线面夹角，其中分析棱柱的结构特征，为求证直线与平面的位置关系寻找条件，是解答本题的关键．
17、一个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离可以形成（ ）
A、棱锥 B、棱柱
C、平面 D、长方体
考点：棱柱的结构特征。
专题：阅读型。
分析：分析边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离后，平移前后点、线、面之间的关系，结合棱柱的几何特征即可得到答案．
解答：解：个多边形沿不平行于多边形所在平面的方向平移一段距离
则平移前多边形和平移后多边形所在的平面平行
且各个顶点在平移过程中形成的线相互平行
各边在平移过程形成的面均为平行四边形
故形成的几何体为棱柱
故选B
点评：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，其中熟练掌握各个几何体的几何特征是解答此类问题的关键．
18、四棱柱的顶点数、棱数、面数分别是（ ）
A、8，12，6 B、8，10，6
C、6，8，12 D、8，6，12
19、在边长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为AA1，CC1上的点，且AE=C1F，则四边形EBFD1的面积最小值为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
考点：棱柱的结构特征。
分析：这题看起来麻烦，其实很简单，要有几何直观思维，容易得出四边形BED1F是平行四边形，四边形EBFD1的面积S=，作点E到BD1的垂线交点M，则S=2××EM×BD1，由BD1=，知求四边形EBFD1的面积最小值只要求EM最短即可．
解答：解：如图，四边形EBFD1的面积S=，
作点E到BD1的垂线交点M，
则S=2××EM×BD1，
∵BD1=，∴求四边形EBFD1的面积最小值只要求EM最短即可，
在△AA1M中，EM最短就是EM垂直AA1．
中线任一点到点A，B1，A1的距离相等，
则MA=MA1，
则EM最短为AA1的垂直平分线，
此时EM=，
BD1=，
∴四边形EBFD1的面积最小值：
Smin=2××EM×BD1=2×××=．
故选C．
点评：本题考查棱锥的结构特征，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
20、一长方体木料，沿下图所示平面EFGH截长方体，若AB⊥CD，那么以下四个图形是截面的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：棱柱的结构特征。21*cnjy*com
专题：图表型。
分析：根据长方体的相对面相互平行得AB∥MN，AN∥BM，由AB⊥CD得截面必为矩形．
解答：解：∵AB、MN两条交线所在平面（侧面）互相平行，∴AB、MN无公共点，
又∵AB、MN在平面EFGH内，故AB∥MN，同理易知AN∥BM，又AB⊥CD，∴截面必为矩形．
故选A．21*cnjy*com
点评：本题考查了长方体的结构特征得应用，利用面面平行的性质定理和题意，证明截面必为矩形．
二、填空题（共5小题）21*cnjy*com
21、在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱相互平行的概率为 ．
考点：等可能事件的概率；棱柱的结构特征。
专题：计算题。
分析：本题是一个等可能事件的概率，试验发生包含的事件是从12条棱中选2条，共有C122种结果，满足条件的事件是这两条棱相互平行，共有3C42种结果，根据等可能事件的概率得到结果．
解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生包含的事件是从12条棱中选2条，共有C122=66种结果，
满足条件的事件是这两条棱相互平行，共有3C42=18种结果，
∴所求的概率是=，
故答案为：．
点评：本题考查等可能事件的概率，考查棱柱的结构特征，概率在几何中的应用，在计算时要求做到，兼顾所有的条件，做的不重不漏，注意实际问题本身的限制条件．
22、若一个正三棱柱的三视图如图所示，则这个正三棱柱的高和底面边长分别为 2 和 4 ．
23、如图是一个正三棱柱的三视图，若三棱柱的体积是，则a= 2 ．
考点：组合几何体的面积、体积问题；由三视图求面积、体积；构成空间几何体的基本元素；棱柱的结构特征。
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：本题可由棱柱的体积公式建立方程求a，由三视图知棱柱的高是a，底面的三角形的高是2，又正三棱柱的底面是正三角形，可表示出三棱柱的底面积，再由公式建立方程求出a值．
解答：解：由三视图知棱柱的高是a，底面的三角形的高是2，
又正三棱柱的底面是正三角形，故底面三角形的边长为 421*cnjy*com
故三棱柱的体积是×4×2×a=，解得a=221*cnjy*com
故答案为 2．
点评：本题考查简单空间图形的三视图，解题的关键是识图，由三视图得出几何体的几何性质，长、宽、高的度量，本题考查了空间感知能力及识图能力，这是对三视图考查的重要方式
24、空间中一长方体如下图所示，其中ABCD为正方形，为长方体的一边．已知，则cot∠CED=
点评：本题主要考查了棱柱的结构特征，解答的关键是利用直角三角形的边角之间的关系求解．
25、如图（1），一个正四棱柱形的密闭容器水平放置，其底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰块，
容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P（图（2））
有下列四个命题：21*cnjy*com
A．正四棱锥的高等于正四棱柱高的一半
B．将容器侧面水平放置时，水面也恰好过点P
C．任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P
D．若往容器内再注入a升水，则容器恰好能装满．
其中真命题的代号是： BD （写出所有真命题的代号）．
三、解答题（共5小题）
26、如图，在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠A1AB=∠A1AC，AB=AC，A1A=A1B=a，侧面B1BCC1与底面ABC所成的二面角为120°，E、F分别是棱B1C1、A1A的中点
（Ⅰ）求A1A与底面ABC所成的角；21*cnjy*com
（Ⅱ）证明A1E∥平面B1FC；
（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积．21*cnjy*com
考点：棱柱的结构特征。
专题：计算题；证明题；综合题；数形结合法。
分析：（Ⅰ）要求A1A与底面ABC所成的角，先作出直线与平面所成的角，通过解三角形即可．
（Ⅱ）要证明A1E∥平面B1FC，可以在平面B1FC中作出直线FP（P为CB1的中点），证明A1E∥FP即可．
（Ⅲ）求经过A1、A、B、C四点的球的体积，找到球心H，求出球的半径，即可．
解答：解：（Ⅰ）过A1作A1H⊥平面ABC，垂足为H．
连接AH，并延长交BC于G，于是∠A1AH为A1A与底面ABC所成的角．
∵∠A1AB=∠A1AC，∴AG为∠BAC的平分线．
又∵AB=AC，∴AG⊥BC，且G为BC的中点．
因此，由三垂线定理A1A⊥BC．
∵A1A∥B1B，且EG∥B1B，∴EG⊥BC．
于是∠AGE为二面角A﹣BC﹣E的平面角，21*cnjy*com
即∠AGE．
由于四边形A1AGE为平行四边形，得∠A1AG=60°．
（Ⅱ）证明：设EG与B1C的交点为P，则点P为EG的中点．连接PF．21*cnjy*com
在平行四边形AGEA1中，因F为A1A的中点，故A1E∥FP．
而FP?平面B1FC，A1E?平面B1FC，所以A1E∥平面B1FC．
（Ⅲ）连接A1C．在△A1AC和△A1AB中，由于AC=AB，∠A1AB=∠A1AC，A1A=A1A，
则△A1AC≌△A1AB，故A1C=A1B．由已知得A1A=A1B=A1C=a．
又∵A1H⊥平面ABC，∴H为△ABC的外心．
设所求球的球心为O，则O∈A1H，且球心O与A1A中点的连线OF⊥A1A．
在Rt△A1FO中，A1O===．21*cnjy*com
故所求球的半径R=a，球的体积V=πR3=πa3．
点评：本题考查棱柱的结构特征，考查空间想象能力和逻辑思维能力，直线与欧美所成的角等有关知识，是难题．
27、将一个直三棱柱分割成三个三棱锥，试将这三个三棱锥分离．
点评：本题考点是棱柱的结构特征，考查根据棱柱的结构特点把其分割成三个棱锥，主要考查答题者的空间直观感知能力．
28、根据图中所给的图形制成几何体后，哪些点重合在一起．
考点：棱柱的结构特征。
专题：常规题型。
分析：将展开图折叠复原几何体，不难得到重合的点．
解答：解：如图展开图折叠复原几何体：可知
J与N；A、M与D；H与E；G与F；B与C．21*cnjy*com
点评：本题是基础题，考查几何体的折叠与展开，棱柱的结构特征，考查空间想象能力，动手操作能力．
29、已知长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O1是上底面对角线A1C1、B1D1的交点，体对角线A1C交截面AB1D1于点P，求证：O1、P、A三点在同一条直线上．21*cnjy*com
点评：此题是个基础题．考查空间点、线、面的位置关系以及平面相交和平面的确定公理，考查学生对基础知识的记忆与理解程度．平面的基本性质公理2是证明三点共线的依据之一．
30、长方体之长、宽、高各为12寸、3寸、4寸，求对角线的长．
考点：棱柱的结构特征。
专题：计算题。
分析：长方体的对角线的平方等于长方体的长、宽、高的平方和，直接求解即可．
解答：解：长方体对角线的长为：
=13（寸）．
点评：本题考查长方体的棱长和对角线的关系，是基础题．必须掌握的题目．
