平面与平面平行的性质
一、选择题（共3小题）
1、已知平面α∥平面β，直线m?α，直线n?β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（ ）
A、b≤a≤c B、a≤c≤b
C、c≤a≤b D、c≤b≤a
2、已知直线a?α，给出以下三个命题：21世纪教育网版权所有
①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；
②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；
③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（ ）21世纪教育网
A、② B、③
C、①② D、①③
3、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）
A、异面 B、相交
C、平行 D、不能确定
二、填空题（共5小题）
4、Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C1的形状是 _________ 三角形．
5、已知平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，线段AB与线段CD交于点S，若AS=18，BS=27，CD=34，则CS= _________ ．
6、棱长为2的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M是棱AA1的中点，过C、M、D1作正方体的截面，则截面的面积是 _________ ．
7、如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= _________ ．
8、已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．
其中正确命题的序号有 _________ ．
三、解答题（共10小题）
9、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N，Q分别PB，PC，AB的中点．
求证：（1）MN∥平面PAD；
（2）QN∥平面PAD．
10、如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上，点M是线段AB的中点．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D﹣AEC的体积；
（3）试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．21世纪教育网版权所有
11、已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D、D1分别为AC、A1C1上的点．21世纪教育网版权所有
（1）当等于何值时，BC1∥平面AB1D1？
（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．21世纪教育网版权所有
12、设a，b为异面直线，EF为a，b的公垂线，α为过EF的中点且与a，b平行的平面，M为a上任一点，N为b上任一点，求证线段MN被平面α二等分．
13、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F．求证：EF∥平面ABCD．
14、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P﹣ABCD中，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．
求证：AP∥GH．
15、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
16、已知平面α，β，直线l，且α∥β，l?β，且l∥α，21世纪教育网版权所有
求证：l∥β
17、如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F，求证：．
18、如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；21世纪教育网版权所有
（Ⅱ）若PD：SP=1：3，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．
答案与评分标准
一、选择题（共3小题）
1、已知平面α∥平面β，直线m?α，直线n?β，点A∈m，点B∈n，记点A、B之间的距离为a，点A到直线n的距离为b，直线m和n的距离为c，则（ ）21世纪教育网版权所有
A、b≤a≤c B、a≤c≤b
C、c≤a≤b D、c≤b≤a
考点：平面与平面平行的性质。
分析：此题根据平面与平面平行的判断性质，判断c最小，再根据点到直线距离和点到直线上任意点距离判断a最大．
解答：解：由于平面α∥平面β，直线m和n又分别是两平面的直线，则c即是平面之间的最短距离．
而由于两直线不一定在同一平面内，则b一定大于c，判断a和b时，21世纪教育网版权所有
因为B是n上任意一点，则a大于b．
故选D．
点评：此题主要考查平面间与平面平行的性质．考查点到直线距离．
2、已知直线a?α，给出以下三个命题：
①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；
②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；
③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β．其中正确的命题是（ ）
A、② B、③
C、①② D、①③
考点：平面与平面平行的性质；平面与平面平行的判定。21世纪教育网版权所有
专题：分析法。
分析：对于①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；由面面平行显然推出线面平行，故正确．
对于②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为一个线面平行推不出面面平行．故错误．
对于③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，因为线面不平面必面面不平行．故正确．即可得到答案．
解答：解①若平面α∥平面β，则直线a∥平面β；因为直线a?α，平面α∥平面β，则α内的每一条直线都平行平面β．显然正确．
②若直线a∥平面β，则平面α∥平面β；因为当平面α与平面β相加时候，仍然可以存在直线a?α使直线a∥平面β．故错误．
③若直线a不平行于平面β，则平面α不平行于平面β，平面内有一条直线不平行与令一个平面，两平面就不会平行．故显然正确．
故选D．
点评：此题主要考查平面与平面平行的性质及判定的问题，属于概念性质理解的问题，题目较简单，几乎无计算量，属于基础题目．
3、一条直线若同时平行于两个相交平面，那么这条直线与这两个平面的交线的位置关系是（ ）
A、异面 B、相交
C、平行 D、不能确定
考点：平面与平面平行的性质。
专题：计算题。
分析：由题意设α∩β=l，a∥α，a∥β，然后过直线a作与α、β都相交的平面γ，利用平面与平面平行的性质进行求解．
解答：解：设α∩β=l，a∥α，a∥β，
过直线a作与α、β都相交的平面γ，
记α∩γ=b，β∩γ=c，
则a∥b且a∥c，
∴b∥c．
又b?α，α∩β=l，
∴b∥l．
∴a∥l．
故选C．
点评：此题考查平面与平面平行的性质及其应用，解题的关键的画出图形，此题是道基础题．
二、填空题（共5小题）
4、Rt△ABC在平面α内的射影是△A1B1C1，设直角边AB∥α，则△A1B1C1的形状是 直角 三角形．
5、已知平面α∥平面β，A，C∈α，B，D∈β，线段AB与线段CD交于点S，若AS=18，BS=27，CD=34，则CS= ．
考点：平面与平面平行的性质。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：因为平面α∥平面β，利用平面平行的性质定理，可得，AC∥BD，再根据S点的位置，利用成比例线段，就可求出CS的值．
解答：解：①若S点位于平面α与平面β之间，根据平面平行的性质定理，得，AC∥BD，∴，
即，∴CS=．
②若S点位于平面α与平面β外，根据平面平行的性质，得，∴CS=68
故答案为或68．
点评：考查空间中截面的作法及梯形的面积公式．
7、如图所示，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，M、N分别是下底面的棱A1B1，B1C1的中点，P是上底面的棱AD上的一点，AP=，过P、M、N的平面交上底面于PQ，Q在CD上，则PQ= a ．
考点：平面与平面平行的性质；棱柱的结构特征。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：由题设PQ在直角三角形PDQ中，故需要求出PD，QD的长度，用勾股定理在直角三角形PDQ中求PQ的长度．
解答：解：∵平面ABCD∥平面A1B1C1D1，MN?平面ABCD
∴MN∥平面A1B1C1D1，又PQ=面PMN∩平面A1B1C1D1，21世纪教育网版权所有
∴MN∥PQ．
∵M、N分别是A1B1、B1C1的中点
∴MN∥A1C1∥AC，
∴PQ∥AC，又AP=，ABCD﹣A1B1C1D1是棱长为a的正方体，
∴CQ=，从而DP=DQ=，
∴PQ===a．
故答案为：a
点评：本题考查平面与平面平行的性质，是立体几何中面面平行的基本题型，本题要求灵活运用定理进行证明．
8、已知a、b是两条不重合的直线，α、β、γ是三个两两不重合的平面，给出下列四个命题：
①若a⊥α，a⊥β，则α∥β；
②若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
③若α∥β，a?α，b?β，则a∥b；
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．
其中正确命题的序号有 ①④ ．
④若α∥β，α∩γ=a，β∩γ=b，则a∥b．由面面平行性质知，a∥b，故④正确．
故答案为①④．
点评：此题主要考查平面与平面平行的性质，属于概念性质理解的问题，题目比较简单且无计算量，属于基础题目．
三、解答题（共10小题）
9、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，ABCD是平行四边形，M，N，Q分别PB，PC，AB的中点．
求证：（1）MN∥平面PAD；
（2）QN∥平面PAD．
考点：直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质。21世纪教育网
专题：证明题。
分析：（1）由已知中M，N分别为PB，PC的中点，根据三角形中位线定理，可得MN∥BC，进而由线面平行的性质得到MN∥平面PAD；
（2）连接MQ，由（1）中结论MN∥平面PAD，同理可证明出QM∥平面PAD，进而由面面平行的判定定理得到平面MNQ∥平面PAD（利用面面平行的第二判定定理，也可以实现），进而由面面平行的性质得到QN∥平面PAD．
解答：证明：（1）∵M、N分别是PB、PC的中点，
∴MN∥BC，（2分）
又∵AD∥BC，∴MN∥AD，（4分）
又∵AD?平面PAD，
∴MN∥平面PAD；（6分）
（2）连接MQ，如下图所示：
∵M、Q分别是PB、AB的中点，
∴MQ∥PA，（8分）
又∵MN∩MQ=M，
∴平面MNQ∥平面PAD，（10分）
又∵QN?平面MNQ，
∴QN∥平面PAD；（12分）
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，平面与平面平行的性质，其中判断线面平行最常用的两种方法，就是根据线面平行的判定定理（如（1）中证明过程）和面面平行的性质定理（如（2）中证明过程）．
10、如图，四边形ABCD为矩形，DA⊥平面ABE，AE=EB=BC=2，BF⊥平面ACE于点F，且点F在CE上，点M是线段AB的中点．
（1）求证：AE⊥BE；
（2）求三棱锥D﹣AEC的体积；
（3）试在线段CE上确定一点N，使得MN∥平面DAE．21世纪教育网
21世纪教育网
解答：证明：（1）由AD⊥平面ABE及AD∥BC21世纪教育网
∴BC⊥平面ABE，∴AE⊥BC
而BF⊥平面ACE，∴BF⊥AE，又BC∩BF=B，
∴AE⊥平面BCE，又BE?平面BCE，∴AE⊥BE．
解：（2）连接EM，∵M为AB中点，AE=EB=BC=2，∴EM⊥AB
又DA⊥平面ABE，EM?ABE平面，∴DA⊥EM，所以EM⊥平面ACD
由已知及（1）得．
故
（3）取BE中点G，连接MG，GF，FM．
∵BF⊥平面ACE，∴BF⊥CE，
又EB=BC，所以F为CE中点，∴GF∥BC21世纪教育网
又∵BC∥AD，∴GF∥AD
所以GF∥平面ADE
同理MG∥平面ADE，所以平面GMF∥平面ADE
又MF?平面MGF，则MF∥平面ADE．
∴当点N与点F重合，即N为线段CE的中点时，MN∥平面ADE．
点评：本题考察了线面平行，面面平行的性质和判定定理的应用，线面垂直，线线垂直的性质和判定定理的应用，三棱锥体积的计算方法等知识
11、已知如图，斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，点D、D1分别为AC、A1C1上的点．
（1）当等于何值时，BC1∥平面AB1D1？21世纪教育网
（2）若平面BC1D∥平面AB1D1，求的值．21世纪教育网
考点：直线与平面平行的判定；平面与平面平行的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）欲证BC1∥平面AB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证BC1与平面AB1D1内一直线平行，取D1为线段A1C1的中点，此时=1，连接A1B交AB1于点O，连接OD1，OD1∥BC1，OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，满足定理所需条件；
（2）根据平面BC1D与平面AB1D1平行的性质定理可知BC1∥D1O，同理AD1∥DC1，根据比例关系即可求出所求．
解答：解：（1）如图，取D1为线段A1C1的中点，此时=1，
连接A1B交AB1于点O，连接OD1．
由棱柱的性质，知四边形A1ABB1为平行四边形，所以点O为A1B的中点．
在△A1BC1中，点O、D1分别为A1B、A1C1的中点，
∴OD1∥BC1．
又∵OD1?平面AB1D1，BC1?平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1．
∴=1时，BC1∥平面AB1D1，
（2）由已知，平面BC1D∥平面AB1D1
且平面A1BC1∩平面BDC1=BC1，
平面A1BC1∩平面AB1D1=D1O．
因此BC1∥D1O，同理AD1∥DC1．21世纪教育网
∴=，=．
又∵=1，
∴=1，即=1．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及平面与平面平行的性质，考查空间想象能力、运算求解能力、推理论证能力，考查数形结合思想、化归与转化思想，属于中档题．
12、设a，b为异面直线，EF为a，b的公垂线，α为过EF的中点且与a，b平行的平面，M为a上任一点，N为b上任一点，求证线段MN被平面α二等分．
考点：平面与平面平行的性质；平面的基本性质及推论。21世纪教育网
专题：证明题。
分析：过直线b作平面β∥α，过直线a及公垂线EF作一平面，在此平面内作MC∥EF，且与平面α，β分别交于B、C两点，设EF、MN分别与平面α交于点A、D，根据中位线可得D是MN的中点．
解答：证明：过直线b作平面β∥α（如图1）．
过直线a及公垂线EF作一平面，在此平面内作MC∥EF，且与平面α，β分别交于B、C两点，
设EF、MN分别与平面α交于点A、D，21世纪教育网
∵点A是EF的中点，
又ME∥BA∥CF，
∴点B是MC的中点，
又∵DB∥NC，
∴D是MN的中点．
点评：本小题主要考查平面与平面平行的性质，以及平面的基本性质及推论，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
13、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，侧面对角线AB1、BC1上分别有两点E、F，且B1E=C1F．求证：EF∥平面ABCD．
21cnjy
又B1E=C1F，∴EM=FN．
故四边形MNFE是平行四边形．
∴EF∥MN．又MN在平面ABCD中，21cnjy
∴EF∥平面ABCD．
证法二：过E作EG∥AB交BB1于点G，连接GF，则=．
∵B1E=C1F，B1A=C1B，∴=．
∴FG∥B1C1∥BC．
又∵EG∩FG=G，AB∩BC=B，
∴平面EFG∥平面ABCD．而EF在平面EFG中，
∴EF∥平面ABCD．
点评：本题主要考查了空间中的线面关系，三角形相似等基础知识，考查空间想象能力和思维能力．
14、如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外的一点，则在四棱锥P﹣ABCD中，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH．
求证：AP∥GH．
考点：平面与平面平行的性质。
专题：证明题。
分析：连接AC，交BD于O，由三角形的中位线的性质可得MO∥PA，可得PA∥平面BDM，再由两个平面平行的性质定理证得
AP∥GH．
解答：证明：连接AC，交BD于O，连接MO．因为四边形ABCD是平行四边形，21cnjy
所以 O是AC的中点，又因为M是PC的中点，所以MO∥PA．
又因为 MO?平面BDM，PA?平面BDM，
所以，PA∥平面BDM．又因为经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，
所以，AP∥GH．
点评：本题考查证明线线平行的方法，两个平面平行的性质定理的应用，证明PA∥平面BDM，是解题的关键．
15、求证：夹在两个平行平面间的平行线段相等．
点评：本题考查证明线线平行的方法，两个平面平行的性质定理的应用，过AB，CD可作平面γ 是解题的关键．
16、已知平面α，β，直线l，且α∥β，l?β，且l∥α，
求证：l∥β
考点：平面与平面平行的性质；直线与平面平行的判定。
专题：证明题。
分析：过直线l作一平面γ，使得α∩γ=m，β∩γ=n，利用平面与平面的平行证明m∥n，通过l∥α，然后证明l∥m，通过由公理4得l∥n，即可证明l∥β．
解答：证明：过直线l作一平面γ，使得α∩γ=m，β∩γ=n，…（4分）
∵α∥β，由平面和平面平行的性质定理可得：m∥n，…（7分）
又∵l∥α，由直线和平面平行的性质定理可得：l∥m，…（10分）21cnjy
由公理4得l∥n，又∵l?β，n?β，
由直线和平面的判定定理得：l∥β． …（14分）
点评：本题是基础题，考查直线与平面的平行，平面与平面的平行，判断与性质定理的应用，考查逻辑推理能力．
17、如图，α∥β∥γ，直线a与b分别交α，β，γ于点A，B，C和点D，E，F，求证：．
18、如图，四棱锥S﹣ABCD的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的倍，P为侧棱SD上的点．
（Ⅰ）求证：AC⊥SD；
（Ⅱ）若PD：SP=1：3，侧棱SC上是否存在一点E，使得BE∥平面PAC．若存在，求SE：EC的值；若不存在，试说明理由．
考点：平面与平面平行的性质；空间中直线与直线之间的位置关系。21*cnjy*com
专题：证明题。
分析：（1）由于SD在平面SBD上，证明AC⊥平面SBD，即AC⊥平面内任何线段，即得AC⊥SD．
（2）取SD中点为N，因为PD：SP=1：3，则PN=PD，过N作PC的平行线与SC的交点即为E．在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，
即可得到平面BEN∥平面PAC，使得BE∥平面PAC，进而求得SE：EC的值．
解答：证明：（Ⅰ）连BD，设AC交BD于O，由题意SO⊥AC．
在正方形ABCD中，AC⊥BD，所以AC⊥平面SBD，得AC⊥SD．
（Ⅱ）在棱SC上存在一点E，使BE∥平面PAC
取SD中点为N，因为PD：SP=1：3，则PN=PD，
过N作PC的平行线与SC的交点即为E．连BN．
在△BDN中知BN∥PO，又由于NE∥PC，
故平面BEN∥平面PAC，得BE∥平面PAC，21*cnjy*com
由于SN：NP=2：1，故SE：EC=2：1．
点评：本题主要考查立体几何中平面与平面平行的性质以及线段垂直平面的性质．
