中考复习：圆的总复习
1、 教学结构
测试重点是：圆的概念和基本性质，圆的轴对称和中心对称性，垂径定理及逆定理，圆心角，弧，弦，弦心距之间的关系。点和圆，直线与圆，圆与圆的位置关系，直线与圆相切的性质和判定，切线定理。圆心角，圆周角，弦心角等与圆有关的角的性质。相交弦定理，切割线定理。
一、位置关系题型，首先记住下表：
点与圆(R) 位置关系 点与圆距离d 点中圆内 d＜R 点在圆上 d＝R 点在圆外 d＞R
直线与圆(R) 位置关系 圆心到直线距离d 相交 d＜R 相切 d＝R 相离 d＞R
圆与圆 (R1)(R2) 位置关系 圆心距d 同心 d=0 内含 d＜|R1－R2| 内切 d=|R1－R2|
位置关系 圆心距d 相交 |R1－R2|＜d＜R1＋R2 外切 d=R1＋R2 相离 d＞R1＋R2
当R1=R2时，没有同心，内含，内切情况。
例1：两圆半径分别为R1和R2（R2＞R1），圆心距为d，若：d＜R1＋R2，求两圆的位置关系。
解：当d＜R1＋R2时，两圆的位置关系为相交，或为内含，或为内切。
例2：已知两圆相交，若半径长分别为5cm和8cm，那么它们圆心距的取值范围是什么？
解：两圆半径为5cm和8cm，5＋8=13（cm）8－5=3（cm）∴3cm＜d＜13cm。
例3：已知：ABC中，∠C=90°，AC=BC=2cm，D是AB中点，以B为圆心，以2cm为半径画圆，则A在（ ），C在（ ），D在（ ）。
解：A在圆外，C在圆上，D在圆内。
例4：在D ABC中，∠C=90°，AB=3cm，BC=2cm，以A为圆心，以2.2cm为半径作圆，则C点和⊙A的位置关系是（ ）
(A) C在⊙A上 (B) C在⊙A外 (C) C在⊙A内 (D) 不能确定
解：∴AC=＞2.2（cm）∴选B。
例5：如果两圆有两条外公切线，那么两圆的位置关系共有（ ）种。
(A) 2 (B) 3 (C) 4 (D) 5
解：应该有三种。两圆外离，两圆外切，两圆相交，选B。
例6：已知两圆的半径分别为4cm和1cm，一条外公切线长为4cm，则该两圆的位置关系为两圆（ ）。
(A) 内切 (B) 相交 (C) 外切 (D) 外离
解：符合外切的条件，故选C。
二、圆的性质题型：
1. 不在同一直线上三点确定一个圆。
2. 圆既是关于圆心的中心对称图形，又是关于每一条过圆心的直线的轴对称图形。
3. 垂径定理：垂直于弦的直径平分弦及弦所对的弧。
推论1①平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧；②平分弦所对的一条弧的直径，垂直且平分弦；③弦的垂直平分线为直径所在直线。
推论2：圆的两条平行弦所夹的弧相等。
例7：已知⊙O直径AC为12，弦AB=8，则弦心距OE的长为（ ）
解：弦心距OE的长为2。
例8：已知：AB为⊙O直径，C、D分别为OA、OB中点，EC⊥AB
FD⊥AB分别交⊙O于E、F两点，则以下结论正确的是（ ）
(A) AE＞EF (B) EF＞FB (C) AE≠BF (D) AF=EF=FB
解：设⊙O半径为r，DF=CE=r，∴AE = BF = EF = r∴可得 AF=EF=FB，∴选D。
例9：已知：⊙O1与⊙O2相交于AB，P是O1O2的中点，⊙O1的弦AC交⊙O2于D，M是CD的中点，求证：PA=PM
证明：此题的图形可以在⊙O1与⊙O2不同半径情况下，作出许多种图形，但无论哪一种，必从垂径定理入手，才有思路。
如图：作O1F⊥AD于F，O2E⊥AD于E
∴由⊙O1，AF=CF，由⊙O2，AE=ED
∵CM=MD，∴EM=AC，∵AD=AC，
∴EM=AD ∴AE=MF，
作PT⊥AC于T，∴FO1∥PT∥EO2 ∵O1P=O2P
∴FT=ET，∴FT＋MF=ET＋AE
∴AT=MT ∵TP⊥AM ∴PT为AM中垂线∴PA=PM
三、圆心角，弧，弦，弦心距，圆周角，弦切角之间的关系：
1. 在同圆或等圆中，如果两个圆心角，两条弧，两条弦，两条弦心距中，有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等。
2. 同圆或等圆中，同弧所对的圆心角，圆周角，弦切角有：圆心角度数为圆周角度数的两倍，也为弦切角度数的两倍。
3. 半圆或直径所对的圆周角及弦切角都为90°，90°的圆周角或弦切角所对的弦是直径。
注意：一个圆中的一条弦所对的弧有两条，与这条弦对应的圆周角或弦切角可能相等也可能互补。
例10：已知⊙O中半径OA⊥OB，C为⊙O上一点，CD⊥OB于D，CE⊥AO于E，OD=4，OE=3，求证：阴影部分面积在7到8之间。
证明：∵OA⊥OB，CD⊥OB，CE⊥OA
∴矩形DOEC，OD=EC=4，OE=DC=3，
∴连OC，∴OC=r=5；
由圆的轴对称性，作关于OB的对称矩形ODC′E′，
∴S阴=(S半圆－S矩形)=(－8×3)
∴S阴=－12=19.62－12=7.62
∴7＜7.62＜8 7＜S阴＜8。
例11：已知：如图，AB是半⊙O直径，AB=8，弦BC=6，AD = DC，求：DC长。
解：连AC，OD，AD，∵直径AB
∴∠ACB=90°，∵BC=6 AB=8
∴AC=2；∵AD = DC∴OD⊥AC，设垂足为E，
∴AE=EC=；∵AO=4∴OE=3
∴DE=4－3=1；∴DC===2；
四、切线的性质和判定
1. 切线的判定定理：经过圆的半径外端，且垂直于这条直径的直线是这个圆的切线。
2. 切线的性质定理：圆的切线垂直于经过切点的半径。
推论1经过圆心且垂直于切线的直线必过切点。
推论2经过切点且垂直于切线的直线必过圆心。
3. 切线长定理：从圆外一步到圆的两第切线的长相等，圆心和这个点的连线平分两切线的夹角，且平分过两切点的两条半径的夹角。
4. 两圆的内公切线长相等，外公切线长相等。
例12：已知：如图AB是半⊙O直径，C中半圆上，CD⊥AB于D，CM=MD，PA⊥AB交BM于P，求证：PC是半圆的切线。
证明：连CA，CO，BC、AP交于Q，
∵PA⊥AB，CD⊥AB，∴CD∥PA，
∵CM=MD；
∵ ∴QP=PA，
∵直径AB ∴∠ACB=∠ACQ=90°，
∴PC=PA
∴∠PAC=∠PCA ∵OA=OC ∴∠CAO=∠ACO；
∴∠PCO=∠PAO=90 ∴OC⊥PC
∴PC为半⊙O切线。
五、两圆连心线的性质：
1. 相交两圆的连心线垂直平分公共弦。
2. 相切两圆的连线线经过切点，且垂直于过切点的公切线。
六、和圆有关比例线段：
1. 相交弦定理，切割线定理，割线定理。
2. 如果弦与直径垂直，那么弦的一半是交点分这条直径所成两条线段的比例中项。
例13：已知：如图半⊙O直径AB，AC⊥CD，BD⊥CD，CD切⊙O于E，AC=6，DB=4，求CD。
解： 设AC交⊙O于F，连BF，OE；
∵直径AB，∴BF⊥AC，
∵AC⊥CD，BD⊥CD，
∴矩形CFBD，∴CF=BD=4，
∵AC=6 ∴AF=2，且CD=BF；
∵切点E，∵OE⊥CD
∴OE∥AC∥BD，
∵AO=OB ∴CE=ED，
设OE交BF于M，∴MB=MF ∴OM=AF=1；
∵EM=DB=CF=4，∴⊙O半径为5；AB=10；
RtD ABF中CD=BF=；
例14：已知：⊙O半径OB⊥OA，以OB为直径作圆，过OB中点M作MP∥OA交OB于N，交AB于P，若OA=2，求NP。
解： ∵MP∥OA，∵OA⊥OB
∴NP⊥OB于M，∵BM=OM，
∴连结PB，PO，∴PB=PO；
∵PO=OA=2，
∴PB=2，∵BM=1，∴PM=，
∵MN=1；∴PN=1＋
例15：如图：⊙O中，弦AC，BC所对弧中点分别为M，N，连结MN分别交AC、BC于E、D，
BD : DC=5 : 3，求：ME : MD为多少？
解： 设BD=5k，DC=3k；连MC、CN、MB，
例16：已知：半圆O直径BC为10厘米，AD弦∥BC直径，∠ABD为40°，求阴影部分面积。
解： 连AO，DO，∵AD∥BC，∴SD ADO=SD ADB，
∵∠ABD=40°，∠AOD=80°，
∴S阴=S扇AOD=，∵BC=10 ∵R=5
∴S阴=
例17：拱形桥跨度为a，弧度数为4n°，求拱高为多少？
解： 如图：已知：AB= a，∠AOB=4n°，求CD，
连BC，∵AC = CB，∴CD过O；CD⊥AB，
∴∠CBA==n°，BD=AD=；
∴RtD CDB中，tg∠CBD=，∴tg=,
∴CD=
例18：等腰直角D ABC，AC=BC，∠C=90°，AC为⊙D径，⊙D交BD于E，AE交BC于F；求证：AF·EF=BF·BC。
证明：过E作EG⊥DE交BC于G
∴EG为⊙D切线；
∵CB⊥AC，∴BC为⊙D切线
∴CG=GE；连结CE；
∵∠CEG=∠CAE；
∵AD=DE，
∴∠DAE=∠AED，
∴∠CEG=∠AED=∠BEF
∵∠ECG=∠CEG， ∴∠ECG=∠FEB， ∴∠FBE公用，
∴D CEB∽D EFB ∴，
∴BE2=BC·BF，
∵CF2=EF·AF；RtD CEF中，（∵直径AC）
∵CG=GE，∠ECG=∠CEG ∴∠CFE=∠FEG ∴GF=GE=CG，∴CF=2GE，
∵RtD GEB到RtD DCB中，∠EBG=∠DBC
∴RtD GEB∽RtD DCB，∴∵等腰RtD ABC，
∵AD=DC，∴，∴BE=2GE，
∴CF=BE，∴BE2=CF2 ∴BC·BF=EF·AF
相似三角形
一教学目标：
1、理解相似三角形和相似比的概念；
2、掌握相似三角形的性质及判定；
3、灵活运用相似三角形的判定与性质解决一些简单的证明与计算问题；
二教学重点： 相似三角形的判定及性质的运用；
三教学方法： 练习法、点评启发法、引导归纳法；
四教学过程：
（1） 知识点检测：
1、判断题：
（1）有一个角为30 的两等腰三角形相似；（ ）
（2）已知RtΔABC的两边长为3和4，RtΔDEF的两边长为6和8，则这两个直角三角形相似；
（3）腰与顶角的平分线对应成比例的两等腰三角形相似；（ ）
2、如图，锐角三角形ABC的边AB、AC上的两条高线CE、BF相交于点D，请写出图中相似 的三角形： （用相似符号连结）
1、 如图，已知∠1=∠2，若再增加一个条件就能使结论“AB DE=AD BC”成立，这个条件是：
2、 要做甲乙两个形状完全相同的三角形框架，已知框架甲的三边长分别为50cm、60cm、80cm，乙的一边长为20cm，那么三角形框架乙的周长为 ；
3、 如图，在直角三角形ABC中，∠C=90 ，点D为斜边BC上的一点 过点D作一条直线，使该直线截得的三角形与原三角形相似，这样的直线可作 条；
4、 如图，BD、CE为ΔABC的两条中线，PQ分别是BD、CE的中点，则PQ∶BC=
（2） 考点聚焦：
1、 相似三角形的定义：对应角相等，对应边成比例的三角形做和相似三角形；
2、 相似三角形的判定及其推论：
判定定理1：两角对应相等的两三角形相似；
判定定理2：两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似；
判定定理3：三边对应成比例的两三角形相似：
判定定理4：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边与直角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似：
推论：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形和原三角形相似。
3、 相似三角形的性质：
（1） 相似三角形对应角相等，对应边成比例；
（2） 相似三角形对应边上的高的比、对应中线的比和对应角的平分线的比都等于相似比。
（3） 相似三角形周长的比等于相似比。
（3） 例题分析：
例1 已知，如图所示的四边形ABCD为菱形，AF⊥BC于F，
（1） 求证：AD2= DE DB
（2） 过点E作EG⊥AF交AB于点G，若线段BE、DE（BE
0）的两个根，且菱形ABCD的面积为，求EG的长。
方法提示：（1）只须证明AD2=DO DB （2）
例2如图，在平行四边形ABCD中，∠DBC=45 ，DE⊥BC于E，BF⊥CD于F，DE、BF相交于点H，BF、AD的延长线相交于点G，
求证：（1）AB=BH； （2）AB2=AG HE
方法提示：（1）证明ΔDEC≌ΔBEH； （2）证明ΔABG∽ΔCED
例3 已知，如图，在矩形ABCD中，E为AD的中点，EF⊥CE交AB于点F，连结FC，（AB>AE）
(1) ΔAEF与ΔEFC是否相似？若相似，请证明你的结论；若不相似，请说明理由；
(2) 设是否存在着这样的k值，使ΔAEF∽ΔBCF？若存在，证明你的结论，并求出k的值，若不存在，请说明理由。
例4如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，CE是∠BCD的平分线，且CE⊥AD，E为垂足，DE=2AE，CE把梯形ABCD分为两部分，其中一部分的面积为1，在此条件下，梯形ABCD的面积是否可求？若可求，请求出梯形ABCD的面积；如果不可求，请增加适当的条件，求出梯形ABCD的面积。
方法提示在几何中，若有角平分线、垂直，很自然想到等腰三角形，故一般延长线段构成等腰三角形。
例5 如图，已知三角形ABC中，AB=4，D在AB边上移动（不与A、B
重合），DE∥BC，交AC于点E，连结CD，设三角形ABC的面积为S，三
角形DEC的面积为S1；
（1）当D为AB的中点时，求S1∶S的值；
（2）若AD=x，，求y关于x的函数关系式及自变量x的取值
范围；
（3）是否存在着点D，使得成立？若存在，求出点D的位置，若不存在，请说明理由。
答案：（1）1∶4；（2）（3）不存在；
（四）课堂小结：
在解决相似三角形的有关问题时，要注意典型图形的中的常规辅助线；
在求线段的比值时，一般要过已知的分点作平行线，将比进行转移。解直角三角形及其应用
一、教学目标：
1、掌握直角三角形的边角关系，会用勾股定理、直角三角形中的边角关系解直角三角形；
2、会用解直角三形的有关知识解决简单的实际问题；
二、教学重点：
利用解直角三角形的知识解决实际问题；
三、教学难点：
1、如何将实际问题转化为数学问题；
2、如何将斜三角形和不规则的图形转化为直角三角形的问题；
四、教学过程：
（一）知识点检测：
1、等腰三角形的腰长为12，面积为36，那么它的顶角的度数为30°或150°；
2、△ABC中，∠A=30°，tanB=，BC=，则AB=；
3、在坡角为30°的山坡上种树，要求相邻两树间的水平距离为3m，则相邻两树间的坡面距离为；
4、如图所示，某地下车库的入口处有一斜坡AB，其坡度i=1∶1.5，则斜坡AB的长为
4、升国旗时，某同学站在离旗杆底部20米处行注目礼，当国旗升至旗杆顶端时，该同学视线的仰角为30°，若双眼离地面1.5米，则旗杆高度为
5、如图，在坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需
6、如图所示，测量队为了测量某地区山顶P的海拔高度，选择M作为观测点，从M点测得山顶P的仰角为30°，在1∶50000的该地区的等高线地图上，量得这两点间的距离为3cm，则山顶的海拔高度为1116m；
（二）考点聚焦：
1、本节的重点内容是如何解直角三角形
2、解直角三角形：在直角三角形中，除直角外，
由已知元素求出所有未知元素的过程；
3、解直角三角形的依据：
（1）三边之间的关系：a2+b2=c2
（2）锐角之间的关系：∠A+∠B=90°
（3）边角之间的关系：
sinA= cosA= tanA= cotA=
4、角直角三角形的常用概念：
仰角、俯角、水平距离、铅直距离、坡角、坡度（坡比）、方位角；
（三）例题分析：
例1 某船以20海里/时的速度将一批重要物质由A处
运往正西方向的B处，经16小时的航行到达，到达后
必须立即卸货，此时接到气象部门的通知，一台风中心
正以40海里/时的速度由A向北偏西60°的方向移动，
距台中心200海里的圆形区域（包括边界）均会受到影响
（1）问：B处是否受到台风的影响？请说明理由；
（2）为了避免受到台风的影响，该船应在多少小时内卸
完货物？
例2如图所示，山上有一座铁塔，山脚下有一矩形建筑物ABCD，
且建筑物周围没有开阔平整地带，该建筑物顶端宽度AD和高度
DC都可直接测得，从A、D、C三点可看到塔顶端H，可供使用
的测量工具有皮尺、测倾器。
（1） 请你根据现有条件，充分利用矩形建筑物，设计一个测量
干塔顶端到地面高度HG的方案，具体要求如下：
①测量数据尽可能少；②在所给图上，画出你设计的测量平面图，
并将相应测量数据标记在图形上（如果测A、D间的距离，用m表示，如果测量CD距离，用n表示；如果测角，用α、β、γ表示，测倾器的高度不计）。
（2）根据你测量的数据，计算塔顶端到地面的高度HG（用字母表示）
(四)课堂小结:
1、把实际问题转化为数学问题,这个转化有两个方面:一是将实际图形转化为几何图形,画出正确的平面或截面示意图,二是将已知条件转化为示意图中的边、角或它们之间的关系;
2、把数学问题转化为解直角三角形问题,如果示意图不是直角三角形,可添加适当的辅助线,画出直角三角形.
(五)课堂作业:
试卷上的相关内容特殊的平行四边形
一、教学目标：
1、了解矩形、菱形、正方形与一般的平行四边形的区别与联系；
2、掌握特殊的平行四边形的性质、判定定理，并能利用它们解决几何中的证明与计算问题；
二、教学重点：
特殊的平行四边形的性质与判定定理的运用；
三教学难点：
1、矩形、菱形、正方形的判定与性质的区别；
2、几何中的初等变换的灵活运用；
四、教学时数：
两教时
五、教学过程：
（一）知识点检测：
1、顺次连结四边形ABCD各边的中点，得四边形EFGH；
（1）若四边形EFGH是矩形，则原四边形ABCD的对角线AC与BD应满足的条
件是 ；
（2）若四边形EFGH是菱形，则原四边形ABCD的对角线AC与BD应满足的条
件是 ；
（3）若四边形EFGH是正方形，则原四边形ABCD的对角线AC与BD应满足的条
件是
2、要使一个平行四边形成为正方形，则需增加的条件是
3、正方形具有而菱形不一定具有的性质是 ；
4、矩形ABCD中，两对角线的夹角为60°，一边长为6cm，则矩形的面积为
5、如图，过矩形ABCD的对角线BD上的一点K分别作两边的平行线MN与PQ，那么图中矩形AMLP的面积与矩形QCNK的面积间的大小关系是
6、如图，E、F、G、H分别是矩形ABCD的边AB、BC、CD、DA的中点，若tan∠AEH=，四边形EFGH的周长为40cm，则矩形ABCD的面积为 ；
7、已知菱形的周长为20cm，两条对角线的和为14cm，则菱形的面积为
若将“两对角线的和为14cm”换成“一条对角线的长为6”该问题能否求解？
8、如图，正方形ABCD的一边长为4，E为AB的中点，DE交AC于F，则三角形AFD的面积为 ；
9、如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，四边形DEFG为其内接矩形，BD=5cm，GC=8cm，则=
10、如图，在矩形ABCD中，横向阴影是矩形，另一阴影是平行四边形，依照图上的数据，计算空白部分的面积是 ；
（二）考点聚集：
1、几种特殊平行四边形的性质：
边 角 对角线 对称性
矩形 对边平行且相等 四个角都为直角 两条对角线互相平分且相等； 既是轴对称图形，又是中心对称图形。
菱形 对边平行，四边相等 对角相等； 两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
正方形 对边平行，四边相等， 四个角都为直角； 两条对角线互相垂直平分，每一条对角线平分一组对角；
2、几种特殊的平行四边形的常用判定方法：
（1）矩形：
①有三个角是直角；
②是平行四边形，并且有一个角是直角；
③是平行四边形，并且两条对角线相等；
（2）菱形：
①四条边都相等；
②是平行四边形，并且有一组邻边相等；
③是平行四边形，并且两条对角线互相垂直；
（3）正方形：
是矩形，并且有一组邻边相等；
是菱形，并且有一个角是直角；
3、矩形、菱形、正方形的面积：
（三）例题分析：
例1如图，在矩形ABCD中，AB=2，BC=4，以点B为圆心，BC为半径作弧交AD于E，求图中空白部分的面积。]
例2在正方形ABCD中，E为CD的中点，点F在BC上，且BF=3FC连结AE、AF、EF；（1）求证：AE⊥EF；（2）S△DEF∶S△BCD=7∶16
例3正方形ABCD中，M、N分别是BC、CD上的点，连结AN、MN，若△CMN的周长等于正方形ABCD的周长的一半，求∠AMN的度数。
例4已知如，如图，矩形ABCD中，延长BC至E，使BE=BD，F是DE的中点，连结AF、CF，求证：AF⊥CF。
（四）课堂小结：
1、在平行四边形的基础上，由边、角、对角线的关系得到矩形、菱形、正方形会产生混淆，这样就要求同学们能对矩形、菱形、正方形与平行四边形的性质加以区别。
2、要熟练掌握几何中的条件辅助线的规律：
遇到中点时，常常构造中心对称图形；在正方形中常常进行图形的旋转变换；
3、要学会用代数的方法来解决几何问题；
（五）作业：
试卷上的内容圆的综合题习题课
一、引子 （ 例题模型：第五册 Ｐ１４５ 例2）
已知：矩形ABCD中。AB=5cm，BC=8cm，BC为⊙O直径，设AD边上有一动P（不运动至A，D），Bp交⊙O于点Q
（1）设线段BP为xcm，线段CQ为ycm，求y与x函数关系式和自变量x的取值范围。
（2）求当BP=CQ时S ⊿ BQC与S ⊿ PAB的比
二、例题讲解
例1．正方形ABCD中， AB=1cm ，BC为的直径设AD边上有一动点P（不运动至A，D） BP交⊙O于点F，CF的延长线交AB于点E，连结PE。
（1）找出图中具有相似关系的三角形。
（2）设BP=x，CF=y，求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当CF=2EF时，求BP的长；
（4）是否存在点P，使⊿ AEP ∽ ⊿BEC （其对应关系只能是A与B，E与E，P与C）？如果存在，试求出AP的长；如果不存在，请说明理由
例2．已知:如图,在⊙O中,AB是弦,CD是直径,AB⊥CD, H是垂足,点P在DC的延长线上,且∠ PAH=∠POA, OH:HC=1:2,PC=6
(1)求证:PA是⊙O的切线;
(2)求⊙O的半径的长:
(3)试在ACB上取一点E(E与A.B不重合),连结PE并延长与ADB交于点F,设EH=x,PF=y,求y与x之间的函数关系式,并指出自变量x的取值范围.
（1）⊿ ABP ∽ ⊿ BCE
⊿ BCE ∽ ⊿ BEF ∽ ⊿ BFC
(2)解： ∵四边形ABCD是正方形，下略
三、课堂练习
1、 已知：如图，AB是⊙O直径，点P是AB延长线上一点，PC切⊙O于点C，在射线PA上截取PD=PC，连结CD并延长交⊙O于点E。
（1）求证：∠ABE＝∠BCE；
（2）当点P在AB的延长线上运动时，判断sin∠BCE的值是否随点P位置的变化而变化，提出你的猜想并加以证明。
四、回家作业：见试卷
O
P
B
C
D
H
E
F
x与函数图象有关面积的求法
求解与函数图象有关的图形面积问题，在各类考试中常常出现，许多同学难以入手，实际上，求解这类问题的关键是画出图形后，设法将图形转化为三角形，再求出三角形的底和高。现分类例析如下。
1、 直线与坐标轴围成的面积: 例1 设直线交x轴于A，交y轴于D，直线交y轴于B，且交于C.求的面积S.
解:画出略图.可见只要求出底边长和高(点C、A的横坐标).
在
得C(3,2)
2、 直线与双曲线:例2 设直线y=-x+5与双曲线交于A、B两点，求的面积。
解：画出示意图，直接求的底边AB长和相应的高，比较困难。现割补法进行转化，记直线交x轴于点C，交y轴于点D，则所求面积
在y=-x+5中，分别令y=0,x=0,得C（5，0），D（0，5）。又由
得A（4，1），B（1，4）
从而
3、 直线与抛物线
例3 已知抛物线交x轴于两点.
又点P（4，n）在该抛物线上，设抛物线的顶点是C，求的面积S。
分析：将分成两个，需求底边AD的长及相应的高，即点C、点P的纵坐标。为此，首先需确定抛物线的解析式。
解：
所以抛物线是
又由顶点C（1，4），P（4，-5）可得直线PC:y=-3x+7.再令y=0,得PC与x轴交点为
D（,0）.
例4 设直线l:y=2x+2交x轴于点A、交y轴于点B，一条抛物线过点A、点B及点（2，2），且与x轴的另一交点为D，顶点为C。求四边形ABCD的面积。
简解：将四边形分成三个三角形：易由直线l:y=2x+2,得A（-1，0），B（0，2）
又过A、B及（2，2）的抛物线为则顶点为与x轴的另一交点为D（3，0）。
所以圆中漏解怎么办？
正确对圆中的图形进行分类，且分类要做到不重不漏，标准统一，是避免圆中问题漏解的“秘诀”。下面从点与圆、线段与圆、直线与圆及圆与圆的位置关系四个方面说明。
1. 点与圆
例1. 已知点P到⊙O上的点的距离最大为a，最小为b，求⊙O的半径r。
分析 点P的位置不确定，直接入题会以偏概全，出现漏解。此题需分点P在圆内、圆上、圆外三种情况进行讨论。
解 （1）当P在圆内时，如图1，半径
图1 图2
（2）当P在圆上时，如图2，半径； （3）当P在圆外时，如图3，半径。
2. 线段与圆
例2. 已知⊙O的半径为5cm，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，且AD=6cm，BC=8cm，求梯形ABCD的面积。
分析 要求梯形面积需知梯形的高。由圆的对称性，知梯形的上、下底的位置可在圆心的同侧或异侧，所以应分两种情况分别求出上、下底之间的距离，然后求出面积。
解 （1）当AD和BC在圆心异侧时，如图4，
过O作OE⊥AD，OF⊥BC，垂足分别为E、F。
因为 AD∥BC， 所以 E、O、F三点共线， 所以 AD和BC的距离
， 此时，。
（2）当AD和BC在圆心同侧时，如图5，得
图4 图5
此时，。
所以梯形ABCD的面积为7cm2或49cm2。
3. 直线与圆
例3. 两圆的半径分别为4，2，如果它们的两条公切线相互垂直，求两圆的圆心距。
分析 两圆的公切线有内公切线和外公切线两种，公切线垂直指的是什么公切线相互垂直未说明。应该分内、外两条公切线组合得四种情况求解（其中内、外公切线和外、内公切线垂直相同）。
解 （1）当内公切线与外公切线垂直时，如图6，
AB切⊙O1于A，切⊙O2于B， EF切⊙O1于E，⊙O2于F，AB⊥EF于D。
由切线长定理，得， ，
所以 ， 。
故有 。
（2）当内公切线垂直时，如图7，
图6 图7 图8
作O1E⊥l2，O2E⊥l1，交点为E，则
（3）当外公切线垂直时，如图8，
作O1E⊥l2于E，O2F⊥l2于F，O2G⊥O1E于G，则
4. 圆与圆
例4. 已知两圆相切，圆心距为，小圆的半径，求大圆的半径。
分析 相切有内切、外切之分，应分情况讨论。
解 （1）当两圆内切时，由，得
。
（2）当两圆外切时，由，得
。
例5. ⊙O1与⊙O2相交于A、B两点，⊙O1与⊙O2半径分别为5cm和4cm，AB=6cm，求O1O2。
分析 由于圆的对称性，相交两圆的圆心有两种情况：圆心在公共弦的同侧或异侧，要分情况讨论。
解 （1）当圆心在公共弦同侧时，如图9，作O1C⊥AB于C，则O2在O1C上。
连结AO1，AO2。于是有
（2）当圆心在公共弦异侧时，如图10，
图9 图10
连结AO1，AO2。 设O1O2交AB于点C，则
例6. 已知⊙O1和⊙O2外切，半径分别是为1cm和3cm，那么⊙O的半径为5cm，且与⊙O1、⊙O2都相切的圆一共有多少个？
分析 ⊙O与圆⊙O1和⊙O2相切的情况不确定。同学们可能分外切和内切两种情况讨论得到四个圆，而忽略另外的情况。需注意⊙O与两圆相切（而非一圆相切）。分类时还要考虑内外切和外内切的情况。这样分类才是完整的。
解 （1）当⊙O与⊙O1和⊙O2都外切时，有两个圆，如图11。
图11
（2）当⊙O与⊙O1和⊙O2都内切时，有两个圆，如图12。
图12 图13
（3）当⊙O与⊙O1内切和⊙O2外切或⊙O与⊙O1外切、⊙O2内切时，又有两个圆，如图13。故与⊙O1、⊙O2都相切的圆一共有6个。四边形与平行四边形
一、教学目标：
1、了解多边形的有关概念，掌握多边形的内角和定理与外角和定理；
2、理解平行四边形的概念、性质、判定，并能灵活地运用它们进行计算与证明；
二、教学重点：
平行四边形的性质与判定
三、教学难点：
平行四边形的性质及判定的运用；
四、教学过程：
（一）速度测试：
1、一个多边形的内角和比它的外角和的3倍少180°，则该多边形的边数为 ；
2、如图1， ABCD的对角线BD=7cm，∠DBC=30°，BC=5cm，则平行四边形的面积为 ；
3、如图2，P为 ABCD的边AB上的一点，且AP∶PB=1∶3，S△APD=4cm2，则平行四边形ABCD的面积为 ，三角形PCD的面积为 ；
4、以20cm、16cm、18cm三条线段中的两条作对角线，一条作边可作 个平行四边形；
5、如图3，在 ABCD中，AE∶EB=1∶2，且S△AEF=6cm2，则平行四边形ABCD的面积为 ；
6、如图4，在 ABCD中，E为AB的中点，F为AD的中点，EF交AC于O，交CB的延长线于G，则S△AOF∶S△COG=
7、在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O
AC=10，BD=8，则AD的取值范围为是
8、如图，在△ABC中，AB=AC=5，D是BC上的一点，
DE∥AB交AC于点E，DF∥AC交AB于点F，那么四边形
AFDE的周长为 ；
（二）考点聚集：
1、四边形的概念：
（1）定义：在同一平面内，由不在同一直线上的四条线段首尾顺次
相接组成的图形；
（2）四边形的内角与外角和均为360°；
（3）四边形具有不稳定性。
（4）多边形的内角和定理：n边形的内角和为（n-2）180°
（5）多边形的外角和定理：n边形的外角和为360°。
（6）多边形的对角线：n边形的对角线有条；
2、平行四边形：
（1）定义：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
（2）平行四边形的性质定理及推论：
定理1：平行四边形的对角相等； 定理2：平行四边形的对边相等；
定理3：平行四边形的对角线互相平分； 推论1：夹在两平行线间的平行线段相等。
平行四边形是中心对称图形；平行四边形的邻角互补
3、两平行间的距离：两条平行中，一条直线上的任意一点到另一条直线的距离。
4、平行四边形的面积：S=ah=
5、平行四边形的判定：
定理1：两组对边分别平行的四边形是平行四边形。
定理2：两组对边分别相等的四边形是平行四边形。
定理3：两组对角分别相等的四边形是平行四边形。
定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。
定理5：对角线互相平分的四边形是平行四边形。
（三）例题分析：
例1 如图，在平行四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于O，BD=2AD，E、F、G分别是OC、OD、AB的中点；
求证：（1）BE⊥AC，（2）EG=EF；
方法提示：
（1）先证明△BOC为等腰三角形，再利用等腰三角形的三线
合一来证明；
（2）利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，证明
EG=AB，再利用三角形的中位线定理即可证明此结论。
例2如图，在平行四边形ABCD中，E为AB的延长线的上任意一点，DE交BC于点F，试判断△ABF与△EFC的面积之间的关系并证明你的结论。
例3 如图，点M、N分别是平行四边形ABCD的边DC、CB的中点，连结AM、AN分别交平行四边形ABCD的对角线BD于E、F两点。
（1）求证：点E、F是线段BD的三等分点；
（2）若平行四边形的面积为8，求三角形AMN的面积。
证明：∵∵∴∴∵∵
（1）∵AB∥CD，∴，∴BF=2FD；同理，DE=2BE；
∴E、F是线段BD的三等分点。
（2）
例4如图所示，已知平行四边形ABCD的周长为30cm，AE⊥BC于E，AF⊥CD于点F，且AE∶
AF=2∶3，∠C=120°求平行四边形ABCD的面积。
例5如图，在平行四边形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O的直线分别与AD、BC相交于点E、F，与BA、DC的延长线相交于点G、H，由此你能得到什么结论？
解答提示：
可得到相等的线段与相等的角；得到等积中心；
将一个平行四边形的纸片折叠一次，使得折痕平分这个平行四边形的面积，则这样的折法有无数种；
（四）课堂小结：
1、在解决平行四边形的有关问题时，一定要熟练掌握它的性质；
2、在解决平行四边形中的面积问题时，一定要注意两平行线间的距离相等这一结论；
（五）作业：
试卷上的内容全等三角形的性质及判定
一、教学目标：
1、了解全等三角形的概念和判定，能够准确地辩认全等三角形的对应元素
2、熟练掌握三角形全等的判定定理和性质，并会利用全等的知识证明角相等与线段相等；
二、教学重点：
全等三角形的判定定理的运用；
三、教学难点：
如何挖掘题目中的隐藏条件证明两三角形全等；
四、教学过程：
（一）速度测试：
1、判断题：
（1）有两边及其中一边上的高对应相等的两三角形全等；
（2）有两边及其中一边上的中线对应相等的两三角形全等；
（3）有两边及第三边上的高对应相等的的两个三角形全等；
（4）有两边及第三边上的中线对应相等的两三角形全等；
（5）有一个锐角与一条直角边相等的两个三角形全等；
（6）有两边相等的两三角形全等；
（7）有一条直角边和斜边上的高对应相等的两直角三角形全等；
（8）两条高相等的三角形必为等腰三角形；
（9）有一角为85°，且两腰长相等的两三角形全等；（若将角度换成91°呢？）
（10）周长为20，一边长为5的两等腰三角形全等；（若将腰长换成6呢？）
（二）考点聚集：
1、全等三角形的概念：
2、全等三角形的判定：
SAS公理； ASA公理； AAS公理； SSS公理； HL公理；
3、全等三角形的性质：
全等三角形的对应边、对应角、对应边上的高、中线、对应角的平分线相等；
4、证明两三角形全等的思路：
（1）若已知两边：找两边的夹角对应相等←———SAS
找第三边对应相等←———SSS
找直角←——— HL或SAS
（2）若已知一边一角 ：
（3）已知两角
（三）例题分析：
例1 如图1已知D、E是△ABC中BC上的两点，且AD=AE，请你添上一个条件
使△ABD≌△ACE
可添的条件为：BE=CD 或BD=CE（SAS）
AB=AC或∠B=∠C或∠BAE=∠CAD
或∠BAD=∠CAE（ASA）
图1
例2 如图2，AB=AD，BC=CD，AC与BD相交于点E，由这些条件，你能推出哪些结论？（不再添加辅助线，不再标字母，不写推理过程，只写出四个你认为正确的结论）
图2
例3如图，AB=AC， M、N是AB与AC上的两点，BN、CM相交于点O，连结AO，若∠B=∠C，
（1）请你写出图中成立 的一切结论；（2）若延长CM到E，延长BN到F，使ME=NF，连结EB、CF、AE、AF，图中又可以得到哪些结论？
例4 如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，BE⊥AC于E，AD与BE相交于点F，若BF=AC，那么
∠ABC的大小是多少？
例5如图，D是AC上的一点，BE∥AC，BE=AD，AE分别交BD、BC于点F、G，∠1=∠2
（1）图中哪几个三角形与△FAD全等？证明你的结论；
（2）求证：
（四）课堂小结：
证明两三角形全等时，要用执果索因的方法和综合法等方法，寻找所缺的已知条件，同时
灵活运用已知条件再证明问题。
（五）作业：
第26课的相关内容。实数和代数式
一、重点、难点提示：
1.相反数
实数a的相反数是-a，零的相反数是零。
（1）a,b互为相反数a+b=0。
（2）在数轴上表示相反数的两点关于原点对称。
2.绝对值
|a|=
3. 算术根
（1）正数a的正的n次方根叫a的n次算术根，零的算术根仍是0。
（2）实数的三个非负性：|a|≥0, a2≥0, ≥0(a≥0)。
4.科学记数法
把一大于10的数记成a×10n的形式，其中1≤a<10。这种记数法叫做科学记数法。一个数的科学记数法中，10的指数比原数的整数位数少1。
5.幂的运算法则：（m,n为正整数）
am·an=am+n, (am)n=amn, (ab)n=anbn；
am÷an=am-n(a≠0, m>n)
6.乘法公式：
(a+b)(a-b)=a2-b2； (a±b)2=a2±2ab+b2；
7.零指数和负整数指数：
规定a0=1(a≠0) ，a-p=(p为正整数)
8.二次根式的主要性质
(1)()2=a (a≥0).
(2)=|a|=
注意：根式的化简相当于绝对值的化简，所以应养成化简时加绝对值的习惯，先完成这种转化，不易出错。
(3)=·(a≥0, b≥0)。
(4)(b≥0,a>0)。
二、重点例题分析
例1．解答下列各题
（1）已知|a|=8, |b|=2, |a-b|=b-a, 求a+b的值。
（2）已知a>0, b<0, |b|>|a|, 试用“<”将a、b、-a、-b连结起来。
解：（1）∵|a|=8, ∴a=±8； ∵ |b|=2, ∴b=±2；
又∵|a-b|=b-a, ∴b-a≥0, ∴b≥a。 因此b取+2, a取-8, 或b取-2, a取-8。
当b=2, a=-8时, a+b=(-8)+2=-6。
当b=-2, a=-8时, a+b=(-8)+(-2)=-10。
（2）b<-a 说明（1）这里应注意绝对值定义的正确应用，若|a|=3,则a=±3,不要漏了-3；还应注意运用|a-b|=b-a这个条件进行分析，不要漏解和多出解来。
（2）解涉及有理数的绝对值、大小比较等问题时，数轴是一个十分有效的工具。
画数轴，先由已知条件确定a、b所对应的点A、B，a>0，A在原点右边，b<0，B在原点左边，|b|>|a|表示B到原点的距离大于A到原点的距离，再依相反数的概念找出-a,-b所对应的点，如图所示，
显然有：b<-a 此题还可用特殊值法求解。设a=2,b=-3,所设数字一定要符合a>0, b<0, |b|>|a|的条件，那么a=2, -a=-2, b=-3, -b=3。 ∴从小到大的顺序为-3，-2，2，3。即b<-a 例2、计算下列各题
（1）(-)-2+；
（2）[·(3-2)]-1+(-)8÷×3
说明：在综合运算中搞清各种运算的意义，如乘方运算的底，负指数，零指数的意义及特殊角的三角函数值等。计算前要仔细审题，一是注意运算的顺序，不要跳步；二是灵活地运用法则，能选择简便运算的要尽可能地采用简便运算；三要特别注意运算符号是否出错。
例3、计算机存储容量的基本单位是字节，用b表示，计算机中一般用Kb(千字节)或Mb（兆字节）或Gb（吉字节）作为存储容量的计量单位，它们之间的关系为1kb=210b, 1Mb=210Kb, 1Gb=210Mb。 一种新款电脑的硬盘存储容量为20Gb，它相当于多少Kb (结果用科学记数法表示，并保留三个有效数字)
析解：本题目一方面考查近似数和科学记数法，另一方面考查学生收集和处理信息的能力。
解答时，考生直接根据题中所提供的几个单位的换算关系，不难求出20Gb=20×210Mb=20×210×210Kb
=20×1024×1024Kb≈2.10×107Kb。
例4、给出下列算式：
32-12=8=8×1，
52-32=16=8×2，
72-52=24=8×3，
92-72=32=8×4，
……观察上面一系列等式，你能发现什么规律？用代数式来表示这个规律。
分析：观察等式，不难发现其规律：两个相邻的奇数的平方差是8的倍数。由此，设n为自然数，则相邻的两个奇数为2n-1和2n+1，用代数式表示为(2n+1)2-(2n-1)2=2×4n=8n。
说明：本题以列代数式为载体，体现了用字母表示数的简明性和普遍性，蕴含着一种数学简洁的美。同时可考查学生的观察能力和抽象概括能力，渗透从特殊到一般的辩证关系。
例5、把下列多项式分解因式
（1）2xn+1-6xn+4xn-1 (n为自然数)； （2）(ab+1)2-(a+b)2； （3）x3+x2-x-1。
说明：分解因式的一般思路是：“一提、二套、三分组”。一提是指首先考虑能否提取公因式，其次考虑能否套用公式，最后考虑分组分解，分组分解的关键是在于分组后是否有公因式可提或是否能套用公式来进一步分解。
例6、（1）判断下列各式是否成立，你认为成立的请在括号内打“√”，不成立的打“×”
①=2（ ） ②=3（ ）
③=4（ ） ④=5（ ）
（2）你判断完以上各题之后发现了什么规律？请用含有n的式子将规律表示出来，并注明n的取值范围________。
（3）请用数学知识说明你所写式子的正确性。
分析：本题是一道归纳猜想型试题；能较好地考查学生的归纳—猜想—验证的思维过程。
答：（1）①②③④正确；
（2）=n；
（3）n为大于1的自然数。
===n。
例7、阅读下面一道题的解答过程，判断是否正确，如若不正确，请写出正确的解答过程。
化简：-a2·+。
解：原式=a-a2·+a
=a-a+a
=0+a
=a
答：上述解答过程有错误，正确解答如下：
原式=+|a|=|a|·-a2··+|a|
∵－a>0, ∴a<0。
原式=-a·+a-a=-a。
说明：这道题隐含着条件a<0是解此题的关键，而a<0时，|a|=-a。这一点是该题错误的根本原因；另外，在化简时，注意计算逻辑要严谨。
例8、化简求值：
已知x=, y=, 求3x2-5xy+3y2的值。
∵x==5-2, y==5+2,
∴ x+y=10, xy=1 ∴ 3x2-5xy+3y2=3(x+y)2-11xy=3×102-11=289。
说明：二次根式的化简、求值是一个难点。求代数式的值，采用变形后整体代入再进行计算，可使问题解答简捷。中考数学试卷分析
一．试题分析
(一)选择题
选择题立足于考查基础知识和基本能力，有意控制试题难度。第1、2、4、5、6、7、9题，题型常规、表述简洁，直接考查基础知识。第3、8、10题，配予一定的生活背景，使试题更加生动，考查目标仍不失基础性。第11题是统计综合题，结合嘉兴经济，寓教育意义在其中。第12题是以一次函数图象为背景的综合题，试题构思巧妙，突出数形结合思想，综合难度明显高于其他选择题，可谓是全卷的压轴题之一。
(二)填空题
填空题突出基对础知识的考查。其中第17、18题对知识运用能力的考查重点与知识本质紧密联系。
(三)解答题
第19、20题为基本运算、基本证明题，突出基础性。第21题是直角三角形的简单应用，源自课本。第22题考查二次函数，既显基础又不失全面性。第23题为探索必综合应用题，要求考生具备较强的阅读理解能力、良好的知识迁移能力。第24题综合了平几和解几知识，试题有“系统难度”(关联度)和综合难度。其中第（3）小题属于开放的探索性问题，设问新颖，结果不落俗套。第25题为综合应用题，涉及菱形、三角形、函数、大小比较，作为全卷的最后压轴题体现了命题者的“独具匠心”。
二．试卷分析
1．试卷有较大的区分度.
2．试卷难度这样的难度完全符合试卷设计要求。
3．主观综合评价
2005年嘉兴市数学中考试卷立意新颖、结构合理、入口较浅，由易到难，有利于学生的考场发挥。试卷既关注了大部分同学，让他们有成功的体验；又有一定的区分度，给学有余力的同学创造了展示自我的空间。整份试卷主要有以下特点：
（1）注重基础。试卷涉及的知识面广，较好地考查了初中阶段的主干知识。同时突出了数学基础知识、基本技能和基本数学思想方法的考查，如函数思想、方程思想、数形结合思想等。
（2）突出能力。试卷重点考查了学生的基本运算能力、数据处理能力、阅读理解能力、分析问题与解决问题的能力、数学建模能力等，有利于检查学生的数学素养及数学学习能力。
（3）拓宽思维空间。试卷积极创设探索思维空间，重视开放性、探索性试题，如第12、24（3）、25题，有利于考查学生的思维能力和创新意识，也使试卷有个较好的区分度。
（4）培养用数学、做数学的意识。试卷多处设置了实际应用问题，考查学生从实际问题中抽象数学模型的能力，有较强的教育价值。
纵观近三年来嘉兴市中考数学试卷，正逐步体现新课程理念，对今后师生的教与学有一定的启发。
2005年6月
PAGE数学总复习二《代数式》
1、 复习目标
1、 了解代数式的有关概念（单项式，多项式，整式，分式，根式，代数式及其值）。
2、 掌握整式的乘除法则，分式，根式的基本性质，熟练地进行加减、乘除、乘方等运算，约分运算。
3、 灵活地运用乘法公式（正用，逆用，变用，延伸等），有关运算律的运用。
4、 熟悉并掌握一定的运算技巧，提高运算的正确性及能力。
5、 熟练掌握因式分解的方法和运用
6、 掌握二次根式的概念、性质，学会利用性质对二次根式化简，分母有理化。
2、 知识要点
1、 代数式及代数式的值的概念。
2、 单项式、多项式、整式的有关概念（系数、次数、项数、升降幂排列）。
3、 整式的加减运算，合并同类项，去括号法则。整式的乘除、乘方法则，运算。
4、 乘法公式（平方差公式、完全平方公式、立方和差公式）及运用。
5、 因式分解的概念及基本方法（提公因式法、运用公式法、十字相乘法、分组分解法）。
6、 分式的概念，分式的符号法则，基本性质。
7、 约分，通分，分式的加减乘除、乘方运算。
8、 二次根式的概念、性质。
9、 二次根式的化简、运算，最简二次根式，合并同类二次根式，分母有理化。
3、 例题讲解
例1 先化简，再求值：2a- ｛7b+[4a-7a-(2a-6a-4b)]-3a｝,其中a=-2/7,b=0.4
例2 已知多项式x3-3x2+5x+a能被多项式x2-x+3整除，求常数a的值。
例3 已知（2x3-5x2+7x-8）(ax2+bx+11)的积不含x4项和x3项，求a, b的值。
例4 分解因式：（1） 4x3+x2-16x-4, (2)(1-a2)(1-b2)-4ab
例5 计算：（1）[÷
（2）+（1-）÷（1+）+
例6 （1）若a,b,c是三角形的三边，且a2+b2+c2=ab+bc+ca, 证明这个三角形是正三角形。
（2）a, b, c, d是四边形的四边，且a4+b4+c4+d4=4abcd,试判断这个四边形为何四边形。
四 作业：见指导训练梯形
一、教学目标：
1、掌握梯形、等腰梯形的性质与判定，三角形、梯形的中位线定理；
2、掌握把梯形转化为三角形、平行四边形的方法，灵活运用这些知识解决问题；
二、教学重点：
1、利用化归的数学思想解决梯形的问题；
2、梯形、三角形中位线定理；
三、教学难点：
梯形中的常见辅助线及其运用；
四、教学过程：
（一）考点聚集：
1、梯形的定义：一组对边平行，另一组对边不平行的四边形叫做梯形 。
2、梯形的分类：
3、等腰梯形的定义：两腰相等的梯形。
直角梯形的定义：一腰垂直于底的梯形。
4、等腰梯形的性质：
（1）等腰梯形的两腰相等；
（2）等腰梯形在同一底上的两底角相等；
（3）等腰梯形的对角线相等；
5、等腰梯形的判定：
（1）两腰相等的梯形是等腰梯形；
（2）同一底上的两底角相等的梯形是等腰梯形。
6、平行线等分线段定理及其推论：
定理：如果一组平行线在一条直线上截得的线段相等，那么在其它直线上截得的线段也相等；
推论1：经过梯形一腰的中点与底边平行的直线，必平分另一腰；
推论2：经过三角形一边的中点与另一边平行的直线必平分第三边；
7、三角形、梯形的中位线定理：
三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半。
梯形的中位线定理：梯形中位线平行于两底，并且等于两底和的一半；
8、梯形的面积公式：（其中a、b为梯形的上、下底，h为梯形的高，m梯形的中位线，
（二）知识点检测：
1、如图，EF是梯形ABDC的中位线，若△CEF的面积为30cm2，则梯形ABDC的面积为
2、如图，在梯形ABDC中，FE为其中位线，G为BD上
的一点，如果S△GEF，梯形的面积为 ；
3、如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，若AC、BD相
交于点O，且梯形S△AOD=4cm2，S△BOC＝9cm2，则梯形的面积为 ；
4、在梯形ABCD中，AD∥BC，中位线长为25cm，一条对角线分它成的两部分的长度差为5cm，则梯形的上、下底长分别为 ；
5、如图在梯形ABDC中，AC∥BD，中位线EF分别与BC、AD相交于点G、H，若AC=6，DB=8，则GH的长为 ；
6、在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，AD=5，BC=8，∠B=60°，则AB= ；
梯形ABCD的面积为 ；
7、如图，在梯形ABCD中，AC、BD相交于点O，过点O作EF∥AD交AB于点E，交CD于点F，若AD=4，BC=6，则EF的长为 ；
（三）例题分析：
例1已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC=5，BD=12，AD+BC=13，求梯形ABCD的面积。
例2已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=BD，AD=AB=4cm，∠A=120°，求梯形ABCD的面积。
例4 AB、CD是两条线段，M是AB的中点，S△DMC、S△DAC、S△DBC分别表示△DMC、△DAC、△DBC的面积，当AB∥CD时，有①，（图1）
（1）如图，若图（1）中的AB与CD不平行时，①式是否成立？请说明理由。
（2）如图，若AB与CD相交于点O，S△DMC、S△DAC、S△DBC间有怎样的数量相等关系？并证明你的结论
（四）课堂小结：
1、要熟练掌握梯形、等腰梯形的性质及其判定；
2、要掌握梯形中的常见辅助线，善于将梯形中的问题转化为平行四边形与三角形或矩形与直角三角形的问题。
3、梯形中的常见辅助线：
（五）作业：
《指导训练》上的全部内容；
G
F
F
F
E
E
E
E
E
E
E
E
D
C
B
A
A
B
C
D
A
B
C
D
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
D
C
B
A
A
B
C
D
F第三章 三角形 专项训练
【典型例题】：
例1：已知ABC中BC为最大边A=，在BC边上有BE=BA，CF=CA，
求EAF的度数
分析：可以设EAF=x BAF=1 CAE=2 AFE=3 AEF=4
由已知条件BE=BA CF=CA可得1+x=4=2+C
2+x=3=1+B 分析这两个式子，便看出：
2x=B+C，而B+C=180－A =180－，这就找到了已知与未知之间的联系， 总之要抓住等腰三角形这一条件，充分利用，深入挖掘，尽可能地把条件与结论中所 涉及的元素或对象结合起来思考。
说明：此题可做为一般结论记忆，当A =90时，x=
例2、已知ABC和BDE都是等边三角形，AE、BC交于F，CD、BE交于G
求证：BF=BG
分析：求证两段线段相等，常用全等三角形
若证得EAB=DCB，那可证ABF≌CBG
例3、已知AB=AD BC=DC
求证：AC⊥BD
证明：在ABC和ADC中
∴ABC≌ADC （SSS）
∴1=2 （全等三角形对应角相等）
∴AC⊥BD （等腰三角形顶角平分线垂直于底边）
例4：已知ABC中，AD是角平分线DE⊥AB
DF⊥AC E、F为 垂足
求证：AD⊥EF
分析：利用等腰三角形三线合一可证线段垂直
例5：已知ABC中A=108 AB=AC
BD是角平分线
求证：BC=AB+CD
分析：欲证BC=AB+CD，则可以考虑在 BC上截取一条线段等于AB（或CD）再证明余下的线段等于CD（或AB）即可，或者把AB、CD接在一起，即延长AB（或DC），使延长的部分等于CD（或AB），再证明这两条线段的和等于BC即可。
证明（法一）：在BC上取BE=BA，连接DE
（法二）：延长BA到E，使BE=BC 连结DE、EC。
例6：已知ABC中，AD平分BAC，AC>AB，E为BC中点，EF⊥AD，EF的
延长线交AC于M交AB延长线于G。
求证：AC－AB=2BG
分析：此题要充分利用角平分线垂直以及边的中点等条件，利用通常的分析与综合的研究方法探究解题思路，比如：角平分线→翻折→中点→三角形全等→线段间的相等关系，通过加辅助线，达到在AC边上截取线段等于AC－AB这一目的。
例7：已知等边ABC，延长BC到D，延长BA到E且使AE=BD
求证：EC=ED
分析：证明线段相等目前有通过证明“三角形全等”和“等角对等边”两个主要的方法，而在有关线段的条件较多的情况下，考虑全等思路可能好一些，另外，可用递推法进行分析，即：若有EC=ED就应有分别以EC、ED为一边的两个三角形全等，再看EC即EBC的一条边（又是EAC的一条边），由此需要找一个（或构造一个） 以ED为边的三角形，并且此三角形要有可能与EBC全等，由此辅助线就不再是盲目的事情。
证明：（方法一）延长CD到F，使DF=BC，连结EF
（方法二）过D作DF∥AC交AE于F
（方法三）：过E作EH⊥BD于H
（方法四）：过E作EH∥BD交CA延长线于H
请同学按照提示自己动手做一做!
例8：求证等腰三角形的顶点到两腰上的中线的距离相等
已知：ABC中 AB=AC BD、CE为两腰上中线
AM⊥CE于M AN⊥BD于N
求证：AM=AN
例9：已知AB=AD ABC=ADC
求证：1=2
例10：已知ABC中AD是BC边中线
E是AD上一点，BE=AC
求证：AF=EF
分析：欲证AF=EF
需证FAE=FEA 由于有中线的条件可以将ED延长到M。使DM=ED，连结MC，可证明BDE≌CDM，由所给的条件，易证明AC=MC，可得MAC=AMC，由AMC=BED=AEF
可知EAF=AEF便可得结论
说明：遇到中线问题，常常把中线延长一倍，与原来的两个顶点组成新三角形是
常用的方法，简称倍长中线法。
【专项训练】（回家作业）：
一、填空：
1、若等腰三角形的顶角为70，则它的底角为 。
2、若等腰三角形一个底角的外角等于110，则它的顶角为 。
3、若等腰三角形顶角的外角等于100，则它的底角为 。
4、已知ABC中，AB=AC，BD⊥AC于D，A=30 则DBC=
5、已知ABC中，ABC=90，A=56，CD=CB，则ABD=
6、已知ABC中，AB=AC，D是BC上一点，E是AC上一点，AD=AE，BAD=30，则EDC=
7、在ABC中，A=65，B=50，那么，ABC中相等的边是
8、ACD是ABC的一个外角，ACD=119，B=58，那么ABC中相等的边
是
9、有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
10、在ABC中，CAD是它的一个外角，且CAD=120，C=60，
那么ABC是 三角形
11、如图，ABC中，C=36，ADB=72，BD平分ABC，那么图中的等腰三角形有
二、证明题：
1、已知AD平分BAC，AE=DE，求证：ED∥AC
2、已知ABC中，AB=AC，AO平分BAC 求证：1=2
3、已知：ABC中D是AC上一点，AB=BD=DCABC=60
求：A的度数
4、已知：ABC中，AB=AC，EF交AB于E，交AC的延长线于F，且BE=CF
求证：DE=DF
5、求证：三角形一边上的中线小于其他两边之和的一半。
6、 已知：ABC中，AB>AC，AE=AF，延长EF与BC的延长线交于G
求证：BGE=
7、如图ABC中，ABC=2C，AD⊥BC于 D，E在AB的延长线上，BE=BD，
ED的延长线交AC于F
求证：F是AC中点
8、已知：过ABC的BC边中点M作BAC的平分线AD的平行线交AB于E，交CA延长线于F
求证：BE=CF
9、已知：1=2 3=4 5=90+B 求证：AE=AC
10、已知：ABC中，AB=AC BAC=20 AD=BC
求：BDC的度数