构成基本空间几何体的元素
一、选择题（共9小题）
1、一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为（ ）
A、2160° B、5400°
C、6480° D、7200°
2、（文）将图所示的一个直角三角形ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（ ）
A、 B、
C、 D、
3、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A、三角形 B、四边相等的四边形
C、梯形 D、平行四边形
4、在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是（ ）
A、MN＞a B、MN=a
C、MN＜a D、不能确定
5、构成多面体的面最少是（ ）
A、三个 B、四个
C、五个 D、六个
6、由五个面围成的几何体是（ ）
A、三棱柱 B、三棱台
C、四棱锥 D、不能确定
7、下列说法中正确的是（ ）
A、以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥
B、以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C、圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆
D、圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径
8、一个凸多面体的各个面都是四边形，它的顶点数是16，则它的面数为（ ）
A、14 B、7
C、15 D、不能确定
9、如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值．则下面的四个结论中：
①点P到平面QEF的距离为定值；
②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；
③二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值；
④三棱锥P﹣QEF的体积为定值．
正确的是（ ）
A、①②③ B、②③④
C、①③④ D、①②④
二、填空题（共4小题）
10、一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6，则它的面数为 _________ 个．
11、正多面体只有 _________ 种，分别为 _________ ．
12、关于如图所示几何体的正确说法为 _________ ．
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；
⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱．
13、一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为 _________ cm．
三、解答题（共1小题）
14、请给以下各图分类．
答案与评分标准
一、选择题（共9小题）
1、一个凸多面体的顶点数为20，棱数为30，则它的各面多边形的内角和为（ ）
A、2160° B、5400°
C、6480° D、7200°
考点：构成空间几何体的基本元素。
专题：计算题。
分析：先求出凸多面体的面数，再求每个面的多边形数，然后求其各面多边形的内角和．
解答：解：关于多面体的欧拉公式：如凸多面体面数是F，顶点数是V，棱数是E，则V﹣E+F=2；
这个2就称欧拉示性数． 可见，20﹣30+F=2，故F=12 即这个凸多面体有20个顶点，30条棱，12个面可见，这是一个正12面体，它的每个面都是正五边形，内角和为180×5﹣360=540 12个面的内角和为：540×12=6480 故选D
点评：本题考查凸多面体的欧拉公式，是基础题．
2、（文）将图所示的一个直角三角形ABC（∠C=90°）绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体的正视图是下面四个图形中的（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：构成空间几何体的基本元素；由三视图求面积、体积。
专题：计算题。
分析：应先得到旋转后得到的几何体，它是一个是两个圆锥的组合体，找到从正面看所得到的图形即可得到得到的几何体的正视图．
解答：解：绕斜边AB旋转一周，所得到的几何体是两个圆锥的组合体，它的正视图是两个等腰三角形，三角形之间有一条虚线段，故选B．
点评：本题考查了构成空间几何体的基本元素、三视图的知识，正视图是从物体的正面看得到的视图．
3、下列图形中不一定是平面图形的是（ ）
A、三角形 B、四边相等的四边形
C、梯形 D、平行四边形
4、在空间四边形ABCD中，M、N分别是AB、CD的中点，设BC+AD=2a，则MN与a的大小关系是（ ）
A、MN＞a B、MN=a
C、MN＜a D、不能确定
考点：构成空间几何体的基本元素。
专题：证明题。
分析：先利用中位线定理，将条件BC+AD=2a反应到MN所在的平面三角形中，再利用三角形两边之和大于第三边的性质比较MN与a的大小即可
解答：解：如图取BD中点H，连接HM，HN，
∴MH=，NH=
∴MH+NH==a
在三角形MHN中，MH+NH＞MN
∴MN＜a
故选C
点评：本题考查了空间四边形的性质，中位线定理，及将空间问题转化为平面问题的思想方法．
5、构成多面体的面最少是（ ）
A、三个 B、四个
C、五个 D、六个
考点：构成空间几何体的基本元素。
专题：探究型。
分析：由空间几何体的性质，知，面最少的多面体是四面体，由此易找出正确选项．
解答：解：面最少的多面体是四面体，由此知构成多面体的面最少是四个；
故选B．
点评：本题考查构成空间几何体的基本元素，解题的关键是熟练掌握空间几何体的结构，并能根据此结构作出正确判断．
6、由五个面围成的几何体是（ ）
A、三棱柱 B、三棱台
C、四棱锥 D、不能确定
考点：构成空间几何体的基本元素。
专题：阅读型；分类讨论。
分析：欲探求由五个面围成的几何体，可从简单的几何体出发考虑，它可能是棱柱，或棱台或棱锥等．
解答：解：由五个面围成的几何体是可能是：
三棱柱、三棱台、四棱锥．
故不能确定．
故选D．
点评：本题主要考查了构成空间几何体的基本元素，以及空间想象能力，属于基础题．
7、下列说法中正确的是（ ）
A、以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥 B、以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台
C、圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆 D、圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的底面圆的半径
考点：构成空间几何体的基本元素。
专题：阅读型。
分析：A、B中只有以直角边旋转才符合要求．D中圆锥侧面展开图扇形的半径等于圆锥的母线长．由排除法可选出答案．
解答：解：A中以直角三角形的斜边为轴旋转所得的旋转体不是圆锥，故A错误；
B中以直角梯形的垂直于底边的腰为轴旋转所得的旋转体才是圆台，以另一腰为轴所得旋转体不是圆台，故B错误；
C显然正确；
D中圆锥侧面展开图为扇形，这个扇形所在圆的半径等于圆锥的母线长，故D错误．
故选C
点评：本题考查圆柱、圆锥、圆台的机构特征，属基础知识的考查．
8、一个凸多面体的各个面都是四边形，它的顶点数是16，则它的面数为（ ）
A、14 B、7
C、15 D、不能确定
考点：构成空间几何体的基本元素。
专题：计算题。
分析：欧拉公式：V+F﹣E=2（V为简单多面体的顶点数，F为面数，E为棱数），凸多面体的各个面都是四边形，所以E=2F，利用欧拉公式即可求出．
解答：解：我们知道欧拉公式：V+F﹣E=2（V为简单多面体的顶点数，F为面数，E为棱数），
因为凸多面体的各个面都是四边形，所以E=2F，
这样：V=16，E=2F，代入 V+F﹣E=2，得：F=14．
故选：A．
点评：本题主要考查欧拉公式：V+F﹣E=2，凸多面体的各个面都是四边形，所以E=2F．
9、如图，在棱长为a的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为A1D1的中点，Q为A1B1上任意一点，E，F为CD上任意两点，且EF的长为定值．则下面的四个结论中：
①点P到平面QEF的距离为定值；
②直线PQ与平面PEF所成的角为定值；
③二面角P﹣EF﹣Q的大小为定值；
④三棱锥P﹣QEF的体积为定值．
正确的是（ ）
A、①②③ B、②③④
C、①③④ D、①②④
二、填空题（共4小题）
10、一个简单多面体的面都是三角形，顶点数V=6，则它的面数为 8 个．
考点：构成空间几何体的基本元素。
分析：由于简单多面体的面都是三角形，所以多面体的棱数和面数之间的关系是E=．把E=代入欧拉公式并结合V=6，故可求得面数F和棱数E．
解答：解：∵已知多面体的每个面有三条边，每相邻两条边重合为一条棱，
∴棱数E=，代入公式V+F﹣E=2，得F=2V﹣4．
∵V=6，∴F=8，E=12，
即多面体的面数F为8，棱数E为12．
故答案为8．
点评：本题的考点是构成空间几何体的基本元素，主要考查简单多面体的顶点数、棱数、面数，属于基础题．
11、正多面体只有 5 种，分别为 正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体 ．
考点：构成空间几何体的基本元素。
专题：应用题。
分析：从正多面体的定义出发，直接回答结果．
解答：解：正多面体只有5种，分别为正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．
故答案为：5，正四面体、正六面体、正八面体、正十二面体、正二十面体．
点评：本题考查正多面体的定义，是基础题．
12、关于如图所示几何体的正确说法为 ①③④⑤ ．
①这是一个六面体；
②这是一个四棱台；
③这是一个四棱柱；
④这是一个四棱柱和三棱柱的组合体；
⑤这是一个被截去一个三棱柱的四棱柱．
考点：构成空间几何体的基本元素。
专题：探究型。
分析：本题的解答要把该几何体从不同的方面看，就能得到答案．
解答：解：①因为有六个面，属于六面体的范围，②这是一个很明显的四棱柱，因为侧棱的延长线不能交与一点，所以不正确．
③如果把几何体放倒就会发现是一个四棱柱，④可以有四棱柱和三棱柱组成，⑤和④的想法一样，割补方法就可以得到．
故答案为：①③④⑤．
点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题．
13、一圆台上底半径为5cm，下底半径为10cm，母线AB长为20cm，其中A在上底面上，B在下底面上，从AB中点M，拉一条绳子，绕圆台的侧面一周转到B点，则这条绳子最短长为 50 cm．
点评：本题考查了在几何体表面的最短距离的求出，一般方法是把几何体的侧面展开后，根据题意作出最短距离即两点连线，结合条件求出，考查了转化思想．
三、解答题（共1小题）
14、请给以下各图分类．
