2022-2023学年上海市静安区八年级（上）期中数学试卷(word解析版)

2022-2023学年上海市静安区八年级（上）期中数学试卷
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，清分18分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应位置填涂】
1．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
3．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2﹣3＝0
C．3x2+2x﹣1＝（3x+1）（x﹣2） D．x2＝﹣1
4．下列运算正确的是（　　）
（1）＝1.5﹣0.5＝1
（2）
（3）
（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．下列语句不是命题的是（　　）
A．延长AB到D，使BD＝2AB
B．两点之间线段最短
C．两条直线相交有且只有一个交点
D．等角的补角相等
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，其中点B、C分别与点D、E对应，如果B、D、C三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（　　）
A．∠ACB＝∠AED B．∠DAC＝∠CDE C．∠ADE＝∠ACE D．∠BAD＝∠CAE
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．化简：＝　 　．
8．化简：＝　 　．
9．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝　 　．
10．方程x2＝2x﹣1的根是 　 　．
11．如图，∠B＝∠E，AD＝CF，使△ABC≌△DEF，请添一个条件可以是 　 　．
12．+2的有理化因式可以是 　 　．
13．若等式：成立，则x的取值范围是 　 　．
14．不等式的解集是 　 　．
15．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式 　 　．
16．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝25cm，DE＝17cm，求BE＝　 　cm．
17．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝30°，则∠EDC＝　 　．
18．如图，等边△ABC的边长是3，动点E在射线AB上，动点D在射线CB上，且ED＝EC，当BE＝1时，那么CD的长 　 　．
三、解答题：（本大题共8题，满分66分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸上]
19．（10分）（1）计算：；
（2）计算：．
20．（10分）（1）解方程：（2x﹣1）2＝（1﹣x）2；
（2）解方程：．
21．（6分）先化简，再求值，如果a＝2﹣，b＝，求的值．
22．（6分）已知y＝﹣，化简+﹣．
23．（7分）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE与CD相交于点F．
求证：（1）∠ADC＝∠AEB；
（2）FD＝FE．
24．（8分）如图，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝25，求AB的长．
25．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠EBC；
（2）如果AC＝2BC，请猜想BE和BD的数量关系，并证明你的猜想．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；
（2）当M是线段BC的中点时，写出线段CE和线段CD之间的数量关系，并证明；
（3）请直接写出BN、CE和CD之间的数关系．
2022-2023学年上海市静安区八年级（上）期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题：（本大题共6题，每题3分，清分18分）【每题只有一个正确选项，在答题纸相应位置填涂】
1．下列各式中，能与合并的是（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出＝2，再根据同类二次根式的定义逐个判断即可．
【解答】解：＝2，
A．＝＝，与2的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
B．＝2，与2的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
C．＝8，与2的被开方数不同，不是同类二次根式，故本选项不符合题意；
D．＝7，与2的被开方数相同，是同类二次根式，故本选项符合题意；
故选：D．
2．下列二次根式中，最简二次根式是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根据最简二次根式的意义，逐个进行判断即可．
【解答】解：A、＝|ab2|，因此不是最简二次根式，不符合题意；
B、＝，因此不是最简二次根式，不符合题意；
C、是最简二次根式，符合题意；
D、＝2，因此不是最简二次根式，不符合题意；
故选：C．
3．下列方程中，是关于x的一元二次方程的是（　　）
A．ax2+bx+c＝0 B．x2+2﹣3＝0
C．3x2+2x﹣1＝（3x+1）（x﹣2） D．x2＝﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义，逐一判断四个选项，即可得出结论．
【解答】解：A．当a＝0时，ax2+bx+c＝0不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
B．该方程被开方数有未知数，不是一元二次方程，故本选项不符合题意；
C．该方程整理可得7x+1＝0，是一元一次方程，故本选项不符合题意；
D．x2＝﹣1是一元二次方程，故本选项符合题意．
故选：D．
4．下列运算正确的是（　　）
（1）＝1.5﹣0.5＝1
（2）
（3）
（4）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【分析】直接利用二次根式的性质化简判断得出答案．
【解答】解：（1）＝＝，故此选项不合题意；
（2）2＝＝，故此选项不合题意；
（3）＝|x﹣5|，故此选项不合题意；
（4）﹣x＝﹣，故此选项符合题意；
故选：A．
5．下列语句不是命题的是（　　）
A．延长AB到D，使BD＝2AB
B．两点之间线段最短
C．两条直线相交有且只有一个交点
D．等角的补角相等
【分析】根据命题的概念判断即可．
【解答】解：A、延长AB到D，使BD＝2AB，没有对事情作出判断，不是命题，符合题意；
B、两点之间线段最短，是命题，不符合题意；
C、两条直线相交有且只有一个交点，是命题，不符合题意；
D、等角的补角相等，是命题，不符合题意；
故选：A．
6．如图，将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，其中点B、C分别与点D、E对应，如果B、D、C三点恰好在同一直线上，那么下列结论错误的是（　　）
A．∠ACB＝∠AED B．∠DAC＝∠CDE C．∠ADE＝∠ACE D．∠BAD＝∠CAE
【分析】利用旋转的性质直接对A选项进行判断；利用旋转的性质得∠BAC＝∠DAE，再利用三角形外角性质得∠BAD＝∠CAE，则可对B选项进行判断；利用旋转的性质得∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，然后根据等腰三角形顶角相等时底角相等得到∠B＝∠ACE，则∠ADE＝∠ACE，于是可对C选项进行判断；先判断∠EDC＝∠BAD，而∠BAD不能确定等于∠DAC，则可对D选项进行判断．
【解答】解：∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ACB＝∠AED，所以A选项的结论正确；
∠BAC＝∠DAE，
即∠BAD+∠DAC＝∠DAC+∠CAE，
∴∠BAD＝∠CAE，所以D选项的结论正确；
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE，
∴∠ADE＝∠B，AB＝AD，AC＝AE，
∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠B＝∠ACE，
∴∠ADE＝∠ACE，所以C选项的结论正确；
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
而∠ADE＝∠B，
∴∠EDC＝∠BAD，
而AD不能确定平分∠BAC，
∴∠BAD不能确定等于∠DAC，
∴∠EDC不能确定等于∠DAC，所以B选项的结论错误．
故选：B．
二、填空题：（本大题共12题，每题3分，满分36分）【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7．化简：＝　　．
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案．
【解答】解：＝＝．
故答案为：．
8．化简：＝　2a　．
【分析】应用二次根式的性质与化简的方法进行计算即可得出答案．
【解答】解：原式＝2a．
故答案为：2a．
9．若关于x的一元二次方程（m﹣1）x2+3x+m2﹣1＝0有一根为0，则m＝　﹣1　．
【分析】根据一元二次方程解的定义把x＝0代入方程求m，然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值．
【解答】解：把x＝0代入方程得m2﹣1＝0，解得m＝±1，
而m﹣1≠0，
所以m＝﹣1．
故答案是：﹣1．
10．方程x2＝2x﹣1的根是 　x1＝x2＝1　．
【分析】先移项，再利用完全平方公式将左边因式分解，进一步求解即可．
【解答】解：∵x2﹣2x+1＝0，
∴（x﹣1）2＝0，
则x﹣1＝0，
∴x1＝x2＝1，
故答案为：x1＝x2＝1．
11．如图，∠B＝∠E，AD＝CF，使△ABC≌△DEF，请添一个条件可以是 　∠ACB＝∠F　．
【分析】由AD＝CF，可得出AC＝DF，又有∠B＝∠E，本题具备了一组边、一组角对应相等，所以根据全等三角形的判定定理添加一组对应角相等即可．
【解答】解：添加∠ACB＝∠F．理由如下：
∵AD＝CF，
∴AC＝DF，
在△ABC与△DEF中，
，
∴△ABC≌△DEF（AAS）．
故答案是：∠ACB＝∠F．
12．+2的有理化因式可以是 　﹣2　．
【分析】根据两个含二次根式的代数式相乘时，它们的积不含二次根式这个定义求出结果．
【解答】解：∵（+2）（﹣2）＝x﹣1+2＝x+1，
∴（﹣2）是（+2）的有理化因式，
故答案为：﹣2．
13．若等式：成立，则x的取值范围是 　3≤x＜4　．
【分析】直接利用二次根式有意义的条件结合不等式组的解法分析得出答案．
【解答】解：若等式：成立，
则，
解得：3≤x＜4．
故答案为：3≤x＜4．
14．不等式的解集是 　x＞3+2　．
【分析】将不等式变形为（2﹣3）x＜﹣6，再由2＜3，解出不等式即可．
【解答】解：，
（2﹣3）x＜﹣6，
∵2＝，3＝，
∴2＜3，
∴x＞﹣＝3+2，
∴不等式的解集为x＞3+2，
故答案为：x＞3+2．
15．把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式 　如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等　．
【分析】命题有题设和结论两部分组成，通常写成“如果…那么…”的形式．“如果”后面接题设，“那么”后面接结论．
【解答】解：根据命题的特点，可以改写为：“如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，
故答案为：如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等．
16．如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，AD⊥CE，BE⊥CE，垂足分别为D，E，AD＝25cm，DE＝17cm，求BE＝　8　cm．
【分析】根据条件可以得出∠E＝∠ADC＝90°，进而得出△CEB≌△ADC，就可以得出BE＝DC，就可以求出BE的值．
【解答】解：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°，
∴∠EBC+∠BCE＝90°．
∵∠BCE+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA．
在△CEB和△ADC中，
，
∴△CEB≌△ADC（AAS），
∴BE＝DC，CE＝AD＝25．
∵DC＝CE﹣DE，DE＝17cm，
∴DC＝25﹣17＝8cm，
∴BE＝8cm
故答案为：8．
17．如图，已知△ABC中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝30°，则∠EDC＝　15°　．
【分析】可以设∠EDC＝x°，∠B＝∠C＝y°，根据∠ADE＝∠AED＝x°+y°，∠ADC＝∠B+∠BAD即可列出方程，从而求解．
【解答】解：设∠EDC＝x°，∠B＝∠C＝y°，
则∠AED＝∠EDC+∠C＝x°+y°，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED＝x°+y°，
∴∠ADC＝∠ADE+∠EDC＝2x°+y°，
∵∠ADC＝∠B+∠BAD，
所以2x+y＝y+30，
解得x＝15．
∴∠EDC的度数是15°．
故答案为：15°．
18．如图，等边△ABC的边长是3，动点E在射线AB上，动点D在射线CB上，且ED＝EC，当BE＝1时，那么CD的长 　5　．
【分析】过E点作EH⊥CD于H点，如图，则根据等腰三角形的性质得到CH＝DH，再根据等边三角形的性质得到∠ABC＝60°，CB＝3，则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到BH＝BE＝，然后计算出CH的长，从而得到CD的长．
【解答】解：过E点作EH⊥CD于H点，如图，
∵ED＝EC，
∴CH＝DH，
∵△ABC为等边三角形，
∴∠ABC＝60°，CB＝3，
在Rt△BEH中，∵∠EBH＝60°，
∴BH＝BE＝，
∴CH＝CB﹣BH＝3﹣＝，
∴CD＝2CH＝2×＝5．
故答案为：5．
三、解答题：（本大题共8题，满分66分）[将下列各题的解答过程，做在答题纸上]
19．（10分）（1）计算：；
（2）计算：．
【分析】（1）先利用完全平方公式和二次根式的乘法法则计算，再分母有理化，然后合并即可；
（2）先根据二次根式的乘法和除法法则运算，然后化简即可．
【解答】解：（1）原式＝3﹣2+1﹣2（+1）﹣（3﹣1）
＝3﹣2+1﹣2﹣2﹣2
＝﹣4；
（2）原式＝12a
＝12a
＝4．
20．（10分）（1）解方程：（2x﹣1）2＝（1﹣x）2；
（2）解方程：．
【分析】（1）方程变形后利用平方差公式分解，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解；
（2）方程整理后利用十字相乘法分解，然后利用两数相乘积为0，两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解．
【解答】解：（1）（2x﹣1）2＝（1﹣x）2，
（2x﹣1）2﹣（1﹣x）2＝0，
（2x﹣1+1﹣x）（2x﹣1﹣1+x）＝0，
∵x＝0或3x﹣2＝0，
∴x1＝0，x2＝；
（2），
2x2﹣3x﹣2＝0，
（2x+1）（x﹣2）＝0，
∴2x+1＝0或x﹣2＝0，
∴x1＝﹣，x2＝2．
21．（6分）先化简，再求值，如果a＝2﹣，b＝，求的值．
【分析】直接利用二次根式的性质分母有理化，进而化简二次根式得出答案．
【解答】解：∵b＝＝＝2+，a＝2﹣，
∴a﹣b＝2﹣﹣（2+）＝2﹣﹣2﹣＝﹣2＜0，
∴＝＝2．
22．（6分）已知y＝﹣，化简+﹣．
【分析】先根据已知条件判断出y＜0，x﹣3≤0，再根据y＜0，x≤3化简+﹣即可．
【解答】解：∵y＝﹣＜0，
∴y＜0，x﹣3≤0，
∴x≤3，
∴+﹣
＝+|y﹣1|﹣|x﹣3|
＝|x﹣4|+|y﹣1|﹣|x﹣3|
＝4﹣x+1﹣y﹣3+x
＝2﹣y．
23．（7分）如图，AB＝AC，AD＝AE，∠BAD＝∠CAE，BE与CD相交于点F．
求证：（1）∠ADC＝∠AEB；
（2）FD＝FE．
【分析】（1）利用AAS证明△ABD≌△ACE即可；
（2）连接DE，利用等腰三角形的性质和判定即可证明结论．
【解答】证明：（1）∵∠BAD＝∠CAE，
∴∠BAD+∠EAD＝∠CAE+∠DAE，
∴∠BAE＝∠CAD，
在△ABE与△ACD中，
，
∴△ABE≌△ACD（SAS），
∴∠ADC＝∠AEB；
（2）连接DE，
∵AD＝AE，
∴∠ADE＝∠AED，
∵∠ADC＝∠AEB，
∴∠ADC﹣∠ADE＝∠AEB﹣∠AED，
∴∠FDE＝∠FED，
∴FD＝FE．
24．（8分）如图，AD是△ABC的高，∠B＝2∠C，BD＝5，BC＝25，求AB的长．
【分析】在线段DC上截取DE＝BD，连接AE，根据线段垂直平分线的性质得到AB＝AE，求得∠B＝∠AEB，根据三角形外角的性质得到∠AEB＝∠CAE+∠C，求得AE＝CE，于是得到结论．
【解答】解：如图：在线段DC上截取DE＝BD，连接AE，
∵AD⊥BC，
∴AB＝AE，
∴∠B＝∠AEB，
∵∠B＝2∠C，
∴∠AEB＝2∠C，
∵∠AEB＝∠CAE+∠C，
∴∠C＝∠CAE，
∴AE＝CE，
∵BD＝5，BC＝25，
∴DE＝BD＝5，
∴AB＝AE＝CE＝BC﹣BD﹣DE＝15．
25．（9分）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，D是AB上一点，且BD＝AD＝CD，过B作BE⊥CD，分别交AC于点E、交CD于点F．
（1）求证：∠A＝∠EBC；
（2）如果AC＝2BC，请猜想BE和BD的数量关系，并证明你的猜想．
【分析】（1）证得∠EBC＝∠ACD，∠A＝∠ACD，则结论可得出；
（2）过点D作DG⊥AC于点G，根据ASA证明△DCG≌△EBC，可得出结论．
【解答】（1）证明：∵BE⊥CD，
∴∠BFC＝90°，
∴∠EBC+∠BCF＝180°﹣∠BFC＝90°，
∵∠ACB＝∠BCF+∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠ACD，
∵AD＝CD，
∴∠A＝∠ACD，
∴∠A＝∠EBC；
（2）解：CD＝BE．
过点D作DG⊥AC于点G，
∵DA＝DC，DG⊥AC，
∴AC＝2CG，
∵AC＝2BC，
∴CG＝BC，
∵∠DGC＝90°，∠ECB＝90°，
∴∠DGC＝∠ECB，
在△DGC和△ECB中，
，
∴△DCG≌△EBC（ASA），
∴CD＝BE．
26．（10分）如图，在△ABC中，∠ACB＝2∠B，∠BAC平分线AO交BC于点D，点H为AO上一动点，过H作直线l⊥AO于H，分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M．
（1）当直线l经过点C时（如图2），求证：BN＝CD；
（2）当M是线段BC的中点时，写出线段CE和线段CD之间的数量关系，并证明；
（3）请直接写出BN、CE和CD之间的数关系．
【分析】（1）连接ND，先由已知条件证明DN＝DC，再证明BN＝DN即可；
（2）当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，过点C作CN'⊥AO交AB于N'．过点C作CG∥AB交直线l于G，再证明△BNM≌△CGM问题得证；
（3）BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论：①当点M在线段BC上时；②当点M在BC的延长线上时；③当点M在CB的延长线上时；由（2）即可得出结论．
【解答】（1）证明：连接ND，如图2所示：
∵AO平分∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD，
∵直线l⊥AO于H，
∴∠AHN＝∠AHE＝90°，
∴∠ANH＝∠AEH，
∴AN＝AC，
∴NH＝CH，
∴AH是线段NC的中垂线，
∴DN＝DC，
∴∠DNH＝∠DCH，
∴∠AND＝∠ACB，
∵∠AND＝∠B+∠BDN，∠ACB＝2∠B，
∴∠B＝∠BDN，
∴BN＝DN
∴BN＝DC；
（2）解：当M是BC中点时，CE和CD之间的等量关系为CD＝2CE，理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，过点C作CG∥AB交直线l于点G，如图3所示：
由（1）得：BN'＝CD，AN'＝AC，AN＝AE，
∴∠ANE＝∠AEN，NN'＝CE，
∴∠ANE＝∠CGE，∠B＝∠BCG，
∴∠CGE＝∠AEN，
∴CG＝CE，
∵M是BC中点，
∴BM＝CM，
在△BNM和△CGM中，，
∴△BNM≌△CGM（ASA），
∴BN＝CG，
∴BN＝CE，
∴CD＝BN'＝NN'+BN＝2CE；
（3）解：BN、CE、CD之间的等量关系：当点M在线段BC上时，CD＝BN+CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图3所示：
由（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN+CE；
当点M在BC的延长线上时，CD＝BN﹣CE；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图4所示：
同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝BN﹣CE；
当点M在CB的延长线上时，CD＝CE﹣BN；理由如下：
过点C作CN'⊥AO交AB于N'，如图5所示：
同（2）得：NN'＝CE，CD＝BN'＝CE﹣BN．