异面直线的判定
一、选择题（共20小题）
1、从正方体的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条直线是异面直线的概率是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、（文）从过六棱锥任意两个顶点的所有直线中任意取出两条，这两条是异面直线的概率为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
3、在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱所在的直线成异面直线的概率为（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、
4、下列说法中正确的是（ ）
A、平面α和平面β可以只有一个公共点
B、相交于同一点的三直线一定在同一平面内
C、过两条相交直线有且只有一个平面
D、没有公共点的两条直线一定是异面直线
5、下列四个命题中错误的是（ ）21cnjy
A、若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面
B、若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D、两条异面直线不可能垂直于同一个平面
6、设a，b是异面直线，给出下列四个命题：
①存在平面α，β，使a?α，b?β，α∥β；
②存在惟一平面α，使a，b与α距离相等；
③空间存在直线c，使c上任一点到a，b距离相等；
④与a，b都相交的两条直线m，n一定是异面直线．21cnjy
其中正确命题的个数有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
7、如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A、EF与BB1垂直 B、EF与BD垂直
C、EF与CD异面 D、EF与A1C1异面
8、菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是（ ）
A、平行 B、相交但不垂直
C、垂直相交 D、异面且垂直
9、下列命题中正确的是（ ）
A、空间三点可以确定一个平面
B、垂直于同一条直线的两条直线平行
C、四边相等的四边形是菱形
D、既不相交也不平行的两条直线是异面直线
10、在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是（ ）
A、 B、
C、 D、
11、四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的12条棱中，与棱AA1异面的棱共有（ ）21*cnjy*com
A、3条 B、4条
C、6条 D、7条
12、AB、CD是两条异面直线，则直线AC、BD的位置关系是（ ）21*cnjy*com
A、一定异面 B、可能平行
C、可能相交 D、可能共面也可能异面
13、某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”；黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（ ）
A、0 B、1
C、 D、
14、长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有（ ）
A、4条 B、6条21cnjy
C、8条 D、10条
15、若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（ ）
A、24 B、4821cnjy
C、72 D、78
16、给出下列正方体的侧面展开图，其中A、B、C、D分别是正方体的棱的中点，那么，在原正方体中，AB与CD所在直线为异面直线的是（ ）
A、 B、
C、 D、
17、若a⊥b，b⊥c，则有（ ）
A、a∥c B、a⊥c
C、c异面 D、A，B，C选项都不正确
18、长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（ ）
A、2对 B、3对
C、6对 D、12对
19、如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD各棱所在的直线中，与直线AB异面的有（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
20、异面直线是指（ ）
A、空间中两条不相交的直线
B、平面内的一条直线与平面外的一条直线21cnjy
C、分别位于两个不同平面内的两条直线
D、不同在任何一个平面内的两条直线
二、填空题（共5小题）
21、16、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点．以下四个结论：
①直线AM与直线CC1相交；
②直线AM与直线BN平行；21*cnjy*com
③直线AM与直线DD1异面；
④直线BN与直线MB1异面．
其中正确结论的序号为 _________ ．
（注：把你认为正确的结论序号都填上）21cnjy
22、以下各命题：
①若棱柱的两个相邻侧面是矩形，则它是直棱柱；
②若用一个平行于三棱锥底面的平面去截它，把这个三棱锥分成体积相等的两部分，则21cnjy
截面面积与底面面积之比为；
③垂直于两条异面直线，且到它们的距离都为同一定值d（d＞0）的直线一共有4条；
④存在侧棱长与底面边长相等的正六棱锥．
其中正确的有 _________ （填写正确命题的序号）
23、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：21cnjy
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上四个命题中，正确命题的序号是 _________ ．
24、在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有 _________ ．（填上所有正确答案的序号）
25、在三棱锥A﹣BCD中，直线AB与CD的位置关系为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、如图；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是CD的中点．
（1）如图中与BA1是异面直线的条数有．
（2）求BA1与AD1的所成角的大小．21cnjy
（3）求AE与BA1的所成角的大小．
27、已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：
（1）对角线AC、BD是异面直线；
（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．21cnjy
28、如图，写出与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线．21cnjy
29、已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．
30、A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角．
21cnjy
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、从正方体的8个顶点的任意两个所确定的所有直线中取出两条，则这两条直线是异面直线的概率是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：等可能事件的概率；异面直线的判定。
专题：计算题。
分析：因为从正方体的八个顶点中任取两个点共有C82条直线，从中任意取出两条有C282种取法，从八个顶点任取四个不共面的点共有C84﹣12组；而其中每一组不共面的四点可出现3对异面直线．得到概率．
解答：解：因为从正方体的八个顶点中任取两个点共有C82=28条直线，
从中任意取出两条有C282种取法，
从八个顶点任取四个不共面的点共有C84﹣12组；21cnjy
而其中每一组不共面的四点可出现3对异面直线．
∴所求的概率为P=3=
故选B．
点评：本小题主要考查异面直线及其判断、等可能事件的概率等基础知识，本题解题的关键是看出符合条件的异面直线的条数，本题是一个基础题．21cnjy
2、（文）从过六棱锥任意两个顶点的所有直线中任意取出两条，这两条是异面直线的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：等可能事件的概率；异面直线的判定。21cnjy
专题：计算题。
分析：本题是一个等可能事件的概率，从7个顶点中从取2个共得C72条直线，从这21条中任取2条共有C212种取法，满足条件的事件是侧棱PA成异面直线的有10条，与其他侧棱成异面直线的也分别有10条，得到所求的异面直线共有6×10=60对，根据等可能事件的概率公式得到结果．
解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
设六棱锥P﹣ABCDEF，则与侧棱PA成异面直线的底面的边所在的直线有BC、CD、DE、EF四条；
与侧棱PA成异面直线的底面的对角线所在的直线有BD、BE、BF、CE、CF、DF六条，
即与侧棱PA成异面直线的有10条，
同理与其他侧棱成异面直线的也分别有10条，
故所求的异面直线共有6×10=60对，
从7个顶点中从取2个共得C72=21条直线，
从这21条中任取2条共有C212=210种取法，
∴．
故选A．
点评：本题考查等可能事件的概率，考查异面直线的判定，本题是一个综合题，解题的关键是数清楚图形中异面直线的条数．
3、在正方体上任意选择两条棱，则这两条棱所在的直线成异面直线的概率为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：等可能事件的概率；异面直线的判定。
专题：计算题。
分析：任意取一条棱，根据正方体的图形得到与该棱存在各种空间关系的条数，同时根据异面直线的定义判断出与之异面的棱的条数，利用古典概型的概率公式求出这两条棱所在的直线成异面直线的概率．
解答：对于任意条棱来说，都有4条棱与它成异面，
而与该棱存在各种空间关系的总共有11条棱（除他本身），
故这两条棱所在的直线成异面直线的概率．
故选A．
点评：求古典概型的事件的概率，需要得到事件包含的基本事件的个数，求基本事件个数的方法有：列举法、树状图法、列表法、排列组合法．
4、下列说法中正确的是（ ）
A、平面α和平面β可以只有一个公共点
B、相交于同一点的三直线一定在同一平面内21cnjy
C、过两条相交直线有且只有一个平面
D、没有公共点的两条直线一定是异面直线
点评：本小题主要考查平面的基本性质及推论、确定平面的条件、共面的证明方法、异面直线的判定等基础知识，考查空间想象力、化归与转化思想．属于基础题．
5、下列四个命题中错误的是（ ）
A、若直线a、b互相平行，则直线a、b确定一个平面 B、若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线 D、两条异面直线不可能垂直于同一个平面
考点：平面的基本性质及推论；异面直线的判定。
专题：证明题。
分析：根据公理2以及推论判断A和B，由线线位置关系的定义判断C，利用线面垂直的性质定理和异面直线的定义判断D．
解答：解：A、由两条直线平行确定一个平面判断正确，故A不对；
B、根据三棱锥的四个顶点知，任意三点都不共线，故B不对；
C、若两条直线没有公共点，则这两条直线异面或平行，故C对；
D、根据线面垂直的性质定理知，这两条直线平行，即不可能，故D不对．
故选C．
点评：本题考查了的内容多，涉及到公理2以及推论、由线线位置关系的定义、线面垂直的性质定理和异面直线的定义，难度不大，需要掌握好基本知识．
6、设a，b是异面直线，给出下列四个命题：
①存在平面α，β，使a?α，b?β，α∥β；
②存在惟一平面α，使a，b与α距离相等；
③空间存在直线c，使c上任一点到a，b距离相等；
④与a，b都相交的两条直线m，n一定是异面直线．
其中正确命题的个数有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：平面的基本性质及推论；异面直线的判定。
分析：根据题意，①分别过两异面直线与其公垂线的交点作平面即可，②过其公垂线的中点作与公垂线垂直的平面；③过其公垂线的中点作与公垂线垂直的平面内任一条直线都可以．④若m，n与a相交与同一点，则m，n就不是异面直线；综合可得答案．
解答：解：设a，b是异面直线，给出下列四个命题：21cnjy
分别过两异面直线与其公垂线的交点作平面，有a?α，b?β，α∥β；①正确．
过其公垂线的中点作与公垂线垂直的平面．使a，b与α距离相等；②正确．21cnjy
过其公垂线的中点作与公垂线垂直的平面内任一条直线都可以．③正确．21cnjy
若m，n与a相交与同一点，则m，n就不是异面直线．不正确．
点评：本题主要考查异面直线及其公垂线，在探讨中要注意运用几何模型．
7、（2007?湖南）如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，E、F分别是AB1、BC1的中点，则以下结论中不成立的是（ ）
A、EF与BB1垂直 B、EF与BD垂直
C、EF与CD异面 D、EF与A1C1异面
8、菱形ABCD在平面α内，PC⊥α，则PA与BD的位置关系是（ ）
A、平行 B、相交但不垂直
C、垂直相交 D、异面且垂直
考点：异面直线的判定。
专题：证明题。
分析：首先根据题意，做出图示，根据异面直线的判定定理，易得PA与BD异面，连接AC、PA，由线面垂直的性质可得PC⊥BD，又由菱形的性质，可得PA⊥BD，即可得BD⊥平面PAC，即可得PA⊥BD，综合可得答案．
解答：解：根据题意，如图，
因为PA不在平面α内，并且过BD之外的一点，故PA与BD异面；
连接AC、PA，
PC⊥α，且BD在α内，则PC⊥BD，
由菱形的性质，可得AC⊥BD，
可得BD⊥平面PAC，即可得PA⊥BD，
综合可得，PA与BD异面且垂直；
故选D．
点评：本题考查异面直线的判定，注意根据题意，结合有关的定理、性质，进一步挖掘直线间的位置关系．
9、下列命题中正确的是（ ）
A、空间三点可以确定一个平面 B、垂直于同一条直线的两条直线平行21cnjy
C、四边相等的四边形是菱形 D、既不相交也不平行的两条直线是异面直线21cnjy
考点：异面直线的判定；平面的基本性质及推论。21cnjy
专题：规律型。
分析：根据空间不共线的三点可以确定一个平面，得到A错；根据在空间中，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都有可能，得到B错；根据在平面内，四边相等的四边形是菱形但在空间中，四边相等的四边形有可能是空间四边形，得到C错；根据既不相交也不平行的两条直线是异面直线，是异面直线的定义，得到D对．
解答：解：对于A，空间不共线的三点可以确定一个平面，所以A错；
对于B，在空间中，垂直于同一条直线的两条直线平行、相交、异面都有可能，所以B错；
对于C，在平面内，四边相等的四边形是菱形但在空间中，四边相等的四边形有可能是空间四边形，故C错；
对于 既不相交也不平行的两条直线是异面直线，是异面直线的定义，故D对．
故选D．
点评：题主要考查了平面的基本性质及推论、确定平面的条件及空间想象的能力，属于基础题．
10、在三棱锥的六条棱中任选两条，则这两条棱所在直线为异面直线的概率是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：异面直线的判定；等可能事件的概率。
专题：计算题。
分析：所有的选法共有 C62=15 种，这两条棱是一对异面直线的选法有3种，即三棱锥的3对对棱，由古典概型公式可得所求事件的概率．
解答：解：在三棱锥的六条棱中任意选择两条，
所有的选法共有 C62=15 种，
其中，这两条棱是一对异面直线的选法有3种，
即三棱锥的3对对棱，
故所求事件的概率等于：=，
故选 B．
点评：本题考查等可能事件的概率的求法，判断这两条棱是一对异面直线的有3种，即三棱锥的3对对棱，是解题的关键．
11、四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的12条棱中，与棱AA1异面的棱共有（ ）
A、3条 B、4条
C、6条 D、7条
考点：异面直线的判定。
分析：四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的12条棱中，与棱AA1异面的棱在每个底面内各有2条，BC、CD 和 B1C1、C1D1．
解答：解：四棱台ABCD﹣A1B1C1D1的12条棱中，
与棱AA1异面的棱有：BC、CD、B1C1、C1D1共4条，
故选 B．
点评：本题考查异面直线的判断方法，经过平面内一点和平面外的直线，与平面内不经过该点的直线时异面直线．
12、AB、CD是两条异面直线，则直线AC、BD的位置关系是（ ）
A、一定异面 B、可能平行
C、可能相交 D、可能共面也可能异面21cnjy
考点：异面直线的判定。21cnjy
专题：应用题。
分析：首先要了解异面直线的定义：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线．其特点是：既不平行，也不相交．即可得到答案．21cnjy
解答：解：因为AB、CD是两条异面直线，由异面直线定义可知直线AC与BD必不相交也不平行，一定异面．
故选A．
点评：此题主要考查异面直线的定义及性质的记忆问题，属于概念性的问题，是基础题型，同学们需要掌握．
13、某种游戏中，黑、黄两个“电子狗”从棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1的顶点A出发沿棱向前爬行，每爬完一条棱称为“爬完一段”；黑“电子狗”爬行的路线是AA1→A1D1→…，黄“电子狗”爬行的路线是AB→BB1→…，它们都遵循如下规则：所爬行的第i+2段与第i段所在直线必须是异面直线（其中i是正整数）．设黑“电子狗”爬完2006段，黄“电子狗”爬完2007段后各自停止在正方体的某个顶点处，这时黑、黄“电子狗”间的距离是（ ）
A、0 B、1
C、 D、
考点：异面直线的判定；棱柱的结构特征。
专题：规律型。
分析：先根据题意得到黑“电子狗”与黄“电子狗”经过几段后又回到起点得到周期，再计算黑“电子狗”爬完2006段后实质是到达哪个点以及计算黄“电子狗”爬完2007段后实质是到达哪个点，最后计算出它们的距离即可．
解答：解：由题意，黑“电子狗”爬行路线为AA1→A1D1→D1C1→C1C→CB→BA，即过6段后又回到起点，可以看作以6为周期，
同理，黄“电子狗”也是过6段后又回到起点．所以黑“电子狗”爬完2006段后实质是到达第二段的终点D1，
黄“电子狗”爬完2007段后到达第三段的终点C1．此时的距离为|C1D1|=1．
故选B．
点评：本题考查空间想象能力、异面直线的定义等相关知识，属于创新题．
14、长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，与面ABCD的对角线AC异面的棱有（ ）
A、4条 B、6条
C、8条 D、10条
点评：本题考查异面直线的判断，只要注意两条直线不在任何一个平面中，这两条直线就是异面直线，也可以先找出平行和相交的直线，去掉平行和相交的直线即可．21cnjy
15、若两条异面直线所成的角为90°，则称这对异面直线为“理想异面直线对”，在连接正方体各顶点的所有直线中，“理想异面直线对”的对数为（ ）
A、24 B、48
C、72 D、78
考点：异面直线的判定。
专题：计算题。
分析：可把连接正方体各顶点的所有直线分成3组，棱，面上的对角线，体对角线，分别组合，找出可能的”理想异面直线对”，再相加即可．
解答：解：先把连接正方体各顶点的所有直线有三种形式．
分别是正方体的棱，有12条，各面对角线，有12条，体对角线，有4条．
分几种情况考虑
第一种，各棱之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有4条棱和它垂直，∴共有=24对
第二种，各面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每相对两面上有2对互相垂直的异面对角线，∴共有=6对
第三种，各棱与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条棱有2条面上的对角线和它垂直，共有2×12=24对
第四种，各体对角线与面上的对角线之间构成的“理想异面直线对”，每条体对角线有6条面上的对角线和它垂直，共有6×4=24对
最后，把各种情况得到的结果相加，得，24+6+24+24=78对
故选D
点评：本题考查了异面直线的判断，属于基础题．
16、给出下列正方体的侧面展开图，其中A、B、C、D分别是正方体的棱的中点，那么，在原正方体中，AB与CD所在直线为异面直线的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：异面直线的判定。
专题：证明题。
分析：把每个正方体的侧面展开图还原为正方体，再标上点进而根据空间中直线与直线的位置关系，以及有关的定理进行判断，即可得到答案．
解答：解：A：把正方体的侧面展开图还原为正方体为：21cnjy
因为A、B、C、D分别是正方体的棱的中点，21cnjy
所以AB∥CD．
所以A错误．
B：把正方体的侧面展开图还原为正方体为：
因为A、B、C、D分别是正方体的棱的中点，并且结合正方体的结构特征，
所以可得AB∥CD．
所以B错误．
C：把正方体的侧面展开图还原为正方体为：
因为A、B、C、D分别是正方体的棱的中点，
所以分别延长线段AB、线段DC交于点F，
所以AB与CD不是异面直线，
所以C正确．
故选C．
点评：本题主要考查空间中的直线与直线的位置关系，即平行、相交、异面的判定．
17、若a⊥b，b⊥c，则有（ ）
A、a∥c B、a⊥c
C、c异面 D、A，B，C选项都不正确
考点：异面直线的判定。
专题：计算题。
分析：由线线垂直的定义及几何特征，可得当a⊥b，b⊥c时，a与c可能平行，也可能相交，也可能异面，比照四个答案，可得结论．
解答：解：∵a⊥b，b⊥c，
则a与c可能平行，也可能相交，也可能异面
故A，B，C均不正确
故选D
点评：本题考查的知识点是空间线线关系的判断，熟练掌握空间线线关系的定义，判定，性质及几何特征是解答本题的关键．
18、长方体的一条对角线与长方体的棱所组成的异面直线有（ ）21世纪教育网
A、2对 B、3对
C、6对 D、12对
点评：本题考查异面直线的判断，只要注意两条直线不在任何一个平面中，这两条直线就是异面直线，也可以先找出平行和相交的直线，去掉平行和相交的直线即可．
19、如图，在正方体A1B1C1D1﹣ABCD各棱所在的直线中，与直线AB异面的有（ ）
A、2 B、4
C、6 D、8
考点：异面直线的判定。
专题：阅读型。
分析：根据判断异面直线的方法：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线，判断出正方体中与直线AB异面的直线．
解答：解：与直线AB异面的有：D1D，C1C，A1D1，B1C1
故选B
点评：判断两条直线异面，一般利用判定定理：过平面外一点和平面内一点与平面内不经过该点的直线是异面直线；证明两条直线是异面直线常用反证法．
20、异面直线是指（ ）
A、空间中两条不相交的直线
B、平面内的一条直线与平面外的一条直线
C、分别位于两个不同平面内的两条直线
D、不同在任何一个平面内的两条直线
考点：异面直线的判定。
专题：阅读型。
分析：依据异面直线的定义，逐一分析研究各个选项的正确性，可以通过举反例的方法进行排除．
解答：解：A 不正确，因为空间中两条不相交的直线可能平行．
B 不正确，因为平面内的一条直线与平面外的一条直线可能平行，也可能相交．
C不正确，因为分别位于两个不同平面内的两条直线可能平行，也可能相交．
D 正确，这就是异面直线的定义．
故选 D．
点评：本题考查异面直线的定义，用举反例的方法判断一个命题是假命题，是一种简单有效的方法．
二、填空题（共5小题）
21、16、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M、N分别是棱C1D1、C1C的中点．以下四个结论：
①直线AM与直线CC1相交；
②直线AM与直线BN平行；21世纪教育网
③直线AM与直线DD1异面；
④直线BN与直线MB1异面．
其中正确结论的序号为 ③④ ．
（注：把你认为正确的结论序号都填上）
21世纪教育网
考点：棱柱的结构特征；异面直线的判定。
专题：计算题。
分析：利用两条直线是异面直线的判断方法来验证①③④的正误，②要证明两条直线平行，从图形上发现这两条直线也是异面关系，得到结论．
解答：解：∵直线CC1在平面CC1D1D上，
而M∈平面CC1D1D，A?平面CC1D1D，
∴直线AM与直线CC1异面，故①不正确，
∵直线AM与直线BN异面，故②不正确，
∵直线AM与直线DD1既不相交又不平行，
∴直线AM与直线DD1异面，故③正确，
利用①的方法验证直线BN与直线MB1异面，故④正确，
总上可知有两个命题是正确的，
故答案为：③④
点评：本题考查异面直线的判定方法，考查两条直线的位置关系，两条直线有三种位置关系，异面，相交或平行，注意判断经常出错的一个说法，两条直线没有交点，则这两条直线平行，这种说法是错误的．
22、以下各命题：
①若棱柱的两个相邻侧面是矩形，则它是直棱柱；
②若用一个平行于三棱锥底面的平面去截它，把这个三棱锥分成体积相等的两部分，则
截面面积与底面面积之比为；
③垂直于两条异面直线，且到它们的距离都为同一定值d（d＞0）的直线一共有4条；
④存在侧棱长与底面边长相等的正六棱锥．
其中正确的有 ①③ （填写正确命题的序号）
点评：本题考查棱柱的结构特征、棱锥的结构特征、异面直线的判定，是基础题．
23、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD．
以上四个命题中，正确命题的序号是 ①③ ．
考点：异面直线及其所成的角；异面直线的判定。
专题：阅读型。
分析：先把正方体的平面展开图还原成原来的正方体，再根据所给结论进行逐一判定即可．
解答：解：把正方体的平面展开图还原成原来的正
方体如图所示，则AB⊥EF，EF与MN为异面
直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
故答案为①③
点评：本题主要考查了异面直线及其所成的角，直线与直线的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
24、在图中，G、H、M、N分别是正三棱柱的顶点或所在棱的中点，则表示直线GH、MN是异面直线的图形有 （2）、（4） ．（填上所有正确答案的序号）21世纪教育网版权所有
考点：异面直线的判定。
分析：图（1）中，直线GH∥MN，图（2）中M?面GHN，图（3）中GM∥HN，图（4）中，H?面GMN．
解答：解析：如题干图（1）中，直线GH∥MN；
图（2）中，G、H、N三点共面，但M?面GHN，因此直线GH与MN异面；
图（3）中，连接MG，GM∥HN，因此，GH与MN共面；21世纪教育网版权所有
图（4）中，G、M、N共面，但H?面GMN，∴GH与MN异面．
所以图（2）、（4）中GH与MN异面．
故答案为：（2）、（4）
点评：本题考查异面直线的定义和异面直线的判定方法，体现了数形结合的数学思想．
25、在三棱锥A﹣BCD中，直线AB与CD的位置关系为 异面直线 ．
三、解答题（共5小题）
26、如图；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点E是CD的中点．
（1）如图中与BA1是异面直线的条数有．
（2）求BA1与AD1的所成角的大小．
（3）求AE与BA1的所成角的大小．
考点：异面直线及其所成的角；异面直线的判定。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；转化思想。
分析：（1）如图，排除过点B，A1的棱有关6条，没有与它平行的棱，故还有6条．
（2）由BC1∥AD1，可知∠BC1A1是BA1与AD1的所成角，然后在△∠BC1A1是等边三角形中求解．
（3）取DD1的中点F，由中位线定理可知EF∥CD1∥BA1，从而∠FEA是AE与BA1的所成角，然后在△AEF中求解．
解答：解：（1）∵棱BC，BB1，BA，A1A，A1D1，A1B1与BA1是相交，
∴与之是异面直线的棱有6条；
（2）连接BC1，C1A1，则BC1∥AD1，21世纪教育网版权所有
则∠BC1A1是BA1与AD1的所成角．
又△∠BC1A1是等边三角形，则∠BC1A1=60度，
所求BA1与AD1的所成角的大小是60度．
（3）取DD1的中点F，由E是CD的中点，则EF∥CD1∥BA1，
则∠FEA是AE与BA1的所成角．
设AB=2，则AE=，EF=，AF=，
则cos∠FEA=．
即AE与BA1的所成角的大小是arccos．
点评：本题主要考查异面直线所成的角，解题思路是应用异面直线所成角的定义，用平行线将空间角转化为平面角，是常考类型，属中档题．
27、已知空间四边形ABCD，E、H分别是AB、AD的中点，F、G分别是边BC、DC的三等分点（如图），求证：
（1）对角线AC、BD是异面直线；
（2）直线EF和HG必交于一点，且交点在AC上．
考点：异面直线的判定；平面的基本性质及推论。
专题：证明题；综合题。
分析：（1）利用反证法证明对角线AC、BD是共面直线，推出矛盾，从而证明是异面直
（2）说明直线EF和HG必交于一点，然后证明这点在平面ADC内．又在平面ABC内，必在它们的交线AC上．
解答：证明：（1）假设对角线AC、BD在同一平面α内，
则A、B、C、D都在平面α内，这与ABCD是空间四边形矛盾，
∴AC、BD是异面直线．
（2）∵E、H分别是AB、AD的中点，∴EHBD．
又F、G分别是BC、DC的三等分点，
∴FGBD．∴EH∥FG，且EH＜FG．
∴FE与GH相交．
设交点为O，又O在GH上，GH在平面ADC内，∴O在平面ADC内．
同理，O在平面ABC内．
从而O在平面ADC与平面ABC的交线AC上．
点评：本题考查异面直线的判定，平面的基本性质及推论，考查学生逻辑思维能力，是基础题．
28、如图，写出与长方体体对角线AC1异面的棱所在的直线．21世纪教育网版权所有
点评：本题考查异面直线的判断，只要注意两条直线不在任何一个平面中，这两条直线就是异面直线，也可以先找出平行和相交的直线，去掉平行和相交的直线即可．
29、已知不共面的三条直线a、b、c相交于点P，A∈a，B∈a，C∈b，D∈c，求证：AD与BC是异面直线．
考点：异面直线的判定。
专题：证明题。
分析：可以用反证法，假设AD和BC共面，推出直线a、b、c都在同一个平面内，矛盾；还可以利用经过平面内一点与平面外一点的直线，和平面内不经过此点的直线是异面直线．
解答：证明：法一：（反证法）假设AD和BC共面，所确定的平面为α，
那么点P、A、B、C、D都在平面α内，
∴直线a、b、c都在平面α内，与已知条件a、b、c不共面矛盾，
假设不成立，∴AD和BC是异面直线．
法二：（直接证法）∵a∩c=P，∴它们确定一个平面，
设为α，由已知C?平面α，B∈平面α，
AD?平面α，B?AD，
∴AD和BC是异面直线．
点评：本题考查异面直线的证明方法，反证法或用判定定理．
30、A是△BCD平面外的一点，E、F分别是BC、AD的中点，
（1）求证：直线EF与BD是异面直线；
（2）若AC⊥BD，AC=BD，求EF与BD所成的角．
