棱锥的结构特征
一、选择题（共18小题）
1、现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、函数y=2x图象上的点构成的集合
B、旋转体表面及其内部点构成的集合
C、扇形边界及其内部点构成的集合
D、正四面体表面及其内部点构成的集合
2、如图BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面a垂线AP，连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是（ ）21世纪教育网版权所有
A、4个 B、6个
C、7个 D、8个
3、有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）21世纪教育网版权所有
A、（0，） B、（1，）
C、（，） D、（0，）
4、如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ）
A、等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等
B、等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C、等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆
D、等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
5、将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
A、 B、2+
C、4+ D、21世纪教育网版权所有
6、如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、90°
7、如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（ ）
A、 B、
C、 D、
8、在棱长为1的正四面体A1A2A3A4中，记
，则aij不同取值的个数为（ ）
A、6 B、5
C、3 D、2
9、如图在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、在侧棱长为3的正三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=40°过点A作截面AEF与PB、PC侧棱分别交于E、F两点，则截面的周长最小值为（ ）21世纪教育网版权所有
A、4 B、2
C、10 D、9
11、三棱锥P﹣ABC中M、N分别是AP、AB的中点，下列命题正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、MN=EF
B、ME与NF是异面直线21世纪教育网版权所有
C、直线ME、NF、AC相交于同一点
D、直线ME、NF、AC不相交于同一点
12、如图，正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，四边形EFGH的面积为S（x），则S（x）值域为_________（ ）
A、{} B、（，+∞）
C、（0，+∞） D、（，+∞）
13、一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（ ）21世纪教育网版权所有
A、三棱锥 B、四棱锥
C、五棱锥 D、六棱锥
14、设棱锥的高为H，底面积为S，用平行于底面的平面截得的棱锥高的下半部分高为h，若截面面积为P，则h：H是（ ）
A、 B、
C、 D、
15、若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
16、点P在平面ABC外，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的（ ）
A、外心 B、重心
C、内心 D、垂心
17、6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（ ）
A、垂心 B、重心
C、外心 D、内心
18、半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
19、点P在平面ABC外，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的 _________ ．
20、点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的 _________ 心．21世纪教育网版权所有
21、如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面把四面体分成两部分的体积之比VADEFGH：VBCEFGH= _________ ．
22、一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰快，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P，有下列四个命题：21世纪教育网版权所有
（1）任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；
（2）正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；
（3）若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满；
（4）将容器侧面水平放置时，水面也恰好过P．
其中真命题的代号为 _________ ．
23、用棱长为a的正方体形纸箱放一棱长为1的正四面体形零件，使其能完全放入纸箱内，则此纸箱容积的最小值为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
24、一个圆环直径为m，通过铁丝BC，CA1，CA2，CA3（A1，A2，A3是圆上三等分点）悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板2m，如图所示．设BC长为x（m），问当x取多长时，铁丝总长y有最小值，并求此最小值．
25、证明：若是第四象限角，则﹣=2tanα．21世纪教育网版权所有
26、如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）求二面角B﹣AP﹣C的大小．
27、正多面体有几种？其名称是什么？
28、如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．
（1）求证：AD⊥PC；
（2）求三棱锥A﹣PDE的体积；21世纪教育网版权所有
（3）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
答案与评分标准
一、选择题（共18小题）
1、现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是（ ）21世纪教育网
A、函数y=2x图象上的点构成的集合 B、旋转体表面及其内部点构成的集合
C、扇形边界及其内部点构成的集合 D、正四面体表面及其内部点构成的集合
考点：集合的含义；棱锥的结构特征。
专题：新定义。21世纪教育网
分析：可用排除法去做，分别考查所给选项中，那个选项满足图象上连接任意两点的线段上的其它点仍在这个图象上，就可选这一选项．
解答：解：∵函数y=2x图象上连接任意两点的线段上的其它点不在函数y=2x图象上的，∴A不正确．
∵如果旋转体内部是空腔时，内表面上连接任意两点的线段上的其它点不在旋转体表面或其内部．，∴B不正确
∵如果扇形的圆心角大于180°时，会出现连接某些点的线段上的其它点不在扇形边界或其内部，∴C不正确
∴利用排除法，应该选D21世纪教育网
故选D
点评：本题考查了给出新概念，利用新概念解决问题，做题时要认真分析题意，正确解答．
2、如图BC是Rt△ABC的斜边，过A作△ABC所在平面a垂线AP，连PB、PC，过A作AD⊥BC于D，连PD，那么图中直角三角形的个数是（ ）
A、4个 B、6个
C、7个 D、8个
3、有四根长都为2的直铁条，若再选两根长都为a的直铁条，使这六根铁条端点处相连能够焊接成一个三棱锥形的铁架，则a的取值范围是（ ）21世纪教育网
A、（0，） B、（1，）
C、（，） D、（0，）
考点：棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：本题考查了学生的空间想象能力以及灵活运用知识解决数学问题的能力．我们可以通过分析确定当地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a此时a取最大值，当构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，a有最小值，易得a的取值范围
解答：解：根据条件，四根长为2的直铁条与两根长为a的直铁条要组成三棱镜形的铁架，
有以下两种情况①地面是边长为2的正三角形，三条侧棱长为2，a，a，如图，此时a可以取最大值，可知AD=，SD=，则有＜2+，
即，即有a＜
②构成三棱锥的两条对角线长为a，其他各边长为2，如图所示，此时a＞0；
综上分析可知a∈（0，）；21世纪教育网
故选A．
点评：本题考查的知识点是空间想像能力，我们要结合分类讨论思想，数形结合思想，极限思想，求出a的最大值和最小值，进而得到a的取值范围21世纪教育网
4、如果四棱锥的四条侧棱都相等，就称它为“等腰四棱锥”，四条侧棱称为它的腰，以下4个命题中，假命题是（ ）
A、等腰四棱锥的腰与底面所成的角都相等 B、等腰四棱锥的侧面与底面所成的二面角都相等或互补
C、等腰四棱锥的底面四边形必存在外接圆 D、等腰四棱锥的各顶点必在同一球面上
考点：棱锥的结构特征。21世纪教育网
专题：探究型。
分析：做该题，需要空间模拟一个四棱锥，将4个选项一一对应于四棱锥，就可以排除选项，得到答案．
解答：解：因为“等腰四棱锥”的四条侧棱都相等，
所以它的顶点在底面的射影到底面的四个顶点的距离相等，
故A，C正确，
且在它的高上必能找到一点到各个顶点的距离相等，
故D正确，B不正确，如底面是一个等腰梯形时结论就不成立．
故选B
点评：本题考查学生的空间想象能力，对棱锥的结构认识，是基础题．
5、将半径都为1的4个钢球完全装入形状为正四面体的容器里，这个正四面体的高的最小值为（ ）
A、 B、2+
C、4+ D、
考点：棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小，把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，先求出小正四面体的中心到底面的距离，再求出正四面体的中心到底面的距离，把此距离乘以4可得正四棱锥的高．
解答：解：由题意知，底面放三个钢球，上再落一个钢球时体积最小．21世纪教育网
于是把钢球的球心连接，则又可得到一个棱长为2的小正四面体，则不难求出这个小正四面体的高为，
且由正四面体的性质可知：正四面体的中心到底面的距离是高的，且小正四面体的中心和正四面体容器的中心应该是重合的，
∴小正四面体的中心到底面的距离是×=，正四面体的中心到底面的距离是+1 （1即小钢球的半径），
所以可知正四棱锥的高的最小值为 （+1）×4=4+，
故选 C．
点评：小正四面体是由球心构成的，正四面体的中心到底面的距离等于小正四面体的中心到底面的距离再加上小钢球的半径1．
6、如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角（圆锥轴截面中两条母线的夹角）是（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、90°
考点：棱锥的结构特征。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由题意可知圆锥的侧面展开图是半圆，就是圆锥的底面圆的周长，设出母线，求出圆锥的底面直径，可求圆锥的顶角．
解答：解：设圆锥的母线长为R，则圆锥的底面周长为πR，21世纪教育网
则圆锥的底面直径为R，所以圆锥的顶角为60°．
故选C．
点评：本题考查圆锥的结构特征，考查计算能力，空间想象能力，是基础题．
7、如图，OA是圆锥底面中心O到母线的垂线，OA绕轴旋转一周所得曲面将圆锥分成体积相等的两部分，则母线与轴的夹角为（ ）
A、 B、
C、 D、
点评：本题考查圆锥的结构特征，考查分析问题解决问题的能力，是基础题．
8、在棱长为1的正四面体A1A2A3A4中，记
，则aij不同取值的个数为（ ）
A、6 B、5
C、3 D、2
考点：棱锥的结构特征。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：根据正四面体A1A2A3A4的结构特征，我们易分析出正四面体A1A2A3A4中，所有棱与棱A1A2的位置关系，再根据，我们易得到aij不同取值的个数．
解答：解：在正四面体A1A2A3A4中，
所有棱与棱A1A2的关系可分为三类：
①棱A1A2本身；②与棱A1A2相交，其夹角为60°；③与棱A1A2异面，其夹角为90°21世纪教育网
故当时，
aij的值可能为：1（对应情况①）；（对应情况②）；0（对应情况③）．21世纪教育网
故选C
点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中根据棱锥的结构特征分析出正四面体A1A2A3A4中，所有棱与棱A1A2的位置关系，是解答本题的关键．
9、如图在正四棱锥S﹣ABCD中，E是BC的中点，P点在侧面△SCD内及其边界上运动，并且总是保持PE⊥AC，则动点P的轨迹与△SCD组成的相关图形是（ ）
21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：棱锥的结构特征。
专题：证明题；探究型。
分析：总保持PE⊥AC，那么AC垂直PE所在的一个平面，AC⊥平面SBD，不难推出结果．
解答：解：取CD中点F，AC⊥EF，又∵SB在面ABCD内的射影为BD且AC⊥BD，∴AC⊥SB，取SC中点Q，∴EQ∥SB，
∴AC⊥EQ，又AC⊥EF，∴AC⊥面EQF，因此点P在FQ上移动时总有AC⊥EP．
故选A．
点评：本题考查学生应用线面垂直的知识，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
10、在侧棱长为3的正三棱锥P﹣ABC中，∠APB=∠BPC=∠CPA=40°过点A作截面AEF与PB、PC侧棱分别交于E、F两点，则截面的周长最小值为（ ）21世纪教育网
A、4 B、2
C、10 D、9
点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点间距离问题，是解答本题的关键．21世纪教育网
11、三棱锥P﹣ABC中M、N分别是AP、AB的中点，下列命题正确的是（ ）
A、MN=EF B、ME与NF是异面直线
C、直线ME、NF、AC相交于同一点 D、直线ME、NF、AC不相交于同一点
考点：棱锥的结构特征。
专题：探究型。
分析：由已知中三棱锥P﹣ABC中M、N分别是AP、AB的中点，，结合三角形中位线定理，及平行线分线段成比例定理，我们易得四边形MNFE为梯形，ME与NF必交于一点，再由公理3即可得到答案．
解答：解：∵M、N分别是AP、AB的中点，
∴MN∥PB，且MN=PB
又由
∴EF∥PB，且EF=PB
∴MN∥EF，且MN≠EF
∴四边形MNFE为梯形
∴ME与NF必交于一点
又由ME?平面APC
NF?平面ABC
平面APC∩平面ABC=AC
由公理3易得，ME与NF交点在直线AC上
故直线ME、NF、AC相交于同一点
故选C
点评：本题考查的知识点是棱结构特征，及公理3，其中根据已知判断出四边形MNFE为梯形，ME与NF必交于一点，是解答本题的关键．
12、如图，正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，四边形EFGH的面积为S（x），则S（x）值域为_________（ ）21世纪教育网
A、{} B、（，+∞）
C、（0，+∞） D、（，+∞）21世纪教育网
考点：棱锥的结构特征。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由已知中正三棱锥P﹣ABC的底面边长为1，E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，我们可判断出四边形EFGH为一个矩形，一边长为，另一边长大于底面的外接圆的半径的一半，进而得到答案．
解答：解：∵棱锥P﹣ABC为底面边长为1的正三棱锥
∴AB⊥PC
又∵E，F，G，H，分别是PA，AC，BC，PD的中点，
∴EH=FG=AB=，EF=HG=PC
则四边形EFGH为一个矩形
又∵PC＞
∴EF＞
∴四边形EFGH的面积为S（x）＞
故选B
点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中根据正三棱锥的结构特征，判断出AB⊥PC这，进而得到四边形EFGH为一个矩形是解答本题的关键．
13、一个棱锥的各条棱都相等，那么这个棱锥必不是（ ）
A、三棱锥 B、四棱锥
C、五棱锥 D、六棱锥
考点：棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：正六棱锥的高 h、底面的半径 r、侧棱长 l构成直角三角形，由勾股定理得：h2+r2=l2，21cnjy
故侧棱长 l和底面正六边形的边长 r不可能相等．
解答：解：以为正六棱锥的底面是个正六边形，正六边形共由6个等边三角形构成，设每个等边三角形的边长为 r，
正六棱锥的高为h，正六棱锥的侧棱长为 l，由正六棱锥的高 h、底面的半径 r、侧棱长l构成直角三角形得，
h2+r2=l2，故侧棱长 l和底面正六边形的边长 r不可能相等，
故选D．
点评：本题考查棱锥的结构特征，正六边形共由6个等边三角形构成，正六棱锥的高 h、底面的半径 r、侧棱长l构成直角三角形．
14、设棱锥的高为H，底面积为S，用平行于底面的平面截得的棱锥高的下半部分高为h，若截面面积为P，则h：H是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：根据平行于底面的截面与底面是相似的多边形，两个面积的相似比等于对应的棱锥的高度之比，写出比例式，整理出要求的两个高度之比，把比值整理成最简形式．21cnjy
解答：解：∵平行于底面的截面与底面是相似的多边形，
两个面积的相似比等于对应的棱锥的高度之比，21cnjy
∴，
∴，
∴h：H=1﹣=，
故选D
点评：本题考查棱锥的结构特征，考查棱锥的性质，考查相似多边形面积之比等于相似比的平方，本题的化简过程容易出错．
15、若一个四面体由长度为1，2，3的三种棱所构成，则这样的四面体的个数是（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
点评：本题考查棱锥的结构特征，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．
16、点P在平面ABC外，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的（ ）21cnjy
A、外心 B、重心
C、内心 D、垂心21cnjy
考点：棱锥的结构特征。
分析：点P在平面ABC上的射为O，利用已知条件，证明OA=OB=OC，推出结论．
解答：解：设点P作平面ABC的射影O，由题意：PA=PB=PC，因为PO⊥底面ABC，
所以△PAO≌△POB≌△POC
即：OA=OB=OC
所以O为三角形的外心．
故选A
点评：本题考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力，是基础题．21cnjy
17、6、如果三棱锥S﹣ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的（ ）
A、垂心 B、重心
C、外心 D、内心
18、半径为1的球面上的四点A，B，C，D是一个正四面体的顶点，则这个正四面体的棱长是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：由已知可得，半径为1的球为正四面体A﹣BCD的外接球，由正四面体棱长与外接球半径的关系，我们易得正四面体的棱长，求出正四面体的棱长．
解答：解：∵正四面体是球的内接正四面体，
又∵球的半径R=1
∴正四面体棱长l与外接球半径R的关系21世纪教育网
l=
得l=
故选D
点评：注意牢记：边长为1的正三角形，高为，内切圆的半径为，外接圆半径为；棱长为1的正四面体，侧高为，侧面内切圆的半径为，侧面外接圆半径为；高为，内切球半径为，外接球半径为
二、填空题（共5小题）21世纪教育网
19、点P在平面ABC外，若PA=PB=PC，则点P在平面ABC上的射影是△ABC的 外心 ．
点评：本题考查的知识点是三角形的五心，考查棱锥的结构特征，考查逻辑思维能力．其中根据已知条件得到OA=OB=OC，是解答本题的关键．
20、点P是△ABC所在平面外一点，且P点到△ABC三个顶点距离相等，则P点在△ABC所在平面上的射影是△ABC的 外 心．
考点：三角形五心；棱锥的结构特征。
专题：探究型。
分析：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．若P到△ABC三个顶点的距离相等，由三角形全等可以得到三线段OA=OB=OC，则O是△ABC的外心．
解答：解：如图P是△ABC所在平面外一点，O是P点在平面a上的射影．
若P到△ABC三个顶点的距离相等，由由条件可证得OA=OB=OC，由三角形外心的定义知此时点O是三角形的外心，
故答案为：外；
点评：本题考查三角形内的特殊点内心，外心，垂心，此是三角形常考的一种题型．
21、如图所示，在四面体ABCD中，E，F，G分别是棱AB，AC，CD的中点，则过E，F，G的截面把四面体分成两部分的体积之比VADEFGH：VBCEFGH= 1：1 ．21世纪教育网
点评：本题考查棱锥的结构特征，几何体的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
22、一个正四棱柱形的密闭容器底部镶嵌了同底的正四棱锥形实心装饰快，容器内盛有a升水时，水面恰好经过正四棱锥的顶点P．如果将容器倒置，水面也恰好过点P，有下列四个命题：
1）任意摆放该容器，当水面静止时，水面都恰好经过点P；
2）正四棱锥的高等于正四棱柱的高的一半；
3）若往容器内再注a升水，则容器恰好能装满；
4）将容器侧面水平放置时，水面也恰好过P．
其中真命题的代号为 3）4） ．21世纪教育网
考点：棱柱的结构特征；棱锥的结构特征。
分析：设出图1）的水高，和几何体的高，底面边长，
计算水的体积，容易判断2）、3）的正误；21世纪教育网
对于4），当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，根据体积判断它是正确的．
对于1）根据当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，计算水的体积和实际不符，是错误 的．
解答：解：设图（1）水的高度h2几何体的高为h1，底面边长为b21世纪教育网
图（1）中水的体积为b2h2，
图（2）中水的体积为b2h1﹣b2h2=b2（h1﹣h2），
所以b2h2=b2（h1﹣h2），所以h1=h2，故2）错误，3）正确．
对于4），当容器侧面水平放置时，P点在长方体中截面上，
又水占容器内空间的一半，所以水面也恰好经过P点，故B正确．
对于C，假设C正确，当水面与正四棱锥的一个侧面重合时，
经计算得水的体积为b2h2＞b2h2，矛盾，故C不正确．
故答案为：3）4）．
点评：本题考查空间想象能力，逻辑思维能力，几何体的体积．
23、用棱长为a的正方体形纸箱放一棱长为1的正四面体形零件，使其能完全放入纸箱内，则此纸箱容积的最小值为 ．
三、解答题（共5小题）
24、一个圆环直径为m，通过铁丝BC，CA1，CA2，CA3（A1，A2，A3是圆上三等分点）悬挂在B处，圆环呈水平状态并距天花板2m，如图所示．设BC长为x（m），问当x取多长时，铁丝总长y有最小值，并求此最小值．
考点：函数模型的选择与应用；棱锥的结构特征。21世纪教育网
专题：应用题。
分析：根据题意C，A1，A2，A3四点构成一个正三棱锥，然后利用侧棱的长度求导，判断单调区间，最后根据函数单调性求最值．
解答：解：由题意C，A1，A2，A3四点构成一个正三棱锥，21世纪教育网
CA1，CA2，CA3为该三棱锥的三条侧棱．
三棱锥的侧棱；
于是有．（0＜x＜2）21世纪教育网
对y求导得．
令y'=0得9（2﹣x）2=（2﹣x）2+2，
解得或x=（舍）．
当时，y'＜0，
当时，y'＞0．
故当时，即BC=1.5m时，y取得最小值为6m．
点评：本题考查函数模型的选择与应用，通过对实际问题的分析，抽象出数学模型，利用导数判断单调性并求解，属于基础题．
25、证明：若是第四象限角，则﹣=2tanα．
同理=
所以﹣=﹣=2
=2tanα
原式得证．21cnjy
点评：本题主要考查了三角函数恒等式的证明及同角三角函数基本关系的应用．
26、如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（Ⅰ）求证：PC⊥AB；
（Ⅱ）求二面角B﹣AP﹣C的大小．
（Ⅱ）∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即AC⊥BC，且AC∩PC=C，21cnjy
∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E．连接BE，CE．21cnjy
∵AB=BP，
∴BE⊥AP．
∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP．21cnjy
∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，，
∴．
∴二面角B﹣AP﹣C的大小为．
解法二：
（Ⅰ）∵AC=BC，AP=BP，
∴△APC≌△BPC．
又PC⊥AC，
∴PC⊥BC．
∵AC∩BC=C，
∴PC⊥平面ABC．
∵AB?平面ABC，21cnjy
∴PC⊥AB．
（Ⅱ）如图，以C为原点建立空间直角坐标系C﹣xyz．
则C（0，0，0），A（0，2，0），B（2，0，0）．
设P（0，0，t）．
∵，
∴t=2，P（0，0，2）．
取AP中点E，连接BE，CE．
∵|AC|=|PC|，|AB|=|BP|，
∴CE⊥AP，BE⊥AP．
∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．21cnjy
∵E（0，1，1），，，
∴．
∴二面角B﹣AP﹣C的大小为．
点评：本题考查直线与直线的垂直，二面角，容易出错点：二面角的平面角找不到，计算不正确．21*cnjy*com
27、正多面体有几种？其名称是什么？21cnjy
28、如图，四棱锥P﹣ABCD中，PD⊥平面ABCD，底面ABCD为矩形，PD=DC=4，AD=2，E为PC的中点．
（Ⅰ）求证：AD⊥PC；
（Ⅱ）求三棱锥A﹣PDE的体积；21*cnjy*com
（Ⅲ）AC边上是否存在一点M，使得PA∥平面EDM，若存在，求出AM的长；若不存在，请说明理由．
解答：解：（Ⅰ）证明：因为PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AD．（2分）
又因为ABCD是矩形，21cnjy
所以AD⊥CD．（3分）
因为PD∩CD=D，
所以AD⊥平面PCD．
又因为PC?平面PCD，
所以AD⊥PC．（5分）
（Ⅱ）解：因为AD⊥平面PCD，21cnjy
所以AD是三棱锥A﹣PDE的高．
因为E为PC的中点，且PD=DC=4，
所以．（7分）21cnjy
又AD=2，
所以．（9分）
（Ⅲ）解：取AC中点M，连接EM，DM，
因为E为PC的中点，M是AC的中点，
所以EM∥PA．
又因为EM?平面EDM，PA?平面EDM，
所以PA∥平面EDM．（12分）
所以．
即在AC边上存在一点M，使得PA∥平面EDM，AM的长为
．（14分）
点评：本体是一道综合考查学生几何结构的题目，是基础题．
