第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案）
文档属性
| 名称 | 第五章 一元函数的导数及其应用 单元测试-2022-2023学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（含答案） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 551.4KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-01-01 19:42:37 | ||
图片预览
文档简介
第五章 一元函数的导数及其应用单元测试
一、单选题
1．函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．设是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．是定义在R上的可导函数，且对任意正实数a恒成立，下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等差数列满足，，公差为d（不为0），数列满足，若对任意的都有，则公差d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中、，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为减函数
B．当时，
C．若方程有2个不相等的解，则的取值范围为
D．，
10．定义方程的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，有下列函数：其中只有一个“新不动点”的函数有（ ）
A．g（x）=x 2x，
B．g（x）=﹣ex﹣2x，
C．g（x）=lnx，
D．g（x）=sinx+2cosx.
11．下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数（，），则（ ）
A．点可能是曲线的对称中心
B．一定有两个极值点
C．函数可能在上单调递增
D．直线可能是曲线的切线
三、填空题
13．函数，的值域是______.
14．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________.
15．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中为直角三角形，其直角顶点在轴上，点是斜边上一点，其“欧拉线”是正切曲线以点为切点的切线，则点的坐标为______.
16．已知函数，则方程不同解的个数是___________.
四、解答题
17．已知函数，（为常数，）.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.
18．已知函数，其中为常数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数的图象过点，且．
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
20．已知函数．
(1)若的单调递减区间为，求的值；
(2)若是的极大值点，且恒成立，求的取值范围．
21．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，
(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式；
(2)求出的最大值．
22．已知函数.
(1)若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；
(2)如果函数有两个不同的极值点、，证明：
答案
1．C
2．C
3．B
4．D
5．D
6．D
7．B
8．A
9．ABD
10．ABC
11．ACD
12．ABD
13．
14．
15．
16．5
17．（1）当时，函数，，
令，解得.
令，解得函数在区间上单调递增；
令，解得，函数在区间上单调递减.
∴当时，函数取得极小值，，无极大值.
（2）由题可得，因为函数在区间上是单调增函数，
所以在区间上恒成立，但是不恒等于0.
∴在区间上恒成立，但是不恒等于0.
∴，即且，解得.
因此实数的取值范围是.
18．（1）易知函数的定义域为，
由得，，
令，解得；
令，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）在上恒成立，
等价于在上恒成立，
令，则，
，
在上单调递减，
在区间上的最大值为，
，
即实数的取值范围是．
19.（1）因为函数的图象过点，所以①．
又，，
所以②，
由①②解得：，．
（2）由（1）知，
又因为，，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
20．（1）由题可知的定义域为，．
的单调递减区间为等价于的解集为，
即的解集为．
所以方程的两个根分别为，，
由根与系数的关系可得，所以．
（2）若是的极大值点，定义域为，则至少有一正根，
即方程至少有一正根．
若，则方程的正根为，
因为当时，当时，
所以此时只有极小值点1，不符合题意．
若，则方程有一正根和一负根，设为，，且，，
则．
因为当时，，当时，，所以此时只有极小值点，不符合题意．
若，由题可知方程应有两个不等的正根，设为，，其中，
则解得．
所以．
列表如下：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以是极大值点，是极小值点，则．
由，且，得．
由题可知，即当时恒成立．
令，，则．
因为，所以．
所以当时，，当时，，所以，
解得，又，所以此时的取值范围是．
综上，实数的取值范围是．
21．（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交元，
所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：．
（2）∵，
∴，
令，解得：或，而，则，
①当，即时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取最大值；
②当，即时，
当时，，单调递增，
∴当时，取最大值，
综上，
22．（1）解： ，
，
根据导数的几何意义可得，切线的斜率，
切线方程为，则，
，解得，
，
，即切点为，
，解得；
（2）证明：，
，
，
，是函数的两个不同极值点（不妨设，
有两个不同的实数根，，
当时，方程不成立，
则，令，则，
由解得，
当变化时，，变化情况如下表：
0
单调递减 单调递减 极小值 单调递增
当时，方程至多有一解，不合题意；
当时，方程若有两个解，则，
所以．
一、单选题
1．函数的导数为（ ）
A． B． C． D．
2．函数的图象在点处的切线与直线垂直，则实数a的值为（ ）
A． B． C．1 D．2
3．已知函数的部分图象如图所示，且是的导函数，则（ ）
A．
B．
C．
D．
4．函数的单调递增区间是（ ）
A． B． C． D．
5．设是可导函数，且，则（ ）
A．2 B． C．1 D．
6．是定义在R上的可导函数，且对任意正实数a恒成立，下列式子成立的是（ ）
A． B．
C． D．
7．已知等差数列满足，，公差为d（不为0），数列满足，若对任意的都有，则公差d的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数，其中、，为自然对数的底数，若，是的导函数，函数在区间内有两个零点，则的取值范围是（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．函数在上为减函数
B．当时，
C．若方程有2个不相等的解，则的取值范围为
D．，
10．定义方程的实数根x0叫做函数f（x）的“新不动点”，有下列函数：其中只有一个“新不动点”的函数有（ ）
A．g（x）=x 2x，
B．g（x）=﹣ex﹣2x，
C．g（x）=lnx，
D．g（x）=sinx+2cosx.
11．下列求导运算错误的是（ ）
A． B．
C． D．
12．已知函数（，），则（ ）
A．点可能是曲线的对称中心
B．一定有两个极值点
C．函数可能在上单调递增
D．直线可能是曲线的切线
三、填空题
13．函数，的值域是______.
14．已知函数在区间上不单调，则实数的取值范围为___________.
15．瑞士著名数学家欧拉在1765年证明了定理：三角形的外心、重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”.已知平面直角坐标系中为直角三角形，其直角顶点在轴上，点是斜边上一点，其“欧拉线”是正切曲线以点为切点的切线，则点的坐标为______.
16．已知函数，则方程不同解的个数是___________.
四、解答题
17．已知函数，（为常数，）.
(1)当时，求函数的极值；
(2)若函数在区间上是单调增函数，求实数的取值范围.
18．已知函数，其中为常数．
(1)若，求函数的单调区间；
(2)若在上恒成立，求实数的取值范围．
19．已知函数的图象过点，且．
(1)求a，b的值；
(2)求曲线在点处的切线方程．
20．已知函数．
(1)若的单调递减区间为，求的值；
(2)若是的极大值点，且恒成立，求的取值范围．
21．2022年2月4日，第二十四届冬季奥林匹克运动会开幕式在北京国家体育场举行，拉开了冬奥会的帷幕．冬奥会发布的吉祥物“冰墩墩”、“雪容融”得到了大家的广泛喜爱，达到一墩难求的地步．当地某旅游用品商店获批经销此次奥运会纪念品，其中某个挂件纪念品每件的成本为5元，并且每件纪念品需向税务部门上交元的税收，预计当每件产品的售价定为元时，一年的销售量为万件，
(1)求该商店一年的利润(万元)与每件纪念品的售价的函数关系式；
(2)求出的最大值．
22．已知函数.
(1)若函数的图象在处的切线方程为，求，的值；
(2)如果函数有两个不同的极值点、，证明：
答案
1．C
2．C
3．B
4．D
5．D
6．D
7．B
8．A
9．ABD
10．ABC
11．ACD
12．ABD
13．
14．
15．
16．5
17．（1）当时，函数，，
令，解得.
令，解得函数在区间上单调递增；
令，解得，函数在区间上单调递减.
∴当时，函数取得极小值，，无极大值.
（2）由题可得，因为函数在区间上是单调增函数，
所以在区间上恒成立，但是不恒等于0.
∴在区间上恒成立，但是不恒等于0.
∴，即且，解得.
因此实数的取值范围是.
18．（1）易知函数的定义域为，
由得，，
令，解得；
令，解得，
故的单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）在上恒成立，
等价于在上恒成立，
令，则，
，
在上单调递减，
在区间上的最大值为，
，
即实数的取值范围是．
19.（1）因为函数的图象过点，所以①．
又，，
所以②，
由①②解得：，．
（2）由（1）知，
又因为，，
所以曲线在处的切线方程为，
即．
20．（1）由题可知的定义域为，．
的单调递减区间为等价于的解集为，
即的解集为．
所以方程的两个根分别为，，
由根与系数的关系可得，所以．
（2）若是的极大值点，定义域为，则至少有一正根，
即方程至少有一正根．
若，则方程的正根为，
因为当时，当时，
所以此时只有极小值点1，不符合题意．
若，则方程有一正根和一负根，设为，，且，，
则．
因为当时，，当时，，所以此时只有极小值点，不符合题意．
若，由题可知方程应有两个不等的正根，设为，，其中，
则解得．
所以．
列表如下：
+ 0 - 0 +
单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增
所以是极大值点，是极小值点，则．
由，且，得．
由题可知，即当时恒成立．
令，，则．
因为，所以．
所以当时，，当时，，所以，
解得，又，所以此时的取值范围是．
综上，实数的取值范围是．
21．（1）由题意，预计当每件产品的售价为元，而每件产品的成本为5元，且每件产品需向税务部门上交元，
所以商店一年的利润(万元)与售价的函数关系式为：．
（2）∵，
∴，
令，解得：或，而，则，
①当，即时，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
∴当时，取最大值；
②当，即时，
当时，，单调递增，
∴当时，取最大值，
综上，
22．（1）解： ，
，
根据导数的几何意义可得，切线的斜率，
切线方程为，则，
，解得，
，
，即切点为，
，解得；
（2）证明：，
，
，
，是函数的两个不同极值点（不妨设，
有两个不同的实数根，，
当时，方程不成立，
则，令，则，
由解得，
当变化时，，变化情况如下表：
0
单调递减 单调递减 极小值 单调递增
当时，方程至多有一解，不合题意；
当时，方程若有两个解，则，
所以．