2022-2023学年上海市静安区八年级(上)期中数学试卷
一、选择题:(本大题共6题,每题3分,清分18分)【每题只有一个正确选项,在答题纸相应位置填涂】
1.下列各式中,能与合并的是( )
A. B. C. D.
2.下列二次根式中,最简二次根式是( )
A. B. C. D.
3.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0 B.x2+2﹣3=0
C.3x2+2x﹣1=(3x+1)(x﹣2) D.x2=﹣1
4.下列运算正确的是( )
(1)=1.5﹣0.5=1
(2)
(3)
(4)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
5.下列语句不是命题的是( )
A.延长AB到D,使BD=2AB
B.两点之间线段最短
C.两条直线相交有且只有一个交点
D.等角的补角相等
6.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,其中点B、C分别与点D、E对应,如果B、D、C三点恰好在同一直线上,那么下列结论错误的是( )
A.∠ACB=∠AED B.∠DAC=∠CDE C.∠ADE=∠ACE D.∠BAD=∠CAE
二、填空题:(本大题共12题,每题3分,满分36分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7.化简:= .
8.化简:= .
9.若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+3x+m2﹣1=0有一根为0,则m= .
10.方程x2=2x﹣1的根是 .
11.如图,∠B=∠E,AD=CF,使△ABC≌△DEF,请添一个条件可以是 .
12.+2的有理化因式可以是 .
13.若等式:成立,则x的取值范围是 .
14.不等式的解集是 .
15.把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式 .
16.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=25cm,DE=17cm,求BE= cm.
17.如图,已知△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=30°,则∠EDC= .
18.如图,等边△ABC的边长是3,动点E在射线AB上,动点D在射线CB上,且ED=EC,当BE=1时,那么CD的长 .
三、解答题:(本大题共8题,满分66分)[将下列各题的解答过程,做在答题纸上]
19.(10分)(1)计算:;
(2)计算:.
20.(10分)(1)解方程:(2x﹣1)2=(1﹣x)2;
(2)解方程:.
21.(6分)先化简,再求值,如果a=2﹣,b=,求的值.
22.(6分)已知y=﹣,化简+﹣.
23.(7分)如图,AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE,BE与CD相交于点F.
求证:(1)∠ADC=∠AEB;
(2)FD=FE.
24.(8分)如图,AD是△ABC的高,∠B=2∠C,BD=5,BC=25,求AB的长.
25.(9分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且BD=AD=CD,过B作BE⊥CD,分别交AC于点E、交CD于点F.
(1)求证:∠A=∠EBC;
(2)如果AC=2BC,请猜想BE和BD的数量关系,并证明你的猜想.
26.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过H作直线l⊥AO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M.
(1)当直线l经过点C时(如图2),求证:BN=CD;
(2)当M是线段BC的中点时,写出线段CE和线段CD之间的数量关系,并证明;
(3)请直接写出BN、CE和CD之间的数关系.
2022-2023学年上海市静安区八年级(上)期中数学试卷
参考答案与试题解析
一、选择题:(本大题共6题,每题3分,清分18分)【每题只有一个正确选项,在答题纸相应位置填涂】
1.下列各式中,能与合并的是( )
A. B. C. D.
【分析】先求出=2,再根据同类二次根式的定义逐个判断即可.
【解答】解:=2,
A.==,与2的被开方数不同,不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
B.=2,与2的被开方数不同,不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
C.=8,与2的被开方数不同,不是同类二次根式,故本选项不符合题意;
D.=7,与2的被开方数相同,是同类二次根式,故本选项符合题意;
故选:D.
2.下列二次根式中,最简二次根式是( )
A. B. C. D.
【分析】根据最简二次根式的意义,逐个进行判断即可.
【解答】解:A、=|ab2|,因此不是最简二次根式,不符合题意;
B、=,因此不是最简二次根式,不符合题意;
C、是最简二次根式,符合题意;
D、=2,因此不是最简二次根式,不符合题意;
故选:C.
3.下列方程中,是关于x的一元二次方程的是( )
A.ax2+bx+c=0 B.x2+2﹣3=0
C.3x2+2x﹣1=(3x+1)(x﹣2) D.x2=﹣1
【分析】根据一元二次方程的定义,逐一判断四个选项,即可得出结论.
【解答】解:A.当a=0时,ax2+bx+c=0不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
B.该方程被开方数有未知数,不是一元二次方程,故本选项不符合题意;
C.该方程整理可得7x+1=0,是一元一次方程,故本选项不符合题意;
D.x2=﹣1是一元二次方程,故本选项符合题意.
故选:D.
4.下列运算正确的是( )
(1)=1.5﹣0.5=1
(2)
(3)
(4)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
【分析】直接利用二次根式的性质化简判断得出答案.
【解答】解:(1)==,故此选项不合题意;
(2)2==,故此选项不合题意;
(3)=|x﹣5|,故此选项不合题意;
(4)﹣x=﹣,故此选项符合题意;
故选:A.
5.下列语句不是命题的是( )
A.延长AB到D,使BD=2AB
B.两点之间线段最短
C.两条直线相交有且只有一个交点
D.等角的补角相等
【分析】根据命题的概念判断即可.
【解答】解:A、延长AB到D,使BD=2AB,没有对事情作出判断,不是命题,符合题意;
B、两点之间线段最短,是命题,不符合题意;
C、两条直线相交有且只有一个交点,是命题,不符合题意;
D、等角的补角相等,是命题,不符合题意;
故选:A.
6.如图,将△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,其中点B、C分别与点D、E对应,如果B、D、C三点恰好在同一直线上,那么下列结论错误的是( )
A.∠ACB=∠AED B.∠DAC=∠CDE C.∠ADE=∠ACE D.∠BAD=∠CAE
【分析】利用旋转的性质直接对A选项进行判断;利用旋转的性质得∠BAC=∠DAE,再利用三角形外角性质得∠BAD=∠CAE,则可对B选项进行判断;利用旋转的性质得∠ADE=∠B,AB=AD,AC=AE,然后根据等腰三角形顶角相等时底角相等得到∠B=∠ACE,则∠ADE=∠ACE,于是可对C选项进行判断;先判断∠EDC=∠BAD,而∠BAD不能确定等于∠DAC,则可对D选项进行判断.
【解答】解:∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,
∴∠ACB=∠AED,所以A选项的结论正确;
∠BAC=∠DAE,
即∠BAD+∠DAC=∠DAC+∠CAE,
∴∠BAD=∠CAE,所以D选项的结论正确;
∵△ABC绕点A逆时针旋转得到△ADE,
∴∠ADE=∠B,AB=AD,AC=AE,
∵∠BAD=∠CAE,
∴∠B=∠ACE,
∴∠ADE=∠ACE,所以C选项的结论正确;
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
而∠ADE=∠B,
∴∠EDC=∠BAD,
而AD不能确定平分∠BAC,
∴∠BAD不能确定等于∠DAC,
∴∠EDC不能确定等于∠DAC,所以B选项的结论错误.
故选:B.
二、填空题:(本大题共12题,每题3分,满分36分)【请将结果直接填入答题纸的相应位置上】
7.化简:= .
【分析】直接利用二次根式的性质化简求出答案.
【解答】解:==.
故答案为:.
8.化简:= 2a .
【分析】应用二次根式的性质与化简的方法进行计算即可得出答案.
【解答】解:原式=2a.
故答案为:2a.
9.若关于x的一元二次方程(m﹣1)x2+3x+m2﹣1=0有一根为0,则m= ﹣1 .
【分析】根据一元二次方程解的定义把x=0代入方程求m,然后根据一元二次方程的定义确定满足条件的m的值.
【解答】解:把x=0代入方程得m2﹣1=0,解得m=±1,
而m﹣1≠0,
所以m=﹣1.
故答案是:﹣1.
10.方程x2=2x﹣1的根是 x1=x2=1 .
【分析】先移项,再利用完全平方公式将左边因式分解,进一步求解即可.
【解答】解:∵x2﹣2x+1=0,
∴(x﹣1)2=0,
则x﹣1=0,
∴x1=x2=1,
故答案为:x1=x2=1.
11.如图,∠B=∠E,AD=CF,使△ABC≌△DEF,请添一个条件可以是 ∠ACB=∠F .
【分析】由AD=CF,可得出AC=DF,又有∠B=∠E,本题具备了一组边、一组角对应相等,所以根据全等三角形的判定定理添加一组对应角相等即可.
【解答】解:添加∠ACB=∠F.理由如下:
∵AD=CF,
∴AC=DF,
在△ABC与△DEF中,
,
∴△ABC≌△DEF(AAS).
故答案是:∠ACB=∠F.
12.+2的有理化因式可以是 ﹣2 .
【分析】根据两个含二次根式的代数式相乘时,它们的积不含二次根式这个定义求出结果.
【解答】解:∵(+2)(﹣2)=x﹣1+2=x+1,
∴(﹣2)是(+2)的有理化因式,
故答案为:﹣2.
13.若等式:成立,则x的取值范围是 3≤x<4 .
【分析】直接利用二次根式有意义的条件结合不等式组的解法分析得出答案.
【解答】解:若等式:成立,
则,
解得:3≤x<4.
故答案为:3≤x<4.
14.不等式的解集是 x>3+2 .
【分析】将不等式变形为(2﹣3)x<﹣6,再由2<3,解出不等式即可.
【解答】解:,
(2﹣3)x<﹣6,
∵2=,3=,
∴2<3,
∴x>﹣=3+2,
∴不等式的解集为x>3+2,
故答案为:x>3+2.
15.把命题“同角的余角相等”改写成“如果…那么…”的形式 如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等 .
【分析】命题有题设和结论两部分组成,通常写成“如果…那么…”的形式.“如果”后面接题设,“那么”后面接结论.
【解答】解:根据命题的特点,可以改写为:“如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等”,
故答案为:如果两个角是同一个角的余角,那么这两个角相等.
16.如图,∠ACB=90°,AC=BC,AD⊥CE,BE⊥CE,垂足分别为D,E,AD=25cm,DE=17cm,求BE= 8 cm.
【分析】根据条件可以得出∠E=∠ADC=90°,进而得出△CEB≌△ADC,就可以得出BE=DC,就可以求出BE的值.
【解答】解:∵BE⊥CE,AD⊥CE,
∴∠E=∠ADC=90°,
∴∠EBC+∠BCE=90°.
∵∠BCE+∠ACD=90°,
∴∠EBC=∠DCA.
在△CEB和△ADC中,
,
∴△CEB≌△ADC(AAS),
∴BE=DC,CE=AD=25.
∵DC=CE﹣DE,DE=17cm,
∴DC=25﹣17=8cm,
∴BE=8cm
故答案为:8.
17.如图,已知△ABC中,AB=AC,AD=AE,∠BAD=30°,则∠EDC= 15° .
【分析】可以设∠EDC=x°,∠B=∠C=y°,根据∠ADE=∠AED=x°+y°,∠ADC=∠B+∠BAD即可列出方程,从而求解.
【解答】解:设∠EDC=x°,∠B=∠C=y°,
则∠AED=∠EDC+∠C=x°+y°,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED=x°+y°,
∴∠ADC=∠ADE+∠EDC=2x°+y°,
∵∠ADC=∠B+∠BAD,
所以2x+y=y+30,
解得x=15.
∴∠EDC的度数是15°.
故答案为:15°.
18.如图,等边△ABC的边长是3,动点E在射线AB上,动点D在射线CB上,且ED=EC,当BE=1时,那么CD的长 5 .
【分析】过E点作EH⊥CD于H点,如图,则根据等腰三角形的性质得到CH=DH,再根据等边三角形的性质得到∠ABC=60°,CB=3,则根据含30度角的直角三角形三边的关系得到BH=BE=,然后计算出CH的长,从而得到CD的长.
【解答】解:过E点作EH⊥CD于H点,如图,
∵ED=EC,
∴CH=DH,
∵△ABC为等边三角形,
∴∠ABC=60°,CB=3,
在Rt△BEH中,∵∠EBH=60°,
∴BH=BE=,
∴CH=CB﹣BH=3﹣=,
∴CD=2CH=2×=5.
故答案为:5.
三、解答题:(本大题共8题,满分66分)[将下列各题的解答过程,做在答题纸上]
19.(10分)(1)计算:;
(2)计算:.
【分析】(1)先利用完全平方公式和二次根式的乘法法则计算,再分母有理化,然后合并即可;
(2)先根据二次根式的乘法和除法法则运算,然后化简即可.
【解答】解:(1)原式=3﹣2+1﹣2(+1)﹣(3﹣1)
=3﹣2+1﹣2﹣2﹣2
=﹣4;
(2)原式=12a
=12a
=4.
20.(10分)(1)解方程:(2x﹣1)2=(1﹣x)2;
(2)解方程:.
【分析】(1)方程变形后利用平方差公式分解,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解;
(2)方程整理后利用十字相乘法分解,然后利用两数相乘积为0,两因式中至少有一个为0转化为两个一元一次方程来求解.
【解答】解:(1)(2x﹣1)2=(1﹣x)2,
(2x﹣1)2﹣(1﹣x)2=0,
(2x﹣1+1﹣x)(2x﹣1﹣1+x)=0,
∵x=0或3x﹣2=0,
∴x1=0,x2=;
(2),
2x2﹣3x﹣2=0,
(2x+1)(x﹣2)=0,
∴2x+1=0或x﹣2=0,
∴x1=﹣,x2=2.
21.(6分)先化简,再求值,如果a=2﹣,b=,求的值.
【分析】直接利用二次根式的性质分母有理化,进而化简二次根式得出答案.
【解答】解:∵b===2+,a=2﹣,
∴a﹣b=2﹣﹣(2+)=2﹣﹣2﹣=﹣2<0,
∴==2.
22.(6分)已知y=﹣,化简+﹣.
【分析】先根据已知条件判断出y<0,x﹣3≤0,再根据y<0,x≤3化简+﹣即可.
【解答】解:∵y=﹣<0,
∴y<0,x﹣3≤0,
∴x≤3,
∴+﹣
=+|y﹣1|﹣|x﹣3|
=|x﹣4|+|y﹣1|﹣|x﹣3|
=4﹣x+1﹣y﹣3+x
=2﹣y.
23.(7分)如图,AB=AC,AD=AE,∠BAD=∠CAE,BE与CD相交于点F.
求证:(1)∠ADC=∠AEB;
(2)FD=FE.
【分析】(1)利用AAS证明△ABD≌△ACE即可;
(2)连接DE,利用等腰三角形的性质和判定即可证明结论.
【解答】证明:(1)∵∠BAD=∠CAE,
∴∠BAD+∠EAD=∠CAE+∠DAE,
∴∠BAE=∠CAD,
在△ABE与△ACD中,
,
∴△ABE≌△ACD(SAS),
∴∠ADC=∠AEB;
(2)连接DE,
∵AD=AE,
∴∠ADE=∠AED,
∵∠ADC=∠AEB,
∴∠ADC﹣∠ADE=∠AEB﹣∠AED,
∴∠FDE=∠FED,
∴FD=FE.
24.(8分)如图,AD是△ABC的高,∠B=2∠C,BD=5,BC=25,求AB的长.
【分析】在线段DC上截取DE=BD,连接AE,根据线段垂直平分线的性质得到AB=AE,求得∠B=∠AEB,根据三角形外角的性质得到∠AEB=∠CAE+∠C,求得AE=CE,于是得到结论.
【解答】解:如图:在线段DC上截取DE=BD,连接AE,
∵AD⊥BC,
∴AB=AE,
∴∠B=∠AEB,
∵∠B=2∠C,
∴∠AEB=2∠C,
∵∠AEB=∠CAE+∠C,
∴∠C=∠CAE,
∴AE=CE,
∵BD=5,BC=25,
∴DE=BD=5,
∴AB=AE=CE=BC﹣BD﹣DE=15.
25.(9分)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,D是AB上一点,且BD=AD=CD,过B作BE⊥CD,分别交AC于点E、交CD于点F.
(1)求证:∠A=∠EBC;
(2)如果AC=2BC,请猜想BE和BD的数量关系,并证明你的猜想.
【分析】(1)证得∠EBC=∠ACD,∠A=∠ACD,则结论可得出;
(2)过点D作DG⊥AC于点G,根据ASA证明△DCG≌△EBC,可得出结论.
【解答】(1)证明:∵BE⊥CD,
∴∠BFC=90°,
∴∠EBC+∠BCF=180°﹣∠BFC=90°,
∵∠ACB=∠BCF+∠ACD=90°,
∴∠EBC=∠ACD,
∵AD=CD,
∴∠A=∠ACD,
∴∠A=∠EBC;
(2)解:CD=BE.
过点D作DG⊥AC于点G,
∵DA=DC,DG⊥AC,
∴AC=2CG,
∵AC=2BC,
∴CG=BC,
∵∠DGC=90°,∠ECB=90°,
∴∠DGC=∠ECB,
在△DGC和△ECB中,
,
∴△DCG≌△EBC(ASA),
∴CD=BE.
26.(10分)如图,在△ABC中,∠ACB=2∠B,∠BAC平分线AO交BC于点D,点H为AO上一动点,过H作直线l⊥AO于H,分别交直线AB、AC、BC于点N、E、M.
(1)当直线l经过点C时(如图2),求证:BN=CD;
(2)当M是线段BC的中点时,写出线段CE和线段CD之间的数量关系,并证明;
(3)请直接写出BN、CE和CD之间的数关系.
【分析】(1)连接ND,先由已知条件证明DN=DC,再证明BN=DN即可;
(2)当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为CD=2CE,过点C作CN'⊥AO交AB于N'.过点C作CG∥AB交直线l于G,再证明△BNM≌△CGM问题得证;
(3)BN、CE、CD之间的等量关系要分三种情况讨论:①当点M在线段BC上时;②当点M在BC的延长线上时;③当点M在CB的延长线上时;由(2)即可得出结论.
【解答】(1)证明:连接ND,如图2所示:
∵AO平分∠BAC,
∴∠BAD=∠CAD,
∵直线l⊥AO于H,
∴∠AHN=∠AHE=90°,
∴∠ANH=∠AEH,
∴AN=AC,
∴NH=CH,
∴AH是线段NC的中垂线,
∴DN=DC,
∴∠DNH=∠DCH,
∴∠AND=∠ACB,
∵∠AND=∠B+∠BDN,∠ACB=2∠B,
∴∠B=∠BDN,
∴BN=DN
∴BN=DC;
(2)解:当M是BC中点时,CE和CD之间的等量关系为CD=2CE,理由如下:
过点C作CN'⊥AO交AB于N',过点C作CG∥AB交直线l于点G,如图3所示:
由(1)得:BN'=CD,AN'=AC,AN=AE,
∴∠ANE=∠AEN,NN'=CE,
∴∠ANE=∠CGE,∠B=∠BCG,
∴∠CGE=∠AEN,
∴CG=CE,
∵M是BC中点,
∴BM=CM,
在△BNM和△CGM中,,
∴△BNM≌△CGM(ASA),
∴BN=CG,
∴BN=CE,
∴CD=BN'=NN'+BN=2CE;
(3)解:BN、CE、CD之间的等量关系:当点M在线段BC上时,CD=BN+CE;理由如下:
过点C作CN'⊥AO交AB于N',如图3所示:
由(2)得:NN'=CE,CD=BN'=BN+CE;
当点M在BC的延长线上时,CD=BN﹣CE;理由如下:
过点C作CN'⊥AO交AB于N',如图4所示:
同(2)得:NN'=CE,CD=BN'=BN﹣CE;
当点M在CB的延长线上时,CD=CE﹣BN;理由如下:
过点C作CN'⊥AO交AB于N',如图5所示:
同(2)得:NN'=CE,CD=BN'=CE﹣BN.