平行投射及平行投射作图法
一、填空题（共11小题）
1、光由一点向外散射形成的投影叫做 _________ ；在一束平行光线照射下形成的投影叫做 _________ ．
2、如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．
（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为 _________ ；
（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是 _________ ．
3、正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 _________ ．
4、已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．21*cnjy*com
在上面结论中，正确结论的编号是 _________ （写出所有正确结论的编号）
5、关于直角AOB在定平面a 内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是 _________ （注：把你认为是正确判断的序号都填上）．
6、正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为 _________ ．21*cnjy*com
7、棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的正投影的面积最大值为 _________ ．21*cnjy*com
8、已知平面α及以下三个几何体，（1）长、宽、高皆不相等的长方体；（2）正四面体；（3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，那么这三个几何体在平面α上的射影可以为正方形的几何体是 _________ （只要填上序号）．21*cnjy*com
9、如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5 米的椭圆，则这个广告气球直径是 _________ 米．
10、如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是 _________ （填出所有可能的序号）．
11、在空间直角坐标系O﹣xyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6，其中正摄影都是三角形，则这个多边形的面积为 _________ ．
二、选择题（共11小题）21*cnjy*com
12、下列说法正确的是（ ）
A、矩形的中心投影一定是矩形
B、两条相交直线的平行投影不可能平行21*cnjy*com
C、梯形的中心投影一定是梯形
D、平行四边形的中心投影一定是梯形
13、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（ ）
A、①④ B、②③
C、②④ D、①②
14、有一条边与一个平面平行的矩形，在此平面内的射影一定是（ ）21*cnjy*com
A、矩形 B、平行四边形
C、矩形或一条线段 D、梯形
15、如图所示，O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能 是（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
16、有一边与平面平行的矩形在此平面内的射影是（ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、矩形或一条线段 D、以上答案都不对
17、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（ ）
A、两条平行直线 B、一点和一条直线
C、两条相交直线 D、两个点
18、在阳光下一个大球放在水平面上，球的影子伸到距球与地面接触点10米处，同一时刻，一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米，则该球的半径等于（ ）
A、10（﹣2）米 B、（6﹣）米
C、（9﹣4）米 D、5米
19、一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是（ ）
A、线段 B、直线
C、圆 D、梯形
20、直角三角形ABC斜边在平面α上，则△ABC在平面α上的正投影（ ）
A、一定不是钝角三角形 B、一定不是直角三角形
C、一定不是锐角三角形 D、一定是三角形
21、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各面上的投影不可能是（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、
22、四面体ABCD的棱长都是1，AB∥平面α，则四面体ABCD上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、
三、解答题（共1小题）21cnjy
23、ABCD是长方形，四个顶点在平面α上的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合．①求证：A′B′C′D′是平行四边形；②在怎样的情况下，A′B′C′D′是长方形？证明你的结论．
答案与评分标准
一、填空题（共11小题）
1、光由一点向外散射形成的投影叫做 中心投影 ；在一束平行光线照射下形成的投影叫做 平行投影 ．
考点：中心投影及中心投影作图法；平行投影及平行投影作图法。
专题：阅读型。
分析：根据中心投影和平行投影的定义，填上中心投影和平行投影，中心投影的投影线交于一点，而平行投影的投影线是互相平行的．
解答：解：光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，
在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，
故答案为：中心投影；平行投影
点评：本题考查中心投影及中心投影作图法，考查平行投影及平行投影作图法，是一个基础题，只要了解两个投影的定义就可以做出本题．
2、如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．
（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为 （2，2） ；
（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是 （x﹣1）2+y2=1 ．
考点：平行投影及平行投影作图法。21cnjy
专题：计算题。
分析：（I）根据两个坐标系之间的关系，由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°，写出坐标．21cnjy
（II）设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应的点，根据所设的点满足所给的方程，代入求出方程．
解答：解：（I）由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，21cnjy
距离y轴的距离变成2cos45°=2，
∴点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）
（II）设（x′﹣）2+2y2﹣2=0上的任意点为A（x0，y0），A在平面α上的射影是（x，y）
根据上一问的结果，得到x=x0，y=y0，
∵，
∴
∴（x﹣1）2+y2=1，
故答案为：（2，2）；（x﹣1）2+y2=1
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查两个坐标系之间的坐标关系，是一个比较简单的题目，认真读题会得分．
3、正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：计算题。
分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．
解答：解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，
当CD⊥平面α，这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积，
根据正四面体的性质，面积此时最大，是
当面ABC⊥平面α面积最小是，此时构成的三角形底边是1，
高是正四面体的高面积是，
故答案为：[]
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题．
4、已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面结论中，正确结论的编号是 ①②④ （写出所有正确结论的编号）21世纪教育网
点评：本题考查异面直线的投影及作图方法，用特殊图形解决一般性问题，是一种解题能力，是基础题．
5、关于直角AOB在定平面a 内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是 ①②③④⑤ （注：把你认为是正确判断的序号都填上）．
考点：平行投影及平行投影作图法。
分析：根据直角所在的平面与平面α之间的关系不同，角在α上的射影不同，可以分成三种情况来讨论，当角所在的平面与平面α垂直时，当角所在的平面与平面α平行时，当角所在的平面与平面α不平行也不垂直时，这三种情况可以得到不同的射影．
解答：解：直角AOB在定平面a 内的射影有下列几种情况：21世纪教育网
当角所在的平面与平面α垂直时，
直角的射影可能是0°的角，可能是180°的角，故①⑤正确，
当角所在的平面与平面α平行时，直角的射影可能是直角，故③正确，
当角所在的平面与平面α不平行也不垂直时，平面转到一定角度，
直角的射影可能是锐角或钝角，故②④正确
故答案为：①②③④⑤
点评：本题考查平行投影及平行投影所形成的图形，考查两个平面的不同的位置关系，是一个基础题，这种题目只要掌握平行投影的意义，就可以做出正确结果，再者同学们要勤动手，自己动手演示．
6、正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为 ．
考点：平行投影及平行投影作图法。
分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．，投影面积最大应是线段AB相对的侧棱与投影面平行时取到，投影面的最小值应在正四面体的一面与投影面垂直时取到．
解答：解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形，
由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为×1×1=
当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小，
此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，长度为1，此三角形的高是AB，CD两线之间的距离，取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA=MB=，再取AB中点N，连接MN，此线段长度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN=，此时投影面的面积是××1=，
故投影面的取值范围是
故答案为
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题
7、棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的正投影的面积最大值为 ．21世纪教育网
考点：平行投影及平行投影作图法。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：看出空间四边形AEFG在该正方体的各个面上的投影，看出投影的形状和大小，有两个能够直接做出面积，不能直接作出面积的用正方形面积减去去掉的面积，比较得到结果．
解答：解：空间四边形AEFG在该正方体的下面上的投影是一个等腰三角形，21世纪教育网
腰长是，底边长是面的对角线的一半是，
∴这个投影的面积是，
空间四边形AEFG在该正方体的前后面上的投影是一个四边形，
它的面积是1﹣2×﹣=，
空间四边形AEFG在该正方体的左右面上的投影是一个三角形，
它的面积是，
综上所述面积最大的是，
故答案为：．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查一个空间四边形在不同面上的投影不同，得到的面积也不同，本题需要运算．
8、已知平面α及以下三个几何体，（1）长、宽、高皆不相等的长方体；（2）正四面体；（3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，那么这三个几何体在平面α上的射影可以为正方形的几何体是 （1）（2）（3） （只要填上序号）．
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：阅读型。
分析：（1）长、宽、高皆不相等的长方体，放置在一定的角度上，可以得到正方形，（2）正四面体，光线与底面垂直时，可以得到正方形，（3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，放置在一定的角度上，可以得到正方形，
解答：解：（1）长、宽、高皆不相等的长方体，放置在一定的角度上，可以得到正方形，
（2）正四面体，光线与底面垂直时，可以得到正方形
（3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，放置在一定的角度上，可以得到正方形，
综上可知（1）（2）（3）都可以投影成正方形，21世纪教育网
故答案为：（1）（2）（3）21世纪教育网
点评：本题看出平行投影及平行投影作图法，本题解题的关键是看出所给的几何体与正方形之间的关系，本题是一个基础题．
9、如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则这个广告气球直径是 米．
10、如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是 ①②③ （填出所有可能的序号）．
考点：平行投影及平行投影作图法。
分析：根据平行投影的特点和正方体的性质，得到分别从正方体三个不同的角度来观察正方体，得到三个不同的投影图，逐个检验，得到结果．
解答：解：由题意知光线从上向下照射，得到③，
光线从前向后照射，得到①
光线从左向右照射得到②
故答案为：①②③
点评：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同．
11、在空间直角坐标系O﹣xyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6，其中正摄影都是三角形，则这个多边形的面积为 2 ．
点评：本题考查平行投影问题，几何体的体积，考查学生作图能力，空间想象能力，计算能力，是中档题．
二、选择题（共11小题）
12、下列说法正确的是（ ）
A、矩形的中心投影一定是矩形 B、两条相交直线的平行投影不可能平行
C、梯形的中心投影一定是梯形 D、平行四边形的中心投影一定是梯形
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：阅读型。
分析：根据平行投影的意义知，矩形的中心投影不一定是矩形，两条相交直线的平行投影一定不可能平行，梯形的中心投影不一定是梯形，平行四边形的中心投影不一定是一个梯形，得到结果．
解答：解：矩形的中心投影不一定是矩形，故A不正确，
两条相交直线的平行投影一定不可能平行，故B正确，
梯形的中心投影不一定是梯形，故C不正确，
平行四边形的中心投影不一定是一个梯形，故D不正确，
综上可知，只有B选项正确，
故选B．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查中心投影及中心投影作图法，两种作图法在同一个题目中进行比较，关键是理解两种投影的意义．
13、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（ ）
A、①④ B、②③
C、②④ D、①②
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：综合题。
分析：由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．
解答：解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；21世纪教育网版权所有
从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；
从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；
故选A．
点评：本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．
14、有一条边与一个平面平行的矩形，在此平面内的射影一定是（ ）21世纪教育网版权所有
A、矩形 B、平行四边形
C、矩形或一条线段 D、梯形21世纪教育网版权所有
考点：平行投影及平行投影作图法。
分析：可举例说明有一条边与一个平面平行的矩形，在此平面内的射影可能的图形是什么，正方体是我们常用的载体．
解答：解：
A'B'∥平面ABCD
而矩形A'B'C'D'在底面的射影为矩形，
A'B'BA在底面的射影为一条线段
故选：C
点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及平面内的射影问题，属于基础题．
15、如图所示，O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能 是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：阅读型。
分析：空间四边形OEC1D1在正方体左右面上的正投影是C选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体上下面上的正投影是D选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的正投影是B选项的图形，得到结论．
解答：解：空间四边形OEC1D1在正方体左右面上的正投影是C选项的图形，
空间四边形OEC1D1在正方体上下面上的正投影是D选项的图形，
空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的正投影是B选项的图形，21世纪教育网版权所有
只有A选项不可能是投影，
故选A．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查在同一图形在不同投影面上的投影不同，本题是一个基础题．
16、有一边与平面平行的矩形在此平面内的射影是（ ）21世纪教育网版权所有
A、平行四边形 B、矩形
C、矩形或一条线段 D、以上答案都不对
17、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（ ）
A、两条平行直线 B、一点和一条直线
C、两条相交直线 D、两个点
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：阅读型。
分析：两条不平行的直线，要做这两条直线的平行投影，投影可能是两条平行线，可能是一点和一条直线，可能是两条相交线，不能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系．
解答：解：∵有两条不平行的直线，
∴这两条直线是异面或相交，
其平行投影不可能是两个点，若想出现两个点，
这两条直线需要同时与投影面垂直，
这样两条线就是平行关系．
与已知矛盾．
故选D．
点评：本题考查平行投影与平行投影作图法，考查利用反证法的形式来说明两条直线的投影不可能时两个点，本题是一个基础题．
18、在阳光下一个大球放在水平面上，球的影子伸到距球与地面接触点10米处，同一时刻，一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米，则该球的半径等于（ ）
A、10（﹣2）米 B、（6﹣）米
C、（9﹣4）米 D、5米
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：计算题。
分析：根据一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米知，光线与地面所成的角的正切是，球的光线相切的位置的光线与地面组成的角的正切是，构造直角三角形，根据三角函数定义，得到结果．
解答：解：求所照影子的最远点，距离球的着地点10米，
过这个点有圆的两条切线，
根据一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米知，21世纪教育网版权所有
光线与地面所成的角的正切是
∴球心与最远点的连线把角分成两部分，两个角相等，设为θ，21世纪教育网版权所有
则有，
∴tanθ=﹣2，
在直角三角形中，根据三角函数的定义得到球的半径是r，21世纪教育网版权所有
∴，
∴r=10（﹣2）
故半径为10（）
故选A．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图，考查圆的切线长定理，考查直角三角形的三角函数定义，考查二倍角公式的逆用，是一个综合题目．
19、一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是（ ）
A、线段 B、直线
C、圆 D、梯形
综上知B选项是正确选项
故选B
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，解题的关键是熟练掌握并理解投影的规则，由投影的规则对四个选项作出判断，得出正确选项
20、直角三角形ABC斜边在平面α上，则△ABC在平面α上的正投影（ ）
A、一定不是钝角三角形 B、一定不是直角三角形
C、一定不是锐角三角形 D、一定是三角形
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：常规题型。
分析：根据三角形所在的平面与平面α之间的平行，垂直，相交的不同的位置关系，进行讨论，垂直时三角形在平面上的正投影是一条线段，
不垂直时投影形成钝角三角形，在平面上时形成投影是直角三角形．
解答：解：当三角形所在的平面与平面α垂直时，
三角形在平面上的正投影是一条线段，
当三角形所在的平面与平面不垂直时，
投影形成钝角三角形，
当三角形在平面上时，形成投影是直角三角形，21世纪教育网版权所有
总上可知只有C说法正确，
故选C．
点评：本题考查平行投影及平行投影的作图法，是一个基础题，这种题目需要针对于三角形所在的平面与平面之间不同的关系，展开讨论．
21、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各面上的投影不可能是（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，是一个常见的题目，这种题目不用运算，但是它考查我们的空间想象能力，在一个本题告诉我们物体从不同角度观察结果不同，为三视图做准备．
22、四面体ABCD的棱长都是1，AB∥平面α，则四面体ABCD上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：计算题。
分析：当正四面体绕着与平面平行的一条边AB转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．
解答：解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，21世纪教育网版权所有
由题意当线段AB相对的侧棱CD与投影面平行时投影面积最大，
此时投影是一个对角线长等于正四面体棱长1的正方形，如下图所示：21世纪教育网版权所有
故投影面积为S=×1×1=
当面ABC⊥平面α时，面积取最小值，21世纪教育网版权所有
如下图所示：此时构成的三角形底边是1，高是正四面体两条相对棱之间的距离，故面积是，
故图形面积的取值范围是[]
故选D
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题．
三、解答题（共1小题）
23、ABCD是长方形，四个顶点在平面α上的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合．①求证：A′B′C′D′是平行四边形；②在怎样的情况下，A′B′C′D′是长方形？证明你的结论．
∴A'B'C'D'为平行四边形．
②在ABCD∥α时，A'B'C'D'为长方形．21世纪教育网版权所有
∵ABCD∥α，
∴AA'⊥ABCD，
∴A'A⊥AB，
∴AB⊥面AA'D'D．21世纪教育网版权所有
∵AB∥A'B'，
∴A'B'⊥面AA'D'D，
∴B'A'⊥A'D'，
∴A'B'C'D'为长方形．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查面面平行的判定定理，考查线面垂直的定义，考查面面平行的性质定理，是一个综合题目．
平行投射及平行投射作图法
一、填空题（共11小题）
1、光由一点向外散射形成的投影叫做 _________ ；在一束平行光线照射下形成的投影叫做 _________ ．
2、如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．
（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为 _________ ；
（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是 _________ ．
3、正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 _________ ．
4、已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．21*cnjy*com
在上面结论中，正确结论的编号是 _________ （写出所有正确结论的编号）
5、关于直角AOB在定平面a 内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是 _________ （注：把你认为是正确判断的序号都填上）．
6、正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为 _________ ．21*cnjy*com
7、棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的正投影的面积最大值为 _________ ．21*cnjy*com
8、已知平面α及以下三个几何体，（1）长、宽、高皆不相等的长方体；（2）正四面体；（3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，那么这三个几何体在平面α上的射影可以为正方形的几何体是 _________ （只要填上序号）．21*cnjy*com
9、如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5 米的椭圆，则这个广告气球直径是 _________ 米．
10、如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是 _________ （填出所有可能的序号）．
11、在空间直角坐标系O﹣xyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6，其中正摄影都是三角形，则这个多边形的面积为 _________ ．
二、选择题（共11小题）21*cnjy*com
12、下列说法正确的是（ ）
A、矩形的中心投影一定是矩形
B、两条相交直线的平行投影不可能平行21*cnjy*com
C、梯形的中心投影一定是梯形
D、平行四边形的中心投影一定是梯形
13、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（ ）
A、①④ B、②③
C、②④ D、①②
14、有一条边与一个平面平行的矩形，在此平面内的射影一定是（ ）21*cnjy*com
A、矩形 B、平行四边形
C、矩形或一条线段 D、梯形
15、如图所示，O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能 是（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
16、有一边与平面平行的矩形在此平面内的射影是（ ）
A、平行四边形 B、矩形
C、矩形或一条线段 D、以上答案都不对
17、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（ ）
A、两条平行直线 B、一点和一条直线
C、两条相交直线 D、两个点
18、在阳光下一个大球放在水平面上，球的影子伸到距球与地面接触点10米处，同一时刻，一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米，则该球的半径等于（ ）
A、10（﹣2）米 B、（6﹣）米
C、（9﹣4）米 D、5米
19、一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是（ ）
A、线段 B、直线
C、圆 D、梯形
20、直角三角形ABC斜边在平面α上，则△ABC在平面α上的正投影（ ）
A、一定不是钝角三角形 B、一定不是直角三角形
C、一定不是锐角三角形 D、一定是三角形
21、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各面上的投影不可能是（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、
22、四面体ABCD的棱长都是1，AB∥平面α，则四面体ABCD上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、
三、解答题（共1小题）21cnjy
23、ABCD是长方形，四个顶点在平面α上的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合．①求证：A′B′C′D′是平行四边形；②在怎样的情况下，A′B′C′D′是长方形？证明你的结论．
答案与评分标准
一、填空题（共11小题）
1、光由一点向外散射形成的投影叫做 中心投影 ；在一束平行光线照射下形成的投影叫做 平行投影 ．
考点：中心投影及中心投影作图法；平行投影及平行投影作图法。
专题：阅读型。
分析：根据中心投影和平行投影的定义，填上中心投影和平行投影，中心投影的投影线交于一点，而平行投影的投影线是互相平行的．
解答：解：光由一点向外散射形成的投影叫做中心投影，
在一束平行光线照射下形成的投影叫做平行投影，
故答案为：中心投影；平行投影
点评：本题考查中心投影及中心投影作图法，考查平行投影及平行投影作图法，是一个基础题，只要了解两个投影的定义就可以做出本题．
2、如图，直角坐标系xOy所在平面为α，直角坐标系x′Oy′（其中y′与y轴重合）所在的平面为β，∠xOx′=45°．
（Ⅰ）已知平面β内有一点P′（2，2），则点P′在平面α内的射影P的坐标为 （2，2） ；
（Ⅱ）已知平面β内的曲线C′的方程是（x′﹣）2+2y2﹣2=0，则曲线C′在平面α内的射影C的方程是 （x﹣1）2+y2=1 ．
考点：平行投影及平行投影作图法。21cnjy
专题：计算题。
分析：（I）根据两个坐标系之间的关系，由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，距离y轴的距离变成2cos45°，写出坐标．21cnjy
（II）设出所给的图形上的任意一点的坐标，根据两坐标系之间的坐标关系，写出这点的对应的点，根据所设的点满足所给的方程，代入求出方程．
解答：解：（I）由题意知点P′在平面上的射影P距离x轴的距离不变是2，21cnjy
距离y轴的距离变成2cos45°=2，
∴点P′在平面α内的射影P的坐标为（2，2）
（II）设（x′﹣）2+2y2﹣2=0上的任意点为A（x0，y0），A在平面α上的射影是（x，y）
根据上一问的结果，得到x=x0，y=y0，
∵，
∴
∴（x﹣1）2+y2=1，
故答案为：（2，2）；（x﹣1）2+y2=1
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查两个坐标系之间的坐标关系，是一个比较简单的题目，认真读题会得分．
3、正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是 ．
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：计算题。
分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．
解答：解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，
当CD⊥平面α，这时的投影面等于正四面体的侧视图的面积，
根据正四面体的性质，面积此时最大，是
当面ABC⊥平面α面积最小是，此时构成的三角形底边是1，
高是正四面体的高面积是，
故答案为：[]
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题．
4、已知a、b为不垂直的异面直线，α是一个平面，则a、b在α上的射影有可能是①两条平行直线；②两条互相垂直的直线；③同一条直线；④一条直线及其外一点．
在上面结论中，正确结论的编号是 ①②④ （写出所有正确结论的编号）21世纪教育网
点评：本题考查异面直线的投影及作图方法，用特殊图形解决一般性问题，是一种解题能力，是基础题．
5、关于直角AOB在定平面a 内的射影有如下判断：①可能是0°的角；②可能是锐角；③可能是直角；④可能是钝角；⑤可能是180°的角．其中正确判断的序号是 ①②③④⑤ （注：把你认为是正确判断的序号都填上）．
考点：平行投影及平行投影作图法。
分析：根据直角所在的平面与平面α之间的关系不同，角在α上的射影不同，可以分成三种情况来讨论，当角所在的平面与平面α垂直时，当角所在的平面与平面α平行时，当角所在的平面与平面α不平行也不垂直时，这三种情况可以得到不同的射影．
解答：解：直角AOB在定平面a 内的射影有下列几种情况：21世纪教育网
当角所在的平面与平面α垂直时，
直角的射影可能是0°的角，可能是180°的角，故①⑤正确，
当角所在的平面与平面α平行时，直角的射影可能是直角，故③正确，
当角所在的平面与平面α不平行也不垂直时，平面转到一定角度，
直角的射影可能是锐角或钝角，故②④正确
故答案为：①②③④⑤
点评：本题考查平行投影及平行投影所形成的图形，考查两个平面的不同的位置关系，是一个基础题，这种题目只要掌握平行投影的意义，就可以做出正确结果，再者同学们要勤动手，自己动手演示．
6、正四面体ABCD的棱长为1，棱AB∥平面α，则正四面体上所有点在平面α内的射影所构成的图形面积的取值范围为 ．
考点：平行投影及平行投影作图法。
分析：首先想象一下，当正四面体绕着与平面平行的一条边转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．，投影面积最大应是线段AB相对的侧棱与投影面平行时取到，投影面的最小值应在正四面体的一面与投影面垂直时取到．
解答：解：由题意当线段AB相对的侧棱与投影面平行时投影最大，此时投影是关于线段AB对称的两个等腰三角形，
由于正四面体的棱长都是1，故投影面积为×1×1=
当正四面体的与AB平行的棱与投影面垂直时，此时投影面面积最小，
此时投影面是一个三角形，其底面边长为线段AB的投影，长度为1，此三角形的高是AB，CD两线之间的距离，取CD的中点为M，连接MA，MB可解得MA=MB=，再取AB中点N，连接MN，此线段长度即为AB，CD两线之间的距离，可解得MN=，此时投影面的面积是××1=，
故投影面的取值范围是
故答案为
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题
7、棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，若E，F分别为AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体的面上的正投影的面积最大值为 ．21世纪教育网
考点：平行投影及平行投影作图法。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：看出空间四边形AEFG在该正方体的各个面上的投影，看出投影的形状和大小，有两个能够直接做出面积，不能直接作出面积的用正方形面积减去去掉的面积，比较得到结果．
解答：解：空间四边形AEFG在该正方体的下面上的投影是一个等腰三角形，21世纪教育网
腰长是，底边长是面的对角线的一半是，
∴这个投影的面积是，
空间四边形AEFG在该正方体的前后面上的投影是一个四边形，
它的面积是1﹣2×﹣=，
空间四边形AEFG在该正方体的左右面上的投影是一个三角形，
它的面积是，
综上所述面积最大的是，
故答案为：．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查一个空间四边形在不同面上的投影不同，得到的面积也不同，本题需要运算．
8、已知平面α及以下三个几何体，（1）长、宽、高皆不相等的长方体；（2）正四面体；（3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，那么这三个几何体在平面α上的射影可以为正方形的几何体是 （1）（2）（3） （只要填上序号）．
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：阅读型。
分析：（1）长、宽、高皆不相等的长方体，放置在一定的角度上，可以得到正方形，（2）正四面体，光线与底面垂直时，可以得到正方形，（3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，放置在一定的角度上，可以得到正方形，
解答：解：（1）长、宽、高皆不相等的长方体，放置在一定的角度上，可以得到正方形，
（2）正四面体，光线与底面垂直时，可以得到正方形
（3）底面为平行四边形，但不是菱形和矩形的四棱锥，放置在一定的角度上，可以得到正方形，
综上可知（1）（2）（3）都可以投影成正方形，21世纪教育网
故答案为：（1）（2）（3）21世纪教育网
点评：本题看出平行投影及平行投影作图法，本题解题的关键是看出所给的几何体与正方形之间的关系，本题是一个基础题．
9、如图，一个广告气球被一束入射角为45°的平行光线照射，其投影是一个最长的弦长为5米的椭圆，则这个广告气球直径是 米．
10、如图，点O为正方体ABCD﹣A′B′C′D′的中心，点E为面B′BCC′的中心，点F为B′C′的中点，则空间四边形D′OEF在该正方体的面上的正投影可能是 ①②③ （填出所有可能的序号）．
考点：平行投影及平行投影作图法。
分析：根据平行投影的特点和正方体的性质，得到分别从正方体三个不同的角度来观察正方体，得到三个不同的投影图，逐个检验，得到结果．
解答：解：由题意知光线从上向下照射，得到③，
光线从前向后照射，得到①
光线从左向右照射得到②
故答案为：①②③
点评：本题考查平行投影及平行投影的作图法，考查正方体的性质，本题是一个基础题，是为后面学习三视图做准备，告诉我们从三个不同的角度观察图形结果不同．
11、在空间直角坐标系O﹣xyz中，有一个平面多边形，它在xOy平面的正射影的面积为8，在yOz平面和zOx平面的正射影的面积都为6，其中正摄影都是三角形，则这个多边形的面积为 2 ．
点评：本题考查平行投影问题，几何体的体积，考查学生作图能力，空间想象能力，计算能力，是中档题．
二、选择题（共11小题）
12、下列说法正确的是（ ）
A、矩形的中心投影一定是矩形 B、两条相交直线的平行投影不可能平行
C、梯形的中心投影一定是梯形 D、平行四边形的中心投影一定是梯形
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：阅读型。
分析：根据平行投影的意义知，矩形的中心投影不一定是矩形，两条相交直线的平行投影一定不可能平行，梯形的中心投影不一定是梯形，平行四边形的中心投影不一定是一个梯形，得到结果．
解答：解：矩形的中心投影不一定是矩形，故A不正确，
两条相交直线的平行投影一定不可能平行，故B正确，
梯形的中心投影不一定是梯形，故C不正确，
平行四边形的中心投影不一定是一个梯形，故D不正确，
综上可知，只有B选项正确，
故选B．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查中心投影及中心投影作图法，两种作图法在同一个题目中进行比较，关键是理解两种投影的意义．
13、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为BD1的中点，则△PAC在该正方体各个面上的射影可能是（ ）
A、①④ B、②③
C、②④ D、①②
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：综合题。
分析：由题意需要从三个角度对正方体进行平行投影，首先确定关键点P、A在各个面上的投影，再把它们连接起来，即，△PAC在该正方体各个面上的射影．
解答：解：从上下方向上看，△PAC的投影为①图所示的情况；21世纪教育网版权所有
从左右方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；
从前后方向上看，△PAC的投影为④图所示的情况；
故选A．
点评：本题主要考查了平行投影和空间想象能力，关键是确定投影图得关键点，如顶点等，再一次连接即可得在平面上的投影图，主要依据平行投影的含义和空间想象来完成．
14、有一条边与一个平面平行的矩形，在此平面内的射影一定是（ ）21世纪教育网版权所有
A、矩形 B、平行四边形
C、矩形或一条线段 D、梯形21世纪教育网版权所有
考点：平行投影及平行投影作图法。
分析：可举例说明有一条边与一个平面平行的矩形，在此平面内的射影可能的图形是什么，正方体是我们常用的载体．
解答：解：
A'B'∥平面ABCD
而矩形A'B'C'D'在底面的射影为矩形，
A'B'BA在底面的射影为一条线段
故选：C
点评：本题主要考查了平面与平面之间的位置关系，以及平面内的射影问题，属于基础题．
15、如图所示，O是正方体ABCD﹣A1B1C1D1对角线A1C与AC1的交点，E为棱BB1的中点，则空间四边形OEC1D1在正方体各面上的正投影不可能 是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：阅读型。
分析：空间四边形OEC1D1在正方体左右面上的正投影是C选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体上下面上的正投影是D选项的图形，空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的正投影是B选项的图形，得到结论．
解答：解：空间四边形OEC1D1在正方体左右面上的正投影是C选项的图形，
空间四边形OEC1D1在正方体上下面上的正投影是D选项的图形，
空间四边形OEC1D1在正方体前后面上的正投影是B选项的图形，21世纪教育网版权所有
只有A选项不可能是投影，
故选A．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查在同一图形在不同投影面上的投影不同，本题是一个基础题．
16、有一边与平面平行的矩形在此平面内的射影是（ ）21世纪教育网版权所有
A、平行四边形 B、矩形
C、矩形或一条线段 D、以上答案都不对
17、两条不平行的直线，其平行投影不可能是（ ）
A、两条平行直线 B、一点和一条直线
C、两条相交直线 D、两个点
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：阅读型。
分析：两条不平行的直线，要做这两条直线的平行投影，投影可能是两条平行线，可能是一点和一条直线，可能是两条相交线，不能是两个点，若想出现两个点，这两条直线需要同时与投影面垂直，这样两条线就是平行关系．
解答：解：∵有两条不平行的直线，
∴这两条直线是异面或相交，
其平行投影不可能是两个点，若想出现两个点，
这两条直线需要同时与投影面垂直，
这样两条线就是平行关系．
与已知矛盾．
故选D．
点评：本题考查平行投影与平行投影作图法，考查利用反证法的形式来说明两条直线的投影不可能时两个点，本题是一个基础题．
18、在阳光下一个大球放在水平面上，球的影子伸到距球与地面接触点10米处，同一时刻，一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米，则该球的半径等于（ ）
A、10（﹣2）米 B、（6﹣）米
C、（9﹣4）米 D、5米
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：计算题。
分析：根据一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米知，光线与地面所成的角的正切是，球的光线相切的位置的光线与地面组成的角的正切是，构造直角三角形，根据三角函数定义，得到结果．
解答：解：求所照影子的最远点，距离球的着地点10米，
过这个点有圆的两条切线，
根据一根长1米一端接触地面且与地面垂直的竹竿的影子长为2米知，21世纪教育网版权所有
光线与地面所成的角的正切是
∴球心与最远点的连线把角分成两部分，两个角相等，设为θ，21世纪教育网版权所有
则有，
∴tanθ=﹣2，
在直角三角形中，根据三角函数的定义得到球的半径是r，21世纪教育网版权所有
∴，
∴r=10（﹣2）
故半径为10（）
故选A．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图，考查圆的切线长定理，考查直角三角形的三角函数定义，考查二倍角公式的逆用，是一个综合题目．
19、一图形的投影是一条线段，这个图形不可能是（ ）
A、线段 B、直线
C、圆 D、梯形
综上知B选项是正确选项
故选B
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，解题的关键是熟练掌握并理解投影的规则，由投影的规则对四个选项作出判断，得出正确选项
20、直角三角形ABC斜边在平面α上，则△ABC在平面α上的正投影（ ）
A、一定不是钝角三角形 B、一定不是直角三角形
C、一定不是锐角三角形 D、一定是三角形
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：常规题型。
分析：根据三角形所在的平面与平面α之间的平行，垂直，相交的不同的位置关系，进行讨论，垂直时三角形在平面上的正投影是一条线段，
不垂直时投影形成钝角三角形，在平面上时形成投影是直角三角形．
解答：解：当三角形所在的平面与平面α垂直时，
三角形在平面上的正投影是一条线段，
当三角形所在的平面与平面不垂直时，
投影形成钝角三角形，
当三角形在平面上时，形成投影是直角三角形，21世纪教育网版权所有
总上可知只有C说法正确，
故选C．
点评：本题考查平行投影及平行投影的作图法，是一个基础题，这种题目需要针对于三角形所在的平面与平面之间不同的关系，展开讨论．
21、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AA1，C1D1的中点，G是正方形BCC1B1的中心，则空间四边形AEFG在该正方体各面上的投影不可能是（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，是一个常见的题目，这种题目不用运算，但是它考查我们的空间想象能力，在一个本题告诉我们物体从不同角度观察结果不同，为三视图做准备．
22、四面体ABCD的棱长都是1，AB∥平面α，则四面体ABCD上的所有点在平面α内的射影构成的图形面积的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：平行投影及平行投影作图法。
专题：计算题。
分析：当正四面体绕着与平面平行的一条边AB转动时，不管怎么转动，投影的三角形的一个边始终是AB的投影，长度是1，而发生变化的是投影的高，体会高的变化，得到结果．
解答：解：因为正四面体的对角线互相垂直，且棱AB∥平面α，21世纪教育网版权所有
由题意当线段AB相对的侧棱CD与投影面平行时投影面积最大，
此时投影是一个对角线长等于正四面体棱长1的正方形，如下图所示：21世纪教育网版权所有
故投影面积为S=×1×1=
当面ABC⊥平面α时，面积取最小值，21世纪教育网版权所有
如下图所示：此时构成的三角形底边是1，高是正四面体两条相对棱之间的距离，故面积是，
故图形面积的取值范围是[]
故选D
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，本题是一个计算投影面积的题目，注意解题过程中的投影图的变化情况，本题是一个中档题．
三、解答题（共1小题）
23、ABCD是长方形，四个顶点在平面α上的射影分别为A′、B′、C′、D′，直线A′B′与C′D′不重合．①求证：A′B′C′D′是平行四边形；②在怎样的情况下，A′B′C′D′是长方形？证明你的结论．
∴A'B'C'D'为平行四边形．
②在ABCD∥α时，A'B'C'D'为长方形．21世纪教育网版权所有
∵ABCD∥α，
∴AA'⊥ABCD，
∴A'A⊥AB，
∴AB⊥面AA'D'D．21世纪教育网版权所有
∵AB∥A'B'，
∴A'B'⊥面AA'D'D，
∴B'A'⊥A'D'，
∴A'B'C'D'为长方形．
点评：本题考查平行投影及平行投影作图法，考查面面平行的判定定理，考查线面垂直的定义，考查面面平行的性质定理，是一个综合题目．
