平面与平面平行的判定
一、选择题（共20小题）
1、给出下列命题，其中正确的两个命题是（ ）
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α ④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．
A、①② B、②③21*cnjy*com
C、③④ D、②④
2、已知三个不同的平面α，β，γ和三条不同的直线a，b，c，有下列四个命题：①若a∥b，b∥c则a∥c；
②若α∥β，α∩γ=b，β∩γ=a，则a∥b；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．其中正确命题的个数是（ ）
A、4个 B、3个21cnjy
C、2个 D、1个
3、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且，给出下面四个命题：
（1）MN∥面APC；
（2）C1Q∥面APC；
（3）A，P，M三点共线；
（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（ ）21世纪教育网
A、（1）（2） B、（1）（4）
C、（2）（3） D、（3）（4）
4、A，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题21世纪教育网
①?a∥b ②?a∥b ③?α∥β
④?α∥β ⑤?α∥a ⑥?α∥a
其中正确的命题是（ ）
A、①②③ B、①④⑤
C、①④ D、①③④
5、已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A、若m∥α，n∥α，则m∥n
B、若m∥α，m∥β，则α∥β
C、若m⊥α，m⊥β，则α∥β
D、若m⊥n，m⊥β，则n∥β
6、已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（ ）21cnjy
A、n⊥β B、n∥β，或n?β
C、n⊥α D、n∥α，或n?α
7、平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A、存在一条直线a，a∥α，a∥β
B、存在一条直线a，a?α，a∥β
C、存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D、存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；
④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β21cnjy
其中真命题是（ ）
A、①和② B、①和③
C、③和④ D、①和④
9、已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：
①若m?α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．21世纪教育网
其中真命题的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
10、在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）
A、α、β都垂直于平面r
B、α内存在不共线的三点到β的距离相等
C、l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D、l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
11、已知两个不同平面α，β和两条不同直线m，n，则使α∥β成立的一个充分条件是（ ）
A、m∥α，n∥β，m∥n B、m∥α，m∥β
C、n⊥α，n⊥β D、m⊥α，n⊥β21世纪教育网
12、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A、α内有无穷多条直线与β平行
B、直线a∥α，a∥β
C、直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α
D、α内的任何直线都与β平行
13、满足下面哪一个条件时，可以判定两个不重合的平面α与β平行（ ）
A、α内有无数个点到平面β的距离相等
B、α内的△ABC与β内的△A'B'C'全等，且AA'∥BB'∥CC'
C、α，β都与异面直线a，b平行
D、直线l分别与α，β两平面平行
14、已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，，则m∥n，其中不正确的命题的个数是（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
15、已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（ ）
A、a⊥α且a⊥β B、a⊥γ且β⊥γ
C、a?α，b?β，a∥b D、a?α，b?α，a∥β，b∥β
16、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，则α∥β的一个充分条件是（ ）
A、m∥α，m∥β B、α⊥γ，β⊥γ
C、m?α，n?β，m∥n D、m、n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α
17、设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列命题的正确的是（ ）
A、当m?α，n?β时，若m∥n，则α∥β
B、当m?α，n?β；时，若m⊥n，则α⊥β
C、当m?α，n?α时，若m∥β，n∥β，则α∥β
D、当m?α，n?β时，若m⊥β，则n⊥α
18、α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）
A、α、β都平行于直线a、b
B、α内有三个不共线点到β的距离相等
C、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β
D、a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
19、已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件：
①α内有无穷多条直线均与平面β平行；
②平面α，β均与平面γ平行；
③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行；
④平面α，β与直线l所成的角相等．
其中能推出α∥β的是（ ）
A、① B、②
C、①和③ D、③和④
20、已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）
A、若m∥α，n∥α，则m∥n
B、若α⊥γ，β⊥λ，则α∥β
C、若m∥α，m∥β，则α∥β
D、若m⊥α，n⊥α，则m∥n
二、填空题（共5小题）
21、设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列有四个命题：21*cnjy*com
（1）若a，b与α所成角相等，则a∥b；
（2）若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；
（3）若a?α，b?β，a∥b，则α∥β；
（4）若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b．其中真命题是 _________ ．（写出所有真命题的序号）
22、已知m，n为直线，α，β为平面，给出下列命题：
①，②，③，④．
其中的正确命题序号是 _________ ．
23、已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p：若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β．下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨非q；④非p∧q．真命题的序号是 _________ （写出所有真命题的序号）．
24、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出21世纪教育网
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；21世纪教育网
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m?α，n?β，m∥n，则α∥β；
④若m、n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α，则α∥β
上面四个命题中，其中真命题有 _________ ．
25、设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α．其中所有正确命题的序号是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如下．21*cnjy*com
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
（3）若E是侧棱PC上的动点，不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论．
27、在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E﹣BC﹣A的余弦；21世纪教育网
（3）求多面体ABCDE的体积．
28、已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的所有棱长均为2，G为AF的中点．21世纪教育网
（1）求证：F1G∥平面BB1E1E；
（2）求证：平面F1AE⊥平面DEE1D1；
（3）求四面体EGFF1的体积．
29、已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．
求证：（1）C1O∥面AB1D1；
（2）面BDC1∥面AB1D1．21*cnjy*com
30、如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．
（1）证明：AA1⊥BD；
（2）证明：CC1∥平面A1BD．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、给出下列命题，其中正确的两个命题是（ ）
①直线上有两点到平面的距离相等，则此直线与平面平行②夹在两个平行平面间的两条异面线段的中点连线平行于这两个平面③直线m⊥平面α，直线n⊥m，则n∥α ④a、b是异面直线，则存在唯一的平面α，使它与a、b都平行且与a、b距离相等．
A、①② B、②③
C、③④ D、②④
考点：异面直线的判定；直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定。
专题：证明题；综合题。
分析：通过举反例可得①错误．利用面面平行的性质定理与线面平行的判定定理可确定②正确．③错误．直线n可能在平面α内．
④正确．设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的．
解答：解：①错误．如果这两点在该平面的异侧，则直线与平面相交．
②正确．如图，平面α∥β，A∈α，C∈α，D∈β，B∈β且E、F分别为AB、CD的中点，21世纪教育网
过C作CG∥AB交平面β于G，连接BG、GD．21*cnjy*com
设H是CG的中点，则EH∥BG，HF∥GD．
∴EH∥平面β，HF∥平面β．
∴平面EHF∥平面β∥平面α．
∴EF∥α，EF∥β．
③错误．直线n可能在平面α内．
④正确．如图，设AB是异面直线a、b的公垂线段，E为AB的中点，过E作a′∥a，b′∥b，则a′、b′确定的平面即为与a、b都平行且与a、b距离相等的平面，并且它是唯一确定的．
21世纪教育网
点评：本题考查了线线，线面，面面平行关系的判定与性质，注意这三种平行关系的相互转化，是个中档题．
2、已知三个不同的平面α，β，γ和三条不同的直线a，b，c，有下列四个命题：①若a∥b，b∥c则a∥c；
②若α∥β，α∩γ=b，β∩γ=a，则a∥b；③若a⊥b，b⊥c，则a⊥c；④若a⊥α，α⊥β，则a∥β．其中正确命题的个数是（ ）
A、4个 B、3个
C、2个 D、1个
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定。
分析：根据平行和垂直的公理及定理或举反例，对四个命题进行一一验证排查，得出正确结果．
解答：解：①满足公理4，平行的传递性；②满足线面平行的性质定理；
③不对，a与b可能异面，还可能相交但不垂直，从长方体中找；
④不对，有可能a?β，正确为：①②，
故选C．
点评：本题考查了平行的传递性和线面平行的性质定理，命题③、④用图形说明．
3、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中M，N，Q分别是棱D1C1，A1D1，BC的中点．P在对角线BD1上，且，给出下面四个命题：
（1）MN∥面APC；
（2）C1Q∥面APC；
（3）A，P，M三点共线；
（4）面MNQ∥面APC．正确的序号为（ ）21世纪教育网
A、（1）（2） B、（1）（4）
C、（2）（3） D、（3）（4）
MN∥面APC是错误的；21世纪教育网
（2）平面APC延展，可知M、N在平面APC上，AN∥C1Q，所以C1Q∥面APC，是正确的；
（3）由，以及（2）△APB∽△D1MP所以，A，P，M三点共线，是正确的；
（4）直线AP延长到M，则M在平面MNQ，又在平面APC，面MNQ∥面APC，是错误的．
故选C
点评：本题考查直线与平面平行，平面与平面平行的判定，三点共线问题，考查空间想象能力，是基础题．
4、A，b，c为三条不重合的直线，α，β，γ为三个不重合平面，现给出六个命题
①?a∥b ②?a∥b ③?α∥β
④?α∥β ⑤?α∥a ⑥?α∥a
其中正确的命题是（ ）
A、①②③ B、①④⑤
C、①④ D、①③④
考点：直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定。
专题：阅读型。
分析：根据平行公理可知①的真假，根据面面平行的判定定理可知④真假，对于②列举错的原因，错在a、b可能相交或异面，对于③错在α与β可能相交，对于⑤⑥错在a可能在α内，即可得到答案．
解答：解：根据平行公理可知①正确；
根据面面平行的判定定理可知④正确；
对于②错在a、b可能相交或异面．
对于③错在α与β可能相交，
对于⑤⑥错在a可能在α内．
故选：C
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的判定，同时考查了对定理、公理的理解，属于综合题．
5、已知两条直线m、n与两个平面α、β，下列命题正确的是（ ）
A、若m∥α，n∥α，则m∥n B、若m∥α，m∥β，则α∥β
C、若m⊥α，m⊥β，则α∥β D、若m⊥n，m⊥β，则n∥β
考点：直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定。
专题：阅读型。
分析：对于A，平行于同一平面的两条直线可以平行、相交，也可以异面；对于B，平行于同一直线的两个平面也可能相交；对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β；对于D，只有n也不在β内时成立．
解答：解：对于A，若m∥α，n∥α，则m，n可以平行、相交，也可以异面，故不正确；
对于B，若m∥α，m∥β，则当m平行于α，β的交线时，也成立，故不正确；
对于C，若m⊥α，m⊥β，则m为平面α与β的公垂线，则α∥β，故正确；
对于D，若m⊥n，m⊥β，则n∥β，n也可以在β内
故选C．
点评：本题考查空间中直线和平面的位置关系．涉及到两直线共面和异面，线面平行等知识点，在证明线面平行时，其常用方法是在平面内找已知直线平行的直线．当然也可以用面面平行来推导线面平行．
6、已知直线m、n和平面α、β满足m⊥n，m⊥α，α⊥β，则（ ）
A、n⊥β B、n∥β，或n?β
C、n⊥α D、n∥α，或n?α21世纪教育网
考点：平面与平面平行的判定。
专题：作图题；综合题。
分析：由题意画出图形，容易判断选项．
解答：解：由题意结合图形易知D正确
故选D．
点评：本题考查平面与平面平行和垂直的判定，直线与平面垂直和平行的判定，是基础题．21世纪教育网
7、平面α∥平面β的一个充分条件是（ ）
A、存在一条直线a，a∥α，a∥β
B、存在一条直线a，a?α，a∥β
C、存在两条平行直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
D、存在两条异面直线a，b，a?α，b?β，a∥β，b∥α
8、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥α，则α∥β；
③若m∥α，n∥β，m∥n，则α∥β；
④若m、n是异面直线，m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，则α⊥β
其中真命题是（ ）
A、①和② B、①和③
C、③和④ D、①和④
考点：平面与平面平行的判定。
专题：探究型。
分析：要求解本题，需要寻找特例，进行排除即可．
解答：解：①因为α、β是不重合的平面，m⊥α，m⊥β，所以α∥β；
②若α⊥γ，β⊥α，α、β、γ是三个两两不重合的平面，可知α不可能平行β；
③m∥α，n∥β，m∥n，αβ可能相交，不一定平行；
④因为mn两直线是异面直线，可知不平行，又因为m⊥α，m∥β，n⊥β，n∥α，可知αβ只能满足垂直关系．
故选D．
点评：本题考查学生的空间想象能力，是基础题．
9、已知m、n是不重合的直线，α、β是不重合的平面，有下列命题：21世纪教育网
①若m?α，n∥α，则m∥n；
②若m∥α，m∥β，则α∥β；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β；21世纪教育网
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β．
其中真命题的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：平面与平面平行的判定；直线与平面平行的判定。21世纪教育网
专题：综合题。
分析：要求解本题，根据平面与平面平行的判定与直线与平面平行的判定进行判定需要寻找特例，进行排除即可．
解答：解：①若m?α，n∥α，则m与n平行或异面，故不正确；
②若m∥α，m∥β，则α与β可能相交或平行，故不正确；
③若α∩β=n，m∥n，则m∥α且m∥β，m也可能在平面内，故不正确；
④若m⊥α，m⊥β，则α∥β，垂直与同一直线的两平面平行，故正确
故选：B
点评：本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及其中的公理和判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题
10、在下列条件中，可判断平面α与β平行的是（ ）
A、α、β都垂直于平面r
B、α内存在不共线的三点到β的距离相等
C、l，m是α内两条直线，且l∥β，m∥β
D、l，m是两条异面直线，且l∥α，m∥α，l∥β，m∥β
考点：平面与平面平行的判定。
专题：综合题。
分析：通过举反例推断A、B、C是错误的，即可得到结果．
解答：解：A中：教室的墙角的两个平面都垂直底面，但是不平行，错误．
B中：如果这三个点在平面的两侧，满足不共线的三点到β的距离相等，这两个平面相交，B错误．
C中：如果这两条直线平行，那么平面α与β可能相交，所以C错误．
故选D．
点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，是基础题．
11、已知两个不同平面α，β和两条不同直线m，n，则使α∥β成立的一个充分条件是（ ）
A、m∥α，n∥β，m∥n B、m∥α，m∥β
C、n⊥α，n⊥β D、m⊥α，n⊥β
考点：平面与平面平行的判定。
专题：综合题。
分析：结合选项，以及反例，逐一判定正确选项．
解答：解：对于A可能出现两个不同平面α，β相交情况，A错误．
B：也可能有两个不同平面α，β相交情况，B错误．如在正方体的两侧与平面之间存在．
C：正确，因为垂直同一直线的两个平面平行．
D：会出现出现两个不同平面α，β相交情况，D错误．
故选C．
点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
12、平面α与平面β平行的条件可以是（ ）
A、α内有无穷多条直线与β平行 B、直线a∥α，a∥β
C、直线a?α，直线b?β，且a∥β，b∥α D、α内的任何直线都与β平行21世纪教育网
13、满足下面哪一个条件时，可以判定两个不重合的平面α与β平行（ ）21世纪教育网
A、α内有无数个点到平面β的距离相等 B、α内的△ABC与β内的△A'B'C'全等，且AA'∥BB'∥CC'
C、α，β都与异面直线a，b平行 D、直线l分别与α，β两平面平行
考点：平面与平面平行的判定。
专题：阅读型。
分析：排除法，逐一检验答案，把不能推出α∥β的答案排除掉．排除时，可借助于立体几何中常见的几何体模型．
解答：解：A错，若α∩β=a，b?α，a∥b，α内直线b上有无数个点到平面β的距离相等，则不能断定α∥β；
B错，若α内的△ABC与β内的△A'B'C'全等，如图，在正三棱柱中构造△ABC与△A'B'C'全等，但不能断定α∥β；
C正确，因为分别过异面直线a，b作平面与平面α，β相交，可得出交线相互平行，从而根据面面垂直的判定定理即可得出平面α与β平行；
D错，若直线l分别与α，β两相交平面的交线平行，则不能断定α∥β；
故选C．21世纪教育网
点评：本题考查平面与平面平行的判定与性质，考查学生严密的思维能力和空间想象能力．
14、已知两个不同的平面α、β和两条不重合的直线，m、n，有下列四个命题：①若m∥n，m⊥α，则n⊥α②若m⊥α，m⊥β，则α∥β；③若m⊥α，m∥n，n?β，则α⊥β；④若m∥α，α∩β=n，，则m∥n，其中不正确的命题的个数是（ ）
A、0个 B、1个
C、2个 D、3个
15、已知直线a、b与平面α、β、γ，下列条件中能推出α∥β的是（ ）
A、a⊥α且a⊥β B、a⊥γ且β⊥γ
C、a?α，b?β，a∥b D、a?α，b?α，a∥β，b∥β
考点：平面与平面平行的判定。
专题：阅读型。
分析：根据垂直于同一直线的两个平面平行可知选项A是否正确；平面与平面垂直的性质，判断选项B的正误，对于选项C可知两个平面可能相交，选项D，若a与b平行时，两平面相交，对选项逐一判断即可．
解答：解：选项A，根据垂直于同一直线的两个平面平行，可知正确；
选项B，α⊥γ，β⊥γ可能推出α、β 相交，所以B不正确；
选项C，a?α，b?β，a∥b，α与β 可能相交，故不正确；
选项D，a?α，b?α，a∥β，b∥β，如果a∥b推出α、β 相交，所以D不正确；
故选：A
点评：本题考查平面与平面垂直的性质，以及直线与平面平行与垂直的性质，同时考查了推理论证的能力，属于基础题．
16、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个不重合的平面，则α∥β的一个充分条件是（ ）
A、m∥α，m∥β B、α⊥γ，β⊥γ
C、m?α，n?β，m∥n D、m、n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α
考点：平面与平面平行的判定。
专题：综合题。
分析：直线与平面的位置关系，平面与平面的位置关系，对选项逐一判断即可．21世纪教育网
解答：解：A可能有α与β相交的情况，是错误的．
B不正确，如正方体的同一顶点的三个平面的关系．
C可能有α与β相交的情况，是错误的．
D 根据直线与平面平行的判定，平面与平面平行的判定，即可推出这个命题正确．
故选D．21世纪教育网
点评：本题考查平面与平面平行的判定，直线与平面平行的判定，考查学生逻辑思维能力，是基础题．
17、设m，n是空间两条不同直线，α，β是空间两个不同平面，则下列命题的正确的是（ ）
A、当m?α，n?β时，若m∥n，则α∥β
B、当m?α，n?β；时，若m⊥n，则α⊥β
C、当m?α，n?α时，若m∥β，n∥β，则α∥β
D、当m?α，n?β时，若m⊥β，则n⊥α
18、α、β是两个不重合的平面，a、b是两条不同直线，在下列条件下，可判定α∥β的是（ ）
A、α、β都平行于直线a、b B、α内有三个不共线点到β的距离相等
C、b是α内两条直线，且a∥β，b∥β D、a，b是两条异面直线且a∥α，b∥α，a∥β，b∥β
考点：平面与平面平行的判定。
分析：排除法，逐一检验答案，把不能推出α∥β的答案排除掉．
解答：解：A错，若a∥b，则不能断定α∥β；
B错，若A、B、C三点不在β的同一侧，则不能断定α∥β；
C错，若a∥b，则不能断定α∥β；
故选D．
点评：本题考查学生严密的思维能力和空间想象能力．
19、已知两个不重合的平面α和β，下面给出四个条件：
①α内有无穷多条直线均与平面β平行；
②平面α，β均与平面γ平行；
③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行；
④平面α，β与直线l所成的角相等．
其中能推出α∥β的是（ ）
A、① B、②
C、①和③ D、③和④
考点：平面与平面平行的判定。
专题：证明题。
分析：α内有无穷多条直线均与平面β平行，这两个平面平行或相交，平面α，β均与平面γ平行，则有α∥β成立，
平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行，则平面α，β可能平行，也可能相交，
平面α，β与直线l所成的角相等，则平面α，β可能平行，也可能相交．
解答：解：①α内有无穷多条直线均与平面β平行，这两个平面平行或相交，故不能推出α∥β，故①不满足条件．
②平面α，β均与平面γ平行，则有α∥β成立，故②满足条件．
③平面α，β与平面γ都相交，且其交线平行，则平面α，β可能平行，也可能相交，故③不满足条件．
④平面α，β与直线l所成的角相等，则平面α，β可能平行，也可能相交，故④不满足条件．
综上，只有②满足条件，
故选 B．
点评：本题考查判定两个平面平行的方法，注意利用两个平面平行的定义和判定定理．
20、已知m，n是两条不同直线，α，β，γ是三个不同平面，下列命题中正确的是（ ）21世纪教育网
A、若m∥α，n∥α，则m∥n B、若α⊥γ，β⊥λ，则α∥β
C、若m∥α，m∥β，则α∥β D、若m⊥α，n⊥α，则m∥n21世纪教育网
考点：平面与平面平行的判定。
专题：证明题。
分析：由平行于同一个平面的两条直线可能相交，可能平行，也可能是异面直线，可知A 不正确21世纪教育网．
利用垂直于同一个平面的两个平面可能相交，可能平行，可知B 不正确．
因为平行与同一条直线 的两个平面可能相交，可能平行，C 不正确．
D正确．因为垂直于同一个平面的两条直线平行．
解答：解：A 不正确．因为m，n平行于同一个平面，故m，n可能相交，可能平行，也可能是异面直线．
B 不正确．因为α，β 垂直于同一个平面γ，故α，β 可能相交，可能平行．
C 不正确．因为α，β平行与同一条直线m，故α，β 可能相交，可能平行．
D正确．因为垂直于同一个平面的两条直线平行．
故选 D．
点评：本题考查两个平面平行的判定和性质，平面与平面垂直的性质，线面垂直的性质，注意考虑特殊情况．
二、填空题（共5小题）
21、设a，b为两条直线，α，β为两个平面，下列有四个命题：
（1）若a，b与α所成角相等，则a∥b；
（2）若a∥α，b∥β，α∥β，则a∥b；
（3）若a?α，b?β，a∥b，则α∥β；
（4）若a⊥α，b⊥β，α⊥β，则a⊥b．其中真命题是 （4） ．（写出所有真命题的序号）
22、已知m，n为直线，α，β为平面，给出下列命题：
①，②，③，④．
其中的正确命题序号是 ②、③ ．
考点：直线与平面平行的判定；平面与平面平行的判定。
专题：综合题。
分析：对于①，考虑线面平行的判定、线面垂直的性质；对于②③，考虑线面垂直的性质定理；
对于④，考虑面面平行的性质定理及空间两条直线的位置关系．
解答：解：对于①，由条件可也得到n∥α或者n∥α，故错误；对于②③，由线面垂直的性质定理知，正确；
对于④，由条件可以得到m∥n或者m与n异面，错误
故答案为：②、③．21世纪教育网
点评：本题考查线面平行的判定定理，线面垂直的性质定理及空间两直线的位置关系，解题时要抓住这些判定定理与性质定理的条件与结论，以免出错．
23、已知m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．命题p：若α∥β，m?α，n?β，则m∥n；
命题q：若m⊥α，n⊥β，m∥n，则α∥β．下面的命题中，①p∨q；②p∧q；③p∨非q；④非p∧q．真命题的序号是 ①④ （写出所有真命题的序号）．
考点：平面与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系。21世纪教育网
专题：阅读型。
分析：先根据面面平行的性质进行判定命题p的真假，然后根据面面平行的判定定理进行判定命题q的真假，最后根据或且非命题的真假紧张判定即可．
解答：解：∵命题p是假命题，命题q是真命题．
∴非p是真命题，非q是假命题，
∴p∨q是真命题，p∧q是假命题，p∨非q是假命题，21世纪教育网
非p∧q是真命题、
故答案为：①④
点评：本题主要考查了平面与平面平行的判定，以及命题真假的判定，同时考查了推理能力，属于基础题．
24、已知m、n是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若m?α，n?β，m∥n，则α∥β；
④若m、n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α，则α∥β
上面四个命题中，其中真命题有 ①和④ ．
考点：平面与平面平行的判定。
专题：综合题。
分析：利用直线与平面垂直的判定，平面与平面平行的判定，对选项逐一判断即可．
解答：解：①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；垂直同一条直线的两个平面平行，正确．
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；可能平面α和β相交，不正确．
③若m?α，n?β，m∥n，则α∥β；可能平面α和β相交，不正确．
④若m、n是异面直线，m?α，m∥β，n?β，n∥α，则α∥β，满足两个平面平行的判断，正确．
故答案为：①④
点评：本题考查平面与平面平行的判定，考查学生灵活运用知识的能力，是基础题．
25、设a，b是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，给出以下四个命题：①若a∥b，a⊥α，则b⊥α；②若a⊥b，a⊥α，则b∥α；③若a⊥α，a⊥β，则α∥β；④若a⊥β，α⊥β，则a∥α．其中所有正确命题的序号是 ①③ ．
点评：本题考查平面与平面平行的判定，以及线面垂直的判定定理等有关知识，考查空间想象能力，是基础题．
三、解答题（共5小题）
26、已知四棱锥P﹣ABCD的三视图如下．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）若E是侧棱PC的中点，求证：PA∥平面BDE；
（3）若E是侧棱PC上的动点，不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论．21世纪教育网版权所有
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；平面与平面平行的判定。
专题：计算题；作图题；证明题。
分析：（1）更加所给的三视图得到该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，根据四棱锥的体积公式做出几何体的体积．
（2）根据见到中点找中点的方法，连接AC交BD于F，则F为AC的中点，根据三角形的中位线与底边平行，得到线与面的平行关系，再写出不属于这个平面，得到线与面平行．
（3）先写出结论，再证明这个结论，要证不论点E在何位置，都有BD⊥AE，只要证明BD⊥平面PAC，且不论点E在何位置，都有AE?平面PAC，得到结论．
解答：解：（1）由该四棱锥的三视图可知，该四棱锥P﹣ABCD的底面是边长为1的正方形，
侧棱PC⊥底面ABCD，且PC=2，
∴VP﹣ABCD=SABCD?PC==
（2）证明：连接AC交BD于F，则F为AC的中点，
∵E为PC的中点，
∴PA∥EF，
又PA?平面BDE内，
∴PA∥平面BDE
（3）不论点E在何位置，都有BD⊥AE
证明：连接AC，∵ABCD是正方形，
∴BD⊥AC
∵PC⊥底面ABCD且BD?平面ABCD，
∴BD⊥PC
又AC∩PC=C，
∴BD⊥平面PAC，
∵不论点E在何位置，都有AE?平面PAC21世纪教育网版权所有
∴不论点E在何位置，都有BD⊥AE
点评：本题是一个典型的立体几何的题目，从三视图开始，考查的知识点比较全面，注意最后一问的解答格式，需要先得到结论，再证明结论，两个环节不能缺少．
27、在如图所示的空间几何体中，平面ACD⊥平面ABC，AB=BC=CA=DA=DC=BE=2，BE和平面ABC所成的角为60°，且点E在平面ABC上的射影落在∠ABC的平分线上．
（1）求证：DE∥平面ABC；
（2）求二面角E﹣BC﹣A的余弦；21世纪教育网版权所有
（3）求多面体ABCDE的体积．
（2）作FG⊥BC，垂足为G，连接FG；
∵EF⊥平面ABC，根据三垂线定理可知，EG⊥BC，
∴∠EGF就是二面角E﹣BC﹣A的平面角，
∵，
∴，
∴
即二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．
（3）∵平面ACD⊥平面ABC，OB⊥AC∴OB⊥平面ACD；21世纪教育网版权所有
又∵DE∥OB∴DE⊥平面DAC，
∴三棱锥E﹣DAC的体积，
又三棱锥E﹣ABC的体积，
∴多面体DE﹣ABC的体积为V=V1+V2=，
方法二：（1）同方法一
（2）建立如图所示的空间直角坐标系O﹣xyz，21世纪教育网版权所有
可求得平面ABC的一个法向量为，
平面BCE的一个法向量为，
所以=，
又由图知，所求二面角的平面角是锐角，
所以二面角E﹣BC﹣A的余弦值为．
（3）同方法一
点评：本题考查空间直线与平面之间的位置关系，线面平行，体积等知识，高考必考内容，考查空间想象能力和逻辑思维推理能力．
28、已知正六棱柱ABCDEF﹣A1B1C1D1E1F1的所有棱长均为2，G为AF的中点．
（1）求证：F1G∥平面BB1E1E；
（2）求证：平面F1AE⊥平面DEE1D1；
（3）求四面体EGFF1的体积．
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面平行的判定。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）根据AF∥BE，AF?平面BB1E1E，满足线面平行的判定定理，则AF∥平面BB1E1E，同理可证，AA1∥平面BB1E1E，根据面面平行的判定定理可知平面AA1F1F∥平面BB1E1E，又F1G?平面AA1F1F，根据面面平行的性质可知F1G∥平面BB1E1E；
（2）根据底面ABCDEF是正六边形，则AE⊥ED，又E1E⊥底面ABCDEF，所以E1E⊥AE，而E1E∩ED=E，根据线面垂直的判定定理可知
AE⊥平面DD1E1E，又AE?平面F1AE，最后根据面面垂直的判定定理可知平面F1AE⊥平面DEE1D1；
（3）根据F1F⊥底面FGE，则四面体EGFF1的高为F1F，然后利用三棱锥的体积公式进行求解即可．
解答：解：
（1）证明：因为AF∥BE，AF?平面BB1E1E，21世纪教育网版权所有
所以AF∥平面BB1E1E，（2分）
同理可证，AA1∥平面BB1E1E，（3分）
所以，平面AA1F1F∥平面BB1E1E（4分）
又F1G?平面AA1F1F，所以F1G∥平面BB1E1E（5分）21世纪教育网版权所有
（2）因为底面ABCDEF是正六边形，所以AE⊥ED，（7分）
又E1E⊥底面ABCDEF，所以E1E⊥AE，
因为E1E∩ED=E，所以AE⊥平面DD1E1E，（9分）
又AE?平面F1AE，所以平面F1AE⊥平面DEE1D1（10分）
（3）∵F1F⊥底面FGE，
=
点评：本题主要考查直线与平面平行的判定，以及平面与平面垂直的判定和三棱锥的体积的计算，体积的求解在最近两年高考中频繁出现，值得重视．
29、已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1，O是底ABCD对角线的交点．
求证：（1）C1O∥面AB1D1；
（2 ）面BDC1∥面AB1D1．
30、如图，在四棱台ABCD﹣A1B1C1D1中，D1D⊥平面ABCD，底面ABCD是平行四边形，AB=2AD，AD=A1B1，∠BAD=60°．
（Ⅰ）证明：AA1⊥BD；
（Ⅱ）证明：CC1∥平面A1BD．
由 AA1?面ADD1A1，∴BD⊥AA1．
（Ⅱ）证明：连接AC 和A1C1，设 AC∩BD=E，由于底面ABCD是平行四边形，故E为平行四边形ABCD的
中心，由棱台的定义及AB=2AD=2A1B1，可得 EC∥A1C1，且 EC=A1C1，
故ECC1A1为平行四边形，∴CC1∥A1E，而A1E?平面A1BD，∴CC1∥平面A1BD．
点评：本题考查余弦定理、勾股定理、线面平行的判定定理、线面平行的性质定理的应用，体现了数形结合的数学思想．21世纪教育网版权所有
