空间中直线与直线之间的位置关系
一、选择题（共20小题）
1、对于四面体ABCD，给出下列命题：
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；21*cnjy*com
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作出三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
其中正确命题的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
2、给出下列四个命题：①平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形；②圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线，其中假命题的个数是（ ）
A、1 B、221cnjy
C、3 D、4
3、对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；
②三条直线两两平行；
③三条直线共点；
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
4、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中；
（1）BM与ED平行；（2）CN与BE是异面直线；
（3）CN与BM成60°；（4）CN与AF垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
21*cnjy*com
A、（1）（2）（3） B、（2）（4）
C、（3） D、（3）（4）
5、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（ ）
21cnjy
A、①② B、③④
C、②③ D、①③
6、用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：（ ）
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．
A、①② B、②③21*cnjy*com
C、①④ D、③④
7、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
8、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ）
A、不存在 B、有且只有两条
C、有且只有三条 D、有无数条
9、如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A、 B、
C、 D、
10、若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（ ）21cnjy
A、过点P有且仅有一条直线与l，m都平行
B、过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C、过点P有且仅有一条直线与l，m都相交
D、过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
11、如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（ ）
21cnjy
A、点H是△A1BD的垂心
B、AH垂直平面CB1D1
C、AH的延长线经过点C1
D、直线AH和BB1所成角为45°
12、已知m，n为异面直线，与m，n都不相交，n?平面β，α∩β=l，则l（ ）
A、与m，n都相交
B、与m，n中至少一条相交
C、与m，n都不相交
D、至多与m，n中的一条相交
13、平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（ ）
A、一条直线 B、一个圆
C、一个椭圆 D、双曲线的一支
14、平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行，则（ ）
A、a∥α B、a∥α
C、a与b一定是异面直线 D、α内可能有无数条直线与a平行
15、下列命题中正确的是（ ）
①两条异面直线在同一平面内的射影必相交．
②与一条直线成等角的两条直线必平行．
③与一条直线都垂直的两直线必平行．
④同时平行于一个平面的两直线必平行．
A、①、② B、①、③
C、②、④ D、以上都不对
16、a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，，b⊥c，，a⊥d，，b⊥d，那么（ ）
A、a∥b或c∥d B、a∥b且c∥d
C、d中至多有一对直线互相平行 D、d任何两条直线都不平行
17、关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A、m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B、m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
C、m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n
D、m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
18、已知直线l和平面α，则在平面α内一定存在直线与直线l（ ）
A、相交 B、平行
C、异面 D、垂直
19、若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（ ）
A、相交 B、异面
C、平行 D、异面或相交
20、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是AC、A1D的公垂线，则EF和BD1的关系是（ ）1世纪教育网
A、异面 B、平行
C、垂直 D、相交
二、填空题（共5小题）
21、连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为2和4，M、N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：1世纪教育网
①弦AB、CD可能相交于点M；
②弦AB、CD可能相交于点N；
③MN的最大值是5；
④MN的最小值是1；
其中所有正确命题的序号为 _________ ．
22、在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，则M只需满足条件 _________ 时，就有MN⊥AC．
23、将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是 _________ ．
①EF∥AB；②EF⊥BD；③EF有最大值，无最小值；④当四面体ABCD的体积最大时，； ⑤AC垂直于截面BDE．
24、a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线；
⑤若a，b与c成等角，则a∥B、
上述命题中正确的 _________ （只填序号）．
25、空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．若AC=BD，则四边形EFGH是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知在正三棱锥P﹣ABC中，M，N分别为PA，BC中点，G为MN中点，求证：PG⊥BC．
27、求证：正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．1世纪教育网
28、如图，已知PO为正三棱锥P﹣ABC的高，AB=a，侧面与底面成α角，过O点作平面平行于PC和AB，得截面EFGH．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）截面EFGH的面积．1世纪教育网
29、（2009?福建）如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD
（1）求证：AB⊥DE
（2）求三棱锥E﹣ABD的侧面积．
30、在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，侧面A1ACC1⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°角，D为AC的中点．
（1）求证：BD⊥AA1；
（2）若∠A1DC1=90°，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．1世纪教育网
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、对于四面体ABCD，给出下列命题：
①相对棱AB与CD所在的直线异面；
②由顶点A作四面体的高，其垂足是△BCD的三条高线的交点；
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，则这两条高所在直线异面；
④分别作出三组相对棱中点的连线，所得的三条线段相交于一点；
⑤最长棱必有某个端点，由它引出的另两条棱的长度之和大于最长棱．
其中正确命题的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：证明题。1世纪教育网
分析：①根据三棱锥的结构特征判断．②根据对棱不一定相互垂直判断．③可由正四面体时来判断．④由棱中点两两连接构成平行四边形判断．⑤根据两边之和大于第三边判断．
解答：解：①根据三棱锥的结构特征知正确．
②因为只有对棱相互垂直才行，所以不一定，不正确．
③若分别作△ABC和△ABD的边AB上的高，若是正四面体时，则两直线相交，不正确．
④因为相对棱中点两两连接构成平行四边形，而对棱的中点的连接正是平行四边形的对角线，所以三条线段相交于一点，故正确．
⑤根据两边之和大于第三边，可知正确．1世纪教育网
故答案为：①④⑤
点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，通过作高，取中点连线，来增加考查的难度，即全面又灵活，是一道好题，属中档题．
2、给出下列四个命题：①平行于母线的平面截圆锥，截面是等腰三角形；②圆柱是将矩形旋转一周所得的几何体；③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2互相平行；④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线，其中假命题的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：旋转体（圆柱、圆锥、圆台）；空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：计算题。
分析：根据圆锥、圆柱的结构特征，由截面图形，判定①②的正误；根据线面角判断③的正误；根据异面直线的概念对④进行判断即可．
解答：解：①平行于母线的平面截圆锥，截面不是等腰三角形，故①不正确；
②圆柱是将矩形以矩形的一条对角线为轴，旋转所得的就不是圆柱，故②错；
③若直线l1，l2与同一平面所成的角相等，则l1，l2也可能相交直线，故错；
④若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线可能是相交直线，故错．
其中假命题的个数是：4
故选D．
点评：本题考查圆锥、圆台的结构特征，考查空间想象能力，是基础题．还考查了空间线面的位置关系以及空间想象能力，同时考查了立体几何问题处理中运用特殊几何体举反例证的能力．
3、对于空间三条直线，有下列四个条件：
①三条直线两两相交且不共点；
②三条直线两两平行；
③三条直线共点；
④有两条直线平行，第三条直线和这两条直线都相交．其中，使三条直线共面的充分条件有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系。
分析：这需要平时的积累，可联系实物模型去解决．②可以参照“三棱柱”的三条侧棱．③可以参照“三棱锥”的三条侧棱．
解答：解：
选项①如图①所示，由题意可设直线m与点A所确定的平面为α，则再由公理1，我们可以知道直线l、n也在α内．
选项④如图④所示，由题意可设直线m与直线n所确定的平面为α，则点A与点B均在平面α内，则再由公理1，我们可以知道直线l也在平面α内，
综合可得，①④正确；
此题选B．
点评：数形结合是立体几何解题的常用方法，可以记住经常用到的哪些几何体例子．1世纪教育网
4、如图是正方体的平面展开图，在这个正方体中；
（1）BM与ED平行；（2）CN与BE是异面直线；
（3）CN与BM成60°；（4）CN与AF垂直．
以上四个命题中，正确命题的序号是（ ）
A、（1）（2）（3） B、（2）（4）
C、（3） D、（3）（4）
考点：异面直线的判定；异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系。1世纪教育网
专题：作图题。
分析：将展开图复原为几何体，如图，容易判断选项的正误，求出结果．
解答：解：展开图复原的正方体如图，不难看出：
（1）BM与ED平行；错误的，是异面直线；
（2）CN与BE是异面直线，错误；是平行线；
（3）CN与BM成60°；正确；
（4）CN与AF垂直．正确
判断正确的答案为（3）（4）
故选D
点评：本题考查异面直线的判定，异面直线及其所成的角，空间中直线与直线之间的位置关系，几何体的折叠与展开，考查空间想象能力，是基础题．
5、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有下列结论：①AB⊥EF；②AB与CM成60°角；③EF与MN是异面直线；④MN∥CD，其中正确的是（ ）
A、①② B、③④
C、②③ D、①③
点评：考查正方体的几何性质，线线的位置关系，本题涉及到了直线间的几个常见位置关系如平行、垂直、异面．
6、用a、b、c表示三条不同的直线，y表示平面，给出下列命题：（ ）
①若a∥b，b∥c，则a∥c；②若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；
③若a∥y，b∥y，则a∥b；④若a⊥y，b⊥y，则a∥b．
A、①② B、②③
C、①④ D、③④
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
解答：解：根据平行直线的传递性可知①正确；
在长方体模型中容易观察出②中a、c还可以平行或异面；
③中a、b还可以相交；
④是真命题，
故答案应选：C
点评：在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．
7、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是棱A1B1的中点，则A1B与D1E所成角的余弦值为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
分析：在正方体、长方体中往往可以建立空间直角坐标系，利用向量法解决问题．
解答：解：如图，以D为坐标系原点，AB为单位长，DA，DC，DD1分别为x，y，z轴建立坐标系，
易见，，1世纪教育网
所以
=
=
=，
故选B．
点评：本题考查空间两直线夹角的求法．
8、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F分别为棱AA1，CC1的中点，则在空间中与三条直线A1D1，EF，CD都相交的直线（ ）
A、不存在 B、有且只有两条1世纪教育网
C、有且只有三条 D、有无数条
点评：本题主要考查立体几何中空间直线相交问题，同时考查学生的空间想象能力．
9、如图，动点P在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的对角线BD1上．过点P作垂直于平面BB1D1D的直线，与正方体表面相交于M，N．设BP=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）
A、 B、
C、 D、1世纪教育网
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
分析：只有当P移动到正方体中心O时，MN有唯一的最大值，则淘汰选项A、C；P点移动时，x与y的关系应该是线性的，则淘汰选项D．
解答：解：设正方体的棱长为1，显然，当P移动到对角线BD1的中点O时，函数取得唯一最大值，所以排除A、C；
当P在BO上时，分别过M、N、P作底面的垂线，垂足分别为M1、N1、P1，
则y=MN=M1N1=2BP1=2?xcos∠D1BD=2?是一次函数，所以排除D．1世纪教育网
故选B．
点评：本题考查直线与截面的位置关系、空间想象力及观察能力，同时考查特殊点法、排除法．
10、若P两条异面直线l，m外的任意一点，则（ ）
A、过点P有且仅有一条直线与l，m都平行 B、过点P有且仅有一条直线与l，m都垂直
C、过点P有且仅有一条直线与l，m都相交 D、过点P有且仅有一条直线与l，m都异面
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
分析：选项A由反证法得出判断；选项B由异面直线的公垂线唯一得出判断；选项C、D可借用图形提供反例．
解答：解：设过点P的直线为n，若n与l、m都平行，则l、m平行，与l、m异面矛盾，故选项A错误；
由于l、m只有唯一的公垂线，而过点P与公垂线平行的直线只有一条，故B正确；
对于选项C、D可参考下图的正方体，设AD为直线l，A′B′为直线m，若点P在P1点，则显然无法作出直线与两直线都相交，故选项C错误；若P在P2点，则由图中可知直线CC′及D′P2均与l、m异面，故选项D错误．
故选B．
点评：本题考查直线与异面直线平行、垂直、相交、异面的情况，同时考查空间想象能力．
11、如图，正方体AC1的棱长为1，过点A作平面A1BD的垂线，垂足为点H，则以下命题中，错误的命题是（ ）
A、点H是△A1BD的垂心 B、AH垂直平面CB1D1
C、AH的延长线经过点C1 D、直线AH和BB1所成角为45°
12、已知m，n为异面直线，与m，n都不相交，n?平面β，α∩β=l，则l（ ）
A、与m，n都相交 B、与m，n中至少一条相交1世纪教育网
C、与m，n都不相交 D、至多与m，n中的一条相交
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
分析：由异面直线的定义和画法知，异面直线必须满足既不平行又不相交，即l与m，n中至少一条相交；当l与m，n都不相交时有m∥n．
解答：解：由题意，l与m，n都相交且交点不重合时，m，n为异面直线；
若l与m相交且与n平行时，m，n为异面直线；
若l与m，n都不相交时，又因m?α，l?α，所以l∥m，同理l∥n，则 m∥n．
故选B．
点评：本题的考点是异面直线，利用异面直线的定义和共面直线的关系判断．
13、平面α的斜线AB交α于点B，过定点A的动直线l与AB垂直，且交α于点C，则动点C的轨迹是（ ）
A、一条直线 B、一个圆
C、一个椭圆 D、双曲线的一支
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
分析：由过定点A的动直线l与AB垂直，考虑l确定的面β与AB的垂直，则线l交α于点C转化为β与α的相交于一条直线，则问题解决．
解答：解：如图，设l与l′是其中的两条任意的直线，
则这两条直线确定一个平面β，且α的斜线AB⊥β，
由过平面外一点有且只有一个平面与已知直线垂直可知过定点A与AB垂直所有直线都在这个平面内，
故动点C都在平面β与平面α的交线上，
故选A．1世纪教育网
点评：本题考查线面垂直的判定、面面的相交，同时考查空间想象能力．
14、平面α外的一条直线a与平面α内的一条直线b不平行，则（ ）
A、a∥α B、a∥α
C、a与b一定是异面直线 D、α内可能有无数条直线与a平行1世纪教育网
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
解答：解：若a∥α，b?α，则a与b平行或异面
若a与α不平行，b?α，则a与b相交或异面
由此可知：A、B、C均不正确
故答案选D
点评：在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．另外熟练掌握线线、线面、面面平行（或垂直）的判定及性质定理是解决此类问题的基础．
15、下列命题中正确的是（ ）
①两条异面直线在同一平面内的射影必相交．
②与一条直线成等角的两条直线必平行．
③与一条直线都垂直的两直线必平行．
④同时平行于一个平面的两直线必平行．
A、①、② B、①、③
C、②、④ D、以上都不对
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：综合题。
分析：通过大家常见的图形正方形中的各棱、面的关系，判断出各个命题的真假．
解答：解：在正方体中ABCD﹣A1B1C1D1中
AA1与B1C1是异面直线，
AA1在面ABCD中的射影是点；B1C1在面ABCD 内的射影是直线BC
故①错
AB，AD与AA1所成的角都是90°，但AB，AC相交于A，故②③错
直线A1D1，A1B1都平行于面ABCD，但它们相交，故④错
故选D
点评：本题考查空间中线线的位置关系：平行，相交，异面、直线与平面的位置关系．
16、a、b、c、d是空间四条直线，如果a⊥c，，b⊥c，，a⊥d，，b⊥d，那么（ ）
A、a∥b或c∥d B、a∥b且c∥d
C、d中至多有一对直线互相平行 D、d任何两条直线都不平行
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：分类讨论。
分析：由已知中a⊥c，，b⊥c，，a⊥d，，b⊥d，我们令a与b不平行，则根据空间直线与直线之间的位置关系，我们易得c∥d，同理，当c与d不平行，可得a∥b，分析四个答案即可得到结论．
解答：解：若a与b不平行，则a与b异面或相交
若a与b异面，由a⊥c，b⊥c，得c与异面直线a，b的公垂线平行或重合1世纪教育网
由a⊥d，b⊥d，得d与异面直线a，b的公垂线平行或重合
故c∥d
同理若c与d不平行，可得a∥b
故a∥b或c∥d
故选A
点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，其中根据已知利用分类讨论的思想对问题进行处理，是解答本题的关键．
17、关于两条不同的直线m、n与两个不同的平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A、m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B、m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
C、m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n D、m∥α，n⊥β且α⊥β，则m∥n
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：计算题。
分析：根据空间中面面平行及线面平行的性质，我们易判断A的对错，根据线线垂直的判定方法，我们易判断出B的真假；根据空间中直线 与直线垂直的判断方法，我们可得到C的正误；根据线面平行及线面平行的性质，我们易得到D的对错，进而得到结论．
解答：解：若m∥α，n∥β且α∥β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；
若m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n，故B错误；
当n∥β且α∥β时，存在直线l?α，使l∥n，又由m⊥α，故m⊥l，则m⊥n，故C正确；
若n⊥β且α⊥β，则n∥α或n?α，若m∥α，则m与n可能平行，也可能垂直，也可能相交，故D错误；
故选C
点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，熟练掌握空间中线与面之间位置关系的定义及判定方法是解答本题的关键．
18、已知直线l和平面α，则在平面α内一定存在直线与直线l（ ）1世纪教育网
A、相交 B、平行
C、异面 D、垂直
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：计算题。
分析：本题可采用分类讨论，对答案进行排除，分别讨论直线l和平面α平行，直线l和平面α相交，直线l?平面α，三种情况，排除错误答案后，即可得到结论．
解答：解：若直线l和平面α平行，则平面α内的直线与l平行或异面，不可能相交，可排除答案A；
若直线l和平面α相交，则平面α内的直线与l相交或异面，不可能平行，可排除答案B；
若直线l?平面α，则平面α内的直线与l相交或平行，不可能异面，可排除答案C；
故选D
点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，其中熟练掌握直线与平面位置关系的几何特征，及直线与直线位置关系的结构特征是解答本题的关键．
19、若a，b是异面直线，直线c∥a，则c与b的位置关系是（ ）
A、相交 B、异面
C、平行 D、异面或相交
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：若a，b是异面直线，直线c∥a，所以c与b可能异面，可能相交．
解答：解：由a、b是异面直线，直线c∥a知c与b的位置关系是异面或相交，
故选D．
点评：此题考查学生的空间想象能力，考查对异面直线的理解和掌握．
20、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，EF是AC、A1D的公垂线，则EF和BD1的关系是（ ）
A、异面 B、平行
C、垂直 D、相交
考点：空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1﹣xyz，设正方形的边长为1，利用向量法，我们易求出BD1与A1D和AC都垂直，根据共垂线的性质，可以得到答案．
解答：解：建立以D1为原点的空间直角坐标系D1﹣xyz，且设正方形的边长为1
所以就有D1（0，0，0），B（1，1，1），A1（1，0，0），D（0，0，1），A（1，0，1），C（0，1，1）1世纪教育网
所以=（﹣1，0，1），=（﹣1，1，0），=（﹣1，﹣1，﹣1）
所以?=﹣1+1=0 所以A1D⊥BD1，
?=1﹣1=0 所以AC⊥BD1，
所以BD1与A1D和AC都垂直1世纪教育网
又∵EF是AC、A1D的公垂线，
∴BD1∥EF
故选B
点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，其中建立空间坐标系，借助向量分析直线与直线之间的位置关系是解答本题的关键．
二、填空题（共5小题）
21、连接球面上两点的线段称为球的弦，半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别为2和4，M、N分别是AB、CD的中点，两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦AB、CD可能相交于点M；
②弦AB、CD可能相交于点N；
③MN的最大值是5；
④MN的最小值是1；
其中所有正确命题的序号为 ①③④ ．
22、在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F、G、H分别是棱CC1、C1D1、D1D、DC的中点，N是BC的中点，点M在四边形EFGH的边及其内部运动，则M只需满足条件 M在FH的连线上 时，就有MN⊥AC．
考点：棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：作图题；综合题。
分析：画出图形，M在线段FH时，证明AC⊥平面FHN，即可证明AC⊥MN．
解答：解：当点M在线段FH上时．
因为FH∥C1C，C1C⊥底面ABCD，所以AC⊥HF，H、N为中点
所以HN⊥AC，HF∩HN=H，∴AC⊥平面FHN．21世纪教育网版权所有
∵MN?平面FHN，∴MN⊥AC
故答案为：M在FH的连线上，
点评：本题考查棱柱的结构特征，空间直线与直线的位置关系，是基础题．21世纪教育网版权所有
23、将边长为2，一个内角为60°的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点E，F分别为AC，BD的中点，则下列命题中正确的是 ②④⑤ ．
①EF∥AB；②EF⊥BD；③EF有最大值，无最小值；④当四面体ABCD的体积最大时，； ⑤AC垂直于截面BDE．
考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：画出图形，利用翻折前后线面关系，角的关系，逐一分析各个选项的正确性，把正确的选项找出来．
解答：解：如图：由题意得，EF与AB是异面直线，故①不正确．
由等腰三角形的中线性质得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，故②正确．
EF是等腰三角形FAC的底边上的中线，∴EF⊥AC，由于 FA=FC=，斜边AC的长度不定，
故 EF无最大值，也无最小值，故③不正确．
当四面体ABCD的体积最大时，因为等边△ABD的面积为定值，故面SBD⊥面ABD，CF为四面体的高，AC===，故④正确．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正确．
综上，②④⑤正确，
故答案为 ②④⑤．
点评：本题考查棱锥的结构特征，注意在翻折过程中哪些量发生了变化，哪些量没有发生变化；位于折线同侧的元素关系不变，
位于折线两侧的元素关系会发生变化．
24、a，b，c是空间中互不重合的三条直线，下面给出五个命题：
①若a∥b，b∥c，则a∥c；
②若a⊥b，b⊥c，则a∥c；
③若a与b相交，b与c相交，则a与c相交；
④若a?平面α，b?平面β，则a，b一定是异面直线；21世纪教育网版权所有
⑤若a，b与c成等角，则a∥B、
上述命题中正确的 ① （只填序号）．
25、空间四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．若AC=BD，则四边形EFGH是 菱形 ．
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱锥的结构特征。
专题：证明题。
分析：作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形，可证明其是一个菱形
解答：解：作出如图的空间四边形，连接AC，BD可得一个三棱锥，将四个中点连接，得到一个四边形EFGH，
由中位线的性质知EH∥FG，EF∥HG
故四边形EFGH是平行四边形
又AC=BD，故有HG=AC=BD=EH
故四边形EFGH是菱形
故答案为菱形
点评：本题考查空间中直线与干线之间的位置关系，解题的关键是掌握空间中直线与直线之间位置关系的判断方法，本题涉及到线线平行的证明，中位线的性质等要注意这些知识在应用时的转化方式．21世纪教育网版权所有
三、解答题（共5小题）
26、已知在正三棱锥P﹣ABC中，M，N分别为PA，BC中点，G为MN中点，求证：PG⊥BC．21世纪教育网版权所有
考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：要证明PG⊥BC，可以先证明BC⊥平面PMN，而要证明BC⊥平面PMN，我们可以证明BC与平面PMN中的两条相交直线PN，MN都垂直，由于三棱锥P﹣ABC为正三棱锥我们不难根据等腰三角形的性质，得到结论．
解答：证明：∵三棱锥P﹣ABC为正三棱锥
∴PB=PC
又∵N为BC中点，则PN⊥BC
又∵侧面PAB≌侧面PAC
∴MB=MC
∴MN⊥BC
又∵MN∩PN=N
∴BC⊥平面PMN
又∵PG?平面PMN
∴PG⊥BC
点评：线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
27、求证：正四面体ABCD中相对的两棱（即异面的两棱）互相垂直．
考点：棱锥的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：因为ABCD是正四面体，各个面都是等边三角形，取BC的中点E，则有AE⊥BC，DE⊥BC，从而有BC⊥平面AED，易得结论．
解答：证明：因为ABCD是正四面体，
各个面都是等边三角形，
取BC的中点E
∴AE⊥BC，DE⊥BC21世纪教育网版权所有
∴BC⊥平面AED，
而AD?平面AED，
∴BC⊥AD，
同理可证AB⊥DC，AC⊥DB．21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查正四面体的结构特征，主要涉及了线线垂直，线面垂直的转化，属中档题．
28、如图，已知PO为正三棱锥P﹣ABC的高，AB=a，侧面与底面成α角，过O点作平面平行于PC和AB，得截面EFGH．
（1）求证：PC⊥AB；
（2）截面EFGH的面积．21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查三棱锥的结构特征，主要涉及了侧面与底面所成的角，四边形的形状及其相应量与棱锥的量的关系，属中档题．
29、如图，平行四边形ABCD中，∠DAB=60°，AB=2，AD=4将△CBD沿BD折起到△EBD的位置，使平面EDB⊥平面ABD
（I）求证：AB⊥DE
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABD的侧面积．21世纪教育网版权所有
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；空间中直线与直线之间的位置关系。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；证明题。
分析：（I）要证：AB⊥DE，容易推出AB⊥BD，可证明AB⊥平面EBD即可．
（Ⅱ）求三棱锥E﹣ABD的侧面积，需要求出三个侧面三角形的面积即可．
解答：解：（I）证明：在△ABD中，∵AB=2，AD=4，∠DAB=60°
∴
∴AB2+BD2=AD2，∴AB⊥DE
又∵平面EBD⊥平面ABD
平面EBD∩平面ABD=BD，AB?平面ABD，∴AB⊥平面EBD，
∵DF?平面EBD，∴AB⊥DE．
（Ⅱ）解：由（I）知AB⊥BD，CD∥AB，∴CD⊥BD，从而DE⊥D
在Rt△DBE中，∵，DE=DC=AB=2
∴
又∵AB⊥平面EBD，BE?平面EBD，
∴AB⊥BE，
∵BE=BC=AD=4，∴，
∵DE⊥BD，平面EBD⊥平面ABD∴ED⊥，平面ABD
而AD?平面ABD，∴ED⊥AD，∴
综上，三棱锥E﹣ABD的侧面积，
点评：本题考查棱锥的侧面积，直线和直线的垂直，是中档题．
30、在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=BC=2，∠ABC=120°，侧面A1ACC1⊥底面ABC，侧棱AA1与底面ABC成60°角，D为AC的中点．
（Ⅰ）求证：BD⊥AA1；
（Ⅱ）若∠A1DC1=90°，求三棱柱ABC﹣A1B1C1的体积．
∵面A1ACC1⊥底面ABC，
∴A1O⊥面ABC
易知A1O=A1A?sin60°==
∴=S△aBC?A1O==21世纪教育网版权所有
点评：本题考查的知识点是棱柱的体积公式，及空间中直线与直线之间的位置关系，其中求棱柱体积时，关键的步骤是求出棱柱的底面积和棱柱的高．
