空间中直线与平面之间的位置关系
一、解答题（共5小题）
1、已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=6，M，N分别为PB，AB的中点，设AC和BD相交于点O
（1）证明：OM∥底面PAD；
（2）若DF⊥PA且交PA于F点，证明DF⊥平面PAB；
（3）求四面体D﹣MNB的体积
2、在正方体AC1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG．
求证：直线FG?平面ABCD且直线FG∥直线A1B1．21*cnjy*com
3、如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE、AB的中点．
（1）证明：PQ∥平面ACD；
（2）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；21*cnjy*com
（3）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
4、如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．
（1）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（2）当确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．
5、如图，在五棱锥S﹣ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°．
（1）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；
（2）证明：BC⊥平面SAB．
二、选择题（共20小题）21*cnjy*com
6、如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）
A、K B、H
C、G D、B′
7、下列命题中正确命题的个数是（ ）
①经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；
②已知平面α、β，直线a、b，若α∩β=a，b⊥a，则b⊥α；21*cnjy*com
③有两个侧面垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；
⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；21*cnjy*com
⑥底面是等边三角形，∠APB=∠BPC=∠CPA，则三棱锥P﹣ABC是正三棱锥．
A、0 B、1
C、2 D、3
8、若Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在α外，则△ABC在α上的射影是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、一条线段或一钝角三角形
9、设A为空间一点，l1，l2是两条直线，α，β是两个平面，有下列四个命题：①l1?α，l2∩α=A，则l1，l2可能为异面直线；②若l1∥α，l1∥l2，则l2∥α；③已知l1与l2为异面直线，l1?α，l2?β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；④若α⊥β，l1?α，则l1⊥β；其中正确命题的序号是（ ）
A、①③ B、②④
C、②③ D、①④
10、如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列命题中错误的是（ ）
A、BD∥面FHA B、EC丄BD
C、EC丄面FHA D、异面直线BC与AH所成的角为60°
11、如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
A、AC⊥BD B、AC∥截面PQMN
C、AC=BD D、异面直线PM与BD所成的角为45°
12、如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）
A、BD∥平面CB1D1 B、AC1⊥BD
C、AC1⊥平面CB1D1 D、异面直线AD与CB1所成的角为60°
13、不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：21*cnjy*com
①，②，③，④
其中假命题有：（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
14、给出下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．21*cnjy*com
其中为真命题的是（ ）
A、①和② B、②和③
C、③和④ D、②和④
15、已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（ ）
A、若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l⊥α
B、若l∥m，l?α，m?α，则l∥α
C、若α⊥β，α∩β=l，m?α，m⊥l，则m⊥β
D、若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n
16、下列命题中正确的是（ ）
A、平行于同一平面的两条直线必平行
B、垂直于同一平面的两个平面必平行
C、一条直线至多与两条异面直线中的一条平行
D、一条直线至多与两条相交直线中的一条垂直
17、已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是（ ）
A、若α∥β，l?α，则l∥β
B、若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C、若α⊥β，α∩β=l，m?α，m⊥l，则m⊥β
D、若l∥α，m?α，则l∥m
18、在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β．
其中不正确命题的个数为（ ）
A、3 B、2
C、1 D、0
19、已知l、m、n为直线，α、β、γ为平面，给出下列命题：①若l⊥α，m⊥α则l∥m；②若m?β，n是l在平面β内的射影，且m⊥l，则m⊥n；③若m?α且n∥m，则n∥α；④若α⊥γ且β⊥γ，则α∥β；其中为真命题的有（ ）
A、①② B、②③
C、①②③ D、①③④
20、若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）
A、若m∥α，m?β，α∩β=n，则m∥n
B、若m∥α，n?α，则m∥n
C、若m∥α，n∥α，则m∥n
D、若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α
21、设m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）21*cnjy*com
A、若m，n与l所成的角相等，则m∥n
B、若l与α，β所成的角相等，则α∥β
C、若m n与α所成的角相等，则m∥n
D、若α∥β，m⊥α，则m∥β
22、以下四个命题中的假命题是（ ）
A、“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交”
B、直线“a⊥b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”
C、两直线“a∥b”的充要条件是“直线a，b与同一平面α所成角相等”
D、“直线a∥平面α”的必要不充分条件是“直线a平行于平面α内的一条直线”
23、在下列命题中，真命题是（ ）
A、直线m，n都平行于平面α，则m∥n
B、α﹣l﹣β是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥β
C、若直线m，n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则n?α或n∥α
D、设m，n是异面直线，若m∥平面α，则m与α相交
24、到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）．21*cnjy*com
A、只有1个 B、恰有3个
C、恰有4个 D、有无穷多个
25、在空间，下列命题正确的是（ ）
A、平行直线的平行投影重合
B、平行于同一直线的两个平面平行
C、垂直于同一平面的两个平面平行
D、垂直于同一平面的两条直线平行
三、填空题（共5小题）
26、给出下列四个结论：
（1） 设A、B是两个非空集合，如果按对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有元素y与之对应，则称对应f：A→B为从A到B的映射；
（2） 函数在区间[2，+∞）上单调递增；
（3） 若a，b是异面直线，a?平面α，b?平面β，则α∥β；
（4） 两条直线有斜率，如果它们的斜率相等，则它们平行．则其中所有正确结论的序号是 _________ ．
27、若一个n面体有m个面时直角三角形，则称这个n面体的直度为，如图，在长方形ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体A1﹣ABC的直度为 _________ ．
21*cnjy*com
28、在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上结论正确的为 _________ ．（写出所有正确结论的编号）21*cnjy*com
29、在空间，下列命题正确的是 _________ ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
①如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
②如果两条直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β
③如果直线a与平面β内的一条直线b、c都有垂直，那么a⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面y，那么β⊥y
30、设m、n是平面α外的两条直线，给出列下命题：①m⊥α，m⊥n，则n∥α；②m⊥n，n∥α，则m⊥α；③m⊥α，n∥α，则m⊥n；④m∥α，n∥α，则m∥n．请将正确命题的序号填在横线上 _________ ．
答案与评分标准
一、解答题（共5小题）
1、已知四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为4的正方形，PD⊥底面ABCD，PD=6，M，N分别为PB，AB的中点，设AC和BD相交于点O
（Ⅰ）证明：OM∥底面PAD；
（Ⅱ）若DF⊥PA且交PA于F点，证明DF⊥平面PAB；
（Ⅲ）求四面体D﹣MNB的体积
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；棱锥的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：计算题；证明题；数形结合。
分析：（Ⅰ）要证明：OM∥底面PAD，只要证明OM∥PD即可．
（Ⅱ）要证明DF⊥平面PAB；已知DF⊥PA，证明DF⊥AB即可．
（Ⅲ）求四面体D﹣MNB的体积，直接求出底面MNB的面积，再求D到底面MNB的距离即可．
解答：解：（Ⅰ）由已知易知OM是△BDP的中位线，
∴OM∥PD．
∵OM?面PAD，PD?面PAD
∴OM∥面PAD
（另证：也可先证明平面OMN∥平面DPA）21*cnjy*com
（Ⅱ）PD⊥底面ABCD，
∴AB⊥PD，又AB⊥AD，、AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD，又AB?平面PAB，
∴平面PAD⊥平面PAB，
又平面PAD∩平面PAB=PA，DF⊥PA，DF?平面PAD，
∴DF⊥平面PAB21*cnjy*com
（Ⅲ）由（Ⅱ）知DF⊥平面PAB，
∴四面体D﹣MNB的高为DF，
在Rt△PDA中，DF=，
由AB⊥平面PAD，得AB⊥PA，又MN∥PA，
∴MN⊥NB，，
=，=．
点评：本题考查空间直线与直线、平面的位置关系，棱锥的体积，考查空间想象能力，是中档题．
2、在正方体AC1中，E是CD的中点，连接AE并延长与BC的延长线交于点F，连接BE并延长交AD的延长线于点G，连接FG．
求证：直线FG?平面ABCD且直线FG∥直线A1B1．
3、如图，DC⊥平面ABC，EB∥DC，AC=BC=EB=2DC=2，∠ACB=120°，P，Q分别为AE、AB的中点．
（I）证明：PQ∥平面ACD；
（II）求异面直线AE与BC所成角的余弦值；
（III）求AD与平面ABE所成角的正弦值．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：（I）先利用P、Q分别是AE、AB的中点?PQ∥BE，PQ=，再利用DC∥BE，DC=可以推出PQ∥DC进而证明PQ∥平面ACD；
（II）取BE的中点F，可以先推出QF∥AE且QF=AE，所以∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角，然后在△DFQ中求出
∠DFQ的余弦值即可．
（III）由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB，再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，进而推出DP⊥平面ABE，所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角，在△DAP中求出∠DAP即可．
解答：解：（I）证明：由已知：P、Q分别是AE、AB的中点，
所以，PQ∥BE，PQ=BE，
又DC∥BE，DC=BE
所以，PQ∥DC
所以，PQ∥平面ACD（4分）
（II）取BE的中点F，连接QF，DF，DQ，可以推出QF∥AE且QF=AE，
易证∠DFQ就是异面直线AE与BC所成的角
易知CQ=1，AB=2，AE=4，QF=2，DF=BC=2，DQ=
由余弦定理：可得cos∠DFQ=（8分）
（III）由AC=BC和Q为AB的中点可得CQ⊥AB，
再利用DC⊥平面ABC，可得CQ⊥平面ABE，进而推出DP⊥平面ABE
所以∠DAP就是AD与平面ABE所成的角
DP=CQ=1，AD=
所以AD与平面ABE所成角的正弦值为．（12分）
点评：本题涉及了线面平行以及线线所成角和线面所成角，是对立体几何知识的综合考查．在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．
4、（2007?湖北）如图，在三棱锥V﹣ABC中，VC⊥底面ABC，AC⊥BC，D是AB的中点，且AC=BC=a，∠VDC=θ（0＜θ＜）．
（Ⅰ）求证：平面VAB⊥平面VCD；
（Ⅱ）当确定角θ的值，使得直线BC与平面VAB所成的角为．
（2）过点C在平面VCD内作CH⊥VD于H，则由（1）知CH⊥平面VAB．连接BH，
于是∠CBH就是直线BC与平面VAB所成的角，依题意，所以
在Rt△CHD中，；
在Rt△BHC中，，
∴，
∵，∴，
故当时，
直线BC与平面VAB所成得角为．
解法2：（1）以CA、CB、CV所在的直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则C（0，0，0），A（a，0，0），B（0，a，0），，，
于是，，，．
从而，即AB⊥CD．
同理，
即AB⊥VD，又CD∩VD=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．
（2）设平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z）
则由，得
可取，
又，
于是=，
即，
∵，∴，
故当时，直线BC与平面VAB所成得角为．
解法3：（1）以点D为原点，以DC、DB所在的直线分别为x轴、y轴．
建立如图所示的空间直角坐标系，
则D（0，0，0），，，，，
于是，，．
从而，即AB⊥DC，
同理，即AB⊥DV．
又DC∩DV=D，∴AB⊥平面VCD．
又AB?平面VAB，∴平面VAB⊥平面VCD．
（2）设平面VAB的一个法向量为n=（x，y，z），
则由得
取n=（tanθ，0，1），21cnjy
又，于是
，
即．
又∵，∴．
故当时，直线BC与平面VAB所成的角为．
点评：本小题主要考查线面关系、直线与平面所成角的有关知识，考查空间想象能力和推理运算能力以及应用向量知识解决数学问题的能力
5、（2005?江苏）如图，在五棱锥S﹣ABCDE中，SA⊥底面ABCDE，SA=AB=AE=2，BC=DE=，∠BAE=∠BCD=∠CDE=120°．
（1）求异面直线CD与SB所成的角（用反三角函数值表示）；21cnjy
（2）证明：BC⊥平面SAB．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，直线与平面所成的角的求法，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
二、选择题（共20小题）
6、（2005?湖北）如图，在三棱柱ABC﹣A′B′C′中，点E、F、H、K分别为AC′、CB′、A′B、B′C′的中点，G为△ABC的重心从K、H、G、B′中取一点作为P，使得该棱柱恰有2条棱与平面PEF平行，则P为（ ）
A、K B、H
C、G D、B′
考点：棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系。21cnjy
专题：计算题。
分析：本题考查的知识点是棱柱的结构特征，及空间中直线与平面之间的位置关系，要求满足条件的点P，我将可以对K、H、G、B′四个点逐一进行分析，找出棱柱中与平面PEF平行的棱的条数，即可得到答案．
解答：解：若K点为P，
∵P（K）F∥C'C
∴P（K）F∥C'C∥A'A∥B'B
则棱柱至少有三条棱与平面PEF平行，故A不正确
若H点为P，
∵平面P（H）EF∥平面BC
∴AC∥平面P（H）EF，AB∥平面P（H）EF，BC∥平面P（H）EF
则棱柱至少有三条棱与平面PEF平行，故B不正确
若G点为P，
则棱柱中仅有AB、A'B'与平面PEF平行，故C正确
若B'点为P，
∵则棱柱中任一棱都不与平面PEF平行，故D不正确21cnjy
故选C
点评：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a?α，b?α，a∥b?a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a?α?a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a?α，a?，a∥α??a∥β）．线线垂直可由线面垂直的性质推得，直线和平面垂直，这条直线就垂直于平面内所有直线，这是寻找线线垂直的重要依据．垂直问题的证明，其一般规律是“由已知想性质，由求证想判定”，也就是说，根据已知条件去思考有关的性质定理；根据要求证的结论去思考有关的判定定理，往往需要将分析与综合的思路结合起来．
7、下列命题中正确命题的个数是（ ）
①经过空间一点一定可作一平面与两异面直线都平行；
②已知平面α、β，直线a、b，若α∩β=a，b⊥a，则b⊥α；
③有两个侧面垂直于底面的四棱柱为直四棱柱；
④四个侧面两两全等的四棱柱为直四棱柱；
⑤底面是等边三角形，侧面都是等腰三角形的三棱锥是正三棱锥；
⑥底面是等边三角形，∠APB=∠BPC=∠CPA，则三棱锥P﹣ABC是正三棱锥．21cnjy
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：棱锥的结构特征；棱柱的结构特征；空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：常规题型。
分析：①若该点在某一条直线上，则直线在所作的平面内．
②根据面面垂直的判定定理判断．
③根据直棱柱的条件判断，看侧棱与底面是否垂直．
④根据直棱柱的条件判断，看侧棱与底面是否垂直．
⑤根据正三棱锥的定义判断．
⑥根据正三棱锥的定义判断．
解答：解：①若该点在某一条直线上，则不正确．
②根据面面垂直的判定，直线b不一定在平面β内，所以不正确．
③如果这个两个侧面互相平行，则不一定有侧棱垂直于底面，所以不正确．
④四个侧面两两全等不能保证侧棱与底面垂直．
⑤侧面都是等腰三角形若不是腰共顶点，则不正确．
⑥底面是等边三角形，∠APB=∠BPC=∠CPA，不能保证顶点在底面的身影为中心，则不正确．
故选A
点评：本题主要考查棱锥的结构特征及棱锥的分类，考查地很全面，要求掌握要熟练，属中档题．
8、若Rt△ABC的斜边BC在平面α内，顶点A在α外，则△ABC在α上的射影是（ ）
A、锐角三角形 B、钝角三角形
C、直角三角形 D、一条线段或一钝角三角形
考点：平行投影及平行投影作图法；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：根据三角形所在平面与底面的位置关系，可以找出特殊情形，判断△ABC在α上的射影，得到正确选项．
解答：解：当平面ABC⊥α时，△ABC在α上的射影是一条线段，
结合选择支，A、B、C都不正确，
故选D．
点评：本题考查空间直线与平面的位置关系，平行投影，考查空间想象能力，是基础题．
9、设A为空间一点，l1，l2是两条直线，α，β是两个平面，有下列四个命题：①l1?α，l2∩α=A，则l1，l2可能为异面直线；②若l1∥α，l1∥l2，则l2∥α；③已知l1与l2为异面直线，l1?α，l2?β，l1∥β，l2∥α，则α∥β；④若α⊥β，l1?α，则l1⊥β；其中正确命题的序号是（ ）
A、①③ B、②④
C、②③ D、①④
考点：异面直线的判定；空间中直线与平面之间的位置关系。21cnjy
专题：作图题。
分析：根据空间中点线面的位置关系及相关图形进行判断，①用两直线异面的定义判断；②用线面平行的定理来进行判断；③用面面平行的定义来进行判断；④用线面垂直的定义来判断．
解答：解：对于①由于不一定存在A∈l1，所以两直线可能异面，故正确；
对于②由于可能存在l2?α的情况，故不对；
对于③，由于满足了面面平行的判定定理的条件，所以正确；
对于④，两面垂直一个面中的线不一定垂直于另一个平面故不对．如图
点评：考查空间中点、线、面的位置关系的判断与证明．知识性较强．
10、如图，在正方体ABCD﹣EFGH中，下列命题中错误的是（ ）
A、BD∥面FHA B、EC丄BD
C、EC丄面FHA D、异面直线BC与AH所成的角为60°
关键是熟练掌握线面平行的判定定理、线面垂直的判定定理和异面直线所成角的寻找．
11、（2009?江西）如图，在四面体ABCD中，截面PQMN是正方形，则在下列命题中，错误的为（ ）
A、AC⊥BD B、AC∥截面PQMN
C、AC=BD D、异面直线PM与BD所成的角为45°
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
分析：首先由正方形中的线线平行推导线面平行，再利用线面平行推导线线平行，这样就把AC、BD平移到正方形内，即可利用平面图形知识做出判断．
解答：解：因为截面PQMN是正方形，所以PQ∥MN、QM∥PN，
则PQ∥平面ACD、QM∥平面BDA，
所以PQ∥AC，QM∥BD，
由PQ⊥QM可得AC⊥BD，故A正确；
由PQ∥AC可得AC∥截面PQMN，故B正确；
异面直线PM与BD所成的角等于PM与QM所成的角，故D正确；21世纪教育网
综上C是错误的．
故选C．
点评：本题主要考查线面平行的性质与判定．
12、如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的是（ ）21世纪教育网
A、BD∥平面CB1D1 B、AC1⊥BD
C、AC1⊥平面CB1D1 D、异面直线AD与CB1所成的角为60°
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；棱柱的结构特征；空间中直线与平面之间的位置关系。
分析：A中因为BD∥B1D1可判，B和C中可由三垂线定理进行证明；而D中因为CB1∥D1A，所以∠D1AD即为异面直线所成的角，∠D1AD=45°．
解答：解：A中因为BD∥B1D1，正确；B中因为AC⊥BD，由三垂线定理知正确；
C中有三垂线定理可知AC1⊥B1D1，AC1⊥B1C，故正确；
D中显然异面直线AD与CB1所成的角为45°
故选D
点评：本题考查正方体中的线面位置关系和异面直线所成的角，考查逻辑推理能力．
13、不同直线m，n和不同平面α，β，给出下列命题：
①，②，③，④
其中假命题有：（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：证明题；综合题。
分析：不同直线m，n和不同平面α，β，结合平行与垂直的位置关系，分析和举出反例判定①②③④，即可得到结果．
解答：解：①，m与平面β没有公共点，所以是正确的．
②，直线n可能在β内，所以不正确．
③，可能两条直线相交，所以不正确．
④，m与平面β可能平行，不正确．21世纪教育网
故选D．
点评：本题考查空间直线与直线，直线与平面的位置关系，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是基础题．
14、给出下列四个命题：
①分别与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线；
②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直；
③垂直于同一直线的两条直线相互平行；
④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直．21世纪教育网
其中为真命题的是（ ）
A、①和② B、②和③
C、③和④ D、②和④
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
分析：利用空间两条直线关系的定义及判定方法，易判断①的对错；根据面面垂直的判定定理，可得到②的真假；根据空间两条直线垂直的定义及判定方法，可判断③的真假，结合面面垂直的判定定理及互为逆否命题同真同假，即可得到④的正误，进而得到结论．
解答：解：分别与两条异面直线都相交的两条直线，可能相交也可能异面，故A错误；
根据面面垂直的判定定理，当一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面一定相互垂直，故B正确；
垂直于同一直线的两条直线可能平行与可能相交也可能异面，故C错误；
由面面垂直的性质定理，当两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直，故D正确；
故选D
点评：本题考查的知识点是空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，熟练掌握空间线、面之间位置关系的定义、判定、性质，建立良好的空间想象能力是解答本题的关键．
15、已知α，β是两个不同的平面，l，m，n是不同的直线，下列命题不正确的是（ ）
A、若l⊥m，l⊥n，m?α，n?α，则l⊥α B、若l∥m，l?α，m?α，则l∥α
C、若α⊥β，α∩β=l，m?α，m⊥l，则m⊥β D、若α⊥β，m⊥α，n⊥β，，则m⊥n
16、下列命题中正确的是（ ）
A、平行于同一平面的两条直线必平行 B、垂直于同一平面的两个平面必平行
C、一条直线至多与两条异面直线中的一条平行 D、一条直线至多与两条相交直线中的一条垂直
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：综合题。
分析：由面面平行的判定定理知和现实例子判断出A和B不对，由平行的传递性判断出C正确，由线面垂直的判定定理判断出D不对．
解答：解：A、由面面平行的判定定理知这两条直线可能相交，故A不对；
B、有可能这两个平面相交，如墙角，故B不对；
C、若是都与这两条直线平行，由平行的传递性知它们也相互平行，故与题意矛盾，故C正确；
D、由线面垂直的判定定理知，一条直线与两条相交直线都垂直，故D不对．
故选C．
点评：本题考查了空间中线面位置关系，主要根据线面（面面）平行及线面垂直的定理进行判断，考查了学生对定理的运用能力和空间想象能力．
17、已知直线l、m，平面α、β，则下列命题中假命题是（ ）
A、若α∥β，l?α，则l∥β B、若α∥β，l⊥α，则l⊥β
C、若α⊥β，α∩β=l，m?α，m⊥l，则m⊥β D、若l∥α，m?α，则l∥m
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：根据线面的位置关系的定义和面面垂直的性质定理，逐项验证．21世纪教育网版权所有
解答：解：∵l∥α，m?α，∴l与平面α没有公共点，
∵m?α，∴直线l与m也没有公共点，
即 直线l与m平行或为异面直线．
故选D．
点评：本题考查了线面的位置关系的定义和线面垂直、平行的定理，属于基础题目，注意审题，要求选不正确的答案项．
18、在空间中，有如下命题：
①互相平行的两条直线在同一个平面内的射影必然是互相平行的两条直线；21世纪教育网版权所有
②若平面α∥平面β，则平面α内任意一条直线m∥平面β；
③若平面α与平面β的交线为m，平面α内的直线n⊥直线m，则直线n⊥平面β．
其中不正确命题的个数为（ ）
A、3 B、2
C、1 D、0
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：由题意用长方体判断①；利用线面、面面平行的定义就可判断②；再用面面垂直的性质定理判断③．
解答：解：①不正确，当两直线垂直于同一个平面时，则射影为两个点，还可能为一条直线；
②正确，α∥β，则α与β无公共点；
③不正确，用线面垂直的性质定理，在这里少了“α⊥β”条件；
故选B．
点评：本题考查了线面、面面平行的定义和面面垂直的性质定理，借助于长方体有助于理解．
19、已知l、m、n为直线，α、β、γ为平面，给出下列命题：①若l⊥α，m⊥α则l∥m；②若m?β，n是l在平面β内的射影，且m⊥l，则m⊥n；③若m?α且n∥m，则n∥α；④若α⊥γ且β⊥γ，则α∥β；其中为真命题的有（ ）
A、①② B、②③
C、①②③ D、①③④
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：对于①由l⊥α，m⊥α，由线面垂直的性质定理可以得到l∥m；故正确；对于②恰好是三垂线定理的逆定理，故正确；对于③，直线与一个平面内的一条直线平行，则两条这条直线可以在同一个平面内，故错误；对于④，可以翻译为：垂直于同一平面的两个平面平行，与①对照，显然错误．
解答：解：①由线面垂直的性质定理，显然正确；
②三垂线定理的逆定理，正确；
③直线与平面平行的判定定理，要求直线在平面外，而本题没有直线在平面外，还可能n?α，错误；
④α和β还可能相交，错误．
故选A．
点评：本题考查直线与直线平行、垂直的位置关系，以及面面垂直中两平面的位置关系，解决本题时，要联系空间两条直线、空间两个平面，以及空间直线与平面的位置关系和线面平行、垂直的性质定理．
20、若m、n为两条不同的直线，α、β为两个不同的平面，则以下命题正确的是（ ）
A、若m∥α，m?β，α∩β=n，则m∥n B、若m∥α，n?α，则m∥n
C、若m∥α，n∥α，则m∥n D、若α∩β=m，m⊥n，则n⊥α
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：证明题。
分析：判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
解答：解：根据线面平行的性质定理“一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交线与该直线平行．”故A正确．
若m∥α，n?α，则m，n可能平行，也可能异面，故B错误．
若m∥α，n∥α，m，n可能相交，也可能平行，也可能异面，故C错误．
若α∩β=m，m⊥n，则m与α相交，或m?α，故D错误．21世纪教育网版权所有
故答案选A
点评：在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．另外熟练掌握线线、线面、面面平行（或垂直）的判定及性质定理是解决此类问题的基础．
21、设m，n，l是三条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，则下列命题中的真命题是（ ）
A、若m，n与l所成的角相等，则m∥n B、若l与α，β所成的角相等，则α∥β
C、若m n与α所成的角相等，则m∥n D、若α∥β，m⊥α，则m∥β21世纪教育网版权所有
22、以下四个命题中的假命题是（ ）
A、“直线a、b是异面直线”的必要不充分条件是“直线a、b不相交” B、直线“a⊥b”的充分不必要条件是“a垂直于b所在的平面”
C、两直线“a∥b”的充要条件是“直线a，b与同一平面α所成角相等” D、“直线a∥平面α”的必要不充分条件是“直线a平行于平面α内的一条直线”
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
分析：根据题意，对四个命题进行逐一判定即可．
解答：解：选项A：直线a、b是异面直线?直线a、b不相交，故正确
选项B；a垂直于b所在的平面?a⊥b，故正确
选项C：a∥b?直线a，b与同一平面α所成角相等，两直线“a∥b”的必要不充分条件是“直线a，b与同一平面α所成角相等”，故不正确．
选项D：直线a∥平面α?直线a平行于平面α内的一条直线，故不正确
故选C
点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及空间中直线与平面之间的位置关系，属于基础题．
23、在下列命题中，真命题是（ ）
A、直线m，n都平行于平面α，则m∥n
B、α﹣l﹣β是直二面角，若直线m⊥l，则m⊥β
C、若直线m，n在平面α内的射影依次是一个点和一条直线，且m⊥n，则n?α或n∥α
D、设m，n是异面直线，若m∥平面α，则m与α相交
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
分析：这类题型可以结合公理及正方体模型去进行判断，可以利用反证法证明结论，也可以从具体的实物模型中去寻找反例证明．
解答：解：选项A错误，如图1所示：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，m∩n=A1．
选项B错误，如图2所示：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，m与β斜交．
选项C正确，证明如下：
∵直线m在平面α内的射影为一个点，
∴m⊥α
∵直线n在平面α内的射影为一条直线，
∴m与α斜交或者平行、或者n在平面α内21世纪教育网版权所有
又∵m⊥n
∴n?α或n∥α
选项D错误，如图3所示：在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，m∥n．
故选C．
点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．
24、（2010?重庆）到两互相垂直的异面直线的距离相等的点（ ）．21世纪教育网版权所有
A、只有1个 B、恰有3个
C、恰有4个 D、有无穷多个
考点：空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：存在型。
分析：本题考查的知识点是空间中点到直线的距离，要判断到两互相垂直的异面直线的距离相等的点的个数，我们可以借助熟悉的正方体模型，在正方体中找到两条异面直线，然后进行分析，可用排除法得到答案．
解答：解：放在正方体中研究，显然，线段OO1、EF、FG、GH、
HE的中点到两垂直异面直线AB、CD的距离都相等，
同时亦可在四条侧棱上找到四个点到两垂直异面直线AB、CD的距离相等．
所以排除A、B、C，
故选D．
点评：判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
25、在空间，下列命题正确的是（ ）
A、平行直线的平行投影重合 B、平行于同一直线的两个平面平行
C、垂直于同一平面的两个平面平行 D、垂直于同一平面的两条直线平行
考点：空间中直线与平面之间的位置关系。
分析：由空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质定理，可以很容易得出答案．
解答：解：平行直线的平行投影重合，还可能平行，A错误．
平行于同一直线的两个平面平行，两个平面可能相交，B错误．
垂直于同一平面的两个平面平行，可能相交，C错误．
故选D．
点评：本题考查空间直线与平面的位置关系及线面垂直与平行的判定与性质，属基础题．21世纪教育网版权所有
三、填空题（共5小题）21世纪教育网版权所有
26、给出下列四个结论：
（1） 设A、B是两个非空集合，如果按对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有元素y与之对应，则称对应f：A→B为从A到B的映射；
（2） 函数在区间[2，+∞）上单调递增；
（3） 若a，b是异面直线，a?平面α，b?平面β，则α∥β；
（4） 两条直线有斜率，如果它们的斜率相等，则它们平行．则其中所有正确结论的序号是 （2） ．
考点：函数的概念及其构成要素；空间中直线与平面之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：对于（1）根据映射的定义进行判定，对于（2）根据对勾函数的单调性进行判定，对于（3）根据线面关系进行判定，对于（4）注意直线重合的情况．
解答：解：（1） 设A、B是两个非空集合，如果按对应法则f，使对于集合A中的任意一个元素x，在集合B中都有唯一元素y与之对应，则称对应f：A→B为从A到B的映射，缺少关键词“唯一”，故不正确；
（2） 函数在区间[，+∞）上单调递增，则在区间[2，+∞）上单调递增，故正确；
（3） 若a，b是异面直线，a?平面α，b?平面β，则α∥β或α与β相交，故不正确；
（4） 两条直线有斜率，如果它们的斜率相等，则它们平行或重合，故不正确．
故答案为：（2）
点评：本题主要考查了映射的定义，以及函数的单调性和线面位置关系、斜率等有关问题，属于基础题．
27、若一个n面体有m个面时直角三角形，则称这个n面体的直度为，如图，在长方形ABCD﹣A1B1C1D1中，四面体A1﹣ABC的直度为 1 ．
28、在正方体ABCD﹣A′B′C′D′中，过对角线BD′的一个平面交AA′于E，交CC′于F，则
①四边形BFD′E一定是平行四边形；
②四边形BFD′E有可能是正方形；
③四边形BFD′E在底面ABCD内的投影一定是正方形；
④平面BFD′E有可能垂直于平面BB′D．
以上结论正确的为 ①③④ ．（写出所有正确结论的编号）21世纪教育网版权所有
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
分析：由平行平面的性质可得①是正确的，当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故③④正确，②错误．
解答：解：
①：∵平面AB/∥平面DC/，平面BFD′E∩平面AB/=EB，平面BFD′E∩平面DC/=D/F，∴EB∥D/F，同理可证：D/E∥FB，故四边形BFD′E一定是平行四边形，即①正确；
②：当E、F为棱中点时，四边形为菱形，但不可能为正方形，故②错误；
③：四边形BFD′E在底面ABCD内的投影为四边形ABCD，所以一定是正方形，即③正确；
④：当E、F为棱中点时，EF⊥平面BB′D，又∵EF?平面BFD′E，∴此时：平面BFD′E⊥平面BB′D，即④正确．
故答案为：①③④
点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，空间中直线与平面之间的位置关系，平面与平面之间的位置关系，考查空间想象能力和思维能力．
29、（2000?北京）在空间，下列命题正确的是 ①，④ ．（注：把你认为正确的命题的序号都填上）
①如果两条直线a、b分别与直线l平行，那么a∥b
②如果两条直线a与平面β内的一条直线b平行，那么a∥β
③如果直线a与平面β内的一条直线b、c都有垂直，那么a⊥β
④如果平面β内的一条直线a垂直平面y，那么β⊥y
30、设m、n是平面α外的两条直线，给出列下命题：①m⊥α，m⊥n，则n∥α；②m⊥n，n∥α，则m⊥α；③m⊥α，n∥α，则m⊥n；④m∥α，n∥α，则m∥n．请将正确命题的序号填在横线上 ①③ ．
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；空间中直线与平面之间的位置关系。
分析：根据有关定理中的诸多条件，对每一个命题进行逐一进行是否符合定理条件去判定，不正确的只需取出反例即可．
解答：解：①m⊥α，m⊥n则根据与平面α的法向量垂直，则直线与平面平行，故正确
②m⊥n，n∥α，则m与α可能相交，也可能平行，故不正确
③与平面平行的直线与垂直的直线互相垂直，故正确21世纪教育网版权所有
④m∥α，n∥α，则m与n可能平行、相交、异面
故答案为①③
点评：本题主要考查了空间中直线与直线之间的位置关系，以及直线与平面之间的位置关系，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
