鲁教版（五四学制）九年级数学上册第2章直角三角形的边角关系 单元综合达标测试题（含解析）

2022-2023学年鲁教版（五四学制）九年级数学上册《第2章直角三角形的边角关系》
单元综合达标测试题（附答案）
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，则tanA的值为（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A，B，C在坐标轴上，若点A的坐标为（0，3），tan∠ABO＝，则菱形ABCD的周长为（　　）
A．6 B．6 C．12 D．8
3．如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴负半轴和y轴正半轴上，点C在OB上，OC：BC＝1：2，连接AC，过点O作OP∥AB交AC的延长线于P．若P（1，1），则tan∠OAP的值是（　　）
A． B． C． D．3
4．王明同学遇到了这样一道题，，则锐角α的度数为（　　）
A．40° B．30° C．20° D．10°
5．已知AD是△ABC的中线，BC＝6，且∠ADC＝45°，∠B＝30°，则AC＝（　　）
A． B． C． D．6
6．如图，在4×4正方形网格中，点A，B，C为网格交点，AD⊥BC，垂足为D，则sin∠BAD的值为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，在Rt△BAD中，延长斜边BD到点C，使，连接AC，若，则tan∠CAD的值（　　）
A． B． C． D．
8．一艘货轮B在灯塔A的南偏西60°方向，距离A点海里，货轮B沿北偏东15°航行一段距离后到达C地，此时AC距离海里，判断C在A的北偏西多少度（　　）
A．60° B．30° C．15° D．45°
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，则BC＝　 　．
10．在锐角△ABC中，若，则∠C的度数是 　 　度．
11．如图，在矩形ABCD中，E为AD上的点，AE＝AB，BE＝DE，则tan∠BDE＝　 　．
12．如图，已知在△ABC中，∠BAC＝45°，BC＝4．若∠B＝45°，则AB＝　 　；
13．如图，在等边△ABC中，点D是边AB上一点，且AD＝2BD，点E是边BC上一点，联结CD、AE交于点F．如果△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，那么tan∠BAE的值为 　 　．
14．如图，小明在P处测得A处的俯角为15°，B处的俯角为60°，PB＝20m，∠PHB＝∠AFB＝90°，若斜面AB坡度为1：．
（1）∠PBA＝　 　；
（2）HF的长为 　 　m．
15．如图，甲楼高21m，由甲楼顶看乙楼顶的仰角是45°，看乙楼底的俯角是30°，则乙楼高度为 　 　m．
16．一大门的栏杆如图所示，杆BA垂直于地面AE于A，杆CD平行于地面AE，已知AB＝1米，BC＝2.4米，∠BCD＝150°，则此时杆CD到地面AE的距离是 　 　米．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15，sin∠A＝，求BC的长和tan∠B的值．
18．计算：﹣2cos30°+6sin245°．
19．如图，在平行四边形ABCD中，点E，F分别在AD，BC上，且ED＝BF，连接AF，CE，AC，EF，且AC与EF相交于点O．
（1）求证：四边形AFCE是平行四边形；
（2）若AC平分∠FAE，AC＝8，tan∠DAC＝，求四边形AFCE的面积．
20．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点D，E、F分别为AB，AC，BC的中点，连接DF，EF．
（1）求证：四边形AEFD是矩形；
（2）连接BE，若AB＝2，tanC＝，求BE的长．
21．如图，某小区的物业楼上悬挂一块高为3m的广告牌，即CD＝3m．小奇和小妙要测量广告牌的底部点D到地面的距离．测角仪支架高AE＝BF＝1.2m，小奇在E处测得广告牌底部点D的仰角为22°，小妙在F处测得广告牌顶部点C的仰角为45°，AB＝9m，请根据相关测量信息，求出广告牌底部点D到地面的距离DH的长．（图中点A，B，C，D，E，F，H在同一平面内．参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
22．如图，某学校老师组织九年级学生外出开展数学活动，经过某公园时，发现工人们正在建5G信号柱，于是老师们就带领学生们对信号柱的高度进行测量．已知信号柱直立在地面上，学生在C处测得信号柱顶端A的仰角为45°，沿斜坡从点C走到点D，CD＝12米，坡比为：1，在D处测得信号柱顶端A的仰角为30°，求信号柱AB的高度．（结果保留根号）
参考答案
一．选择题（共8小题，满分40分）
1．解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝12，AC＝5，
∴tanA＝＝．
故选：D．
2．解：∵点A的坐标为（0，3），
∴AO＝3，
∵tan∠ABO＝，
∴＝，
∴＝，
∴BO＝，
∵△AOB是直角三角形，
∴AB＝＝＝＝2，
∵菱形的四条边相等，
∴菱形ABCD的周长为2×4＝8．
故选：D．
3．解：如图，过点P作PQ⊥x轴于点Q，
∵OP∥AB，
∴∠CAB＝∠CPO，∠ABC＝∠COP，
∴△OCP∽△BCA，
∴CP：AC＝OC：BC＝1：2，
∵∠AOC＝∠AQP＝90°，
∴CO∥PQ，
∴OQ：AO＝CP：AC＝1：2，
∵P（1，1），
∴PQ＝OQ＝1，
∴AO＝2，
∴tan∠OAP＝＝＝．
故选：C．
4．解：∵tan30°＝，
∴tan30°＝1，
∵tan（α+10°）＝1，
∴α+10°＝30°，
∴α＝20°，
故选：C．
5．解：如图，过点A作AE⊥BC，垂足为E，
∵∠ADC＝45°，∠B＝30°，
∴AB＝2AE，AE＝ED，
∵BC＝6，AD是△ABC的中线，
∴CD＝BD＝3，
设AE＝DE＝x，则AB＝2x，
∴CE＝x﹣3，BE＝x+3，
在Rt△AEB中，根据勾股定理得，
（2x）2＝x2+（x+3）2，
∴2x2﹣6x＝9，
在Rt△AEC中，根据勾股定理得，
AC2＝x2+（x﹣3）2，
∴AC2＝2x2﹣6x+9，
∴AC2＝18，
∴AC＝3（负值舍去）．
故选：B．
6．解：如图，连接AC，
在Rt△BEC中，BC＝＝5，
∵AD⊥BC，
∴＝8，
即，
解得AD＝，
在Rt△ADB中，BD＝，
∴sin∠BAD＝．
故选：C．
7．解：过点C作CE垂直AD的延长线于E，
在Rt△BAD中，，
∴，
设AB＝3a，AD＝4a，
则BD＝＝5a，
∵CE⊥AE，BA⊥AD，
∴△BAD∽△CED，
∴，
∵DC＝BD，
∴DE＝AD＝2a，CE＝AB＝a，
∴在Rt△AEC中，tan∠CAD＝＝．
故选：B．
8．解：如图，过A作AD⊥BC于D．
由题意可得∠GAB＝60°，AB＝30海里，∠EBC＝15°，AC＝20海里．
∵BE∥FG，
∴∠EBA＝∠GAB＝60°，
∴∠ABD＝∠EBA﹣∠EBC＝60°﹣15°＝45°，
在Rt△ABD中，∠ADB＝90°，
∴AD＝BD＝AB＝30，∠DAB＝45°，
∴∠DAH＝∠DAB﹣∠HAB＝45°﹣（90°﹣60°）＝15°．
在Rt△ACD中，∠ADC＝90°，
∴CD＝＝＝10，
∴tan∠CAD＝＝＝，
∴∠CAD＝30°，
∴∠FAC＝90°﹣∠CAD﹣∠DAH＝90°﹣30°﹣15°＝45°，
∴C在A的北偏西45度．
故选：D．
二．填空题（共8小题，满分40分）
9．解：在Rt△ABC中，∠B＝90°，AC＝200，sinA＝0.6，
∴BC＝AC sinA＝200×0.6＝120，
故答案为：120．
10．解：∵，
∴sinA﹣＝0，cosB﹣＝0，
则sinA＝，cosB＝，
∴∠A＝60°，∠B＝45°，
∴∠C＝180°﹣60°﹣45°＝75°．
故答案为：75．
11．解：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
∵AB＝AE，
设AB＝a，则AE＝a，BE＝＝a＝ED，
∴AD＝AE+DE＝（+1）a，
在Rt△ABD中，tan∠BDE＝＝＝﹣1，
故答案为：﹣1．
12．解：（1）∵∠BAC＝45°，∠B＝45°，
∴∠BAC＝∠B＝45°，
∴BC＝AC＝4，∠ACB＝90°，
∴AB＝，
故答案为：；
13．解：如图，取AD中点G，连接FG，过点F作FH⊥AB于点H，
设等边△ABC的边长为12a，则高为6a，
∴S△ABC＝×12a×6a＝36a2，
∵AB＝AC＝12a，
∴AD＝8a，AG＝4a，
∴S△ACD＝×8a×6a＝24a2，
∵△ABC的面积是△ACF的面积的3倍，
∴S△ACF＝×36a2＝12a2，
∴S△ADF＝S△ACD﹣S△ACF＝12a2，
∵S△ADF＝×8a×HF，
∴×8a×HF＝12a2，
∴HF＝3a，
∴点F为CD中点，
∴FG为△ACD的中位线，
∴FG＝6a，
在Rt△HFG中，由勾股定理可得：
HG＝，
即HG＝＝3a，
∴AH＝AG+HG＝7a，
∴tan∠BAE＝＝＝，
故答案为：．
14．解：（1）如图：
由题意得：
∠CPB＝60°，∠CPA＝15°，PC∥HF，
∴∠CPB＝∠PBH＝60°，
∵斜面AB坡度为1：，
∴＝＝，
在Rt△ABF中，tan∠ABF＝＝，
∴∠ABF＝30°，
∴∠PBA＝180°﹣∠ABF﹣∠PBH＝90°，
故答案为：90°；
（2）在Rt△PBH中，PB＝20m，∠PBH＝60°，
∴BH＝PB cos60°＝20×＝10（m），
∵∠CPB＝60°，∠CPA＝15°，
∴∠APB＝∠CPB﹣∠CPA＝45°，
∵∠PBA＝90°，
∴AB＝PB tan45°＝20（m），
在Rt△ABF中，∠ABF＝30°，
∴BF＝AB cos30°＝20×＝10（m），
∴HF＝HB+BF＝（10+10）m，
故答案为：（10+10）．
15．解：如图：
由题意得：
AB＝CE＝21m，∠AEC＝∠AED＝90°，
在Rt△AEC中，∠CAE＝30°，
∴AE＝＝＝21（m），
在Rt△AED中，∠DAE＝45°，
∴DE＝AE tan45°＝21（m），
∴DC＝DE+CD＝（21+21）m，
∴乙楼高度为（21+21）m，
故答案为：（21+21）．
16．解：过点C作CG⊥AE于点G，过点B作BH⊥CG于点H，如图：
∵CG⊥AE，BH⊥CG，
∴∠AGC＝90°，
∴∠BHC＝90°，
∴∠AGC＝∠BHC，
∴BH∥AE，
∵CD∥AE，
∴CD∥BH，
∴∠CBH+∠BCD＝180°，
∵∠BCD＝150°，
∴∠CBH＝30°，
∴CH＝BC，
∵BC＝2.4米，
∴CH＝1.2米，
∵BA⊥AE，CG⊥AE，BH⊥CG
∴四边形ABHG是矩形，
∴HG＝AB＝1米，
∴CG＝CH+HG＝1.2+12.2（米）．
答：杆CD到地面AE的距离是2.2米．
故答案为：2.2．
三．解答题（共6小题，满分40分）
17．解：∵sin∠A＝，
∴＝，
∵AB＝15，
∴BC＝9；
∴AC＝＝12，
∴tan∠B＝＝＝．
18．解：原式＝﹣2×+6×（）2
＝﹣+6×
＝﹣1﹣+3
＝2．
19．（1）证明：∵在平行四边形ABCD中，
AD＝BC．AE∥FC，
∵ED＝BF，
∴AD﹣ED＝BC﹣BF，
∴AE＝FC，
∴四边形AFCE是平行四边形；
（2）解：∵AE∥FC，
∴∠EAC＝∠ACF，
∴∠EAC＝∠FAC，
∴∠ACF＝∠FAC，
∴AF＝FC，
∵四边形AFCE是平行四边形，
∴平行四边形AFCE是菱形，
∴AO＝AC＝4，AC⊥EF，
在Rt△AOE中，AO＝4，tan∠DAC＝，
∴EO＝3，
∴S△AEO＝AO EO＝6，
S菱形＝4S△AEO＝24．
20．（1）证明：∵点D，E、F分别为AB，AC，BC的中点，
∴DF∥AE，DF＝AE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∵∠A＝90°，
∴四边形AEFD是矩形；
（2）解：∵∠A＝90°，AB＝2，tanC＝，
∴＝，
即＝，
解得AC＝4，
∵点E为AC的中点，
∴AE＝2，
∴BE＝＝＝2，
即BE的长是2．
21．解：延长EF交CH于N，
则EF＝AB＝9m，∠CNF＝90°，
∵∠CFN＝45°，
∴CN＝NF，
设DN＝xm，
∵CD＝3m，
∴NF＝CN＝CD+DN＝（x+3）m，
∴EN＝EF+FN＝9+（x+3）＝（x+12）m，
在Rt△DNE中，∠DEN＝22°，
∴DN＝EN tan22°≈0.4（x+12），
∴0.4（x+12）＝x，
解得：x＝8，
∴DN＝8m，
∴DH＝DN+NH＝8+1.2＝9.2（m），
答：点D到地面的距离DH的长约为9.2m．
22．解：过点D作DE⊥BC，交BC的延长线于点E，过点D作DF⊥AB，垂足为F，
则BF＝DE，DF＝BE，
设BC＝x米，
在Rt△ABC中，∠ACB＝45°，
∴AB＝BC tan45°＝x（米），
∵斜坡CD的坡比为：1，
∴＝，
在Rt△DCE中，tan∠DCE＝＝，
∴∠DCE＝60°，
∴DE＝CD sin60°＝12×＝6（米），
CE＝CD cos60°＝12×＝6（米），
∴DF＝BE＝BC+CE＝（x+6）米，
AF＝AB﹣BF＝AB﹣DE＝（x﹣6）米，
在Rt△ADF中，∠ADF＝30°，
∴tan30°＝＝＝，
∴x＝12+12，
经检验：x＝12+12是原方程的根，
∴AB＝（12+12）米，
∴信号柱AB的高度为（12+12）米．