旋转体
一、填空题（共13小题）
1、正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比为 _________ ．
（注：以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫做它的内切圆柱，以正棱柱的两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫做它的外接圆柱．）21世纪教育网版权所有
2、若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 _________ ．
3、若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为 _________ ．
4、如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以9πcm3/s的速度向该容器注水，则水深10cm时水面上升的速度为 _________ ．21世纪教育网版权所有
5、如图2﹣①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2﹣②），则图2﹣①中的水面高度为 _________ ．21世纪教育网版权所有
6、已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为90°半径为4的扇形，则圆锥的体积为 _________ ．
7、一平面截球面产生的截面形状是 _________ ；它截圆柱面所产生的截面形状是 _________ ．
8、用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管．若不计损耗，则需要原材料 _________ 平方米（保留3位小数）．
9、周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 _________ ．
10、设点A（1，1）、B（1，﹣1），O是坐标原点，将△OAB绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为 _________ ．
11、如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为 _________ ．
12、已知圆锥的母线与底面的夹角为，且母线长为4，则它的体积为 _________ ．
13、如图，要做一个圆锥形帐篷（不包括底面），底面直径6米，高4米，那么至少需要 _________ 平方米的帆布．
二、解答题（共7小题）
14、已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱，
（1）求此圆柱的侧面积表达式；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？
15、某潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合（设氧气瓶中氧气已充满，所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸），潜水员在潜入水下a米的过程中，速度为v米/分，每分钟需氧量与速度平方成正比（当速度为1米/分时，每分钟需氧量为0.2L）；在湖底工作时，每分钟需氧量为0.4L；返回水面时，速度也为v米/分，每分钟需氧量为0.2L，若下潜与上浮时速度不能超过p米/分，试问潜水员在湖底最多能工作多少时间？（氧气瓶体积计算精确到1L，a、p为常数，圆台的体积V=，其中h为高，r、R分别为上、下底面半径．）21世纪教育网版权所有
16、（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．21世纪教育网版权所有
（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，
①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；21世纪教育网版权所有
②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．
17、圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．
18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．
19、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积．21世纪教育网版权所有
20、已知圆锥体的底面半径为R，高为H求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）．21世纪教育网版权所有
答案与评分标准
一、填空题（共13小题）
1、正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比为 1：4 ．
（注：以正棱柱两个底面的内切圆面为底面的圆柱叫做它的内切圆柱，以正棱柱的两个底面的外接圆面为底面的圆柱叫做它的外接圆柱．）
考点：棱柱的结构特征；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；转化思想。
分析：求出正三棱柱的底面内切、外接圆的半径即可确定正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比．
解答：解：正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比，就是正三棱柱的底面内切、外接圆的半径之比的平方；因为正三角形的内切圆的半径是高的，外接圆的半径是高的，
所以正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比为：1：4．21世纪教育网版权所有
故答案为：1：4
点评：本题是基础题，考查正三棱柱的内切圆柱和外接圆柱的体积比，明确定义的实质以及体积比是相似比的立方的应用，考查计算能力，转化思想的应用．
2、若等腰直角三角形的直角边长为2，则以一直角边所在的直线为轴旋转一周所成的几何体体积是 ．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。
分析：根据圆锥的体积公式直接计算即可．21世纪教育网版权所有
解答：解：如图为等腰直角三角形旋转而成的旋转体．
V=S?h=πR2?h
=π×22×2=．
故答案为：
点评：本题考查圆锥的体积公式，是基础题．
3、若圆锥的侧面积为20π，且母线与底面所成的角为，则该圆锥的体积为 ．
4、如图所示，有一圆锥形容器，其底面半径等于圆锥的高，若以9πcm3/s的速度向该容器注水，则水深10cm时水面上升的速度为 cm/s ．21世纪教育网
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：先求高度与时间的函数关系式h=3?．，再利用导数的方法求解，由高度可知时间，从而得解．
解答：解：设经过t s水深为h，∴9πt=πh3．21世纪教育网
∴h=3?．
∴h′=
令h=10，t=
∴h′=
即水面上升的速度为cm/s．
故答案为cm/s．
点评：本题以旋转体为载体，考查瞬时速度，考查导数的运用，属于基础题．
5、如图2﹣①，一个圆锥形容器的高为a，内装有一定量的水．如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为（如图2﹣②），则图2﹣①中的水面高度为 ．
6、已知圆锥侧面展开图是一个圆心角为90°半径为4的扇形，则圆锥的体积为 π ．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由题设条件，本题要求圆锥的体积，其公式是V=，由于圆锥侧面展开图是一个圆心角为90°半径为4的扇形，可知圆锥的母线长为l=4，底面周长即扇形的弧长为=2π，由此可以求同底面的半径r，求出底面圆的面积，再由h=求出圆锥的高，然后代入圆锥的体积公式求出体积
解答：解：∵圆锥侧面展开图是一个圆心角为90°半径为4的扇形
∴圆锥的母线长为l=4，底面周长即扇形的弧长为=2π，
∴底面圆的半径r=1，可得底面圆的面积为π×r2=π
又圆锥的高h===
故圆锥的体积为V===π，
故答案为π
点评：本题考查旋转体，正确解答本题，关键是了解圆锥的几何特征以及掌握圆锥的体积公式，本题考查了空间想像能力及运用公式计算的能力
7、一平面截球面产生的截面形状是 圆 ；它截圆柱面所产生的截面形状是 圆或椭圆 ．
8、用金属薄板制作一个直径为0.2米，长为3米的圆柱形通风管．若不计损耗，则需要原材料 1.885 平方米（保留3位小数）．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。
专题：应用题。
分析：所需金属薄板要制作成圆柱型的侧面积，根据圆柱的侧面积公式，可得这个面积应该等于底面周长×高，再根据题意将题中的数据代入，即可求出需要的原材料．
解答：解：所需要原材料至少为
π×0.2×3=0.6π≈1.885平方米．
故答案为1.885．
点评：本题主要考查了旋转体当中的圆柱计算在实际生活中的应用，属于基础题．在本题中注意通风管即是一个圆柱的侧面积，准确运用圆柱侧面积公式即可得出答案．
9、周长为20cm的矩形，绕一条边旋转成一个圆柱，则圆柱体积的最大值为 cm3 ．
10、设点A（1，1）、B（1，﹣1），O是坐标原点，将△OAB绕y轴旋转一周，所得几何体的体积为 ．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。
专题：计算题。
分析：将△OAB绕y轴旋转一周，所得几何体是圆柱，除去两个圆锥的几何体，求出圆锥的体积，圆柱的体积，即可求出几何体的体积．
解答：解：由题意将△OAB绕y轴旋转一周，所得几何体是圆柱，除去两个圆锥的几何体，如图：
所以圆柱的体积为：π12×2=2π；两个圆锥的体积为：2×=；
所得几何体的体积为：21世纪教育网
故答案为：
点评：本题是基础题，考查旋转体判断几何体的形状，能够正确推出几何体是圆柱除去两个相对顶点的圆锥，是本题的关键点，考查计算能力．21世纪教育网
11、如图所示，以圆柱的下底面为底面，并以圆柱的上底面圆心为顶点作圆锥，则该圆锥与圆柱等底等高．若圆锥的轴截面是一个正三角形，则圆柱的侧积面与圆锥的侧面积之比为 ．
12、已知圆锥的母线与底面的夹角为，且母线长为4，则它的体积为 ．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。
专题：计算题。
分析：由题意求出圆锥的底面半径与圆锥的高，即可求出圆锥的体积．
解答：解：圆锥的母线与底面的夹角为，且母线长为4，所以圆锥的高为2；底面半径为2；
所以圆锥的体积为：=．
故答案为：．
点评：本题是基础题，考查圆锥的母线与底面的夹角，圆锥的体积的求法，考查计算能力．
13、如图，要做一个圆锥形帐篷（不包括底面），底面直径6米，高4米，那么至少需要 15π 平方米的帆布．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。21cnjy
专题：计算题。
分析：要做一个圆锥形帐篷（不包括底面），先求母线长，再求出侧面积即可．
解答：解：由题意可知，圆锥的母线长为：5，圆锥的侧面积是
故答案为：15π
点评：本题考查圆锥的侧面积，是基础题．21cnjy
二、解答题（共7小题）
14、已知一个圆锥的底面半径为R，高为H，在其中有一个高为x的内接圆柱，
（1）求此圆柱的侧面积表达式；
（2）x为何值时，圆柱的侧面积最大？21cnjy
考点：函数最值的应用；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。21cnjy
专题：应用题；数形结合；函数思想。
分析：（1）由题意，圆柱的高已知为x，故求出圆柱底面的半径r关于x的表达式，再由公式求出侧面积的表达式，由图知，求底面半径可利用过轴的截面建立比例关系，从中解出底面半径表达式；
（2）由（1），此是一个关于圆柱高的二次函数，由二次函数的知识判断出函数的最值，即可得到圆柱侧面积的最大值，同时求出此时的x的值
解答：解：（1）过圆锥及内接的圆柱的轴作截面，如图：
因为，所以，
从而．
（2）由（1）
因为，
所以当时，S侧最大，
从而当，即圆柱的高为圆锥高的一半时，圆柱的侧面积最大．
点评：本题是一个旋转体中的最值问题，解题的关键是建立起圆柱侧面积的函数关系，利用函数的最值求侧面积的最值，本题的难点是作出旋转体的轴截面，由此截面上的比例关系将底面半径用高表示出来，从而由公式建立起侧面积关于高x的函数关系，这也是本题的重点，本题考查了数形结合的思想，函数的思想，利用函数求最值是函数的一个重要运用，21cnjy
15、某潜水员身背氧气瓶潜入湖底进行考察，氧气瓶形状如图，其结构为一个圆柱和一个圆台的组合（设氧气瓶中氧气已充满，所给尺寸是氧气瓶的内径尺寸），潜水员在潜入水下a米的过程中，速度为v米/分，每分钟需氧量与速度平方成正比（当速度为1米/分时，每分钟需氧量为0.2L）；在湖底工作时，每分钟需氧量为0.4L；返回水面时，速度也为v米/分，每分钟需氧量为0.2L，若下潜与上浮时速度不能超过p米/分，试问潜水员在湖底最多能工作多少时间？（氧气瓶体积计算精确到1L，a、p为常数，圆台的体积V=，其中h为高，r、R分别为上、下底面半径．）21cnjy
即当v=p时，在湖底的工作时间的最大值为，21cnjy
因此，当p≥1时，潜水员在湖底最多能工作42.5﹣a分钟；
当p＜l时，潜水员在湖底最多能工作分钟．…（14分）
点评：本题考查函数模型的选择和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化，恰当地建立方程．易错点是弄不清数量间的相互关系，导致建立方程出错．21cnjy
16、（1）已知一个圆锥母线长为4，母线与高成45°角，求圆锥的底面周长．
（2）已知直线l与平面α成φ，平面α外的点A在直线l上，点B在平面α上，且AB与直线l成θ，
①若φ=60°，θ=45°，求点B的轨迹；
②若任意给定φ和θ，研究点B的轨迹，写出你的结论，并说明理由．21cnjy
考点：圆锥曲线的轨迹问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。
专题：综合题。
分析：（1）由圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，知高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，由勾股定理可知底面半径为2，由圆周公式2πR可算出底面周长．
（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，﹣acos60°）．设B（x，y，0），则=（0，﹣acos60°，﹣asin60°）．=（x，y，﹣asin60°）．所以．又由|?cos45°，知﹣acos60°?y+a2sin60°=a，平方整理得，由此知点B的轨迹．21cnjy
②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，设|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（x，y，0），则（6分）=（0，﹣acosφ，﹣asinφ）．=（x，y，﹣asinφ）．所以φ．由|?cosθ=a??cosθ．知cos2θ?x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0．故当φ=时，点B的轨迹为圆；当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆；当θ=φ＜时，点B的轨迹为抛物线；当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线．
解答：解：（1）∵圆锥的母线长为4，母线与高成45°角，
高和底面半径与母线构成一个等腰直角三角形，
即高和底面半径长度一样，
则由勾股定理可知底面半径为2，
则由圆周公式2πR可算出底面周长4π；（2分）
（2）①设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，
设|AC|=a，有A（0，0，asin60°），C（0，﹣acos60°）．
设B（x，y，0），则=（0，﹣acos60°，﹣asin60°）．
=（x，y，﹣asin60°）．
∴．
又∵|?cos45°=a?．
∴﹣acos60°?y+a2sin60°=a． （11分）
平方整理得cos245°?x2+（cos245°﹣cos260°）y2+a2ysin60°sin120°+a2sin260°（cos245°﹣sin260°）=0．
即，21cnjy
∴点B的轨迹椭圆； （4分）
②设l∩α=C，点A在平面α上的射影为点O．如图建立空间直角坐标系，
设|AC|=a，有A（0，0，asinφ），C（0，﹣acosφ），（0＜φ＜）．设B（x，y，0），则（6分）=（0，﹣acosφ，﹣asinφ）．21cnjy
=（x，y，﹣asinφ）．
∴φ．
又∵|?cosθ=a??cosθ．21cnjy
∴﹣acosφ?y+a2sinφ=a． （11分）
平方整理得cos2θ?x2+（cos2θ﹣cos2φ）y2+a2ysinφsin2φ+a2sin2φ（cos2θ﹣sin2φ）=0．
i．当cos2θ﹣cos2φ=0，即θ=φ时，上式为抛物线方程；
ii．当cos2θ﹣cos2φ＞0，即θ＜φ时，上式为椭圆方程；
iii．当cos2θ﹣cos2φ＜0，即θ＞φ时，上式为双曲线方程．（14分）
故当φ=时，点B的轨迹为圆；
当θ＜φ＜时，点B的轨迹为椭圆；
当θ=φ＜时，点B的轨迹为抛物线；21cnjy
当θ＞φ时，点B的轨迹为双曲线． （16分）
点评：第（1）题考查圆锥的性质和应用，是基础题，解题时要认真审题，仔细解答．
第（2）题考查圆锥曲线的轨迹的求法和判断，对数学思维的要求比较高，要求学生理解“存在”、“恒成立”，以及运用一般与特殊的关系进行否定，本题有一定的探索性．综合性强，难度大，易出错．
17、圆锥的高为6cm，母线和底面半径成30°角，求它的侧面积．
18、如图，△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=30°，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C、M，与BC交于点N），求图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积．
19、如图，在四边形ABCD中，∠DAB=90°，∠ADC=135°，AB=5，CD=2，AD=2，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。
专题：计算题；作图题；综合题。
分析：旋转后的几何体是圆台除去一个倒放的圆锥，根据题目所给数据，求出圆台的侧面积、圆锥的侧面积、圆台的底面积，即可求出几何体的表面积．
解答：解：四边形ABCD绕AD旋转一周所成的21cnjy
几何体，如右图：
S表面=S圆台下底面+S圆台侧面+S圆锥侧面=
πr22+π（r1+r2）l2+πr1l1===
点评：本题是基础题，考查旋转体的表面积，转化思想的应用，计算能力的考查，都是为本题设置的障碍，仔细分析旋转体的结构特征，为顺利解题创造依据．21cnjy
20、已知圆锥体的底面半径为R，高为H求内接于这个圆锥体并且体积最大的圆柱体的高h（如图）．
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；平均值不等式。21*cnjy*com
专题：计算题；函数思想；转化思想。
分析：先设出圆柱的底面半径，高为h，利用三角形相似，推出r的表达式，
然后求出体积表达式，利用均值不等式，求出体积最大值时的圆柱体的高h．
解答：解：设圆柱体半径为r高为h
由△ACD∽△AOB得．
由此得，
圆柱体体积．21*cnjy*com
由题意，H＞h＞0，利用均值不等式，有
原式=．21*cnjy*com
当，时上式取等号，因此当
时，V（h）最大．
点评：本题考查旋转体的体积，考查均值不等式求函数的最值，是中档题．
21*cnjy*com
