直线与平面平行的判定
一、选择题（共20小题）
1、如图，在体积为V1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V，有如下四个命题；①BD1=3AB；②BD1与底面ABCD所成角是45°；
③；④MN∥平面D1BC．其中正确命题的个数为（ ）21*cnjy*com
A、4 B、3
C、2 D、1
2、已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ）21*cnjy*com
A、若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n
B、若m∥n，n?α，m?α，则m∥α
C、若α⊥β，m⊥α，则m∥β
D、若m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥β
3、设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A、若l⊥m，m?α，则l⊥α
B、若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C、若l∥α，m?α，则l∥m
D、若l∥α，m∥α，则l∥m
4、过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（ ）
A、4条 B、6条
C、8条 D、12条
5、“直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的（ ）21*cnjy*com
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
6、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1、CD、B1C1的中点，则下列中与直线AE有关的正确命题是（ ）
A、AE丄CG
B、AE与CG是异面直线
C、四边形ABC1F是正方形
D、AE∥平面BC1F
7、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）
A、一条直线不相交
B、两条直线不相交
C、任意一条直线都不相交
D、无数条直线不相交
8、已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：
①∥n；②∥α；③；④．
其中正确命题的序号是（ ）
A、①② B、②④
C、②③ D、①④
9、下列说法正确的是（ ）
A、垂直于同一平面的两平面也平行
B、与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
C、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
D、垂直于同一直线的两平面平行
10、如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（ ）
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF 上；
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值．
A、① B、①②
C、①②③ D、②③
11、已知点O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD的中心，则下列结论正确的是（ ）21*cnjy*com
A、直线OA1⊥平面AB1C1
B、直线OA1∥直线BD121*cnjy*com
C、直线OA1⊥直线AD
D、直线OA1∥平面CB1D1
12、设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是（ ）21*cnjy*com
A、α⊥β且m⊥β B、α∩β=n且m∥n
C、m∥n且n∥α D、α∥β且m?β
13、已知两条直线a，b，两个平面α，β，则下列结论中正确的是（ ）
A、若a?β，且α∥β，则a∥α
B、若b?α，a∥b，则a∥α
C、若a∥β，α∥β，则a∥α
D、若b∥α，a∥b，则a∥α
14、下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）
A、①、③ B、①、④
C、②、③ D、②、④
15、已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（ ）
A、存在一条直线b，a∥b，b?α
B、存在一条直线b，a⊥b，b⊥α
C、存在一个平面β，a?β，α∥β
D、存在一个平面β，a⊥β，a⊥β
16、已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的（ ）
A、①④ B、①⑤
C、②⑤ D、③⑤
17、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（ ）
A、12条 B、18条
C、21条 D、24条
18、若l、m表示互不重合的两条直线，α、β表示互不重合的两个平面，则l∥α的一个充分条件是（ ）
A、α∥β，l∥β B、a∩β=m，l?a，l∥m
C、l∥m，m∥α D、α⊥β，l⊥β
19、已知直线a，b，平面α，β，则a∥α的一个充分条件是（ ）21*cnjy*com
A、a⊥b，b⊥α B、a∥β，β∥α
C、b?α，a∥b D、a∥b，b∥α，a?α
20、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上，且，则下列结论①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN中，正确命题的个数是（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
二、填空题（共5小题）
21、如图，正四面体ABCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，给出下列四个命题：
①多面体O﹣ABC是正三棱锥；
②直线OB∥平面ACD；
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D﹣OB﹣A为45°．
其中真命题有 _________ （写出所有真命题的序号）．21*cnjy*com
22、设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 _________ ．
①m∥β且l1∥α ②m∥l1且n∥l2
③m∥β且n∥β ④m∥β且n∥l2
23、如图，空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD和ADEF．设M、N分别是BD和AE的中点，那么
①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；
③MN∥CE；④MN、CE异面
以上4个命题中正确的是 _________ ．
24、棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体A﹣BCD中，点M，N分别是CD和AD的中点，给出下列命题：
①直线MN∥平面ABC；
②直线CD⊥平面BMN；21*cnjy*com
③三棱锥B﹣AMN的体积是三棱锥B﹣ACM的体积的一半．21*cnjy*com
则其中正确命题的序号为 _________ ．
25、在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a的正方形，左视图是直角边长为a的等腰三角形）如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．
（1）求证：GN⊥AC；
（2）求三棱锥F﹣MCE的体积；
（3）当FG=GD时，证明AG∥平面FMC．
27、已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若E点为PC的中点，点O为BD中点，证明EO∥平面PAB．
28、如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）证明：BD∥平面PEC；
（3）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．21*cnjy*com
29、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；21*cnjy*com
（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．
30、如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点．求证：VD∥平面EAC．21*cnjy*com
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、如图，在体积为V1的正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，M，N分别为所在边的中点，正方体的外接球的体积为V，有如下四个命题；①BD1=3AB；②BD1与底面ABCD所成角是45°；
③；④MN∥平面D1BC．其中正确命题的个数为（ ）21*cnjy*com
A、4 B、3
C、2 D、1
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；棱柱、棱锥、棱台的体积；球内接多面体；直线与平面平行的判定。
分析：本题综合考查了空间中直线与平面之间的位置关系，球与正方体的体积等多个知识点，由BD1为正方体的对角线等于棱长的倍等于正方体外接球的直径，我们易得①错误，②错误，③正确，根据线面平行的证明办法，我们易证④正确，分析后，即可给出答案．
解答：解：高正方体边长为a，则BD1为正方体的对角线长，21*cnjy*com
故BD1=a=AB，故①BD1=3AB错误；
则BD1与底面ABCD所成角为∠D1BD
∵D1D⊥底面ABCD，则cos∠D1BD==≠
故②BD1与底面ABCD所成角是45°错误；
此时正方体的外接圆直径为BD1，
即R=a，则V1=a3
V2==
故③正确
取CD1的中点E，连接BE后，易证MN∥BE，
根据线面平面的判定定理我们易得④MN∥平面D1BC正确
故选C
点评：正方体的内切球直径等于棱长，正方体的外接球直径等于对角线长，等于棱长的倍．
2、已知m，n是两条不重合的直线，α，β是两个不重合的平面，下列命题中正确的是（ ）21*cnjy*com
A、若m∥α，n∥β，α∥β，则m∥n B、若m∥n，n?α，m?α，则m∥α
C、若α⊥β，m⊥α，则m∥β D、若m⊥α，n?β，m⊥n，则α⊥β
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定。
专题：阅读型。
分析：对于A，平行于两个平行平面的两条直线未必平行，对于B，根据线面平行的判定定理进行判定即可，对于C，直线m可能在平面β内，对于D，平面α与平面β可能平行，从而得到结论．
解答：解：对于A，平行于两个平行平面的两条直线未必平行，因此A不正确；
对于B，由“平面外一条直线平行于平面内的一条直线，则该直线平行于该平面”，因此B正确；
对于C，直线m可能在平面β内，因此C不正确；
对于D，平面α与平面β可能平行，因此D不正确．
故选B
点评：本题主要考查了空间中直线与平面之间的位置关系，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
3、（2010?浙江）设l，m是两条不同的直线，α是一个平面，则下列命题正确的是（ ）
A、若l⊥m，m?α，则l⊥α B、若l⊥α，l∥m，则m⊥α
C、若l∥α，m?α，则l∥m D、若l∥α，m∥α，则l∥m
4、过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，其中与平面DBB1D1平行的直线共有（ ）
A、4条 B、6条
C、8条 D、12条
考点：直线与平面平行的判定。
专题：作图题。
分析：由题意求平面DBB1D1平行的直线，画出图形然后进行判断．21*cnjy*com
解答：解：如图，过平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1任意两条棱的中点作直线，
其中与平面DBB1D1平行的直线共有12条，
故选D．21*cnjy*com
点评：此题是一道作图题，解题的关键是画出图形，然后数出来，是高考常考的选择题．
5、“直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的（ ）21*cnjy*com
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
考点：直线与平面平行的判定。
分析：根据直线与平面平行的定义，我们分别判断“直线l与平面α无公共点”?“l∥α”与“l∥α”?“直线l与平面α无公共点”的真假，然后根据充要条件的定义，即可得到结论．
解答：解：若“直线l与平面α无公共点”成立，则“l∥α”
即“直线l与平面α无公共点”?“l∥α”为真命题
反之，当“l∥α”时，“直线l与平面α无公共点”
即“l∥α”?“直线l与平面α无公共点”也为真命题
根据充要条件的定义可得：
直线l与平面α无公共点”是“l∥α”的充要条件
故选C
点评：本题考查的知识点是充要条件的定义，其中判断“直线l与平面α无公共点”?“l∥α”与“l∥α”?“直线l与平面α无公共点”的真假，是解答本题的关键．
6、正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，E，F，G分别是A1B1、CD、B1C1的中点，则下列中与直线AE有关的正确命题是（ ）
A、AE丄CG B、AE与CG是异面直线
C、四边形ABC1F是正方形 D、AE∥平面BC1F
点评：本题考查的知识点是，棱柱的结构特征，直线与平面平行的判定，其中根据正方体的结构特征，分析出正方体中的线、面关系，即可得到答案．
7、直线与平面平行的充要条件是这条直线与平面内的（ ）
A、一条直线不相交 B、两条直线不相交21cnjy
C、任意一条直线都不相交 D、无数条直线不相交
考点：直线与平面平行的判定。
分析：根据直线与平面平行的判断定理，若直线与平面平行则这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，从而求解．
解答：解：∵直线与平面平行，由其性质可知：
∴这条直线与平面内的任意一条直线都不相交，
A一条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故A错误；
B、两条直线不相交，说明有其它直线与其相交，故B错误；
D、无数条直线不相交，说明有其它直线与其相交，无数不是全部，故D错误；
故选C．
点评：此题考查直线与平面平行的判断定理：
公理二：如果两个平面有一个公共点则它们有一条公共直线且所有的公共点都在这条直线上
公理三：三个不共线的点确定一个平面
推论一：直线及直线外一点确定一个平面
推论二：两相交直线确定一个平面，
这些知识要熟练掌握．
8、已知m，n表示两条直线，α表示一个平面，给出下列四个命题：
①∥n；②∥α；③；④．
其中正确命题的序号是（ ）
A、①② B、②④
C、②③ D、①④
考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：根据线面平行、线面垂直的判定与性质定理，即可求得正确答案．
解答：解：①?m∥n，根据线面垂直的性质定理：垂直于同一平面的两直线平行，故①正确．
②?n∥α，由m⊥α，m⊥n得n∥α或n?α，故②不正确．
③?m∥n，由m∥α，n∥α，则m，n可能平行、可能相交、可能异面．故③不正确．
④，则m，n可能相交、可能异面，根据异面直线所成的角，可知m⊥n．故④正确．
故选D．
点评：此题来考查学生的空间想象能力，及线面平行、线面垂直的判定与性质定理的理解与掌握．
9、下列说法正确的是（ ）
A、垂直于同一平面的两平面也平行 B、与两条异面直线都相交的两条直线一定是异面直线
C、过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 D、垂直于同一直线的两平面平行
考点：直线与平面平行的判定；平面的基本性质及推论。
专题：阅读型。
分析：垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，得到结论．
解答：解：垂直于同一个平面的两个平面的位置关系不能确定，故A不正确，
与两条异面直线都相交的直线如果是交于不同的四个点，一定异面，若交于三个点则共面，故B不正确，
过一点在空间中有无数条直线与已知直线垂直，故C不正确，21cnjy
垂直于同一直线的两个平面平行，正确，
故选D．21cnjy
点评：本题考查空间中线与线，线与面之间的关系的判断，在解题时，注意容易漏掉的一些情况不要漏掉，本题是一个基础题．
10、如图边长为a的等边三角形ABC的中线AF与中位线DE交于点G，已知△A′DE是△ADE绕DE旋转过程中的一个图形，则下列命题中正确的是（ ）
①动点A′在平面ABC上的射影在线段AF 上；21cnjy
②BC∥平面A′DE；
③三棱锥A′﹣FED的体积有最大值．
A、① B、①②
C、①②③ D、②③
11、已知点O为正方体ABCD﹣A1B1C1D1底面ABCD的中心，则下列结论正确的是（ ）
A、直线OA1⊥平面AB1C1 B、直线OA1∥直线BD1
C、直线OA1⊥直线AD D、直线OA1∥平面CB1D1
考点：直线与平面平行的判定。
专题：阅读型。
分析：取上底面的中心为E，连接A1E、CE、OC，欲证直线OA1∥平面CB1D1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证OA1与平面CB1D1内一直线平行，而A1O∥EC，A1O?平面CB1D1，EC?平面CB1D1满足定理所需条件，即可可得到结论．
解答：解：根据正方体的性质可知A1E=OC，A1E∥OC21世纪教育网
∴四边形A1ECO为平行四边形
则A1O∥EC
而A1O?平面CB1D1，EC?平面CB1D121世纪教育网
∴直线OA1∥平面CB1D1
故选D
点评：此题考查了正方体的特征，同时考查了线面位置关系、线线位置关系的判定，属于基础题．
12、设有平面α、β和直线m、n，则m∥α的一个充分条件是（ ）21世纪教育网
A、α⊥β且m⊥β B、α∩β=n且m∥n
C、m∥n且n∥α D、α∥β且m?β
考点：直线与平面平行的判定。
专题：综合题。
分析：对于选项找出反例否定A，找出反例否定B，找出反例否定C，即可推出正确结果．
解答：解：对于A、α⊥β且m⊥β，如果m在α内，得不到 m∥α，A不正确．
对于B、α∩β=n且m∥n，如果m在α内，得不到 m∥α，B不正确．
对于C、m∥n且n∥α，如果m在α内，得不到 m∥α，C不正确．
α∥β且m?β，正确，能推出m∥α．
故选D．
点评：本题考查直线与平面平行的判定，考查逻辑思维能力，是基础题．
13、已知两条直线a，b，两个平面α，β，则下列结论中正确的是（ ）
A、若a?β，且α∥β，则a∥α B、若b?α，a∥b，则a∥α
C、若a∥β，α∥β，则a∥α D、若b∥α，a∥b，则a∥α
14、下列四个正方体图形中，A、B为正方体的两个顶点，M、N、P分别为其所在棱的中点，能得出AB∥平面MNP的图形的序号是（ ）
A、①、③ B、①、④
C、②、③ D、②、④
考点：直线与平面平行的判定。21世纪教育网
专题：证明题。
分析：对于①，可以构造面面平行，考虑线面平行定义；对于②，考虑线面平行的判定及定义；对于③，可以用线面平的定义及判定定理判断；对于④，用线面平行的判定定理即可．
解答：解：对图①，构造AB所在的平面，即对角面，可以证明这个对角面与平面MNP，由线面平行的定义可得AB∥平面MNP．
对图④，通过证明AB∥PN得到AB∥平面MNP；
对于②、③无论用定义还是判定定理都无法证明线面平行；21世纪教育网
故选B．
点评：本题考查线面平行的判定，主要考虑定义、判定定理两种方法，同时运用面面平行的性质解决问题．
15、已知直线a和平面α，那么a∥α的一个充分条件是（ ）
A、存在一条直线b，a∥b，b?α B、存在一条直线b，a⊥b，b⊥α
C、存在一个平面β，a?β，α∥β D、存在一个平面β，a⊥β，a⊥β21世纪教育网
考点：直线与平面平行的判定。
分析：A、直线a可能在α内B、直线a可能在α内C、由面面平行的性质定理判断D、直线a可能在α内．
解答：解：A、直线a在α内时，不正确
B、直线a在α内时，不正确
C、面面平行的性质定理知正确
D、直线a在α内时，不正确
故选C
点评：本题主要考查在应用定理或常见结论时一定要条件全面，提醒学生做题量考虑要具体全面．
16、已知平面α、β和直线m，给出条件：①m∥α；②m⊥α；③m?α；④α⊥β；⑤α∥β．为使m∥β，应选择下面四个选项中的（ ）
A、①④ B、①⑤
C、②⑤ D、③⑤
考点：直线与平面平行的判定。
分析：要使m∥β，根据线面平行的判定定理和定义，只需m与β内的一条直线平行或者m在与β平行的平面内即可．
解答：解：当m?α，α∥β时，根据线面平行的定义，m与β没有公共点，有m∥β，其他条件无法推出m∥β，
故选D
点评：本题考查直线与平面平行的判定，一般有两种思路：判定定理和定义，要注意根据条件选择使用．
17、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，任取两点连成直线，所连的直线中与A1BC1平行的直线共有（ ）
A、12条 B、18条
C、21条 D、24条
考点：直线与平面平行的判定。21世纪教育网
专题：综合题。
分析：若两点的连线与平面A1BC1平行，则这些直线一定位于一个与平面A1BC1平行的平面内，将各个顶点与各棱中点共20个点共分成如图的几个平面，则第一平面内共1个点，0条直线，第二个平面内共3个点，3条直线，第三个平面为平面A1BC1，第四个平面有6个点，15条直线，第五平面内共3个点，3条直线，第六个平面内共3个点，3条直线，第七个平面内共1个点，0条直线，由此即可得到答案．
解答：解：如下图所示：
在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的各个顶点与各棱中点共20个点中，21世纪教育网
任取两点连成直线，所连的直线与平面A1BC1平行的直线，
则直线应该在与平面A1BC1平行的平面中
由图可知满足条件的线共有：3+15+3+3=24条
故选D
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，画出满足条件的图形，利用数形结合的思想，解答立体几何问题，是解决空间想像能力不足最好的办法．
18、若l、m表示互不重合的两条直线，α、β表示互不重合的两个平面，则l∥α的一个充分条件是（ ）
A、α∥β，l∥β B、a∩β=m，l?a，l∥m
C、l∥m，m∥α D、α⊥β，l⊥β
19、已知直线a，b，平面α，β，则a∥α的一个充分条件是（ ）
A、a⊥b，b⊥α B、a∥β，β∥α
C、b?α，a∥b D、a∥b，b∥α，a?α
考点：直线与平面平行的判定。
专题：转化思想。
分析：A：由线面位置关系可知直线a要能在平面内，B：由线面位置关系可知直线a要能在平面内，C：不符合线面平行的判定理，D：由线面平行的判定理判断．
解答：解：A：a⊥b，b⊥α，则a与平面平行或在平面内，不正确．
B：a∥β，β∥α，则a与平面平行或在平面内，不正确．
C：b?α，a∥b，则a与平面平行或在平面内，不正确．
D：由线面平行的判定理知，正确．
故选D
点评：本题主要考查了立体几何中线面之间的位置关系及判定定理，也蕴含了对定理公理综合运用能力的考查，属中档题
20、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点M、N分别在AB1、BC1上，且，则下列结论①AA1⊥MN；②A1C1∥MN；③MN∥平面A1B1C1D1；④B1D1⊥MN中，正确命题的个数是（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
解答：解；在正方体ABCD﹣A1B1C1D1的四条棱A1A，B1B，C1C，D1D上分别取点G，F，E，H四点，
使AG=A1A，BF=B1B，CE=C1C，DH=D1D，连接GF，FE，EH，HG，21世纪教育网
∵点M、N分别在AB1、BC1上，且，
∴M在线段GF上，N点在线段FE上．且四边形GFEH为正方形，平面GFEH∥平面A1B1C1D1，
∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥平面GFEH，∵MN?平面GFEH，∴AA1⊥MN，∴①正确．
∵A1C1∥GE，而GE与MN不平行，∴A1C1与MN不平行，∴②错误．
∵平面GFEH∥平面A1B1C1D1，MN?平面GFEH，∴MN∥平面A1B1C1D1，∴③正确．
∵B1D1⊥FH，FH?平面GFEH，MN?平面GFEH，B1D1?平面A1B1C1D1，平面GFEH∥平面A1B1C1D1，
且MN与FH不平行，∴B1D1不可能垂直于MN，∴④错误
∴正确命题只有①③
故选C
点评：本题主要考查立体几何中，线线，线面，面面平行与垂直性质的应用，考查了学生推论能力．空间想象力．
二、填空题（共5小题）
21、如图，正四面体ABCD的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox、Oy、Oz上，给出下列四个命题：
①多面体O﹣ABC是正三棱锥；
②直线OB∥平面ACD；
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D﹣OB﹣A为45°．
其中真命题有 ①③④ （写出所有真命题的序号）．
考点：棱柱的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法。
专题：探究型。
分析：结合图形，逐一分析答案，运用排除、举反例直接计算等手段，找出正确答案．
解答：解：①如图ABCD为正四面体，
∴△ABC为等边三角形，
又∵OA、OB、OC两两垂直，21世纪教育网
∴OA⊥面OBC，∴OA⊥BC，
过O作底面ABC的垂线，垂足为N，
连接AN交BC于M，
由三垂线定理可知BC⊥AM，
∴M为BC中点，
同理可证，连接CN交AB于P，则P为AB中点，21世纪教育网
∴N为底面△ABC中心，
∴O﹣ABC是正三棱锥，故A正确．
②将正四面体ABCD放入正方体中，如图所示，显然OB与平面ACD不平行．21世纪教育网
则②不正确，
③直线AD与OB所成的角为45°；
④二面角D﹣OB﹣A为45°．
命题③④显然成立．
故答案为：①③④．
点评：结合图形分析答案，增强直观性，考查空间想象能力．属基础题．
22、设m，n是平面α内的两条不同直线；l1，l2是平面β内的两条相交直线，则α∥β的一个充分而不必要条件是 ② ．
①m∥β且l1∥α ②m∥l1且n∥l2
③m∥β且n∥β ④m∥β且n∥l2
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定。
专题：证明题。
分析：判断线与线、线与面、面与面之间的关系，可将线线、线面、面面平行（垂直）的性质互相转换，进行证明，也可将题目的中直线放在空间正方体内进行分析．
解答：解：∵m∥l1，且n∥l2，又l1与l2是平面β内的两条相交直线，
∴α∥β，而当α∥β时不一定推出m∥l1且n∥l2，可能异面．
故答案为：②
点评：在判断空间线面的关系，常常把他们放在空间几何体中来直观的分析，在判断线与面的平行与垂直关系时，正方体是最常用的空间模型，大家一定要熟练掌握这种方法．另外熟练掌握线线、线面、面面平行（或垂直）的判定及性质定理是解决此类问题的基础．
23、如图，空间中两个有一条公共边AD的正方形ABCD和ADEF．设M、N分别是BD和AE的中点，那么
①AD⊥MN；②MN∥平面CDE；
③MN∥CE；④MN、CE异面
以上4个命题中正确的是 ①②③ ．
故答案为：①②③
点评：此题主要考查了空间中线与线，线与面的位置关系，要准确的把握线面间的关系需要对线面垂直，线面平行，面面垂直的判定定理和性质定理要准确理解和记忆，因为这是我们解决这一类问题的依据！
24、棱长都相等的四面体称为正四面体．在正四面体A﹣BCD中，点M，N分别是CD和AD的中点，
给出下列命题：
①直线MN∥平面ABC；
②直线CD⊥平面BMN；
③三棱锥B﹣AMN的体积是三棱锥B﹣ACM的体积的一半．
则其中正确命题的序号为 ①③ ．
考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积。
专题：综合题。
分析：由点M，N分别是CD和AD的中点，结合三角形中位线定理及线面平等的判定定理我们可以判断①的对错，然后再由线面垂直的判定及性质可以判断②的真假；再由棱锥体积公式，分析两个三棱锥的高与底面积之间的关系，判断出③的正误，即可得到答案．
解答：解：∵点M，N分别是CD和AD的中点，
∴MN∥AC
又由MN?平面ABC，AC?平面ABC
∴①直线MN∥平面ABC正确；
由于∠ACD=60°
∴AC与CD不垂直，则NM与CD也不垂直
故直线CD与平面BMN也不垂直
∴②直线CD⊥平面BMN错误；
∵三棱锥B﹣AMN与三棱锥B﹣ACM的高相等．
△AMN与△ACM高相等且底边之比为1：2
∴③三棱锥B﹣AMN的体积是三棱锥B﹣ACM的体积的一半正确．21世纪教育网版权所有
故答案为：①、③21世纪教育网版权所有
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的性质及棱锥的体积，熟练掌握正四面体的几何特征，是解答本题的关键．
25、在四面体ABCD中，M、N分别是面△ACD、△BCD的重心，则四面体的四个面中与MN平行的是 平面ABC、平面ABD ．
三、解答题（共5小题）
26、一个棱柱的直观图和三视图（主视图和俯视图是边长为a的正方形，左视图是直角边长为a的等腰三角形）如图所示，其中M、N分别是AB、AC的中点，G是DF上的一动点．
（Ⅰ）求证：GN⊥AC；
（Ⅱ）求三棱锥F﹣MCE的体积；
（Ⅲ）当FG=GD时，证明AG∥平面FMC．
考点：由三视图求面积、体积；直线与平面平行的判定。
专题：证明题。
分析：（Ⅰ）由三视图易得该几何体是一个底面为等腰直角三角形的直三棱柱，且侧面积ABCD是正方形，根据已知，我们易得AC⊥面ABCD
，进而得到GN⊥AC．
（Ⅱ）利用转化思想，我们可得VE﹣FMC=VADF﹣BCE﹣VF﹣AMCD﹣VE﹣MBC，把相应的棱长代入体积公式，即可得到结论．
（Ⅲ）连接DE交FC于Q，连接QG，我们易得AM∥GQ，根据线面平行的判定定理，我们易得结论．
解答：解：（Ⅰ）由三视图可知，多面体是直三棱柱，
两底面是直角边长为a的等腰直角三角形，
侧面ABCD，CDFE是边长为a的正方形．（3分）21世纪教育网版权所有
连接DN，因为FD⊥CD，FD⊥AD，
所以，FD⊥面ABCD
∴FD⊥AC
又∵AC⊥DN，
所以，AC⊥面GND，
GN?面GND
所以GN⊥AC（6分）
（Ⅱ）VE﹣FMC=VADF﹣BCE﹣VF﹣AMCD﹣VE﹣MBC．（12分）21世纪教育网版权所有
=
=
=．（14分）
另解：21世纪教育网版权所有
（Ⅲ）连接DE交FC于Q，连接QG
因为G，Q，M分别是FD，FC，AB的中点，所以GQ∥，AM∥，
所以，AM∥GQ，AMGQ是平行四边形（9分）
AG∥QM，AG?面FMC，MQ?面FMC
所以，AG∥平面FMC．（10分）
点评：本题考查的知识点是由三视图判断物体的形状，线面、线线垂直的转化，棱锥体积的求法，线面平行的证明，其中根据三视图判断棱柱相关棱长的长度及相互之间的关系是解答本题的关键．
27、已知一四棱锥P﹣ABCD的三视图，E是侧棱PC上的动点．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）不论点E在何位置，是否都有BD⊥AE？证明你的结论；
（3）若E点为PC的中点，点O为BD中点，证明EO∥平面PAB．
考点：由三视图求面积、体积；直线与平面平行的判定。21世纪教育网版权所有
专题：证明题；综合题。
分析：（1）由已知中的三视图，我们可以得到四棱锥的底面是一个以1为边长的正方形，高PC长度为2，代入棱锥体积公式，即可得到答案．21世纪教育网版权所有
（2）连接AC，交BD于O，我们易根据正方形的性质及线面垂直的性质，分别得到BD⊥AC，BD⊥PC，进而根据线面垂直的判定定理得到BD⊥平面PAC，再由线面垂直的性质即可得到不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）连接EO，由三角形中位线定理，可得EO∥PA，进而根据线面平行的判定定理，得到EO∥平面PAB．
解答：解：（1）由已知中的三视图，得：
棱锥的底面面积SABCD=1×1=1
棱锥的高PC为2
故棱锥的体积V==
（2）证明：连接AC，交BD于O，
则AC⊥BD，
又∵PC⊥平面ABCD
∴PC⊥BD，
又∵AC∩PC=C
∴BD⊥平面PAC
又∵AE?平面PAC
∴BD⊥AE
即不论点E在何位置，都有BD⊥AE．
（3）证明：连接EO，由E，O分别为PC，AC的中点
∴OE∥PA，
又∵OE?平面PAB，PA?平面PAB
∴OE∥平面PAB
点评：本题考查的知识点是由三视图求体积，直线与平面垂直的判定及性质，直线与平面平行的判定，其中根据三视图分析出几何体的形状及几何特征是解答本题的关键．
28、如图所示是一个几何体的直观图、正视图、俯视图、侧视图（其中正视图为直角梯形，俯视图为正方形，侧视图为直角三角形，尺寸如图所示）．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（2）证明：BD∥平面PEC；
（3）若G为BC上的动点，求证：AE⊥PG．21世纪教育网版权所有
又EF?平面PEC，BD?平面PEC，所以BD∥平面PEC．
（3）连接BP，∵==，∠EBA=∠BAP=90°，
∴△EBA∽△BAP，∴∠PBA=∠BEA，
∴∠PBA+∠BAE=∠BEA+∠BAE=90°，21世纪教育网版权所有
∴PB⊥AE．
又∵BC⊥平面APEB，∴BC⊥AE，21世纪教育网版权所有
∴AE⊥平面PBG，∴AE⊥PG．
点评：本题考查三视图，几何体的条件，直线与平面垂直和平行的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
29、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P﹣ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面AEC；
（2）求二面角E﹣AC﹣B的大小．21世纪教育网版权所有
考点：三垂线定理；直线与平面平行的判定。
分析：（1）欲证PB∥平面AEC，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证PB与平面AEC内一直线平行即可，连BD交AC于点O，连EO，
则EO是△PDB的中位线则EO∥PB，满足条件；21世纪教育网版权所有
（2）取AD的中点F，连EF，FO，根据定义可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角，在△EOF中求出此角，而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补．
解答：解：（1）由PA⊥平面ABCD可得PAAC
又AB⊥AC，所以AC⊥平面PAB，所以AC⊥PB
连BD交AC于点O，连EO，
则EO是△PDB的中位线，
∴EO∥PB
∴PB∥平面AEC
（2）取AD的中点F，连EF，FO，
则EF是△PAD的中位线，
∴EF∥PA又PA⊥平面ABCD，
∴EF⊥平面ABCD
同理FO是△ADC的中位线，
∴FO∥AB，FO⊥AC由三垂线定理可知∠EOF是二面角E﹣AC﹣D的平面角．
又FO=AB=PA=EF
∴∠EOF=45°而二面角E﹣AC﹣B与二面角E﹣AC﹣D互补，
故所求二面角E﹣AC﹣B的大小为135°．
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及二面角等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
30、如图所示的多面体，它的正视图为直角三角形，侧视图为正三角形，俯视图为正方形（尺寸如图所示），E为VB的中点．求证：VD∥平面EAC．21世纪教育网版权所有
解答：解：由正视图可知：平面VAB⊥平面ABCD
连接BD交AC于O点，连接EO，由已知易得
BO=OD，VE=EB∴VD∥EO
又VD?平面EAC，EO?平面EAC
∴VD∥平面EAC
点评：本题主要考查了直线与平面平行的判定，以及三垂线定理等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．21世纪教育网版权所有
