棱锥、棱台的体积
一、选择题（共20小题）
1、四面体的一条棱长为x，其余棱长均为1，体积为f（x），则函数y=f（x）在其定义域上（ ）
A、是增函数但无最大值 B、是增函数且有最大值21世纪教育网版权所有
C、不是增函数且无最大值 D、不是增函数但有最大值
2、已知球O的半径是R，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离分别为，则四面体OABC的体积为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
3、如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F在线段AB上，点M在线段B1C1上，点N在线段C1D1上，且EF=1，D1N=x，AE=y，M是B1C1的中点，则四面体MNEF的体积（ ）21世纪教育网版权所有
A、与x有关，与y无关 B、与x无关，与y无关
C、与x无关，与y有关 D、与x有关，与y有关
4、已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长均为2，高为3，点M在线段AA1上，且AM=1，点N、P分别在线段BB1、CC1上，且NP∥BC，若平面MNP把三棱柱分成体积相等的两部分，则BN的长为（ ）
A、2 B、
C、 D、21世纪教育网版权所有
5、在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱AA1，BB1上的点，且知BB0：B0B1=3：2，过A0，B0，C1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为2：1，则AA0：A0A1=（ ）
A、2：3 B、4：3
C、3：2 D、1：1
6、正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（ ）
A、1：4 B、3：8
C、1：2 D、2：3
7、用一些棱长是1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图（或正视图），若这个几何体的体积为7cm3，则其左视图为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
8、已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A、3 B、221世纪教育网版权所有
C、 D、1
9、己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、
10、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y（x，y大于零），则三棱锥P﹣EFQ的体积（ ）
A、与x，y都有关 B、与x，y都无关21世纪教育网版权所有
C、与x有关，与y无关 D、与y有关，与x无关
11、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）21世纪教育网版权所有
A、与x，y，z都有关 B、与x有关，与y，z无关
C、与y有关，与x，z无关 D、与z有关，与x，y无关21世纪教育网版权所有
12、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、
C、 D、
13、正六棱锥P﹣ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比为（ ）
A、1：1 B、1：2
C、2：1 D、3：221世纪教育网版权所有
14、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网
15、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）
A、 B、21世纪教育网
C、 D、
16、两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、无穷多个
17、如图，在体积为1的三棱锥A﹣BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O﹣BCD的体积等于（ ）
A、 B、
C、 D、
18、在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ）
A、 B、21世纪教育网版权所有
C、 D、
19、已知高为3的直棱柱ABC﹣?A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1﹣ABC的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网版权所有
20、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共5小题）
21、已知x﹣2＞0，函数的最小值是 _________ ．
22、一个边长为10 cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．则这个容器侧面积S表示成x的函数为 _________ ．当x=6时，这个容器的容积为 _________ cm3．
21世纪教育网
23、如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是 _________ ．21世纪教育网
24、四面体A﹣BCD中，AB=CD=1，其余各棱长均为2，则VA﹣BCD=_ _________ ．
25、正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为 _________ ．21世纪教育网
三、解答题（共5小题）
26、（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．
（2）求，21世纪教育网
（3）求函数y=的定义域．
（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．21世纪教育网
（5）计算：的值．
27、工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5：2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）
28、如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去边长为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱，容积为V，并规定：铁皮箱的高度x与底面正方形的边长的比值不超过正常数c，求V的最大值，并写出相应的x的值．
29、如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=，若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10（L），高为4（dm），盛水时发现在D、E两处有泄露，且D、E分别在棱AA1和CC1上，DA1=3（dm），EC1=2（dm）．试问现在此容器最多能盛水多少？
30、如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=，若AC=3（dm），BC=4（dm），AA1=4（dm），D、E分别在棱AA1和CC1上，且DA1=3（dm），EC1=2（dm），若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，且在D、E两处发生泄露，试问现在此容器最多能盛水多少（L）？21世纪教育网
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、四面体的一条棱长为x，其余棱长均为1，体积为f（x），则函数y=f（x）在其定义域上（ ）
A、是增函数但无最大值 B、是增函数且有最大值21世纪教育网
C、不是增函数且无最大值 D、不是增函数但有最大值
考点：函数与方程的综合运用；棱柱、棱锥、棱台的体积。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由题意画出三棱锥的图形，取BC，AD的中点分别为E，F，求出AED的面积，然后求出棱锥的体积．
解答：解：由题意画出棱锥的图形，AB=BC=CD=BD=AC=1，AD=x；21世纪教育网
取BC，AD的中点分别为E，F，
可知平面AED垂直BC，S△AED=21世纪教育网
EF=
所以
由于≤×=
故函数y=f（x）在其定义域不是增函数但有最大值．
故选D．
点评：本题是基础题，考查空间想象能力，计算能力，本题的关键是棱锥的转化为两个棱锥，底面AED的处理是解题的关键．
2、已知球O的半径是R，A、B、C是球面上三点，且A与B、A与C、B与C的球面距离分别为，则四面体OABC的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
点评：本题考查求三棱锥的体积，解题过程中用到了换顶点的技巧，换顶点的目的是为了更方便用体积公式求值，立体几何中求体积时注意使用这一技巧．
3、如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为3，点E，F在线段AB上，点M在线段B1C1上，点N在线段C1D1上，且EF=1，D1N=x，AE=y，M是B1C1的中点，则四面体MNEF的体积（ ）21世纪教育网
A、与x有关，与y无关 B、与x无关，与y无关
C、与x无关，与y有关 D、与x有关，与y有关
考点：组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：分析：由棱长为3的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是棱AB上的一条线段，且EF=1，M是B1C1的中点，点N是棱C1D1上动点，由于M点到EF的距离固定，故底面积S△MEF的大小于EF点的位置没有关系，又根据C1D1∥EF得到C1D1与面MEF平行，则点N的位置对四面体MNEF的体积的没有影响，进而我们易判断四面体MNEF的体积所具有的性质．
解答：解：连接MA，则MA到为M点到AB的距离，
又∵EF=1，故S△MEF为定值，
又∵C1D1∥AB，则由线面平行的判定定理易得
C1D1∥面MEF，
又由N是棱C1D1上动点，故N点到平面MEF的距离也为定值，
即四面体MNEF的底面积和高均为定值
故四面体MNEF的体积为定值，与x无关，与y无关．
故选B．
点评：点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，其中根据空间中点、线、面之间的位置关系及其性质，判断出四面体PQEF的底面积和高均为定值，是解答本题的关键．
4、已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长均为2，高为3，点M在线段AA1上，且AM=1，点N、P分别在线段BB1、CC1上，且NP∥BC，若平面MNP把三棱柱分成体积相等的两部分，则BN的长为（ ）21世纪教育网
A、2 B、
C、 D、
考点：棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由已知三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长均为2，高为3，我们易求出三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积，又由平面MNP把三棱柱分成体积相等的两部分，则我们可以求出几何体ABC﹣MNP的体积，由于该几何体是一个棱柱和四棱锥组成的组合体，由此我们我们要以构造一个关于BN的方程，解方程即可求出BN的长．
解答：解：∵三棱柱ABC﹣A1B1C1的底面边长均为2，高为3，21世纪教育网
则三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积V==
若平面MNP把三棱柱分成体积相等的两部分
则几何体ABC﹣MNP的体积VABC﹣MNP=
又∵VABC﹣MNP=+
∴BN=21世纪教育网
故选C
点评：本题考查的知识点是棱柱的几何结构特征，棱柱、棱锥、棱台的体积，其中根据几何体ABC﹣MNP是一个棱柱和四棱锥组成的组合体，结合棱柱和棱锥体积公式构造一个关于BN的方程，是解答本题的关键．
5、在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，A0，B0，分别为侧棱AA1，BB1上的点，且知BB0：B0B1=3：2，过A0，B0，C1的截面将三棱柱分成上下两个部分体积之比为2：1，则AA0：A0A1=（ ）21cnjy
A、2：3 B、4：3
C、3：2 D、1：1
AAO+BBO=AOA1+BOB1，设侧棱长为a，
，AA1=a，AAO=ak，AOA1=a（1﹣k），21世纪教育网
BBO=，BOB1=，
=a（1﹣k）﹣ak，k=，21世纪教育网
=，
=．
故选A．
点评：本题考查棱柱的结构特征，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
6、正四棱锥P﹣ABCD，B1为PB的中点，D1为PD的中点，则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是（ ）
A、1：4 B、3：821世纪教育网
C、1：2 D、2：3
考点：简单组合体的结构特征；棱台的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：如图，棱锥A﹣B1CD1，的体积可以看成正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，利用底面与高之间的关系得出棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD，的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积=正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3×个正四棱锥P﹣ABCD的体积，最终得到则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比．
解答：解：如图，棱锥A﹣B1CD1，的体积可以看成是正四棱锥P﹣ABCD的体积减去角上的四个小棱锥的体积得到，21cnjy
因为B1为PB的中点，D1为PD的中点，
∴棱锥B1﹣ABC，的体积和棱锥D1﹣ACD，的体积都是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，
棱锥C﹣PB1D1，的体积与棱锥A﹣PB1D1的体积之和是正四棱锥P﹣ABCD的体积的，
则中间剩下的棱锥A﹣B1CD1的体积
=正四棱锥P﹣ABCD的体积﹣3×个正四棱锥P﹣ABCD的体积21cnjy
=个正四棱锥P﹣ABCD的体积
则两个棱锥A﹣B1CD1，P﹣ABCD的体积之比是1：4．21cnjy
故选A．
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，利用分割法进行分割，是解题的关键．
7、用一些棱长是1cm的小正方体码放成一个几何体，图1为其俯视图，图2为其主视图（或正视图），若这个几何体的体积为7cm3，则其左视图为（ ）
A、 B、
C、 D、
解好本题的关键．
8、已知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点，AB=，∠ASC=∠BSC=30°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A、3 B、2
C、 D、1
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD，说明SC是球的直径，利用余弦定理，三角形的面积公式求出S△SCD，和棱锥的高AB，即可求出棱锥的体积．
解答：解：设球心为点O，作AB中点D，连接OD，CD 因为线段SC是球的直径，
所以它也是大圆的直径，则易得：∠SAC=∠SBC=90°
所以在Rt△SAC中，SC=4，∠ASC=30° 得：AC=2，SA=2
又在Rt△SBC中，SC=4，∠BSC=30° 得：BC=2，SB=2则：SA=SB，AC=BC
因为点D是AB的中点所以在等腰三角形ASB中，SD⊥AB且SD===
在等腰三角形CAB中，CD⊥AB且CD===
又SD交CD于点D 所以：AB⊥平面SCD 即：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB?S△SCD，
因为：SD=，CD=，SC=4 所以由余弦定理得：cos∠SDC=（SD2+CD2﹣SC2）=（+﹣16）==
则：sin∠SDC==21cnjy
由三角形面积公式得△SCD的面积S=SD?CD?sin∠SDC==3
所以：棱锥S﹣ABC的体积：V=AB?S△SCD==21cnjy
故选C
点评：本题是中档题，考查球的内接棱锥的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，有难度的题目，常考题型．
9、己知球的直径SC=4，A，B是该球球面上的两点．AB=2，∠ASC=∠BSC=45°，则棱锥S﹣ABC的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体。21cnjy
专题：计算题。
分析：由题意求出SA=AC=SB=BC=2，∠SAC=∠SBC=90°，说明球心O与AB的平面与SC垂直，求出OAB的面积，即可求出棱锥S﹣ABC的体积．
解答：解：如图：由题意求出SA=AC=SB=BC=2，
∠SAC=∠SBC=90°，所以平面ABO与SC垂直，则
进而可得：VS﹣ABC=VC﹣AOB+VS﹣AOB，
所以棱锥S﹣ABC的体积为：=．21cnjy
故选C．
点评：本题是基础题，考查球的内接三棱锥的体积，考查空间想象能力，计算能力，球心O与AB的平面与SC垂直是本题的解题关键，常考题型．
10、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上．点Q是CD的中点，动点P在棱AD上，若EF=1，DP=x，A1E=y（x，y大于零），则三棱锥P﹣EFQ的体积（ ）
21cnjy
A、与x，y都有关 B、与x，y都无关
C、与x有关，与y无关 D、与y有关，与x无关21cnjy
点评：本题考查空间几何体的结构特征和棱锥的体积问题，同时考查学生分析问题的能力以及空间想象能力．
11、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，动点E、F在棱A1B1上，动点P，Q分别在棱AD，CD上，若EF=1，A1E=x，DQ=y，DP=z（x，y，z大于零），则四面体PEFQ的体积（ ）
A、与x，y，z都有关 B、与x有关，与y，z无关21cnjy
C、与y有关，与x，z无关 D、与z有关，与x，y无关
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：动点型；运动思想。
分析：四面体PEFQ的体积，找出三角形△EFQ面积是不变量，P到平面的距离是变化的，从而确定选项．
解答：解：从图中可以分析出，△EFQ的面积永远不变，为面A1B1CD面积的，
而当P点变化时，它到面A1B1CD的距离是变化的，因此会导致四面体体积的变化．
故选D．
点评：本题考查棱锥的体积，在变化中寻找不变量，是中档题．
12、若正方体的棱长为，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸多面体的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：由题意可知，凸多面体为八面体，八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥，求出棱锥的体积，即可求出八面体的体积．
解答：解：所求八面体体积是两个底面边长为1，高为的四棱锥的体积和，
一个四棱锥体积V1=×1×=，
故八面体体积V=2V1=．21cnjy
故选B．
点评：本题是基础题，开心棱锥的体积，正方体的内接多面体，体积的求法常用转化思想，变为易求的几何体的体积，考查计算能力．
13、正六棱锥P﹣ABCDEF中，G为PB的中点，则三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比为（ ）
A、1：1 B、1：2
C、2：1 D、3：221cnjy
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题；转化思想。
分析：由于G是PB的中点，故P﹣GAC的体积等于B﹣GAC的体积；求出DH=2BH，即可求出三棱锥D﹣GAC与三棱锥P﹣GAC体积之比．
解答：解：由于G是PB的中点，故P﹣GAC的体积等于B﹣GAC的体积21cnjy
在底面正六边形ABCDER中
BH=ABtan30°=AB
而BD=AB
故DH=2BH
于是VD﹣GAC=2VB﹣GAC=2VP﹣GAC故选C．
点评：本题考查棱锥的体积计算，考查转化思想，是基础题．
14、若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是有一个内角为60°的菱形，则该棱柱的体积等于（ ）
A、 B、
C、 D、
点评：此题重点考查立体几何中的最小角定理和柱体体积公式，同时考查空间想象能力；具有较强的空间想象能力，准确地画出图形是解决此题的前提，熟悉最小角定理并能准确应用是解决此题的关键．
15、一个正三棱锥的四个顶点都在半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正三棱锥的体积是（ ）21*cnjy*com
A、 B、21cnjy
C、 D、
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题；综合题。
分析：由题意确定正三棱锥的顶点到底面的距离为1，求出正三棱柱的棱长，求出底面面积，然后可得体积．
解答：解：由题意易知正三棱锥的顶点到底面的距离为1．21*cnjy*com
∵底面是正三角形且球半径为1．
∴底面边长为，21*cnjy*com
∴底面积为，
∴V=××1=．
故选C．
点评：本题考查球的内接体的体积，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
16、两相同的正四棱锥组成左图所示的几何体，可放棱长为1的正方体内，使正四棱锥的底面ABCD与正方体的某一个平面平行，且各顶点均在正方体的面上，则这样的几何体体积的可能值有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、无穷多个
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：探究型。
分析：由题意可知本题是图形转换类型的题，需要把几何体进行转换，即可得到答案．
解答：解：由于两个正四棱锥相同，所以所求几何体的中心在正四棱锥底面正方形ABCD中心，
由对称性知正四棱锥的高为正方体棱长的一半，影响几何体体积的只能是正四棱锥底面正方形ABCD的面积，
问题转化为边长为1的正方形的内接正方形有多少种，无穷多个．21*cnjy*com
故选D．
点评：正方体是大家熟悉的几何体，它的一些内接或外接图形需要一定的空间想象能力，要学会将空间问题向平面问题转化，考查空间想象能力，以及正四棱锥的体积．
17、如图，在体积为1的三棱锥A﹣BCD侧棱AB、AC、AD上分别取点E、F、G，使AE：EB=AF：FC=AG：GD=2：1，记O为三平面BCG、CDE、DBF的交点，则三棱锥O﹣BCD的体积等于（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
则，
所以，PN∥BC
那么，亦即，设GQ=x
那么，GT=x
则，QT=GQ﹣GT=x﹣而，所以：
则，TO=QT=x=
所以：GO=GT+TO=所以，OQ=GQ﹣GO=x﹣
又，
所以，…（2）21*cnjy*com
且，
所以：…（3）
由（2）*（3）得到：代入到（1）得到：21*cnjy*com
三棱锥O﹣BCD的体积就是
点评：本题考查学生对三棱锥的认识，以及必要的辅助线的作法，是难题．
18、在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，若AB=2，A A1=1，则点A到平面A1BC的距离为（ ）
A、 B、
C、 D、
解答：解：设点A到平面A1BC的距离为h，则三棱锥的体积为
即21*cnjy*com
∴
∴．
故选：B．
点评：本题求点到平面的距离，可以转化为三棱锥底面上的高，用体积相等法，容易求得．“等积法”是常用的求点到平面的距离的方法．21*cnjy*com
19、已知高为3的直棱柱ABC﹣?A1B1C1的底面是边长为1的正三角形（如图），则三棱锥B1﹣ABC的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：由直棱柱推知三棱锥B1﹣ABC与直棱柱同高，同底，再由体积公式求解．
解答：解：根据题意：
∵棱柱ABC﹣?A1B1C1为直棱柱
∴高为B1B2的长度，底为
∴．
故选D．
点评：本题主要考查直棱柱的基本特征及从中截取的几何体与原几何体的关系．
20、正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，则此三棱锥的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：先求正三棱锥的侧棱长，然后求出体积．
解答：解：由题意正三棱锥的底面边长为2，侧面均为直角三角形，
可知：侧棱长为，三条侧棱两两垂直，
所以此三棱锥的体积为
故选C．
点评：本题考查棱锥的体积，考查学生的空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．
二、填空题（共5小题）
21、已知x﹣2＞0，函数的最小值是 4 ．21*cnjy*com
考点：函数的最值及其几何意义；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：由x﹣2＞0知函数=（x﹣2）++2．
解答：解：∵x﹣2＞0，
∴函数=（x﹣2）++221*cnjy*com
．
答案：4．
点评：本题考查函数的最值，解题时要注意均值勤不等式的应用．
22、一个边长为10 cm的正方形铁片，把图中所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器．则这个容器侧面积S表示成x的函数为 S=10x（0＜x＜10） ．当x=6时，这个容器的容积为 48 cm3．
点评：本题考查函数的模型的选择与应用，本题解题的关键是根据所给的数据，表示出四棱锥的表面积和体积，注意自变量的取值范围．
23、如图，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰三角形，如果直角三角形的直角边成为1，那么这个几何体的表面积是 ．21*cnjy*com
考点：由三视图求面积、体积；棱柱、棱锥、棱台的体积。21*cnjy*com
专题：图表型。
分析：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，根据三视图的数据，求出三棱锥的表面积即可．
解答：解：由题意可知三视图复原的几何体是三棱锥，正方体的一个角，
所以几何体的表面积为：3个等腰直角三角形与一个等边三角形的面积的和，21*cnjy*com
即：3×=．
故答案为：．
点评：本题考查由三视图求几何体的表面积，考查由三视图还原直观图形，考查四棱锥的表面积，本题是一个基础题．
24、四面体A﹣BCD中，AB=CD=1，其余各棱长均为2，则VA﹣BCD=_ ．
又四面体A﹣BCD的体积是长方体体积的．21*cnjy*com
故答案为：．
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，构造长方体是解题的难点．21*cnjy*com
25、正方体中，连接相邻两个面的中心的连线可以构成一个美丽的几何体．若正方体的边长为1，则这个美丽的几何体的体积为 ．
考点：组合几何体的面积、体积问题；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，一个正四棱锥的高等于正方体棱长的一半，正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是，做出正四棱锥的体积，得到正八面体的体积21*cnjy*com
解答：解：∵正方体的棱长是1，
构成的八面体可以看作是由两个正四棱锥组成，
以上面一个正四棱锥为例，
它的高等于正方体棱长的一半，
正四棱锥的底面边长根据勾股定理可知是，
∴这个正四棱锥的体积是=
∴构成的八面体的体积是2×=
故答案为：．
点评：本题考查棱锥的体积，考查正方体的内接体问题，考查计算能力，是基础题．
三、解答题（共5小题）
26、（1）分解因式：x2﹣2xy+y2+2x﹣2y﹣3．21*cnjy*com
（2）求，
（3）求函数y=的定义域．21*cnjy*com
（4）已知直圆锥体的底面半径等于1cm，母线的长等于2cm，求它的体积．
（5）计算：的值．21*cnjy*com
考点：对数函数的定义域；根式与分数指数幂的互化及其化简运算；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：（1） 把（x﹣y）看做一个整体，整式即：（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3
（2）应用特殊角的三角函数值．
（3）分母不为0，对数的真数大于0．21*cnjy*com
（4）先求出圆锥的高，代入体积公式计算．
（5）使用分数指数幂的运算法则化简每一项，然后合并同类项．
解答：解：（1）原式=（x﹣y）2+2（x﹣y）﹣3=（x﹣y﹣1）（x﹣y+3）
（2）原式=﹣0+1﹣=
（3）∵25﹣5x＞0，且x+1≠0．∴x＜2且x≠﹣1，∴所求定义域为：（﹣∞，﹣1）∪（﹣1，2）．
（4）
（5）原式=10?（﹣2 ）﹣+30?21*cnjy*com
=10﹣20﹣10+30
=﹣20+30?=﹣20+
点评：（1）体现整体的数学思想．
（2）记住特殊角的三角函数值．
（3）分式的分母不为0，对数的真数大于0．
（4）直接使用圆锥的体积公式．
（5）分数指数幂的运算法则的使用．本题的最后一项可能不对．
27、工人师傅要用铁皮做一个上大下小的正四棱台形容器（上面开口），使其容积为208立方分米，高为4分米，上口边长与下底面边长的比为5：2，做这样的容器需要多少平方分米的铁皮？（不计容器的厚度和加工余量，不要求写出已知、求解，直接求解并画图即可）
点评：考查正四棱台的表面积与体积公式，训练答题者的空间想象能力与正四棱台的结构．
28、如图，在边长为1m的正方形铁皮的四角切去边长为x的小正方形，再把它的边沿虚线折起，做成一个无盖的方底铁皮箱，容积为V，并规定：铁皮箱的高度x与底面正方形的边长的比值不超过正常数c，求V的最大值，并写出相应的x的值．21*cnjy*com
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则V′（x）在（0，）上单调递减，
∴V'（x）≥V'（）＞V'（）=0，
∴V（x）在（0，]单调递增，
∴Vmax=V（）=
总之，0＜c＜时，则当x=时，Vmax=V（）=；
若 c≥，Vmax=．
点评：此题是一道应用题，主要还是考查导数的定义及利用导数来求区间函数的最值，利用导数研究函数的单调性和极值、解不等式等基础知识，考查综合分析和解决问题的能力，解题的关键是求导要精确．
29、如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=，若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，容积为10（L），高为4（dm），盛水时发现在D、E两处有泄露，且D、E分别在棱AA1和CC1上，DA1=3（dm），EC1=2（dm）．试问现在此容器最多能盛水多少？21*cnjy*com
考点：棱柱的结构特征；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：计算题。
分析：利用体积求出底面面积，然后求出VB﹣ADEC的体积，再求下部体积即可．
解答：解：由三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=
VABC﹣A1B1C1=S△ABC?AA1
=?AC?BC?4=10，得：AC?BC=5（4分）21*cnjy*com
VB﹣ADEC=S△ADEC?BC
=?（AD+CE）?AC?BC=2.5（4分）
此容器最多能盛水：VABC﹣A1B1C1﹣VB﹣ADEC=7.5（L）．（4分）
点评：本题考查棱柱的结构特征，考查棱柱、棱锥的体积，是基础题．
30、如图，已知三棱柱ABC﹣A1B1C1是直三棱柱，∠ACB=，若AC=3（dm），BC=4（dm），AA1=4（dm），D、E分别在棱AA1和CC1上，且DA1=3（dm），EC1=2（dm），若用此直三棱柱作为无盖盛水容器，且在D、E两处发生泄露，试问现在此容器最多能盛水多少（L）？
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