直线与平面平行的性质
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一、选择题（共6小题）
1、如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
2、若直线l不平行于平面α，且l?α，则（ ）
A、α内存在直线与l异面 B、α内存在与l平行的直线
C、α内存在唯一的直线与l平行 D、α内的直线与l都相交
3、若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（ ）
A、 B、1
C、 D、
4、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（ ）21*cnjy*com
A、一条直线不相交 B、两条直线不相交
C、无数条直线不相交 D、任意一条直线不相交
5、已知直线m∥平面α，则下列命题中正确的是（ ）
A、α内所有直线都与直线m异面 B、α内所有直线都与直线m平行21*cnjy*com
C、α内有且只有一条直线与直线m平行 D、α内有无数条直线与直线m垂直
6、有下列四个命题：
①若直线a垂直于直线b在平面α内的射影，则a⊥b；
②若OM∥O1M1且ON∥O1N1，，则∠MON=∠M1O1N1；
③若直线l⊥平面α，则直线l⊥平面α内的无数条直线；
④斜线段AB在α的射影A′B′等于斜线段AC在平面α的射影A′C′，则AB=AC
其中正确命题的个数是（ ）
A、3 B、2
C、1 D、0
二、填空题（共6小题）
7、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2．，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于 _________ ．
8、直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有 _________ 条．
9、已知m，n，l是直线，α、β是平面，下列命题中，正确的命题是 _________ ．（填序号）
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则α内可有无数条直线与l平行；21*cnjy*com
③若m?α，l?β，且l⊥m，则α⊥β；
④若m⊥n，n⊥l则m∥l；
⑤若m?α，l?β，且α∥β，则m∥l．
10、下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是 _________ （写出所有符合要求的图形序号）．
11、设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG= _________ ．
12、如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，将等腰 三角形EFB，FGC，GHD，HEA分别沿其底边折起，使其与原 所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线 段的对数为 _________ ．
三、解答题（共12小题）
13、某几何体的三视图的形状、大小如图所示．21*cnjy*com
（1）求该几何体的体积；21*cnjy*com
（2）设点D、E分别在线段AC、BC上，且DE∥平面ABB1A1，求证：DE∥A1B1．
14、如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F
（1）指出F在A1D1上的位置，并证明；
（2）求三棱锥C1﹣B1EF的体积．
15、直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其侧面展开图是边长为8的正方形．E、F分别是侧棱AA1、CC1上的动点，AE+CF=8．
（1）证明：BD⊥EF；
（2）P在棱AA1上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求：CF；
（3）多面体AE﹣BCFB1的体积V是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V的取值范围．
16、如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求证：D1C⊥AC1；21*cnjy*com
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．21*cnjy*com
17、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．
18、如图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点．
19、如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AD1中点
（I）求三棱锥C﹣PDB的体积
（II）在对角线A1C上是否存在一点Q，使得AD1∥平面QBD，若存在，求出；若不存在，说明理由．
20、已知α∩β=α，β∩γ=m，γ∩α=b，且m∥α，求证：a∥b．21*cnjy*com
21、如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．
（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．21*cnjy*com
22、如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB．
（2）求二面角B﹣AP﹣C的正弦值．
23、如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=4，且PQ⊥QD，求二面角A﹣PD﹣Q的大小．21*cnjy*com
24、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F为PC上一点，且
EF∥面PAD．
（I）证明：F为PC的中点；
（II）若AB=2，求二面角C﹣PD﹣E的平面角的余弦值．21*cnjy*com
答案与评分标准
一、选择题（共6小题）
1、如图，在正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AA1=2，AB=1，M、N分别在AD1，BC上移动，并始终保持MN∥平面DCC1D1，设BN=x，MN=y，则函数y=f（x）的图象大致是（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
考点：函数的图象与图象变化；直线与平面平行的性质。
专题：数形结合。
分析：由MN∥平面DCC1D1，我们过M点向AD做垂线，垂足为E，则ME=2AE=BN，由此易得到函数y=f（x）的解析式，分析函数的性质，并逐一比照四个答案中的图象，我们易得到函数的图象．
解答：解：若MN∥平面DCC1D1，
则|MN|==21*cnjy*com
即函数y=f（x）的解析式为
f（x）=（0≤x≤1）
其图象过（0，1）点，在区间[0，1]上呈凹状单调递增21*cnjy*com
故选C
点评：本题考查的知识点是线面平行的性质，函数的图象与性质等，根据已知列出函数的解析式是解答本题的关键．
2、若直线l不平行于平面α，且l?α，则（ ）
A、α内存在直线与l异面 B、α内存在与l平行的直线
C、α内存在唯一的直线与l平行 D、α内的直线与l都相交
考点：直线与平面平行的性质；平面的基本性质及推论。
专题：阅读型。
分析：根据线面关系的定义，我们根据已知中直线l不平行于平面α，且l?α，判断出直线l与α的关系，利用直线与平面相交的定义，我们逐一分析四个答案，即可得到结论．
解答：解：直线l不平行于平面α，且l?α，
则l与α相交
l与α内的直线可能相交，也可能异面，但不可能平行
故B，C，D错误
故选A
点评：本题考查线线、线面位置关系的判定，考查逻辑推理能力和空间想象能力．其中利用已知判断出直线l与α的关系是解答本题的关键．
3、若正四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面边长为1，AB1与底面ABCD成60°角，则A1C1到底面ABCD的距离为（ ）
A、 B、1
C、 D、
考点：直线与平面平行的性质。
专题：计算题；作图题。
分析：画出图象，利用线段的关系，角的三角函数，求解即可．
解答：解：依题意，BB1的长度即A1C1到底面ABCD的距离，
∠B1AB=60°，BB1=1×tan60°=，
故选D．
点评：本题主要考查正四棱柱的概念、直线与平面所成的角以及直线与平面的距离等概念，属于基础知识、基本运算的考查．
4、如果直线a∥平面α，那么直线a与平面α内的（ ）
A、一条直线不相交 B、两条直线不相交21cnjy
C、无数条直线不相交 D、任意一条直线不相交
故选：D
点评：本题主要考查了直线与平面平行的性质，以及直线与平面平行的定义，同时考查了推理能力，属于基础题．
5、已知直线m∥平面α，则下列命题中正确的是（ ）
A、α内所有直线都与直线m异面 B、α内所有直线都与直线m平行
C、α内有且只有一条直线与直线m平行 D、α内有无数条直线与直线m垂直
考点：直线与平面平行的性质。
专题：阅读型。
分析：依据直线和平面平行的定义、性质，可举反例说明A，B，C是错误的．
解答：解：A、如图，直线m∥平面α，，存在n?α，n∥l，从而n∥m，A错；
B、如图，直线m∥平面α，存在n?α，n与l相交，从而m，n异面，m、n不平行．B错；
C、如图，α内凡是与l平行的直线n、e…均与m平行，C错；
D、如图，α内凡是与l垂直的直线n、e…均与m垂直，D对．
故选D．
点评：本题考查直线和平面平行的定义、性质，直线和直线位置关系的判定，属于基础题．
6、有下列四个命题：
①若直线a垂直于直线b在平面α内的射影，则a⊥b；
②若OM∥O1M1且ON∥O1N1，，则∠MON=∠M1O1N1；
③若直线l⊥平面α，则直线l⊥平面α内的无数条直线；
④斜线段AB在α的射影A′B′等于斜线段AC在平面α的射影A′C′，则AB=AC
其中正确命题的个数是（ ）
A、3 B、2
C、1 D、0
考点：直线与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：常规题型。
分析：①三垂线定理研究的是平面的斜线，斜线在平面内的射影，面的垂线三者之间的关系．要注意前提条件．②④可通过作图进行判断，③结合线面垂直的定义．
解答：解：①左图为反例．
②应为相等或互补．
③由线面垂直的定义，显然正确．
④A在面内，AB=1，与面的夹角为45°，AC=2，与面的夹角为60°，此时斜线段AB在α的射影A′B′等于斜线段AC在平面α的射影A′C′，但AB≠AC．
故选C21cnjy
点评：需对线面的位置关系有准确的理解与掌握．21cnjy
二、填空题（共6小题）
7、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=2．，点E为AD的中点，点F在CD上，若EF∥平面AB1C，则线段EF的长度等于 ．
考点：直线与平面平行的性质。
专题：计算题；综合题。
分析：根据已知EF∥平面AB1C和线面平行的性质定理，证明EF∥AC，又点E为AD的中点，点F在CD上，以及三角形中位线定理可知点F是CD的中点，从而求得线段EF的长度．
解答：解：∵EF∥平面AB1C，EF?平面AC，平面AB1C∩平面AC=AC，
∴EF∥AC，
又点E为AD的中点，点F在CD上，
∴点F是CD的中点，
∴EF=．
故答案为．
点评：此题是个基础题．考查线面平行的性质定理，同时考查学生对基础知识的记忆、理解和熟练应用的能力．
8、直线a∥平面α，α内有n条直线交于一点，则这n条直线中与直线a平行的直线有 1或0 条．
9、已知m，n，l是直线，α、β是平面，下列命题中，正确的命题是 ② ．（填序号）
①若l垂直于α内两条直线，则l⊥α；
②若l平行于α，则α内可有无数条直线与l平行；
③若m?α，l?β，且l⊥m，则α⊥β；
④若m⊥n，n⊥l则m∥l；
⑤若m?α，l?β，且α∥β，则m∥l．21cnjy
考点：直线与平面平行的性质。
专题：综合题。
分析：根据线面垂直的判定方法，我们可以判断①的对错；根据线面平行的定义，我们可以判断②的真假；根据面面垂直的判定方法，可以判断③的真假；根据直线与直线位置关系的定义，可以判断④的真假；根据平面平行的性质，可以判断⑤的真假，进而得到答案．
解答：解：l垂直于α内两条平行直线，则l⊥α不一定成立，故①错误；
l平行于α，则α内可有无数条直线与l平行，故②正确；
若m?α，l?β，且l⊥m，α与β可能平行也可能相交，故③错误；
若m⊥n，n⊥l则m与l可能平行，也可能相交，甚至还可以异面，故④错误；21cnjy
若m?α，l?β，且α∥β，则m与l可能平行也可能异面．
故答案为：②．
点评：本题考查的知识点是空间直线与平面位置关系的判断，熟练掌握直线与平面之间位置关系的判定定理，性质定理，及定义和空间特征是解答此类问题的关键．
10、下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥面MNP的图形的序号是 ①③ （写出所有符合要求的图形序号）．
考点：直线与平面平行的性质。
专题：综合题。
分析：能得出AB∥面MNP，关键是看平面MNP中有没有与AB平行的直线，或者有没有过AB的平面与平面MNP平行．逐一判断即可．
解答：解：①∵面AB∥面MNP，
∴AB∥面MNP．
②若下底面中心为O，易知NO∥AB，NO?面MNP，
∴AB与面MNP不平行．
③易知AB∥MP，
∴AB∥面MNP．
④易知存在一直线MC∥AB，且MC?平面MNP，
∴AB与面MNP不平行．
故答案为：①③
点评：本题考查直线与平面平行的判定，是基础题．
11、设D是线段BC上的点，BC∥平面α，从平面α外一定点A（A与BC分居平面两侧）作AB、AD、AC分别交平面α于E、F、G三点，BC=a，AD=b，DF=c，则EG= ．
考点：直线与平面平行的性质。
专题：计算题；作图题。
分析：由题意画出图形，利用相似不难求出结果．
解答：解：由题意作图，BC∥平面α，BC∥EG，可知△ABC∽△AEG21cnjy
可得即，
故答案为：．
点评：本题考查直线与平面平行的性质，三角形相似知识，是基础题．21cnjy
12、如图，E，F，G，H分别是正方形ABCD各边的中点，将等腰 三角形EFB，FGC，GHD，HEA分别沿其底边折起，使其与原 所在平面成直二面角，则所形成的空间图形中，共有异面直线 段的对数为 28 ．
一类是：平面EFGH外的直线，如AH与CF，DG，BE这样的共有：8×3÷2=12对；
另一类是：平面EFGH外的直线与平面EFGH内的直线，如AH与GF，EF这样的共有：8×2=16．
则所形成的空间图形中，共有异面直线的对数为：12+16=28对．
故答案为：28．
点评：本小题主要考查异面直线的判定、异面直线等基础知识，考查空间想象能力，考查分类讨论思想．属于中档题．
三、解答题（共12小题）
13、某几何体的三视图的形状、大小如图所示．
（1）求该几何体的体积；
（2）设点D、E分别在线段AC、BC上，且DE∥平面ABB1A1，求证：DE∥A1B1．21世纪教育网
考点：由三视图求面积、体积；直线与平面平行的性质。21世纪教育网
专题：综合题；转化思想；综合法。
分析：（1）求该几何体的体积，由三视图可以看出，此几何体是一个三棱柱，其高为3，底面是一个腰为2，底为2的等腰三角形，由此不难求出体积
（2）由于DE∥平面ABB1A1，故直接用线面平行的性质定理即可得出DE∥AB，再由平行的传递性即可得到所证的结论．
解答：解：（1）由三视图可以看出，此几何体是一个三棱柱，其高为3，底面是一个腰为2，底为2的等腰三角形，
∴底面三角形的高为
∴体积为3×××=6
（2）证明：设点D、E分别在线段AC、BC上，且DE∥平面ABB1A1，
∵面ABC∩平面ABB1DE∥A1B1A1=AB
∴DE∥AB，由三棱柱的性质知AB∥B1A1，
∴DE∥A1B1
点评：本题考查由三视图还原实物图求几何体的体积，解题的关键是正确还原实物图及其数据，第二小问考查线线的平行，解此题的关键是熟练掌握线面平行的性质定理及三棱柱的性质．
14、如图，在棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E是BC的中点，平面B1ED交A1D1于F
（1）指出F在A1D1上的位置，并证明；
（2）求三棱锥C1﹣B1EF的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面平行的性质。21世纪教育网
专题：计算题；证明题。
分析：作图后（1）F在A1D1上的中点；只需证明四边形B1FDE为平行四边形，即可．
（2）利用等体积的思想转化为：求三棱锥C1﹣B1EF的体积，就是求F﹣B1EC1的体积．
解答：解：（1）F为A1D1上的中点．证明如下：取A1D1上的中点F，连接DF，ED，∵△B1A1F≌△DCE，△DD1F≌△B1BE∴B1F=ED，B1=FD∴四边形B1FDE为平行四边形∴平面B1ED交A1D1于A1D1的中点F
（2）21世纪教育网
点评：本题考查直线与平面平行的性质，棱锥的体积，考查空间想象能力，是基础题．
15、直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，∠ABC=45°，其侧面展开图是边长为8的正方形．E、F分别是侧棱AA1、CC1上的动点，AE+CF=8．
（1）证明：BD⊥EF；
（2）P在棱AA1上，且AP=2，若EF∥平面PBD，求：CF；
（3）多面体AE﹣BCFB1的体积V是否为常数？若是，求这个常数，若不是，求V的取值范围．
纪教育网
∴=是常数．（12分）
点评：本题考查了线线、线面的垂直和平行的定理应用，如何实现线线和线面垂直和平行的转化；求多面体体积时常用分割法求，注意几何体的高．
16、如图，在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，已知DC=DD1=2AD=2AB，AD⊥DC，AB∥DC．
（1）求证：D1C⊥AC1；
（2）设E是DC上一点，试确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，并说明理由．
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的性质。
分析：（1）要证D1C⊥AC1；需证D1C⊥平面ADC1即可
（2）确定E的位置，使D1E∥平面A1BD，设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN，证明MN∥D1E即可．
解答：解：（1）证明：在直四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，
连接C1D，∵DC=DD1，21世纪教育网
∴四边形DCC1D1是正方形．∴DC1⊥D1C．
又AD⊥DC，AD⊥DD1，DC⊥DD1=D，
∴AD⊥平面DCC1D1，D1C?平面DCC1D1，
∴AD⊥D1C．∵AD，DC1?平面ADC1，
且AD⊥DC=D，∴D1C⊥平面ADC1，
又AC1?平面ADC1，∴D1C⊥AC1．21世纪教育网
（2）连接AD1，连接AE，
设AD1∩A1D=M，BD∩AE=N，连接MN，∵平面AD1E∩平面A1BD=MN，
要使D1E∥平面A1BD，
须使MN∥D1E，
又M是AD1的中点．∴N是AE的中点．
又易知△ABN≌△EDN，∴AB=DE．
即E是DC的中点．
综上所述，当E是DC的中点时，可使D1E∥平面A1BD．
点评：本题考查直线与平面的平行，空间中直线与平面的位置关系，是中档题．
17、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC=90°，AB=AC=AA1=1，延长A1C1至点P，使C1P=A1C1，连接AP交棱CC1于点D．
（Ⅰ）求证：PB1∥平面BDA1；
（Ⅱ）求二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值．
（1）在△PAA1中，C1D=AA1，则D（0，1，）
∴=（1，0，1），=（0，1，），=（﹣1，2，0）21世纪教育网版权所有
设平面BDA1的一个法向量为=（a，b，c）
则
令c=﹣1，则=（1，，﹣1）
∵?=1×（﹣1）+×2+（﹣1）×0=0
∴PB1∥平面BDA1
（II）由（I）知平面BDA1的一个法向量=（1，，﹣1）
又=（1，0，0）为平面AA1D的一个法向量
∴cos＜，＞===
故二面角A﹣A1D﹣B的平面角的余弦值为
点评：利用向量法求空间夹角问题，包括以下几种情况：
空间两条直线夹角的余弦值等于他们方向向量夹角余弦值的绝对值；
空间直线与平面夹角的余弦值等于直线的方向向量与平面的法向量夹角的正弦值；
空间锐二面角的余弦值等于他的两个半平面方向向量夹角余弦值的绝对值；
18、如图，设a、b是异面直线，AB是a、b的公垂线，过AB的中点O作平面α与a、b分别平行，M、N分别是a、b上的任意两点，MN与α交于点P，求证：P是MN的中点．
考点：直线与平面平行的性质。
专题：证明题。
分析：先连接AN，交平面α于点Q，连接PQ，由于b∥α，b?平面ABN，平面ABN∩α=OQ，根据线面平行的性质定理可知b∥OQ，同理可证得a∥PQ，从而确定点P的位置．21世纪教育网版权所有
解答：证明：连接AN，交平面α于点Q，连接PQ．
∵b∥α，b?平面ABN，平面ABN∩α=OQ，
∴b∥OQ．又O为AB的中点，
∴Q为AN的中点．∵a∥α，a?平面AMN且平面AMN∩α=PQ，
∴a∥PQ．∴P为MN的中点．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的性质，同时考查了对基础知识的综合应用能力和基本定理的掌握能力，属于基础题．
19、如图，棱长为1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，P为AD1中点21世纪教育网版权所有
（I）求三棱锥C﹣PDB的体积
（II）在对角线A1C上是否存在一点Q，使得AD1∥平面QBD，若存在，求出；若不存在，说明理由．
键是找到满足条件的Q点的位置．
20、已知α∩β=α，β∩γ=m，γ∩α=b，且m∥α，求证：a∥b．21世纪教育网版权所有
考点：直线与平面平行的性质。
专题：证明题。
分析：根据已知中，α∩β=α，β∩γ=m，γ∩α=b，且m∥α，我们根据线面平行的性质定理，可得m∥a，m∥b，进而根据平行公理，即可得到答案．
解答：证明：已知，如右图所示：
∵β∩γ=m，m∥α，α∩β=α，
由线面平行的性质定理可得m∥a
同理可得：m∥b
∴a∥b
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的性质，是对线面平行性质的直接考查，难度不大，熟练掌握性质定理的条件及证明步骤是关键．
21、如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，M、N分别是AB、PC的中点，平面PAD∩平面PBC=l．
（1）求证：l∥BC．
（2）MN与平面PAD是否平行？试证明你的结论．
1世纪教育网版权所有
∵N是PC的中点，E是PD的中点
∴NE∥CD，且NE=
∵CD∥AB，M是AB的中点
∴NE∥AM且NE=AM．
所以四边形ABCD为平行四边形所以MN∥AE．又MN?平面PAD，
AE?平面PAD，所以MN∥平面PAD．（12分）
点评：本题以四棱锥为载体，考查线线平行，线面平行，证题的关键是合理运用线面平行的判定及性质定理．
22、如图，在三棱锥P﹣ABC中，AC=BC=2，∠ACB=90°，AP=BP=AB，PC⊥AC．
（1）求证：PC⊥AB．
（2）求二面角B﹣AP﹣C的正弦值．
考点：直线与平面平行的性质；二面角的平面角及求法。
专题：证明题。
分析：（Ⅰ）取AB中点D，利用等腰三角形的性质可得PD⊥AB，CD⊥AB，由线面垂直的判定定理可得AB⊥平面PCD，从而得到
PC⊥AB．
（Ⅱ）利用线面垂直的判定定理得BC⊥平面PAC，取AP中点E，可证∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角，利用
sin∠BEC=求出结果．
解答：
解：（Ⅰ）取AB中点D，连接PD，CD．∵AP=BP，∴PD⊥AB．∵CA=CB，∴CD⊥AB．
∵PD∩CD=D，∴AB⊥平面PCD．∵PC?平面PCD，∴PC⊥AB．
（Ⅱ）∵AC=BC，PA=PAB，∴△APC≌△BPC，又 PC⊥AC，∴PC⊥BC．
又∠ACB=90°，即 AC⊥BC，且 AC∩PC=C，∴BC⊥平面PAC．
取AP中点E，连接BE，CE．∵BA=BP，∴BE⊥AP．∵EC是BE在平面PAC内的射影，
∴CE⊥AP．∴∠BEC是二面角B﹣AP﹣C的平面角．
在△BCE中，∠BCE=90°，BC=2，BE==，∴sin∠BEC==．
∴二面角B﹣AP﹣C的正弦值为．
点评：本题考查证明线线垂直的方法，求二面角的平面角的大小的方法，找出二面角的平面角是解题的关键．
23、如图，四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=，BC=a，又PA⊥平面ABCD，PA=4．
（Ⅰ）若在边BC上存在一点Q，使PQ⊥QD，求a的取值范围；
（Ⅱ）若a=4，且PQ⊥QD，求二面角A﹣PD﹣Q的大小．
∴△=a2﹣12≥0．
（Ⅱ）由（Ⅱ）得当a=4时，t2﹣4t+3=0，t=1或t=3
因为面PAD⊥面ABCD，
所以过Q作 QM⊥AD，则QM⊥面PAD，
过M作MN⊥PD，由三垂线定理有QN⊥PD
所以∠MNQ是二面角A﹣PD﹣Q的平面角
在Rt△PAD中，，
当t=1时，
当t=3时，
∴二面角A﹣PD﹣Q的大小为arctan．
点评：本题以线面垂直为载体，考查线线垂直，考查面面角，关键是正确作出面面角．
24、如图，四棱锥P﹣ABCD的底面为矩形，PA=AD=1，PA⊥面ABCD，E是AB的中点，F为PC上一点，且
EF∥面PAD．
（I）证明：F为PC的中点；
（II）若AB=2，求二面角C﹣PD﹣E的平面角的余弦值．
（II）若AB=2，我们分别求出平面PCD的一个法向量和平面PDE的一个法向量，然后代入向量夹角公式，即可得到答案．
解答：证明：（I）以A为坐标原点，AB，AD，AP方向分别为x，y，z轴正方向建立空间坐标系，
设AB=2a
则A（0，0，0），B（2a，0，0），C（2a，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（a，0，0），
∴设==（2aλ，λ，﹣λ），则=（﹣a+2aλ，λ，1﹣λ）
∵=（2a，0，0）为平面PAD的一个法向量，且EF∥面PAD
∴?=0
即2a?（﹣a+2aλ）=0，
∴λ=
故F为PC的中点；
解：（II）若AB=2，则A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，1，0），D（0，1，0），P（0，0，1），E（1，0，0），
则=（0，1，﹣1），=（2，1，﹣1），=（1，0，﹣1）
设=（a，b，c）为平面PCD的一个法向量
则，
则=（0，1，1）为平面PCD的一个法向量
设=（x，y，z）为平面PDE的一个法向量
则
则=（1，1，1）为平面PDE的一个法向量
设二面角C﹣PD﹣E的平面角为θ
则cosθ==
即二面角C﹣PD﹣E的平面角的余弦值为
点评：本题考查的知识点是二面角的平面角及求法，直线与平面平行的性质，其中建立空间坐标系，将线面平行问题及二面角问题转化为向量夹角问题是解答本题的关键．
