a4面体和旋转体表面上的最短距离问题
一、选择题（共10小题）
1、已知如图：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，交于顶点A的三条棱长别为AD=3，AA1=4，AB=5．一天，小强观察到在A处有一只蚂蚁，发现顶点C1处有食物，于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
2、在半径为1的球内有一内接正四棱柱，正四棱柱的高为，一个动点从正四棱柱的一个顶点出发沿球面运动到达另一个顶点，则经过的最短路程是（ ）21*cnjy*com
A、2π B、π
C、 D、
3、一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线的两个端点为A、B，则经过这个几何体的面，A、B间的最短路程是（ ）
21*cnjy*com
A、5 B、
C、4 D、3
4、连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则MN最大值为（ ）
A、5 B、6
C、7 D、821*cnjy*com
5、如图，正三棱锥S﹣ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（ ）21*cnjy*com
A、2 B、3
C、 D、
6、已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，AC、BD相交于点O，SO⊥面ABCD，SO=2，E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A、 B、
C、 D、
7、长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是（ ）
A、5 B、7
C、 D、21*cnjy*com
8、在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（ ）
A、 B、
C、 D、x≤y
9、如图，S﹣ABC是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，三角形BEF的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（ ）21*cnjy*com
A、30° B、60°21*cnjy*com
C、20° D、90°
10、在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）
A、2πγ B、
C、 D、
二、填空题（共16小题）
11、如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 _________ ．
12、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 _________ ．21*cnjy*com
13、连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为5的球的两条弦AB、CD的长度分别等于8、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则MN的最小值为 _________ ．21*cnjy*com
14、已知球O的半径为R，它的表面上有两点A，B，且，那么A，B两点间的球面距离是 _________ ．
15、如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB=PC，∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°，一绳子从A点绕三棱锥侧面一圈回到点A的最短距离是，则PA= _________ ．21*cnjy*com
16、如图，长方体ABCD﹣A1BlClD1中，AD=3，AAl=4，AB=5，则从A点沿表面到Cl的最短距离为 _________ ．
21*cnjy*com
17、设地球的半径约为6371千米，在赤道圈上有两点A、B，这两点的经度差为120°，则A、B两点的球面距离是 _________ （千米）．（计算结果精确到1千米）
18、正四棱柱的底面边长为a，高为b（a＜b），一蚂蚁从顶点A出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点C1，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为 _________ ．
19、已知圆柱的高为h，底面半径为R，轴截面为矩形A1ABB1，在母线AA1上有一点P，且PA=a，在母线BB1上取一点Q，使B1Q=b，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为 _________ ．
20、已知P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，且，则动点P的轨迹的长度是 _________ ．
21、长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是 _________ ．
22、地球上甲、乙两城市经度均为东经120°，它们的纬度相差60°，地球的半径为R，则甲、乙两城的球面距离为 _________ ．
23、体积为288π的球内有一个内接正三棱锥P﹣ABC，球心恰好在底面正△ABC内，一个动点从P点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程为 _________ ．
24、三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面是边长为1cm 的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为4cm，一个小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，则小虫所行的最短路程为 _________ cm．
25、有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 _________ （结果用π表示）．21*cnjy*com
26、在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个内切球O，则过棱AA1和BC的中点P、Q的直线被球面截在球内的线段MN的长为 _________ ．21*cnjy*com
三、解答题（共4小题）
27、圆台形铁桶的上底半径是10cm，下底半径是15cm，母线是30cm将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片ABCD，求AB间的距离．21*cnjy*com
28、如图，直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=，其容积为10（L），高为4（dm），且在棱AA1和CC1上有D、E两处泄露，DA1=3（dm），EC1=2（dm），则此容器最多能盛水多少．21*cnjy*com
29、如图，圆锥的母线长为4cm，底面直径为2cm．
（1）求圆锥的体积；（2）若在母线SA上取一点B，使得AB=1cm，求由点A绕圆锥一周回到点B的最短距离．
30、已知圆锥的底面半径r=2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为α，且tanα=2
（1）求圆锥的体积；21*cnjy*com
（2）求M，N两点在圆锥侧面上的最短距离．21*cnjy*com
答案与评分标准
一、选择题（共10小题）21*cnjy*com
1、已知如图：长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，交于顶点A的三条棱长别为AD=3，AA1=4，AB=5．一天，小强观察到在A处有一只蚂蚁，发现顶点C1处有食物，于是它沿着长方体的表面爬行去获取食物，则蚂蚁爬行的最短路程是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。21*cnjy*com
分析：分类讨论画出解答几何体的部分侧面展开图，利用直角三角形的边的关系容易解得AB的值，从而得出其中的最小值．21*cnjy*com
解答：解：从长方体的一条对角线的一个端点A出发，沿表面运动到另一个端点B，有三种方案，如图是它们的三种部分侧面展开图，
AB路程可能是：
或，21*cnjy*com
或．
最短路程是：．
答案为：．
故选A．
点评：本题考查空集几何体的三视图，及其侧面展开图，是基础题．
2、在半径为1的球内有一内接正四棱柱，正四棱柱的高为，一个动点从正四棱柱的一个顶点出发沿球面运动到达另一个顶点，则经过的最短路程是（ ）
A、2π B、π
C、 D、
点评：本题考查多面体与旋转体表面上的最短距离，弧长公式，考查了空间想像能力及由图形进行计算的能力，考查了数形结合的思想．21*cnjy*com
3、一个几何体的三视图如图所示，它的一条对角线的两个端点为A、B，则经过这个几何体的面，A、B间的最短路程是（ ）21*cnjy*com
A、5 B、
C、4 D、3
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题；简单空间图形的三视图。21*cnjy*com
专题：计算题；作图题。
分析：画出解答几何体的部分侧面展开图，容易解得AB的最小值．
解答：解：三视图复原几何体是长方体，AB侧面展开图
以及数据如图，所以|AB|的最小值为：
故选B．
点评：本题考查空集几何体的三视图，及其侧面展开图，是基础题．
4、连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB，CD的长度分别等于2，4，M，N分别为AB，CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则MN最大值为（ ）21*cnjy*com
A、5 B、6
C、7 D、8
5、如图，正三棱锥S﹣ABC中，∠BSC=40°，SB=2，一质点自点B出发，沿着三棱锥的侧面绕行一周回到点B的最短路线的长为（ ）21*cnjy*com
A、2 B、3
C、 D、
点评：本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离问题，空间想象能力，几何体的展开与折叠，是基础题．
6、已知四棱锥S﹣ABCD的底面是边长为2的正方形，AC、BD相交于点O，SO⊥面ABCD，SO=2，E是BC的中点，动点P在该棱锥表面上运动，并且总保持PE⊥AC，则动点P的轨迹的周长为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。21cnjy
专题：计算题。
分析：根据题意可知点P的轨迹为三角形EFG，其中G、F为中点，根据中位线定理求出EF、GE、GF，从而求出轨迹的周长．
解答：解：由题意知：点P的轨迹为如图所示的三角形EFG，其中G、F为中点，21cnjy
∴EF=BD=，
GE=GF=SB=，
∴轨迹的周长为+．21cnjy
故选C．
点评：本题主要考查了轨迹问题，以及点到面的距离等有关知识，同时考查了空间想象能力，计算推理能力，属于中档题．
7、长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是（ ）
A、5 B、7
C、 D、21cnjy
解答：解：从A点出发，沿长方体的表面到C′有3条不同的途径，
分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是，，5，
比较三条路径的长度，得到最短的距离是5
答案为：5．21cnjy
故选A．
点评：本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离，考查直角三角形的勾股定理，解答的关键是要分类讨论．
8、在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，，E为AB上一个动点，则D1E+CE的最小值为（ ）
A、 B、21cnjy
C、 D、x≤y
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。21cnjy
专题：计算题。
分析：画出几何体的图形，连接D1A延长至E使得AE=AD，连接C1B延长至F使得BF=BC，连接EF，D1F，则D1F为所求．
解答：解：画出几何体的图形，连接D1A延长至E使得AE=AD，21cnjy
连接C1B延长至F使得BF=BC，连接EF，则ABFE为正方形，
连接D1F，则D1F为D1E+CE的最小值：D1F==
故选B．
点评：本题是中档题，考查正四棱柱表面距离的最小值问题，考查折叠与展开的关系，能够转化为平面上两点的距离是解题的关键，考查空间想象能力，计算能力．
9、如图，S﹣ABC是正三棱锥且侧棱长为a，E，F分别是SA，SC上的动点，三角形BEF的周长的最小值为，则侧棱SA，SC的夹角为（ ）21cnjy
A、30° B、60°
C、20° D、90°
10、在半径为r的球内有一内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好都在同一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程是（ ）
A、2πγ B、
C、 D、
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：计算题。
分析：球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，因此最短的路径分别是经过的各段弧长的和，利用内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，经过的最短路程为：一个半圆一个圆即可解决．21cnjy
解答：解：由题意可知，球面上两点之间最短的路径是大圆（圆心为球心）的劣弧的弧长，
内接正三棱锥，它的底面三个顶点恰好同在一个大圆上，一个动点从三棱锥的21cnjy
一个顶点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，
例如动点从A到S，再到C，到B回到A，
∠SOA=∠SOC=90°，∠COB=∠BOA=60°，
则经过的最短路程为：一个半圆一个圆，21cnjy
即：=
故选B．
点评：本题考查球的内接多面体，球面距离，考查空间想象能力，是中档题．解答的关键是从整体上考虑球面距离的计算．
二、填空题（共16小题）21cnjy
11、如图，已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长为1，高为8，一质点自A点出发，沿着三棱柱的侧面绕行两周到达A1点的最短路线的长为 10 ．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
分析：将三棱柱展开两次如图，不难发现最短距离是六个矩形对角线的连线，
正好相当于绕三棱柱转两次的最短路径．
解答：解：将正三棱柱ABC﹣A1B1C1沿侧棱CC1展开，在拼接一次，
其侧面展开图如图所示，由图中路线可得结
论．
故答案为：1021cnjy
点评：本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，是基础题．
12、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=，BB1=2，∠ABC=90°，E、F分别为AA1、C1B1的中点，沿棱柱的表面从E到F两点的最短路径的长度为 ．21cnjy
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。21cnjy
专题：分类讨论。
分析：分类讨论，若把面ABA1B1和面B1C1BC展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
若把把面ABA1B1和面A1B1C展开在同一个平面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
若把把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，构造直角三角形，由勾股定理得 EF 的长度．
以上求出的EF 的长度的最小值即为所求．21cnjy
解答：解：直三棱柱底面为等腰直角三角形，若把面ABA1B1和面B1C1BC展开在同一个平面内，
线段EF就在直角三角形A1EF中，由勾股定理得 EF===．
若把把面ABA1B1和面A1B1C展开在同一个平面内，设BB1的中点为G，则线段EF就在直角三角形EFG中，
由勾股定理得 EF===．21cnjy
若把把面ACC1A1和面A1B1C1展开在同一个面内，过F作与CC1行的直线，过E作与AC平行的直线，所作的两线交与
点H，则EF就在直角三角形EFH中，由勾股定理得 EF===，
综上，从E到F两点的最短路径的长度为，
故答案为：．
点评：本题考查把两个平面展开在同一个平面内的方法，利用勾股定理求线段的长度，体现了分类讨论的数学思想．
13、连接球面上两点的线段称为球的弦．半径为5的球的两条弦AB、CD的长度分别等于8、，M、N分别为AB、CD的中点，每条弦的两端都在球面上运动，则MN的最小值为 1 ．
14、已知球O的半径为R，它的表面上有两点A，B，且，那么A，B两点间的球面距离是 ．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：计算题。
分析：由已知中球O的半径为R，它的表面上有两点A，B，且，代入弧长公式，即可求出A，B两点间的球面距离．
解答：解：∵球O的半径为R，21cnjy
又∵，
由弦长公式得：21cnjy
l=α?R=
故答案为：
点评：本题考查的知识点是球面距离，其中根据已知条件，结合弧长公式，求出满足条件的大圆距离（弧长）是解答本题的关键．21cnjy
15、如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知PA=PB=PC，∠BPA=∠BPC=∠CPA=40°，一绳子从A点绕三棱锥侧面一圈回到点A的最短距离是，则PA= 1 ．21cnjy
点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，其中将三棱锥的侧面展开，将空间问题转化为平面上两点间距离问题，是解答本题的关键．
16、如图，长方体ABCD﹣A1BlClD1中，AD=3，AAl=4，AB=5，则从A点沿表面到Cl的最短距离为 ．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：数形结合；分类讨论。
分析：A点沿表面到Cl共有三种情况，一是经平面AB1，A1C1，二是经平面AB1，BC1，三是经平面AC，BC1，画出三种情况下|ACl|的图形，并利用勾股定理进行求解，最后比较三个结果，最小的即为答案．
解答：解：从A点沿表面到Cl的情况可以分为以下三种：21cnjy
①与A1B1相交，如下图示：21cnjy
此时ACl=
②与BB1相交，如下图示：21cnjy
此时ACl=
③与BC相交，如下图示：
此时ACl=
综上，从A点沿表面到Cl的最短距离为
故答案为：
点评：本题考查的知识点是多面体表面上的最短距离问题，利用数形结合的思想，让问题更直观是解答本题的关键．
17、设地球的半径约为6371千米，在赤道圈上有两点A、B，这两点的经度差为120°，则A、B两点的球面距离是 13343 （千米）．（计算结果精确到1千米）
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：计算题。
分析：由已知中地球的半径约为6371千米，在赤道圈上有两点A、B，这两点的经度差为120°，代入弧长公式，易求出A、B两点的球面距离．
解答：解：∵地球的半径约为6371千米，
在赤道圈上有两点A、B，这两点的经度差为120°，21cnjy
∴A、B两点的球面距离l==≈1334321cnjy
故答案为：13343
点评：本题考查的知识点是多面体和旋转体表面上的最短距离问题，其中正确理解球的大圆半径等于球的半径，是解答本题的关键．21cnjy
18、正四棱柱的底面边长为a，高为b（a＜b），一蚂蚁从顶点A出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点C1，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为 ．21cnjy
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：计算题；作图题。
分析：由题意可知一蚂蚁从顶点A出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点C1，那么这只蚂蚁所走过的最短路程就是，侧面展开图中AC1的距离．利用勾股定理求解即可．
解答：解：画出棱柱以及侧面展开图，如图，因为正四棱柱的底面边长为a，高为b（a＜b），
一蚂蚁从顶点A出发，沿正四棱柱的表面爬到顶点C1，那么这只蚂蚁所走过的最短路程为：
=．
故答案为：．
点评：本题是基础题，考查棱柱的侧面展开图的应用，注意棱柱的高与底面边长的关系，否则需要讨论．考查计算能力．
19、已知圆柱的高为h，底面半径为R，轴截面为矩形A1ABB1，在母线AA1上有一点P，且PA=a，在母线BB1上取一点Q，使B1Q=b，则圆柱侧面上P、Q两点的最短距离为 ．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：计算题。
分析：根据两点之间，线段最短．首先要把圆柱的半个侧面展开，是一个长为πR，宽是h的矩形．然后展开图形根据勾股定理即可得．
解答：解：如图，把圆柱的半个侧面展开，是一个长为πR，宽是h的矩形21世纪教育网
QB1=b，PA=a，过P作PE⊥BB1，E为垂足，
即可把PQ放到一个直角边是πR和h﹣a﹣b的直角三角形PQE中，21世纪教育网
根据勾股定理得：
PQ=．
故答案为：．
点评：本题主要考查了多面体和旋转体表面上的最短距离问题，注意求曲面上两点间的最短距离时，一定要把它展开到一个平面上进行计算．21世纪教育网
20、已知P是棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1表面上的动点，且，则动点P的轨迹的长度是 ．
∴这条轨迹的长度是：3×=
故答案为：．
点评：本题考查直角正方体中的线段的关系，弧长公式的应用．本题中这条曲线是以A为球心，以为半径的球与正方体表面的交线．
21、长方体三条棱长分别是AA′=1，AB=2，AD=4，则从A点出发，沿长方体的表面到C′的最短矩离是 5 ．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：计算题。
分析：从A点出发，沿长方体的表面到C′有3条不同的途径，分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是，，5，比较结果，得到结论．
解答：解：从A点出发，沿长方体的表面到C′有3条不同的途径，
分别从与顶点A相邻的三个面出发，根据勾股定理得到长度分别是，，5，
比较三条路径的长度，得到最短的距离是5
故答案为：5．
点评：本题考查多面体和旋转体表面上的最短距离，考查直角三角形的勾股定理，考查分类讨论思想，考查利用几何知识解决实际问题的能力，是一个综合题目，
22、地球上甲、乙两城市经度均为东经120°，它们的纬度相差60°，地球的半径为R，则甲、乙两城的球面距离为 R ．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：计算题。
分析：令地球球心为O，地球上A点的纬度为α，代表OA与赤道面的夹角为α，与地轴的夹角为90°﹣α．所以甲乙同经度时，纬度相差60度，就代表O甲和O乙之间的夹角为60度，即甲乙在球面大圆上构成劣弧的圆心角为60°．由此能求出甲乙两城球面距离．21世纪教育网
解答：解：令地球球心为O，21世纪教育网
地球上A点的纬度为α，
代表OA与赤道面的夹角为α，与地轴的夹角为90°﹣α，21世纪教育网
所以甲乙同经度时，纬度相差60度，
就代表O甲和O乙之间的夹角为60度，
即甲乙在球面大圆上构成劣弧的圆心角为60°，
所以甲乙球面距离为d=．
故答案为：．
点评：本题考查甲、乙两城的球面距离，解题时要认真审题，仔细解答，解题的关键是求出甲乙在球面大圆上构成劣弧的圆心角为60°．
23、体积为288π的球内有一个内接正三棱锥P﹣ABC，球心恰好在底面正△ABC内，一个动点从P点出发沿球面运动，经过其余三点后返回，则经过的最短路程为 14π ．
又球的体积是288π，即有=288π，解得r=6
经过的最短路程是（+++）×6=14π
故答案为14π
点评：本题考查多面体与旋转体表面上的最短距离，球的体积公式，弧长公式，解题的关键是理解此小球的运动过程，得出小球经过的最短距离是四段弧的长度和，本题考查了空间想像能力及由图形进行计算的能力，考查了数形结合的思想
24、三棱柱ABC﹣A′B′C′的底面是边长为1cm 的正三角形，侧面是长方形，侧棱长为4cm，一个小虫从A点出发沿表面一圈到达A′点，则小虫所行的最短路程为 5 cm．21世纪教育网
点评：本题考查棱柱的结构特征，空间想象能力，几何体的展开与折叠，是基础题．
25、有一根高为3π，底面半径为1的圆柱形铁管，用一段铁丝在铁管上缠绕2圈，并使铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则铁丝的最短长度为 5π （结果用π表示）．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题。
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是圆柱的结构特征，数形结合思想、转化思想在空间问题中的应用，由圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形，然后根据平面上求两点间距离最小值的办法，即可求解．
解答：解：∵圆柱型铁管的高为3π，底面半径为1，
又∵铁丝在铁管上缠绕2圈，且铁丝的两个端点落在圆柱的同一母线的两端，
则我们可以得到将圆柱面展开后得到的平面图形如下图示：
其中每一个小矩形的宽为圆柱的周长2πcm，高为圆柱的高3π，
则大矩形的对称线即为铁丝的长度最小值．
此时铁丝的长度最小值为：=5π
故答案为：5π．
点评：解答本题的关键是要把空间问题转化为平面问题，另外使用数形结合的思想用图形将满足题目的几何体表示出来，能更加直观的分析问题，进而得到答案．
26、在棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1内有一个内切球O，则过棱AA1和BC的中点P、Q的直线被球面截在球内的线段MN的长为 ．
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题；棱柱的结构特征。
专题：计算题。
分析：如图连接OP，OQ，OM，作OE⊥PQ，△OPQ为等腰三角形，求出OP，OE，然后求出MN=2ME的长度即可．
解答：解：连接OP，OQ，OM，作OE⊥PQ，如图，易知△OPQ为等腰三角形，|OP|=|OQ|=，
可求得0到PQ的距离为，
PQ的直线被球面截在球内的线段的长为：21世纪教育网
故答案为：．
点评：本题是基础题，考查学生作图能力和算能力，空间想象能力．解题的关键在于两次使用勾股定理．
三、解答题（共4小题）21世纪教育网
27、圆台形铁桶的上底半径是10cm，下底半径是15cm，母线是30cm将铁桶的侧面沿一条母线剪开，铺平如图中的扇形铁片ABCD，求AB间的距离．21世纪教育网
28、如图，直三棱柱容器ABC﹣A1B1C1中，∠ACB=，其容积为10（L），高为4（dm），且在棱AA1和CC1上有D、E两处泄露，DA1=3（dm），EC1=2（dm），则此容器最多能盛水多少．21世纪教育网版权所有
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题；棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：利用体积求出底面面积，然后求出VB﹣ADEC的体积，再求下部体积即可．21世纪教育网版权所有
解答：解：由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=
VABC﹣A1B1C1=S△ABC?AA1
=?AC?BC?4=10，得：AC?BC=5（4分）21世纪教育网版权所有
VB﹣ADEC=S△ADEC?BC
=?（AD+CE）?AC?BC=2.5（4分）
此容器最多能盛水：VABC﹣A1B1C1﹣VB﹣ADEC=7.5（L）．（4分）
点评：本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，是基础题．
29、如图，圆锥的母线长为4cm，底面直径为2cm．
（1）求圆锥的体积；（2）若在母线SA上取一点B，使得AB=1cm，求由点A绕圆锥一周回到点B的最短距离．
点评：考查圆锥的体积、圆锥侧面展开图中两点间距离的求法；把立体几何转化为平面几何来求是解决本题的突破点．
30、已知圆锥的底面半径r=2，半径OM与母线SA垂直，N是SA中点，NM与高SO所成的角为α，且tanα=2
（1）求圆锥的体积；
（2）求M，N两点在圆锥侧面上的最短距离．21世纪教育网版权所有
考点：多面体和旋转体表面上的最短距离问题；旋转体（圆柱、圆锥、圆台）。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：（1）设OA中点C，连接NC、CM，利用直线与平面所成角的定义得∠MNC即为NM与高SO所成的角α再结合条件解三角形得出高长，最后利用锥体体积公式求得圆锥的体积；
（2）最短距离的问题首先应转化为圆锥的侧面展开图的问题，转化为平面上两点间的距离的问题．需先算出圆锥侧面展开图的扇形半径．看如何构成一个三角形，然后根据余弦定理进行计算．
解答：解：（1）设OA中点C，连接NC、CM，则NC∥SO，
故∠MNC即为NM与高SO所成的角α，（2分）
又NC⊥MC且tanα=2所以MC=2NC=SO，（4分）
又，即，（5分）
从而圆锥的体积（7分）
（2）作圆锥的侧面展开图，线段MN即为所求最短距离．（8分）
由已知OM⊥SO，OM⊥SA?OM⊥OA，
故M是弧AB的中点，即M是扇形弧的点．（10分）21世纪教育网版权所有
因为扇形弧长即为圆锥底面周长4π，
由（1）知，所以母线SA=3，21世纪教育网版权所有
从而扇形的中心角为，所以（12分）
在三角形MSA中，由余弦定理得（14分）21世纪教育网版权所有
点评：本题考查了求圆锥的体积、多面体和旋转体表面上的最短距离问题，主要根据几何体的结构特征、直角三角形、题中的条件，求出锥体的母线长和高，进而求出对应的值，考查了分析和解决问题的能力．本题需注意最短距离的问题最后都要转化为平面上两点间的距离的问题．
