平面与平面之间的位置关系
一、选择题（共20小题）
1、已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A、若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β
B、若m∥α，m∥β，则α∥β
C、若m∥α，n∥α，则m∥n
D、若m⊥α，n⊥α，则m∥n
2、已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A、m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n
B、m∥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n
C、α∩β=m，n⊥β且α⊥β，则n⊥α
D、m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
3、关于线、面的四个命题中不正确的是（ ）
A、平行于同一平面的两个平面一定平行
B、平行于同一直线的两条直线一定平行
C、垂直于同一直线的两条直线一定平行
D、垂直于同一平面的两条直线一定平行21*cnjy*com
4、给定下列四个命题：
①a，b是两异面直线，那么经过直线a可以作无数个与直线b平行的平面．
②α，β是任意两个平面，那么一定存在平面满足α⊥γ且β⊥γ．
③a，b是长方体互相平行的两条棱，将长方体展开，那么在展开图中，a、6对应的线段所在直线互相平行．
④已知任意直线a和平面a，那么一定荏在平面γ，满足α?γ且α⊥γ．
其中，为真命题的是（ ）
A、①和② B、②和③
C、③和④ D、②和④
5、已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A、若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β
B、若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线
C、若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β
D、若α⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥α
6、已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）
A、若m∥α，n∥α，则m∥n
B、若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β
C、若α⊥β，m?α，则m⊥β
D、若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
7、关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）21*cnjy*com
A、若l∥α，α∩β=m，则l∥m B、若l∥α，m∥α，则l∥m
C、若l⊥α，l∥β，则α⊥β D、若l∥α，m⊥l，则m⊥α
8、已知直线m⊥平面α，直线n?平面β，则下列命题正确的是（ ）
A、若α∥β，则m⊥n B、若α⊥β，则m∥n
C、若m⊥n，则α∥β D、若n∥α，则α∥β
9、在空间中，有下列四个命题：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）垂直于同一个平面的两条直线平行；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）垂直于同一个平面的两个平面平行；其中真命题的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
10、已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，在下列四个命题中错误的是（ ）
A、若m∥α，α∩β=n，则m∥n
B、若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C、若m∥n，m⊥α，则n⊥α
D、若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β
11、设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l?α，m?β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β、那么（ ）
A、①是真命题，②是假命题
B、①是假命题，②是真命题
C、①②都是真命题
D、①②都是假命题
12、若有平面α与β，且α∩β=l，α⊥β，P∈α，P?l，则下列命题中的假命题为（ ）
A、过点P且垂直于α的直线平行于β
B、过点P且垂直于l的平面垂直于β
C、过点P且垂直于β的直线在α内
D、过点P且垂直于l的直线在α内
13、若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A、若α∥β，m⊥α，则m⊥β
B、若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C、若m∥α，m⊥β，则α⊥β
D、若α∩β=m，n与α、β所成的角相等，则m⊥n
14、设l，m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，有如下四个命题：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l?α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n其中正确命题的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
15、已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）
A、若m∥n，m⊥α，则n⊥α B、若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C、若m⊥α，m⊥β，则α∥β D、若m⊥α，m?β，则α⊥β
16、设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β．其中可能的情况有（ ）21*cnjy*com
A、1种 B、2种
C、3种 D、4种
17、已知α，β是两个平面，直线l?α，l?β，设（1）l⊥α，（2）l∥β，（3）α⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
18、下列命题中正确的是（ ）
A、若直线l∥平面M，则直线l的垂线必平行于平面M
B、若直线l与平面M相交，则有且只有一个平面经过l且与平面M垂直
C、若直线a，b?平面M，a，b相交，且直线l⊥a，l⊥b，则l⊥M
D、若直线a∥平面M，直线b⊥a，则b⊥M
19、已知：m、n是两条直线，α、β是两个平面，则下列四个命题
（1）若m⊥n，m⊥α，则n∥α．
（2）若m∥α，α⊥β，则m⊥β．
（3）若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．
（4）若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m?α．21*cnjy*com
其中正确命题的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
20、已知直线m、n、l，平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A、若m?β，n?β，m∥α，n∥β，则α∥β，
B、若m?β，n?β，l⊥m，l⊥n，则l⊥β
C、若m⊥α，m∥n，则n⊥α
D、α⊥β，m?n，n?β，则m⊥n
二、填空题（共5小题）
21、给出下列命题：
（1）三点确定一个平面；
（2）在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；
（3）若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；
（4）若直线a、b、c满足a⊥b、a⊥c，则b∥c．
其中正确命题的个数是 _________ ．
22、已知 l，m，n是互不相同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：
①m?α，l∩α=A，点A?m，则 l与 m 是异面直线；
②若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
③l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
④若l?α，m?α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β
其中是真命题的是 _________ （请写出所有正确答案的序号）
23、已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，则m平行于α内的无数条直线；
②若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
④若α∥β，m?α，则m∥β；
⑤若α⊥β，α∩β=m，n经过α内的一点，n⊥m，则n⊥β．
上面命题中，真命题的序号是 _________ （写出所有真命题的序号）．
24、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是 _________ ．
①?m⊥α；②；③；④
25、阅读以下命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的所有平面；21*cnjy*com
②如果直线a和平面a满足a∥a，那么a与a内的任意直线平行；
③如果直线a，b和平面a满足a∥a，b∥a，那么a∥b；
④如果直线a，b和平面a满足a∥b，a∥a，b?a，，那么b∥a；
⑤如果平面α⊥平面x，平面β⊥平面x，α∩β=l，那么l⊥平面x．
请将所有正确命题的编号写在横线上 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1．求证：AA1、BB1、CC1三线共点．
27、如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
28、将两块三角板按图甲方式拼好，其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如图乙．
（1）求证：BC⊥AD；
（2）求证：O为线段AB中点；
（3）求二面角D﹣AC﹣B的大小的正弦值．
29、如图，在三棱锥B﹣ACD中，AB=BD=CD=1，AC=，BE⊥AC，CD⊥DE，∠DCE=30°．21*cnjy*com
（1）求证：平面BCE⊥平面ACD；
（2）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．21*cnjy*com
30、如图（1）在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，点D为AP的中点，点E、F、G分别这PC、PD、CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD内的射影为点D，如图（2）．
（1）求证：PA∥平面EFG；
（2）求二面角E﹣FG﹣D的余弦值的绝对值．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的为（ ）
A、若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β B、若m∥α，m∥β，则α∥β
C、若m∥α，n∥α，则m∥n D、若m⊥α，n⊥α，则m∥n
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：用身边的事物举例，或用长方体找反例，对答案项进行验证和排除．
解答：解：反例把书打开直立在桌面上，α与β相交或垂直；
答案B：α与β相交时候，m与交线平行；
答案C：直线m与n相交，异面，平行都有可能，以长方体为载体；
答案D：，正确
故选D．
点评：本题考查了线面的垂直和平行关系，多用身边具体的例子进行说明，或用长方体举反例．21*cnjy*com
2、已知直线m、n与平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A、m∥α，n∥β且α∥β，则m∥n B、m∥α，n∥β且α⊥β，则m⊥n
C、α∩β=m，n⊥β且α⊥β，则n⊥α D、m⊥α，n⊥β且α⊥β，则m⊥n
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：综合题。
分析：由面面平行的判定定理知A不对，用当m与n都与α和β的交线平行时判断B不对，由面面垂直的性质定理知C不对，故D正确由面面垂直和线面垂直以及平行简单证明．
解答：解：A、由面面平行的判定定理知，m与n可能相交，故A不对；
B、当m与n都与α和β的交线平行时，也符合条件，但是m∥n，故B不对；
C、由面面垂直的性质定理知，必须有m⊥n，n?β时，n⊥α，否则不成立，故C不对；21*cnjy*com
D、由n⊥β且α⊥β，得n?α或n∥α，又因m⊥α，则m⊥n，故D正确．
故选D．
点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了对定理的运用能力和空间想象能力．
3、关于线、面的四个命题中不正确的是（ ）
A、平行于同一平面的两个平面一定平行 B、平行于同一直线的两条直线一定平行
C、垂直于同一直线的两条直线一定平行 D、垂直于同一平面的两条直线一定平行
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：利用平行的传递性及线面垂直的性质定理，逐项判断即可．
解答：解：由直线和平面平行的传递性可得出：答案A、B正确；
再由线面垂直的性质定理得出：答案D正确；
因垂直于同一条直线的两条直线不一定平行，可能相交或异面，故C不对．
故选C．
点评：本题属于基础题，考查平行的传递性及线面垂直的性质定理，还有异面直线．
4、给定下列四个命题：
①a，b是两异面直线，那么经过直线a可以作无数个与直线b平行的平面．
②α，β是任意两个平面，那么一定存在平面满足α⊥γ且β⊥γ．
③a，b是长方体互相平行的两条棱，将长方体展开，那么在展开图中，a、6对应的线段所在直线互相平行．
④已知任意直线a和平面a，那么一定荏在平面γ，满足α?γ且α⊥γ．
其中，为真命题的是（ ）
A、①和② B、②和③
C、③和④ D、②和④
射影确定的平面γ与α垂直，
综上④正确．21*cnjy*com
故选D．
点评：此题是个基础题．考查空间中直线与直线之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，以及灵活应用知识分析、解决问题的能力．
5、已知m、n是两条不同直线，α、β、γ是三个不同平面，则下列命题中正确的是（ ）
A、若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，则n⊥α或n⊥β
B、若m不垂直于α，则m不可能垂直于α内的无数条直线21*cnjy*com
C、若α∩β=m，n∥m，且n?α，n?β，则n∥α且n∥β
D、若α⊥β，m∥n，n⊥β，则m∥α
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
分析：根据题意，以此分析选项有：A、此命题考查的是：平面与平面垂直的性质定理．若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，当a?α时，n⊥α；当a?β时，n⊥β；B、此命题考查的是：直线与平面垂直的定义．m不垂直于α，但是m可以垂直于α内的无数条平行直线；C、根据直线与平面平行的判定定理可知：n∥α且n∥β；D、此命题考查的是直线与平面平行的判定定理：m有可能在平面α内．
解答：解：依次分析可得：
A、若α⊥β，α∩β=m，n⊥m，当a?α时，n⊥α；当a?β时，n⊥β．故A错误．
B、m可以垂直于α内的无数条平行直线，但是m不一定垂直于α．故B错误．
C、根据直线与平面平行的判定定理可知：n∥α且n∥β．故C正确．
D、m有可能在平面α内，故D错误．
故选C．
点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．
6、已知m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，下列四个命题中，正确的是（ ）
A、若m∥α，n∥α，则m∥n B、若m?α，n?α，且m∥β，n∥β，则α∥β
C、若α⊥β，m?α，则m⊥β D、若α⊥β，m⊥β，m?α，则m∥α
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：由题意知，用平行和垂直的定理进行判断，对简单的可在长方体中找反例．
解答：解：A错，平行于同一平面的两直线可平行、相交和异面；
B错，必须平面内有两条相交直线分别与平面平行，此时两平面才平行；
C错，两垂直平面内的任一直线与另一平面可平行、相交或垂直；
D对，由α⊥β，在α内作交线的垂线c，则c⊥β，因m⊥β，m?α，所以m∥α．21*cnjy*com
故选D．
点评：本题为基础题，考查了空间线面的平行和垂直关系，借助具体的事物培养空间想象力．
7、关于直线l，m及平面α，β，下列命题中正确的是（ ）
A、若l∥α，α∩β=m，则l∥m B、若l∥α，m∥α，则l∥m
C、若l⊥α，l∥β，则α⊥β D、若l∥α，m⊥l，则m⊥α
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
分析：由线面平行的性质定理和面面平行的判定定理判断A、B；再由线面和面面垂直的定理判断C、D．
解答：解：A不对，由线面平行的性质定理知必须l?β；21*cnjy*com
B不对，由面面平行的判定定理知两条直线必须相交；
D不对，有条件有可能m?α；
C正确，由l∥β知在β内有与l平行的直线，再由l⊥α和面面垂直的判定定理得α⊥β．
故选C．
点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．
8、已知直线m⊥平面α，直线n?平面β，则下列命题正确的是（ ）
A、若α∥β，则m⊥n B、若α⊥β，则m∥n
C、若m⊥n，则α∥β D、若n∥α，则α∥β
9、在空间中，有下列四个命题：（1）垂直于同一条直线的两条直线平行；（2）垂直于同一个平面的两条直线平行；（3）垂直于同一条直线的两个平面平行；（4）垂直于同一个平面的两个平面平行；其中真命题的个数为（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：计算题。
分析：利用线面平行和垂直的定理，结合长方体和身边的事物来判断．
解答：解：命题（1）不对，垂直于同一条直线的两条直线，垂直于同一条直线的两条直线可能相交或异面，在长方体中找．
命题（2）正确，符合线面垂直的性质定理；命题（3）正确；
命题（4）不对，垂直于同一个平面的两个平面还可能相交，比如课本打开立在桌面上．
故选B．
点评：本题考查了线面的平行和垂直定理，借助于具体的事物有助于理解，还能培养立体感．
10、已知两个不同的平面α，β和两条不重合的直线m，n，在下列四个命题中错误的是（ ）
A、若m∥α，α∩β=n，则m∥n B、若m⊥α，m⊥β，则α∥β
C、若m∥n，m⊥α，则n⊥α D、若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：由线面平行的性质定理判断出A不对，因是单选题故选A．对于B、C、D选项用平行和垂直的结论以及面面垂直的判定定理判断．
解答：解：A不对，由线面平行的性质定理得，当m?β时成立；否则不一定成立．
B正确，同垂直与一条直线的两个平面平行；C正确，课本例题的结论；
D正确，由m⊥α，m∥n得，n⊥α，又因n?β，所以α⊥β．
故选A．
点评：本题考查了空间中的线面位置关系，用了线面平行的性质定理，平行和垂直的结论以及面面垂直的判定定理判断；当然对于单选题选出正确答案即可．
11、（2005?浙江）设α、β为两个不同的平面，l、m为两条不同的直线，且l?α，m?β，有如下的两个命题：①若α∥β，则l∥m；②若l⊥m，则α⊥β、那么（ ）
A、①是真命题，②是假命题 B、①是假命题，②是真命题
C、①②都是真命题 D、①②都是假命题
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。21*cnjy*com
分析：本题考查的知识点是空间中线面关系，线线关系和面面关系，我们根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析题目中的两个结论，即可求出答案．
解答：解：若α∥β，则l与m可能平行也可能异面，故①为假命题；
若l⊥m时，α与β可能平行也可能相交，故②为假命题；21*cnjy*com
故①②都是假命题
故选D
点评：要证明一个结论是正确的，我们要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，我们只要举出反例即可．
12、若有平面α与β，且α∩β=l，α⊥β，P∈α，P?l，则下列命题中的假命题为（ ）
A、过点P且垂直于α的直线平行于β
B、过点P且垂直于l的平面垂直于β
C、过点P且垂直于β的直线在α内
D、过点P且垂直于l的直线在α内
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
分析：本题用面面垂直性质定理逐项验证，注意在其中一个平面内作交线的垂线．
解答：解：过点P且垂直于α的直线一定平行于在β内与交线垂直的直线，故A正确；
由题意和面面垂直的性质定理知，选项B、C正确；
过点P且垂直于l的直线有可能垂直与α，D不正确；
故选D．
点评：本题考查了面面垂直性质定理中的条件缺一不可，加强对定理的理解，属于基础题．
13、若m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A、若α∥β，m⊥α，则m⊥β B、若m∥n，m⊥α，则n⊥α
C、若m∥α，m⊥β，则α⊥β D、若α∩β=m，n与α、β所成的角相等，则m⊥n
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
分析：本题考查的知识点是空间中线面关系，线线关系和面面关系，我们根据空间空间中线面关系的判定及性质定理逐个分析四个答案，即可求出答案．
解答：解：若α∥β，m⊥α，根据面面平行的性质，我们易得m⊥β也成立，故A正确；
若m∥n，m⊥α，根据线面垂直的第二判定定理，我们易得n⊥α，故B正确；
若m∥α，m⊥β，根据线面垂直的判断定理，我们易得⊥β，故C正确；
当直线m与n平行时，直线m与两平面α，β所成的角也相等均为0°，故D不正确．
故答案选D
点评：要证明一个结论是正确的，我们要经过严谨的论证，要找到能充分说明问题的相关公理、定理、性质进行说明；但要证明一个结论是错误的，我们只要举出反例即可．
14、设l，m，n为不同的直线，α，β为不同的平面，有如下四个命题：①若α⊥β，l⊥α，则l∥β②若α⊥β，l?α，则l⊥β③若l⊥m，m⊥n，则l∥n④若m⊥α，n∥β且α∥β，则m⊥n其中正确命题的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：计算题。
分析：由面面垂直的判定定理和性质定理判断①②，面面平行和线面平行的定理去判断④；用长方体举反例判断③．
解答：解：①不对，由面面垂直的判定定理知，l有可能在β内；21世纪教育网版权所有
②不对，由面面垂直的性质定理知，l有可能与β斜交；
③不对，反例：长方体相连的三条棱；
④对，由m⊥α，α∥β，得m⊥β，又因n∥β，所以m⊥n；21世纪教育网版权所有
故选A．
点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面和面面平行及垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．
15、已知α、β是两个不同平面，m、n是两不同直线，下列命题中的假命题是（ ）21世纪教育网版权所有
A、若m∥n，m⊥α，则n⊥α B、若m∥α，α∩β=n，则m∥n
C、若m⊥α，m⊥β，则α∥β D、若m⊥α，m?β，则α⊥β
16、设a、b是两条互不垂直的异面直线，过a、b分别作平面α、β，对于下面四种情况：①b∥α，②b⊥α，③α∥β，④α⊥β．其中可能的情况有（ ）
A、1种 B、2种
C、3种 D、4种
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：计算题。
分析：由异面直线的定义，线面平行的判定定理、面面平行的定义和面面垂直的性质定理判断．
解答：解：①可能，过a上一点作与b平行的直线确定的平面α，则b∥α；
②不可能，当a与b不垂直时，否则有b⊥a与已知矛盾；③可能，由面面平行的定义知；
④可能，面面垂直的性质定理；
故选C．
点评：本题主要考查了异面直线的位置关系，利用线面平行的判定定理、面面平行的定义和面面垂直的性质定理，注重学生对定理的运用能力和空间想象能力的培养．
17、已知α，β是两个平面，直线l?α，l?β，设（1）l⊥α，（2）l∥β，（3）α⊥β，若以其中两个作为条件，另一个作为结论，则正确命题的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：开放型。
分析：以其中两个作为条件，另一个作为结论，所能构造的命题一共有三个．其中：若l⊥α，l∥β，则α⊥β，此命题正确．若l⊥α，α⊥β，且l?β，则l∥β，此命题正确．若l∥β，α⊥β，且l?α，则l⊥α，此命题错误．因为还有可能是平行、相交的位置关系．此命题主要考查的是空间中直线与平面之间的位置关系、平面与平面的位置关系．
解答：解：根据题意，以其中两个作为条件，另一个作为结论，所能构造的命题一共有三个；分别为①若l⊥α，l∥β，则α⊥β，②若l⊥α，α⊥β，且l?β，则l∥β，③若l∥β，α⊥β，且l?α，则l⊥α；
分析可得：①若l⊥α，l∥β，则α⊥β，此命题正确．
②若l⊥α，α⊥β，且l?β，则l∥β，此命题正确．
③若l∥β，α⊥β，且l?α，则l⊥α，此命题错误．因为还有可能是平行、相交的位置关系．21世纪教育网版权所有
即正确的命题有2个．
故选C．
点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．
18、下列命题中正确的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、若直线l∥平面M，则直线l的垂线必平行于平面M
B、若直线l与平面M相交，则有且只有一个平面经过l且与平面M垂直
C、若直线a，b?平面M，a，b相交，且直线l⊥a，l⊥b，则l⊥M
D、若直线a∥平面M，直线b⊥a，则b⊥M
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：对于选项A中直线l的垂线也可能与平面M相交，对于选项B当直线l垂直平面时，有无数个平面与平面M垂直，对于选项C根据线面垂直的判定定理进行判定，对于选项D列举出所以可能即可．
解答：解：若直线l∥平面M，则直线l的垂线必平行于平面M，不正确，直线l的垂线也可能与平面M相交；
若直线l与平面M相交，则有且只有一个平面经过l且与平面M垂直，不正确，当直线l垂直平面时，有无数个平面与平面M垂直；
若直线a，b?平面M，a，b相交，且直线l⊥a，l⊥b，则l⊥M，根据线面垂直的判定定理可知正确；
若直线a∥平面M，直线b⊥a，则b与M相交或平行，故不正确；
故选C
点评：本题主要考查了空间直线与平面的位置关系，以及线面垂直的判定定理，同时考查了推理能力，属于基础题．
19、已知：m、n是两条直线，α、β是两个平面，则下列四个命题
（1）若m⊥n，m⊥α，则n∥α．
（2）若m∥α，α⊥β，则m⊥β．
（3）若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β．
（4）若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m?α．
其中正确命题的个数是（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：对于（1）（4）根据面面垂直的性质可知若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n?α，从而判定真假，对于（2）列举出所以可能，对于（3）根据面面垂直的判定定理进行判定即可．
解答：解：（1）若m⊥n，m⊥α，则n∥α或n?α，故不正确；
（2）若m∥α，α⊥β，则m与β平行或相交，故不正确；
（3）若m⊥n，m⊥α，n⊥β，则α⊥β，根据面面垂直的判定定理进行判定，正确
（4）若m⊥β，α⊥β，则m∥α或m?α，根据面面垂直的性质可知正确；
故选C
点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，以及平面与平面之间的位置关系，属于基础题．
20、已知直线m、n、l，平面α，β，下列命题正确的是（ ）
A、若m?β，n?β，m∥α，n∥β，则α∥β， B、若m?β，n?β，l⊥m，l⊥n，则l⊥β
C、若m⊥α，m∥n，则n⊥α D、α⊥β，m?n，n?β，则m⊥n
二、填空题（共5小题）
21、给出下列命题：
（1）三点确定一个平面；
（2）在空间中，过直线外一点只能作一条直线与该直线平行；
（3）若平面α上有不共线的三点到平面β的距离相等，则α∥β；
（4）若直线a、b、c满足a⊥b、a⊥c，则b∥c．
其中正确命题的个数是 1个 ．
考点：平面的基本性质及推论；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
分析：（1）此命题考查的是公理3的内容：经过不在同一直线上的三个点，有且只有一个平面．
（2）此命题考查的是平面的基本性质及推论：不论是在空间中还是在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．
（3）此命题考查的是平面与平面的位置关系．
（4）此命题考查的是空间中直线与直线之间的位置关系．
解答：解：（1）、不共线的三点确定一个平面，故（1）错．
（2）、不论是在空间中还是在平面内，过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故（2）正确．
（3）、如图所示：点A1、A、C到平面D1DBB1的距离都相等，但是平面A1ACC1与平面D1DBB1是相交关系，故（3）错．
（4）、如图所示：a⊥b、a⊥c，但是直线b、c相交，故（4）错．21世纪教育网版权所有
故答案为：1个
点评：本小题考查平面的基本性质及推论，空间中的线面关系，面面关系．
22、已知 l，m，n是互不相同的直线，α，β是不同的平面，则下列四个命题：21世纪教育网版权所有
①m?α，l∩α=A，点A?m，则 l与 m 是异面直线；
②若l∥α，m∥β，α∥β，则l∥m；
③l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，则n⊥α；
④若l?α，m?α，l∩m=A，l∥β，m∥β，则α∥β
其中是真命题的是 ①、③、④ （请写出所有正确答案的序号）
考点：异面直线的判定；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
分析：由异面直线的判定定理知，①正确．由于分别平行于两个平行平面的两条直线可能平行、可能相交、也可能是异面直线，故②不正确．由于l、m在平面α内的射影是两条相交直线，且这两直线都和n垂直，故n⊥α成立，③正确；由面面平行的判定定理知，④正确．
解答：解：因为平面α外的直线l经过平面α内的一点A，平面α内的直线m不过点A，故l与 m 是异面直线，故①正确．
由 l∥α，m∥β，α∥β，可得 l与 m 可能平行、可能相交，也可能是异面直线，故 ②不正确．
∵l、m是异面直线，l∥α，m∥α，且n⊥l，n⊥m，∴l、m在平面α内的射影是两条相交直线，
且n垂直于平面α内的这两条射影，故n⊥α成立，故③正确．
由于平面α内的两条相交的直线l和m都平行于平面β，由面面平行的判定定理知 α∥β．21世纪教育网版权所有
综上，①③④正确，②不正确，
故答案为 ①③④．
点评：本题考查判断异面直线的方法，直线和平面的位置关系以及平面与平面的位置关系．
23、（2005?山东）已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面，给出下列命题：
①若m∥α，则m平行于α内的无数条直线；
②若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；21世纪教育网版权所有
③若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β；
④若α∥β，m?α，则m∥β；
⑤若α⊥β，α∩β=m，n经过α内的一点，n⊥m，则n⊥β．
上面命题中，真命题的序号是 ①③④ （写出所有真命题的序号）．
24、设m，n是两条不同的直线，α，β是两个不重合的平面，给定下列四个命题，其中为真命题的是 ②③ ．
①?m⊥α；②；③；④
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
分析：对于①④可举反例，而②根据面面垂直的判定定理可知，对于③根据线面垂直的性质定理可知．
解答：解：B1C1⊥AB，AB?面ABCD，但B1C1与面ABCD不垂直，故①不正确
根据面面垂直的判定定理可知②正确
根据线面垂直的性质定理可知③正确
面A1C1∥面AC，B1C1?面A1C1，AB?面AC，而B1C1与AB不平行，故不正确
故选②③
点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系和平面与平面之间的位置关系，属于基础题．
25、阅读以下命题：
①如果a，b是两条直线，且a∥b，那么a平行于经过b的所有平面；
②如果直线a和平面a满足a∥a，那么a与a内的任意直线平行；
③如果直线a，b和平面a满足a∥a，b∥a，那么a∥b；
④如果直线a，b和平面a满足a∥b，a∥a，b?a，，那么b∥a；
⑤如果平面α⊥平面x，平面β⊥平面x，α∩β=l，那么l⊥平面x．21世纪教育网
请将所有正确命题的编号写在横线上 ④⑤ ．
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
分析：逐一分析各个命题，通过举反例、排除、筛选，得到正确的命题．
解答：解； ①中的a、b可能都在同一个平面内，故①不正确．
②直线a和平面a的直线平行或者是异面直线，故②不正确．
③a和b平行、相交、或者是异面直线，故③不正确．
④因为平面外的2条直线中，如果有一个和这个平面平行，那么另一个也和这个平面平行．故④正确．
⑤如果2个平面都垂直于第三个平面，那么这2个平面的交线也垂直于第三个平面，故⑤正确．
综上，正确的命题是④⑤．
点评：本题综合考查线线、线面、面面关系．
三、解答题（共5小题）
26、如图，设不全等的△ABC与△A1B1C1不在同一平面内，且AB∥A1B1，BC∥B1C1，CA∥C1A1．21世纪教育网
求证：AA1、BB1、CC1三线共点．
27、如图，已知四棱锥P﹣ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=PB=PC=2CD=2，侧面PBC⊥底面ABCD．
（1）求证：PA⊥BD；
（2）求二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
分析：（1）首先建立恰当的空间直角坐标系，然后表示出、的坐标，证明其乘积为0即可；
（2）分别求出平面PAD的法向量与平面BAD的法向量，由它们的夹角余弦值进而求出二面角P﹣AD﹣B的余弦值．
解答：（1）证明：如图，∵△PBC是等边三角形，O是BC中点，∴PO⊥BC．
由侧面PBC⊥底面ABCD，得PO⊥平面ABCD，
以BC中点O为原点，以BC所在直线为x轴，过点O与AB平行的直线为y轴，建立如图所示的
空间直角坐标系O﹣xyz．21世纪教育网
∵AB=BC=PB=PC=2CD=2，
∴A（1，﹣2，0），B（1，0，0），D（﹣1，﹣1，0），P（0，0，）．
∴，．
∵=0，21世纪教育网
∴即BD⊥PA．
（2）解：由（1）知=（﹣2，1，0），=（1，﹣2，﹣），
设平面PAD的法向量为=（x，y，z），
则，即．
不妨取=（1，2，﹣）．
又平面BAD的一个法向量为=（0，0，1），
∴cos＜，＞===．
又二面角P﹣AD﹣B是锐二面角，
∴二面角P﹣AD﹣B的余弦值为．
点评：本题主要考查向量法解立体几何问题．
28、将两块三角板按图甲方式拼好，其中∠B=∠D=90°，∠ACD=30°，∠ACB=45°，AC=2，现将三角板ACD沿AC折起，使D在平面ABC上的射影O恰好在AB上，如图乙．
（I）求证：BC⊥AD；
（II）求证：O为线段AB中点；
（III）求二面角D﹣AC﹣B的大小的正弦值．
29、如图，在三棱锥B﹣ACD中，AB=BD=CD=1，AC=，BE⊥AC，CD⊥DE，∠DCE=30°．
（Ⅰ）求证：平面BCE⊥平面ACD；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面之间的位置关系。
分析：（Ⅰ）要证平面BCE⊥平面ACD，需证BE⊥面ACD，即可．
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD所成角的正弦值．用等体积方法求出C到面ABD的距离即可．21世纪教育网版权所有
解答：解：（Ⅰ）由已知得，
∴BE2+DE2=BD2，
∴BE⊥DE又∵BE⊥AC，∴BE⊥面ACD，
∵BE?，面BDE，
∴面BDE⊥面ACD
（Ⅱ）方法一：
设C到平面ABD的距离为h，由VB﹣ACD=VC﹣ABD，21世纪教育网版权所有
得
则．
设AC于平面ABD所成角为α，则，
∴AC与平面ABD所成角的正弦值为．
方法二：建立如图所示直角坐标系，则
D（0，0，0），A（，，0），
B（，0，），C（0，1，0），
∴=（，，0），=（，，0）=（，0，）
设平面ABD的一个法向量为n=（x，y，z），
则
∴取n=（，，﹣1）
设AB于平面ABD所成角为α，
∴AC与平面ABD所成角的正弦值为
点评：本题考查空间直线和平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，空间直角坐标系的运算，是中档题．
30、如图（1）在直角梯形ABCP中，AP∥BC，AP⊥AB，AB=BC=AP=2，点D为AP的中点，点E、F、G分别这PC、PD、CB的中点，将三角形PCD沿CD折起，使点P在平面ABCD内的射影为点D，如图（2）．
（1）求证：PA∥平面EFG；
（2）求二面角E﹣FG﹣D的余弦值的绝对值．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查空间平面与平面之间的位置关系，空间直角坐标系，法向量，数量积等知识，是难题．
