球的体积和表面积
一、解答题（共5小题）
1、球面上三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形，AB=18，BC=24，AC=30，且球心到该截面的距离为球的半径的一半．21世纪教育网版权所有
（1）求球的体积；
（2）求A，C两点的球面距离．21世纪教育网版权所有
2、已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；21世纪教育网版权所有
（2）球的半径R．
3、已知三棱锥P﹣ABC内接于球，三条侧棱两两垂直且长都为1，求球的表面积与体积．
4、如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．21世纪教育网版权所有
5、某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）
二、选择题（共20小题）
6、已知一个空间几何体的三视图如图所示，主视图、侧视图是斜边长为的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
A、 B、
C、 D、
7、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果三个直角三角形的面积之和为72，那么这个几何体的外接球的表面积的最小值为（ ）
A、72π B、144π
C、288π D、不能确定21世纪教育网版权所有
8、表面积为16π的球内切于正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个面，则该项棱柱的体积为（ ）
A、 B、
C、 D、
9、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）21世纪教育网版权所有
A、8π B、6π21世纪教育网版权所有
C、4π D、π
10、一个球与上底面边长为4，下底面边长为8的正四棱台各面都相切，则球的体积与正四棱台的体积之比为（ ）
A、π：6 B、π：721世纪教育网版权所有
C、π：8 D、π：9
11、一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）
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C、 D、
12、正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（ ）
A、 B、
C、2πa D、3πa
13、若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A、1：2：3 B、2：3：4
C、3：2：4 D、3：1：2
14、如图，一个空间几何体的主视图，坐试图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果等腰直角边长为，那么这个几何体的外接球面积（ ）
A、3π B、12π
C、6π D、2π
15、一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A、1：3 B、2：3
C、1：2 D、2：9
16、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为（ ）
A、20 B、22
C、24 D、26
17、已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（ ）
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C、 D、
18、设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A、成正比，比例系数为C B、成正比，比例系数为2C21世纪教育网版权所有
C、成反比，比例系数为C D、成反比，比例系数为2C
19、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）
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C、 D、
20、如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为（ ）
A、4π B、8π
C、12π D、16π
21、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）21世纪教育网版权所有
A、π B、π
C、π D、π
22、木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A、60倍 B、60倍
C、120倍 D、120倍
23、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）
A、 B、8π21世纪教育网版权所有
C、 D、4π
24、设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A、 B、
C、 D、
25、一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网版权所有
三、填空题（共5小题）
26、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为 _________ ．
27、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 _________ ．
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28、已知某多面体的三视图如图所示，若这个多面体的各个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 _________ ．
29、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为 _________ ．21世纪教育网版权所有
30、如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，若，则球O的表面积为 _________ ．21世纪教育网版权所有
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答案与评分标准
一、解答题（共5小题）
1、球面上三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形，AB=18，BC=24，AC=30，且球心到该截面的距离为球的半径的一半．
（1）求球的体积；
（2）求A，C两点的球面距离．
考点：球面距离及相关计算；球的体积和表面积。21世纪教育网
专题：计算题；综合题。
分析：（1）通过题意，确定△ABC的形状，先求球的半径，然后求球的体积．21世纪教育网
（2）求出∠AOC，再求A，C两点的球面距离．
解答：解：（1）球面上三点A、B、C，平面ABC与球面交于一个圆，三点A、B、C在这个圆上
∵AB=18，BC=24，AC=30，AC2=AB2+BC2，21世纪教育网
∴AC为这个圆的直径，AC中点M圆心球心O到平面ABC的距离，即OM=球半径的一半=R，
在△OMA中，∠OMA=90°OM=R，AM=AC=15，OA=R21世纪教育网
由勾股定理（R）2+152=R2，R2=225 R2=300，R=10
球的体积S==4000（体积单位）．
（2）由（1）可知∠AOC=120°
所以A，C两点的球面距离：
点评：本题考查球的体积及其他计算，考查学生空间想象能力，是中档题．
2、已知正三棱锥的高为1，底面边长为2，其内有一个球和该三棱锥的四个面都相切，求：
（1）棱锥的全面积；
（2）球的半径R．
考点：棱锥的结构特征；球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：连接HE、PE，则HE=由此能求出棱锥的全面积．
（2）过O作OG⊥PE于点G，则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，由此能求出球的半径R．
解答：解：
连接HE、PE，
则HE=
S全=3×21世纪教育网
=9
（2）过O作OG⊥PE于点G，
则△POG∽△PEH，且OG=OH=R，21世纪教育网
∴，
∴R=
点评：本题考查棱锥的全面积和球半径的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
3、已知三棱锥P﹣ABC内接于球，三条侧棱两两垂直且长都为1，求球的表面积与体积．
4、如图，一个圆锥形的空杯子上面放着一个半球形的冰淇淋，如果冰淇淋融化了，会溢出杯子吗？请用你的计算数据说明理由．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：根据题意，求出半球的体积，圆锥的体积，比较二者大小，判断是否溢出，即可得答案．21世纪教育网
解答：解：因为V半球=
V圆锥=
因为V半球＜V圆锥
所以，冰淇淋融化了，不会溢出杯子．
点评：本题考查球的体积，圆锥的体积，考查计算能力，是基础题．
5、某中学革命师生自己动手油漆一个直径为1.2米的地球仪，如果每平方米面积需要油漆150克，问共需油漆多少克？（答案保留整数）
考点：球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：本题可以直接利用题目的条件求解．21世纪教育网
解答：解：设地球仪的表面积为S，
则
所以，共需油漆150×1.44π=216π≈678（克）．
点评：本题考查学生对公式的使用，是基础题．
二、选择题（共20小题）
6、已知一个空间几何体的三视图如图所示，主视图、侧视图是斜边长为的等腰直角三角形，该几何体的顶点都在同一个球面上，则这个球的表面积是（ ）
21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
h=，21世纪教育网
故此几何体外接球的半径为
其表面积为4×=
故选D．
点评：本题考点是由三视图求几何体的面积、体积，考查对三视图的理解与应用，主要考查三视图与实物图之间的关系，用三视图中的数据还原出实物图的数据，再根据相关的公式求表面积与体积，本题求的是几何体外接球的表面积．三视图的投影规则是：“主视、俯视 长对正；主视、左视高平齐，左视、俯视 宽相等”．三视图是高考的新增考点，不时出现在高考试题中，应予以重视．属基础题．
7、如图是一个空间几何体的主视图、侧视图、俯视图，如果三个直角三角形的面积之和为72，那么这个几何体的外接球的表面积的最小值为（ ）21世纪教育网
A、72π B、144π
C、288π D、不能确定
考点：由三视图求面积、体积；球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：三视图复原几何体是长方体的一个角，扩展为长方体设出长方体的三度，利用面积之和，基本不等式求出几何体的外接球的直径，然后求出面积的最小值．
解答：解：三视图复原几何体是长方体的一个角，它的外接球的直径就是几何体扩展为长方体的体对角线的长，长方体的三度为：a，b，c；所以ab+bc+ac=144，长方体的对角线为≥=12，当且仅当a=b=c时取等号，
所以几何体的外接球的表面积的最小值为：4π62=144π．21cnjy
故选B
点评：本题是基础题，考查三视图复原几何体的图形的判断，几何体的外接球的表面积的求法，基本不等式的应用，注意基本不等式等号成立的前提．
8、表面积为16π的球内切于正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个面，则该项棱柱的体积为（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、
考点：棱柱的结构特征；球的体积和表面积。21cnjy
专题：计算题。
分析：由题意根据题中条件：“球内切于正三棱柱ABC﹣A1B1C1的各个面”求出正三棱柱的高、底面边长、底面高，即可求出正三棱柱的体积．
解答：解：设球半径为R，
由题意，正三棱柱的高是直径为2R，正三棱柱底面正三角形的内切圆的半径是R，
所以正三角形的边长是2R，高是3R正三棱柱的体积 V=2R?3R?2R=6R2．21cnjy
由于表面积为16π的球，∴R=2．
则该项棱柱的体积为：
故选B．
点评：本题是基础题，考查正三棱柱的内切球与正三棱柱的关系，通过二者的关系求出正三棱柱的体积，考查计算能力，逻辑推理能力．
9、一个正方体的体积是8，则这个正方体的内切球的表面积是（ ）21cnjy
A、8π B、6π
C、4π D、π
考点：棱柱的结构特征；球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：求出正方体的棱长，然后求出内切球的半径，即可求出灞桥区的表面积．
解答：解：正方体的体积为8，故边长为2，内切球的半径为1，则表面积S=4πR2=4π，
故选C
点评：本题是基础题，考查正方体体积的应用，正方体的内切球的表面积的求法，考查计算能力．
10、一个球与上底面边长为4，下底面边长为8的正四棱台各面都相切，则球的体积与正四棱台的体积之比为（ ）
A、π：6 B、π：7
C、π：8 D、π：9
∴球的体积与正四棱台的体积之比为=，
故选 B．21cnjy
点评：本题考查棱台的结构特征，圆的切线性质，球及棱台体积的运算．
11、一个圆锥和一个半球有公共底面，如果圆锥的体积与半球的体积恰好相等，则圆锥轴截面顶角的余弦值是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积。21cnjy
专题：计算题。
分析：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，求出圆锥的高，利用体积相等，求出2θ的余弦值即可．
解答：解：设圆锥的半径为R，高为H，母线与轴所成角为θ，则圆锥的高 H=R?ctgθ
圆锥的体积 V1=πR2?H=πR3ctgθ
半球的体积 V2=πR3∵V1=V2即：πR3ctgθ=πR3∴ctgθ=221cnjy
∴cos2θ=
故选D．
点评：本题考查旋转体（圆柱、圆锥、圆台），棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，考查计算能力，是基础题．
12、正方体的全面积为a，它的顶点都在球面上，则这个球的表面积是（ ）21cnjy
A、 B、
C、2πa D、3πa
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积；球内接多面体。
分析：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，利用正方体的表面积求出与球的半径的等式，然后求出球的表面积．
解答：解：设球的半径为R，则正方体的对角线长为2R，
依题意知R2=a，即R2=a，
∴S球=4πR2=4π?a=．21cnjy
故选B
点评：本题是基础题，解题的突破口是正方体的体对角线就是球的直径，正确进行正方体的表面积的计算，是解好本题的关键，考查计算能力．
13、若圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，则圆柱、圆锥、球的体积的比为（ ）
A、1：2：3 B、2：3：4
C、3：2：4 D、3：1：2
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：由已知中圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，我们设出球的半径，代入圆柱、圆锥、球的体积公式，计算出圆柱、圆锥、球的体积即可得到答案．
解答：解：设球的半径为R，则圆柱、圆锥的底面半径也为R，高为2R，21*cnjy*com
则球的体积V球=
圆柱的体积V圆柱=2πR3
圆锥的体积V圆锥=
故圆柱、圆锥、球的体积的比为2πR3：：=3：1：221*cnjy*com
故选D
点评：本题考查的知识点是旋转体，球的体积，圆柱的体积和圆锥的体积，其中设出球的半径，并根据圆柱、圆锥的底面直径和高都等于球的直径，依次求出圆柱、圆锥和球的体积是解答本题的关键．
14、如图，一个空间几何体的主视图，坐试图，俯视图为全等的等腰直角三角形，如果等腰直角边长为，那么这个几何体的外接球面积（ ）
21*cnjy*com
A、3π B、12π
C、6π D、2π
15、一个圆锥的底面直径和高都同一个球的直径相等，那么圆锥与球的体积之比是（ ）
A、1：3 B、2：3
C、1：2 D、2：9
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：设出球的半径，根据条件求出圆锥的体积，球的体积，求出体积之比．21*cnjy*com
解答：解：设球的半径为r，所以圆锥的体积为：
球的体积：
圆锥与球的体积之比是：1：2
故选C．
点评：本题考查圆锥的体积，球的体积，考查计算能力，是基础题．
16、一个正方体的各顶点均在同一球的球面上，若该球的体积为，则该正方体的表面积为（ ）
A、20 B、22
C、24 D、26
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：由球的体积求出正方体的对角线，然后求出正方体的棱长，再求它的表面积．
解答：解：设球的半径为R，正方体棱长为a，21*cnjy*com
则，
2R=a，a=2，
所以S=6×4=24
故选C
点评：本题考查棱柱、棱锥、棱台的体积，球的体积和表面积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．
17、已知一个实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，则该正方体的表面积为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积；球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：由已知中实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，我们可以判断该几何体为半径为3的球，将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，我们可以根据球的体积公式，计算出正方体的体积，进而求出正方体的棱长，代入正方体表面积公式，即可得到答案．
解答：解：由已知中实心铁质的几何体的正视图、侧视图和俯视图都是半径为3的圆，
可得该几何体是一个半径R=3的球
其体积V球==36π
将6个这样的几何体熔成一个实心正方体，21*cnjy*com
则V正方体=6×36π=216π
则正方体的棱长为6
则正方体的表面积S==
故选A
点评：本题考查的知识正方体的体积与表面积，球的体积，其中根据熔化前后体积不变，求出正方体的体积是解答本题的关键．
18、设球的半径为时间t的函数R（t）．若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面积的增长速度与球半径
A、成正比，比例系数为C B、成正比，比例系数为2C
C、成反比，比例系数为C D、成反比，比例系数为2C21*cnjy*com
考点：球的体积和表面积。
专题：计算题；应用题。
分析：求出球的体积的表达式，然后球的导数，推出，利用面积的导数是体积，求出球的表面积的增长速度与球半径的比例关系．
解答：解：由题意可知球的体积为，则c=V′（t）=4πR2（t）R′（t），由此可得，
而球的表面积为S（t）=4πR2（t），
所以V表=S′（t）=4πR2（t）=8πR（t）R′（t），
即 V表=8πR（t）R′（t）=2×4πR（t）R′（t）=
故选D
点评：本题考球的表面积，考查逻辑思维能力，计算能力，是中档题．
19、用与球心距离为1的平面去截球，所得的截面面积为π，则球的体积为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
20、如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，如果，则求O的表面积为（ ）21*cnjy*com
A、4π B、8π
C、12π D、16π
考点：球的体积和表面积。
专题：计算题；综合题。
分析：由题意可知，PO⊥平面ABCD，并且是半径，由体积求出半径，然后求出球的表面积．
解答：解：如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A，B，C，D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，PO⊥底面ABCD，PO=R，SABCD=2R2，，
所以，R=2，
球O的表面积是16π，
故选D．
点评：本题考查球的内接体问题，球的表面积、体积，考查学生空间想象能力，是基础题．
21、在矩形ABCD中，AB=4，BC=3，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角B﹣AC﹣D，则四面体ABCD的外接球的体积为（ ）
A、π B、π
C、π D、π
考点：球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：球心到球面各点的距离相等，即可知道外接球的半径，就可以求出其体积了．
解答：解：由题意知，球心到四个顶点的距离相等，
所以球心在对角线AC上，且其半径为AC长度的一半，21*cnjy*com
则V球=π×（）3=．
故选C．
点评：本题考查学生的思维意识，对球的结构和性质的运用，是基础题．
22、木星的体积约是地球体积的倍，则它的表面积约是地球表面积的（ ）
A、60倍 B、60倍
C、120倍 D、120倍21*cnjy*com
23、一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的表面积为（ ）21*cnjy*com
A、 B、8π
C、 D、4π
考点：球的体积和表面积；球面距离及相关计算。
专题：计算题。
分析：求出截面圆的半径，利用勾股定理求球的半径，然后求出球的表面积．
解答：解：球的截面圆的半径为：π=πr2，r=1
球的半径为：R=
所以球的表面积：4πR2=4π×=8π
故选B．
点评：本题考查球的体积和表面积，考查计算能力，逻辑思维能力，是基础题．
24、设A、B、C、D是球面上的四个点，且在同一平面内，AB=BC=CD=DA=3，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：球的体积和表面积。
专题：计算题；综合题。
分析：设出球的半径，球心到该平面的距离是球半径的一半，结合ABCD的对角线的一般，满足勾股定理，求出R即可求球的体积．
解答：解：设球的半径为R，由题意可得
R=球的体积是：=
故选A．
点评：本题考查球的体积，考查空间想象能力，计算能力，是基础题．21*cnjy*com
25、一平面截一球得到直径是6cm的圆面，球心到这个平面的距离是4cm，则该球的体积是（ ）
A、 B、
C、 D、21*cnjy*com
考点：球的体积和表面积。
专题：计算题。
分析：利用条件：球心到这个平面的距离是4cm、截面圆的半径、球的半径、求出球的半径，然后求出球的体积．
解答：解：一平面截一球得到直径是6cm的圆面，就是小圆的直径为6，21*cnjy*com
又球心到这个平面的距离是4cm，
所以球的半径是：5cm
所以球的体积是：
故选C．
点评：本题考查球的体积，考查计算能力，是基础题．21*cnjy*com
三、填空题（共5小题）
26、已知一个三棱锥的三视图如图所示，其中俯视图是顶角为120°的等腰三角形，则该三棱锥的外接球体积为 ．
∴x=1，y=，z=1，
∴球心的坐标是（1，，1），
∴球的半径是=
∴球的体积是=，
故答案为：
点评：本题考查由三视图求几何体的体积，考查由三视图还原几何体，考查三棱锥与外接球之间的关系，考查利用空间向量解决立体几何问题．
27、一个几何体的三视图如图所示，其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，则该几何体的外接球的表面积为 3π ．21*cnjy*com
考点：由三视图求面积、体积；球的体积和表面积。21*cnjy*com
专题：计算题。
分析：由三视图得到这是一个四棱锥，底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱与底面垂直，根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AD，利用勾股定理做出球的直径，得到球的面积．
解答：解：由主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，21*cnjy*com
得到这是一个四棱锥，
底面是一个边长是1的正方形，一条侧棱AE与底面垂直，
∴根据求与四棱锥的对称性知，外接球的直径是AC
根据直角三角形的勾股定理知AC==，
∴外接球的面积是，
故答案为：3π
点评：本题考查由三视图求几何体的面积，考查球的表面积．考查多面体的外接球的运算，这是一个综合题目，解题时注意几何体对称性的应用．
28、已知某多面体的三视图如图所示，若这个多面体的各个顶点在同一个球面上，则该球的表面积为 14π ．
与外接球之间的数量关系，本题是一个比较简单的综合题目，可以单独出现．
29、一个棱锥的三视图如图，则该棱锥的外接球的表面积为 ．21*cnjy*com
所以三棱锥的外接球的表面积为：4πR2=．
故答案为：．21cnjy
点评：本题是中档题，考查几何体的三视图，三棱锥的外接球的表面积的求法，考查计算能力，逻辑推理能力．
30、如图，正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，点P在球面上，若，则球O的表面积为 16π ．21*cnjy*com
考点：球面距离及相关计算；球的体积和表面积。21*cnjy*com
专题：计算题；综合题。
分析：从题目可以看出：PO⊥平面ABCD是半径，利用体积求出半径，可求球的表面积．
解答：解：正四棱锥P﹣ABCD底面的四个顶点A、B、C、D在球O的同一个大圆上，
点P在球面上，则O为球心，PO⊥平面ABCD，
所以设球的半径为R，，R=2，21*cnjy*com
则球O的表面积为：16π，
故答案为：16π．
点评：本题考查球的表面积，球的内接体问题，是基础题．
