2021-2022学年湖南省常德学校八年级（上）期末数学试卷（word，解析版）

2021-2022学年湖南省常德学校八年级（上）期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数3.14159，，0.131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1），6%，，，，中，无理数有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
2．（3分）若x＜y，则mx＞my成立的条件是（　　）
A．m≥0 B．m≤0 C．m＞0 D．m＜0
3．（3分）下列命题是假命题的是（　　）
A．有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．平面内垂直于同一直线的两条直线平行
D．全等三角形的面积相等
4．（3分）如图，已知线段a、h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h．张红的作法是：
（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；
（3）在直线MN上截取线段h；
（4）连接AB，AC，△ABC为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（　　）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
5．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
6．（3分）若关于x的方程有增根，则k的值为（　　）
A．k＝1 B．k＝﹣1
C．k＝±1 D．k为任意实数
7．（3分）小张和小王同时从学校出发去距离15千米的上海世博园，小张比小王每小时多行1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走x千米，则（　　）
A． B．
C． D．
8．（3分）如图，等边△ABC的边长为8．P，Q分别是边AC，BC上的点，连结AQ，BP，交于点O．以下结论：①若AP＝CQ，则△BAP≌△ACQ；②若AQ＝BP，则∠AOB＝120°；③若AP＝CQ，BP＝7，则PC＝5；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则点O经过的路径为AB的中垂线段长．其中正确的（　　）
A．①②③ B．①④ C．①② D．①③④
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）要使式子有意义，则m的取值范围是 　 　．
10．（3分）2011年3月，英国和新加坡研究人员制造出观测极限为0.00000005米的光学显微镜，其中0.00000005米用科学记数法表示正确的是 　 　．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，添加条件 　 　可得△AFC≌△AEB．
12．（3分）等腰三角形有一外角为100°，则它的底角为　 　．
13．（3分）如果的整数部分为a，小数部分为b，则b（a+b）＝　 　．
14．（3分）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的值为 　 　．
15．（3分）若不等式恰有4个整数解，则m的取值范围为 　 　．
16．（3分）观察下列等式：
x1＝＝＝1+；
x2＝＝＝1+；
x3＝＝＝1+；
…
根据以上规律，计算：x1+x2+x3+…+x2021﹣2022＝　 　．
三、解答题（本大题共10个题，共72分）
17．（5分）计算：．
18．（5分）计算：．
19．（6分）解分式方程：．
20．（6分）解不等式组：，并把解集用数轴表示出来．
21．（7分）先化简再求值：，其中．
22．（7分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．
23．（8分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为25cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
24．（8分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
25．（10分）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 　 　．
（2）当m＞0时，求的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
26．（10分）已知：在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．
（1）如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线．
①求∠AFC的度数；
②若AD＝5，CE＝3，求AC的长．
（2）如图2，若∠FAC＝∠FCA＝30°，求证：AD＝CE．
2021-2022学年湖南省常德学校八年级（上）期末数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．（3分）下列各数3.14159，，0.131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1），6%，，，，中，无理数有（　　）个．
A．3 B．4 C．5 D．6
【分析】无理数就是无限不循环小数．理解无理数的概念，一定要同时理解有理数的概念，有理数是整数与分数的统称．即有限小数和无限循环小数是有理数，而无限不循环小数是无理数．由此即可判定选择项．
【解答】解：，
无理数有，0.131131113…（每相邻两个3之间依次多一个1），，，共4个．
故选：B．
2．（3分）若x＜y，则mx＞my成立的条件是（　　）
A．m≥0 B．m≤0 C．m＞0 D．m＜0
【分析】根据不等式的性质3得出答案即可．
【解答】解：∵x＜y，
∴满足mx＞my的条件是m＜0，
故选：D．
3．（3分）下列命题是假命题的是（　　）
A．有一个角是 60°的等腰三角形是等边三角形
B．有两边和一角对应相等的两个三角形全等
C．平面内垂直于同一直线的两条直线平行
D．全等三角形的面积相等
【分析】根据等边三角形的判定方法、全等三角形的判定方法、两直线平行的判定方法、全等三角形的性质一一判断即可．
【解答】解：A、有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形，所以A选项为真命题；
B、有两条边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等，所以B选项为假命题；
C、平面内垂直于同一直线的两条直线平行，所以C选项为真命题；
D、全等三角形的面积相等，所以D选项为真命题．
故选：B．
4．（3分）如图，已知线段a、h，作等腰△ABC，使AB＝AC，且BC＝a，BC边上的高AD＝h．张红的作法是：
（1）作线段BC＝a；
（2）作线段BC的垂直平分线MN，MN与BC相交于点D；
（3）在直线MN上截取线段h；
（4）连接AB，AC，△ABC为所求的等腰三角形．
上述作法的四个步骤中，有错误的一步你认为是（　　）
A．（1） B．（2） C．（3） D．（4）
【分析】在直线MN上截取线段h，不具备准确性，应该是：在直线MN上截取线段AD＝h．
【解答】解：在直线MN上截取线段h，带有随意性，与作图语言的准确性不相符．
故选：C．
5．（3分）下列计算结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据平方根的性质可判断选项A，B，C，根据立方根的定义可判断选项D．
【解答】解：A．÷＝＝＝2，选项A不符合题意；
B．＝＝1，选项B不符合题意；
C．＝＝2，选项C符合题意；
D．＝4，选项D不符合题意；
故选：C．
6．（3分）若关于x的方程有增根，则k的值为（　　）
A．k＝1 B．k＝﹣1
C．k＝±1 D．k为任意实数
【分析】根据分式方程增根的定义得出增根后，再代入整理后的方程求解即可．
【解答】解：原分式方程去分母得，（x﹣5）+k＝5（x﹣4），
由于原方程有增根，
所以x＝4是分式方程的增根，
把x＝4代入（x﹣5）+k＝5（x﹣4）得，
﹣1+k＝0，
所以k＝1，
故选：A．
7．（3分）小张和小王同时从学校出发去距离15千米的上海世博园，小张比小王每小时多行1千米，结果比小王早到半小时，设小王每小时走x千米，则（　　）
A． B．
C． D．
【分析】等量关系为：小王走15千米用的时间﹣小张走15千米用的时间＝，把相关数值代入即可．
【解答】解：小王走15千米用的时间为，小张走15千米用的时间为，
可列方程为．
故选：B．
8．（3分）如图，等边△ABC的边长为8．P，Q分别是边AC，BC上的点，连结AQ，BP，交于点O．以下结论：①若AP＝CQ，则△BAP≌△ACQ；②若AQ＝BP，则∠AOB＝120°；③若AP＝CQ，BP＝7，则PC＝5；④若点P和点Q分别从点A和点B同时出发，以相同的速度向点C运动（到达点C就停止），则点O经过的路径为AB的中垂线段长．其中正确的（　　）
A．①②③ B．①④ C．①② D．①③④
【分析】第①个选项直接找到对应的条件，利用SAS证明全等即可；第②③结论都有两种情况，准确画出图之后再来计算和判断；第四个结论要先判断判断轨迹（通过对称性或者全等）在来计算路径长．
【解答】解：①在三角形△BAP和△ACQ中
则△BAP≌△ACQ（SAS），
∴①正确
②如图1，题中AQ＝BP，存在两种情况．在P1的位置，∠AOB＝120°；在P2的位置，∠AOB的大小无法确定．∴②错误
③本问与AP＝CQ这个条件无关，如图1，作PE垂直于BC于点E，设CP＝x，
∵∠C＝60°，∴CE＝x，BQ＝8﹣x，PQ＝x，PB＝7，
在Rt△PBQ中，根据勾股定理，得PB2＝PQ2+BQ2，代入算式得到72＝（x）2+（8﹣x）2，
解得x＝3或5，
∴PC＝3或5．
故③错．
图1
④由题可得：AP＝BQ，由对称性可得（或者证明△ABP和BAQ全等）O的运动轨迹为△ABC中AB边上的中线，故④正确．
故选：B．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
9．（3分）要使式子有意义，则m的取值范围是 　m≤2且m≠﹣2　．
【分析】根据分式有意义的条件是分母不等于零，结合二次根式有意义被开方数是非负数，进而得出答案．
【解答】解：要使式子有意义，
则2﹣m≥0，且m+2≠0，
解得：m≤2且m≠﹣2．
故答案为：m≤2且m≠﹣2．
10．（3分）2011年3月，英国和新加坡研究人员制造出观测极限为0.00000005米的光学显微镜，其中0.00000005米用科学记数法表示正确的是 　5×10﹣8　．
【分析】绝对值小于1的正数也可以利用科学记数法表示，一般形式为a×10﹣n，与较大数的科学记数法不同的是其所使用的是负整数指数幂，指数由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．
【解答】解：0.000 000 05＝5×10﹣8．
故答案为：5×10﹣8．
11．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，添加条件 　AF＝AE（答案不唯一）　可得△AFC≌△AEB．
【分析】根据全等三角形的判定定理求解即可．
【解答】解：添加AF＝AE，
在△AFC和△AEB中，
，
∴△AFC≌△AEB（SAS），
故答案为：AF＝AE（答案不唯一）．
12．（3分）等腰三角形有一外角为100°，则它的底角为　80°或50°　．
【分析】等腰三角形的一个外角等于100°，则等腰三角形的一个内角为80°，但已知没有明确此角是顶角还是底角，所以应分两种情况进行分类讨论．
【解答】解：∵等腰三角形的一个外角等于100°，
∴等腰三角形的一个内角为80°，
①当80°为顶角时，其他两角都为50°、50°，
②当80°为底角时，其他两角为80°、20°，
所以等腰三角形的底角可以是50°，也可以是80°
答案为：80°或50°．
13．（3分）如果的整数部分为a，小数部分为b，则b（a+b）＝　7﹣2　．
【分析】先估算出的值的范围，从而求出a，b的值，然后代入式子中进行计算即可解答．
【解答】解：∵4＜7＜9，
∴2＜＜3，
∴的整数部分为2，小数部分为﹣2，
∴a＝2，b＝﹣2，
∴b（a+b）＝（﹣2）×（2+﹣2）
＝（﹣2）×
＝7﹣2，
故答案为：7﹣2．
14．（3分）如图，a，b，c在数轴上的位置如图所示，化简的值为 　a　．
【分析】先根据数轴判断b，b+c，c﹣a的正负性，再根据二次根式的性质进行化简即可求解．
【解答】解：由题意可知：
∵a＜c，b＜0，c＞0，|b|＞|c|，
∴b+c＜0，c﹣a＞0，
∴
＝|b|﹣|b+c|﹣|c﹣a|
＝﹣b+（b+c）﹣（c﹣a）
＝﹣b+b+c﹣c+a
＝a，
故答案为：a．
15．（3分）若不等式恰有4个整数解，则m的取值范围为 　﹣2＜m≤﹣1　．
【分析】先求出x的取值范围，再与不等式组恰好有4个整数解即可得出m的取值范围．
【解答】解：解不等式x+2＞2x﹣1得，x＜3，
∵x≥m，
∴m≤x＜3，
∵不等式组恰好有4个整数解，
∴四个整数解为：2，1，0，﹣1，
∴﹣2＜m≤﹣1．
故答案为：﹣2＜m≤﹣1．
16．（3分）观察下列等式：
x1＝＝＝1+；
x2＝＝＝1+；
x3＝＝＝1+；
…
根据以上规律，计算：x1+x2+x3+…+x2021﹣2022＝　﹣　．
【分析】根据已知等式，归纳总结得到拆项规律，根据规律展开，最后合并，即可求出答案．
【解答】解：∵x1＝＝＝1+；
x2＝＝＝1+；
x3＝＝＝1+；
…
∴x1+x2+x3+…+x2021﹣2022＝1++1++1++…+1+﹣2022＝2021+1﹣+﹣+﹣+…+﹣﹣2022＝﹣，
故答案为：﹣．
三、解答题（本大题共10个题，共72分）
17．（5分）计算：．
【分析】原式先根据绝对值的代数意义、零指数幂、负整数指数幂进行计算，再根据二次根式的加减运算法则和有理数的加减运算法则计算即可得到结果．
【解答】解：原式＝
＝
＝12．
18．（5分）计算：．
【分析】先算完全平方，再算二次根式的乘法，然后化简，再合并同类项即可．
【解答】解：
＝+3﹣2+1
＝+3﹣2+1
＝6+3﹣2+1
＝10﹣2．
19．（6分）解分式方程：．
【分析】按照解分式方程的步骤，进行计算即可解答．
【解答】解：，
﹣2＝，
2x﹣4（x﹣3）＝﹣4，
解得：x＝8，
检验：当x＝8时，2（x﹣3）≠0，
∴x＝8是原方程的根．
20．（6分）解不等式组：，并把解集用数轴表示出来．
【分析】首先分别解出两个不等式的解集，再根据解集的规律确定不等式组的解集．
【解答】解：，
解不等式①得：x≥﹣2，
解不等式②得：x＜1，
不等式组的解集为：﹣2≤x＜1，
在数轴上表示为：
．
21．（7分）先化简再求值：，其中．
【分析】利用分式的相应的运算法则把式子进行化简，再代入相应的值运算即可．
【解答】解：
＝
＝
＝
＝，
当时，
原式＝
＝
＝．
22．（7分）如图，点A，D，B，E在同一条直线上，AC＝EF，AD＝BE，BC＝DF，BC与DF交于点O．
（1）求证：△ABC≌△EDF．
（2）若∠CBE＝125°，求∠BOD的度数．
【分析】（1）由AD＝BE可求得AB＝ED，利用SSS可证得：△ABC≌△EDF；
（2）由邻补角可求得∠ABC＝55°，结合（1）可求∠EDF＝55°，利用三角形的内角和可求解．
【解答】（1）证明：∵AD＝BE，
∴AD+BD＝BE+BD，
即AB＝ED，
在△ABC与△EDF中，
，
∴△ABC≌△EDF（SSS）；
（2）解：∵∠CBE＝125°，
∴∠ABC＝180°﹣∠CBE＝55°，
∵△ABC≌△EDF，
∴∠EDF＝∠ABC＝55°，
∴∠BOD＝180°﹣∠EDF﹣∠ABC＝70°．
23．（8分）如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N两点，DM与EN相交于点F．
（1）若△CMN的周长为25cm，求AB的长；
（2）若∠MFN＝70°，求∠MCN的度数．
【分析】（1）根据线段垂直平分线的性质可得MA＝MC，NC＝NB，然后根据已知可得CM+CN+MN＝25cm，从而可得AM+BN+MN＝25cm，进而可得AB＝25cm，即可解答；
（2）根据三角形内角和定理可得∠FMN+∠FNM＝110°，从而利用对顶角相等可得∠AMD+∠BNE＝110°，再利用三角形内角和定理可得∠A+∠B＝70°，然后利用等腰三角形的性质可得∠A＝∠ACN，∠B＝∠BCN，从而可得∠ACN+∠BCN＝70°，最后利用三角形内角和定理进行计算即可解答．
【解答】解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴MA＝MC，NC＝NB，
∵△CMN的周长为25cm，
∴CM+CN+MN＝25cm，
∴AM+BN+MN＝25cm，
∴AB＝25cm，
∴AB的长为25cm；
（2）∵∠MFN＝70°，
∴∠FMN+∠FNM＝180°﹣∠MFN＝110°，
∵∠AMD＝∠FMN，∠BNE＝∠FNM，
∴∠AMD+∠BNE＝110°，
∵∠ADM＝∠BEN＝90°，
∴∠A+∠B＝360°﹣（∠AMD+∠BNE）﹣∠ADM﹣∠BEN＝70°，
∵MA＝MC，NC＝NB，
∴∠A＝∠ACN，∠B＝∠BCN，
∴∠ACN+∠BCN＝70°，
∴∠MCN＝180°﹣（∠A+∠B）﹣（∠ACN+∠BCN）＝40°，
∴∠MCN的度数为40°．
24．（8分）某青春党支部在精准扶贫活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗让其栽种．已知乙种树苗的价格比甲种树苗贵10元，用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同．
（1）求甲、乙两种树苗每棵的价格各是多少元？
（2）在实际帮扶中，他们决定再次购买甲、乙两种树苗共50棵，此时，甲种树苗的售价比第一次购买时降低了10%，乙种树苗的售价不变，如果再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，那么他们最多可购买多少棵乙种树苗？
【分析】（1）可设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，根据等量关系：用480元购买乙种树苗的棵数恰好与用360元购买甲种树苗的棵数相同，列出方程求解即可；
（2）可设他们可购买y棵乙种树苗，根据不等关系：再次购买两种树苗的总费用不超过1500元，列出不等式求解即可．
【解答】解：（1）设甲种树苗每棵的价格是x元，则乙种树苗每棵的价格是（x+10）元，依题意有
＝，
解得：x＝30．
经检验，x＝30是原方程的解，
x+10＝30+10＝40．
答：甲种树苗每棵的价格是30元，乙种树苗每棵的价格是40元．
（2）设他们可购买y棵乙种树苗，依题意有
30×（1﹣10%）（50﹣y）+40y≤1500，
解得y≤11，
∵y为整数，
∴y最大为11．
答：他们最多可购买11棵乙种树苗．
25．（10分）阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪明的你可以发现：
当a＞0，b＞0时，∵，∴，当且仅当a＝b时取等号．
请利用上述结论解决以下问题：
（1）当x＞0时，的最小值为 　2　．
（2）当m＞0时，求的最小值．
（3）请解答以下问题：
如图所示，某园艺公司准备围建一个矩形花圃，其中一边靠墙（墙足够长），另外三边用篱笆围成，设垂直于墙的一边长为x米．若要围成面积为200平方米的花圃，需要用的篱笆最少是多少米？
【分析】（1）根据阅读中的公式计算即可；
（2）先配方，化简，运用公式计算即可；
（3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+，再阅读中的公式计算即可．
【解答】解：（1）当x＞0时，＞0，
∴x+≥2＝2，
∴x+的最小值为2．
故答案为：2；
（2）＝m+5+，
∵m＞0，
∴m+5+≥2+5，
又∵＝2，
∴m+5+≥4+5，即≥4+5，
∴的最小值为；
（3）设所需的篱笆长为L米，由题意得L＝2x+，
由题意可知：2x+，
又∵，
∴2x+≥40，
∴需要用的篱笆最少是40米．
26．（10分）已知：在△ABC中，∠B＝60°，D、E分别为AB、BC上的点，且AE、CD交于点F．
（1）如图1，若AE、CD为△ABC的角平分线．
①求∠AFC的度数；
②若AD＝5，CE＝3，求AC的长．
（2）如图2，若∠FAC＝∠FCA＝30°，求证：AD＝CE．
【分析】（1）①根据角平分线的定义、三角形内角和定理计算；
②在AC上截取AG＝AD＝3，连接FG，证明△ADF≌△AGF、△CGF≌△CEF，根据全等三角形的性质解答；
（2）在AE上截取FH＝FD，连接CH，证明△ADF≌△CHF，根据全等三角形的性质、三角形的外角的性质解答．
【解答】解：（1）①∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC＝∠BAC，∠FCA＝∠BCA，
∵∠B＝60°
∴∠BAC+∠BCA＝120°，
∴∠AFC＝180﹣∠FAC﹣∠FCA＝180﹣（∠BAC+∠BCA）＝120°；
②在AC上截取AG＝AD＝5，连接FG，
∵AE、CD分别为△ABC的角平分线，
∴∠FAC＝∠FAD，∠FCA＝∠FCE，
∵∠AFC＝120°，
∴∠AFD＝∠CFE＝60°，
在△ADF和△AGF中，
∵，
∴△ADF≌△AGF（SAS），
∴∠AFD＝∠AFG＝60°，
∴∠GFC＝∠CFE＝60°，
在△CGF和△CEF中，
∵，
∴△CGF≌△CEF（ASA），
∴CG＝CE＝3，
∴AC＝AG+GC＝5+3＝8；
（2）证明：在AE上截取FH＝FD，连接CH，
∵∠FAC＝∠FCA＝30°，
∴FA＝FC，
在△ADF和△CHF中，
∵，
∴△ADF≌△CHF（SAS），
∴AD＝CH，∠DAF＝∠HCF，
∵∠CEH＝∠B+∠DAF＝60°+∠DAF，
∠CHE＝∠HAC+∠HCA＝60°+∠HCF，
∴∠CEH＝∠CHE，
∴CH＝CE，
∴AD＝CE．