第五章 一元函数的导函数及其应用 单元测试（含答案）

第五章一元函数的导数及其应用
第I卷（选择题）
单选题
1. 一质点做直线运动，其位移与时间的关系为，设其在内的平均速度为，在时的瞬时速度为，则( )
A. B. C. D.
2. 设曲线在点处的切线斜率为，则点的坐标为( )
A. B. C. D.
3. 函数的导函数为( )
A. B.
C. D.
4. 已知，则其导函数( )
A. B. C. D.
5. 函数的单调递减区间为( )
A. B. C. D.
6. 函数在内存在极值点，则( )
A. B. C. 或 D. 或
7. 已知直线与及的图象分别交于，两点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
8. 若直线是曲线与曲线的公切线，则( )
A. B. C. D.
9. 若过点可以作曲线的三条切线，则( )
A. B. C. D.
10. 已知函数，下列对于函数性质的四个描述：是的极小值点；的图象关于点中心对称；有且仅有三个零点；若区间上递增，则的最大值为其中正确的描述的个数是( )
A. B. C. D.
二、多选题
11. 过点的直线与函数的图象相切于点，，则的值可以是
A. B. C. D.
12. 下列复合函数求导运算正确的是( )
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
13. 已知函数，下列说法正确的是( )
A. 在处的切线方程为 B. 函数的单调递减区间为
C. 的极小值为 D. 方程有个不同的解
14. 已知，且，则下列结论中正确的是( )
A. 有最大值 B. 有最小值
C. 有最小值 D. 有最大值
15. 已知定义在上的函数，其导函数的大致图象如图所示，则下列叙述错误的是( )
A. ；
B. 函数在处取得极小值，在处取得极大值；
C. 函数在处取得极大值，在处取得极小值；
D. 函数的最小值为．
第II卷（非选择题）
三、填空题
16. 若函数在处的切线过点，则实数 ．
17. 已知函数，则___．
18. 写出一个同时具有下列性质的函数：______ ．
；当时，；是奇函数．
19. 已知不等式对任意恒成立，则正实数的取值范围是 ．
20. 已知函数，，若，，则的最大值为___．
四、解答题
21. 已知函数，且在处的切线方程是．
求实数，的值
求函数的极值．
22. 已知为实数，函数，若．
求的值．
求函数在上的极值．
23. 设函数
若是的极值点，求的单调区间；
若，求的取值范围．
24. 已知函数．
求的单调区间与极值．
设，为两个不相等的正数，且，证明：．
25. 已知函数，，其中．
当时，求的值
讨论的零点个数．
1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
11.【答案】
12.【答案】
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】
16.【答案】
17.【答案】
18.【答案】
19.【答案】
20.【答案】
21.【答案】解：由，得．
由在处切线方程是，知切点为，斜率为，
所以
解得
，．
，令，得，
当变化时，及的变化情况如下表：


极大值
由表可知，当时，取得极大值无极小值．
22.【答案】解：，得．
由知
令得，
当变化时，的变化情况如下表：
极大值 极小值
由上表可知；．
故函数在上的极大值为，极小值为．
23.【答案】解：，
，经检验符合条件，
，
令，有或，令，有，
所以的单调递增区间是，单调递减区间是．
由题意
当时，令，有，令，有，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以
，即
当时，不成立．
综上，．
24.【答案】解：的定义域为，．
当时，当时，，
所以的单调递增区间为，单调递减区间为
故在处取得极大值，且极大值为，无极小值．
证明：
，
即，
不妨设，，，
由可知，，．
当时，，，．
当时，，
．
设，，
则
因为，，所以，
则在区间上单调递增，，
所以，，
又因为，，所以，
即，故，
综上得：．
25.【答案】解：时，，
时，，，，
时，，，，
；
的定义域为，
令，有，
则，
即，
所以，
时，
时，
所以，在上递减在上递增，
又因为，所以，当且仅当或，
又，故和不可能同时成立，
所以的零点个数是两个函数和的零点个数之和，其中，
，，
时，，递增，，无零点，
时，令，得，
时，；时，，
故在上递减在上递增，
当，，此时无零点，
当时，，此时有一个零点，
当时，，，，
令，，递增，
故，所以，
由零点存在定理，在和上各有一个零点，此时有两个零点，
，，在上递增，
又，，
故时，在上必有一个零点，
综上所述，时，有一个零点；
时，有两个零点
时，有三个零点．