直线与平面垂直的性质
一、选择题（共14小题）
1、若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”下列四个命题，其中是“可换命题”的是（ ）
①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行．
A、①② B、①④
C、①③ D、③④
2、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A、垂直 B、平行
C、相交不垂直 D、不确定21世纪教育网版权所有
3、下面给出四个命题：
①直线l与平面a内两直线都垂直，则l⊥a．
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；
③过平面a外两点，有且只有一个平面与a垂直．
④直线l同时垂直于平面α、β，则α∥β．21世纪教育网版权所有
其中正确的命题个数为（ ）
A、3 B、2
C、1 D、0
4、如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①BC⊥面PAC；②AF⊥面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥面PBC．其中正确命题的个数是（ ）
A、1 B、221世纪教育网版权所有
C、3 D、4
5、如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A、AC⊥SB
B、AB∥平面SCD
C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角
D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
6、垂直于同一平面的两条直线（ ）
A、平行 B、垂直
C、相交 D、异面
7、已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（ ）
A、4π B、3π
C、2π D、π
8、设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”为真命题的是（ ）
①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．
A、①② B、①③
C、②③ D、③④
9、如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（ ）
A、3对 B、2对
C、1对 D、4对
10、设l，m为两条不同的直线，α为一个平面，m∥α，则”l⊥α”是”l⊥m”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
11、如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（ ）
A、PA=PB＞PC B、PA=PB＜PC21世纪教育网版权所有
C、PA=PB=PC D、PA≠PB≠PC
12、下列命题中，真命题是（ ）
A、若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线与这个平面平行
B、若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直
C、若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任何一条直线平行 D、若一条直线垂直于一个平面，则这条直线与这个平面内的任何一条直线垂直
13、下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；21世纪教育网版权所有
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；21世纪教育网版权所有
其中错误的命题有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
14、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）
A、 B、
C、 D、21世纪教育网版权所有
二、填空题（共8小题）
15、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为 _________ ．
16、四面体DABC的体积为，，则CD= _________ ．
17、设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；21世纪教育网版权所有
③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
其中正确命题的序号是 _________
18、已知平面α，β和直线，给出条件：21世纪教育网版权所有
①m∥α；
②m⊥α；
③m?α；
④α⊥β；
⑤α∥β．
（i）当满足条件 _________ 时，有m∥β；（ii）当满足条件 _________ 时，有m⊥β．（填所选条件的序号）
19、EC垂直Rt△ABC的两条直角边，D是斜边AB的中点，AC=6，BC=8，EC=12，则DE的长为 _________ ．
20、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为 _________ ．
?35．
21、如图，直线AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为 _________ ．
22、已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP=2，则PC= _________ ．
三、解答题（共8小题）
23、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD是边长为2cm的等边三角形，且与底面垂直，而底面ABCD是面积为的菱形，∠ADC是锐角．
（1）求四棱锥P﹣ABCD的体积；21世纪教育网版权所有
（2）求证PA⊥CD．
24、一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA⊥平面ABC， AB⊥AC，AB=AC，AE=2．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．21世纪教育网版权所有
25、一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E是PD的中点．
（1）求证：PB∥平面ACE；21世纪教育网版权所有
（2）求证：PC⊥BD；
（3）求三棱锥C﹣PAB的体积．
26、如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A=2，
（1）证明：AC⊥A1B；
（2）求几何体C1DABA1的体积．
27、如图已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F．21世纪教育网
（1）证明：SC⊥EF；
（2）若，
求三棱锥S﹣AEF的体积．
28、如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°．21世纪教育网
（1）求证：BC⊥PB；
（2）若AB=BC=2，PA=，E为PC中点，求AE与BC所成角的余弦值．
29、如图，SD垂直于正方形ABCD所在的平面，．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小．
30、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．
（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM．
（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．21世纪教育网
答案与评分标准
一、选择题（共14小题）
1、若将一个真命题中的“平面”换成“直线”、“直线”换成“平面”后仍是真命题，则该命题称为“可换命题”下列四个命题，其中是“可换命题”的是（ ）
①垂直于同一平面的两直线平行； ②垂直于同一平面的两平面平行；
③平行于同一直线的两直线平行； ④平行于同一平面的两直线平行．21世纪教育网
A、①② B、①④
C、①③ D、③④
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面垂直的性质。
专题：证明题；新定义。
分析：根据题设中提供的可换命题的定义，对四个命题进行验证，四个命题交换后分别是
①垂直于同一直线的两个平面平行；21世纪教育网
②垂直同一直线的两条直线平行；
③平行于同一平面的两个平面平行；
④平行于同一直线的两个平面平行．根据相关条件对其进行判断，得出正确命题．
解答：解：由题意，四个命题交换后所得命题分别是①垂直于同一直线的两个平面平行；②垂直同一直线的两条直线平行；③平行于同一平面的两个平面平行；④平行于同一直线的两个平面平行．
①垂直于同一直线的两个平面平行是正确命题；
②垂直同一直线的两条直线平行不是正确命题，在此情况下两直线的位置关系可能是相交、平行、异面；
③平行于同一平面的两个平面平行是正确命题，平面的平行关系具有传递性；
④平行于同一直线的两个平面平行不是正确命题，在此条件下两平面可能是相交与平行关系．
综上①③是正确命题
故选C
点评：本题考查空间中直线与平面之间的位置关系，解题的关键是对四个命题所涉及的知识点熟练掌握理解，以及有着较强的空间想像能力，能对命题涉及的几何体的结构做出想像．
2、一条直线和三角形的两边同时垂直，则这条直线和三角形的第三边的位置关系是（ ）
A、垂直 B、平行
C、相交不垂直 D、不确定
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质。
专题：证明题。
分析：根据直线与平面的判定定理可知，直线与平面内两相交直线垂直则垂直与这个平面，再根据线面垂直的性质可知，该直线垂直与平面内任意直线，从而得到结论．
解答：解：一条直线和三角形的两边同时垂直，
根据直线与平面的判定定理可知，该直线垂直与三角形所在平面．
直线与平面垂直，根据线面垂直的性质可知与平面内任意一直线垂直．
故这条直线和三角形的第三边的位置关系是垂直．
故选A
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及线面垂直的性质，同时考查了空间想象能力，属于基础题．
3、下面给出四个命题：
①直线l与平面a内两直线都垂直，则l⊥a．
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b；
③过平面a外两点，有且只有一个平面与a垂直．
④直线l同时垂直于平面α、β，则α∥β．
其中正确的命题个数为（ ）
A、3 B、2
C、1 D、0
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质。
专题：阅读型；转化思想。
分析：对于①根据线面垂直的判定定理可知缺少“相交直线”这个条件从而不正确；
对于②当直线a与直线b平行，那么经过直线a没有平面与直线b垂直；
对于③当两点所在直线与平面a垂直，则有无数个平面；21世纪教育网
对于④根据垂直同一直线的两平面平行．
解答：解：①直线l与平面a内两直线都垂直，根据线面垂直的判定定理可知缺少相交直线这个条件，故不能得到l⊥a，不正确；
②经过直线a有且仅有一个平面垂直于直线b，命题不正确，因为直线a与直线b平行，那么经过直线a没有平面与直线b垂直．只有与直线b平行或直线b在平面a中了．
③过平面a外两点，有且只有一个平面与a垂直，是不正确的，当两点所在直线与平面a垂直，则有无数个平面
④直线l同时垂直于平面α、β，则α∥β，故正确21世纪教育网
故选C
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及平面与平面位置关系等有关知识，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．
4、如图，PA⊥⊙O所在的平面，AB是⊙O的直径，C是⊙O上的一点，AE⊥PB于E，AF⊥PC于F，给出下列结论：①BC⊥面PAC；②AF⊥面PCB；③EF⊥PB；④AE⊥面PBC．其中正确命题的个数是（ ）
A、1 B、2
C、3 D、4
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质。
专题：阅读型；转化思想。
分析：对于①②③可根据直线与平面垂直的判定定理进行证明，对于④利用反证法进行证明，假设AE⊥面PBC，而AF⊥面PCB，
则AF∥AE，显然不成立，从而得到结论．
解答：解：∵PA⊥⊙O所在的平面，BC?⊙O所在的平面
∴PA⊥BC，而BC⊥AC，AC∩PA=A
∴BC⊥面PAC，故①正确
又∵AF?面PAC，∴AF⊥BC，而AF⊥PC，PC∩BC=C
∴AF⊥面PCB，故②正确
而PB?面PCB
∴AF⊥PB，而AE⊥PB，AE∩AF=A
∴PB⊥面AEF
而EF?面AEF
∴EF⊥PB，故③正确
∵AF⊥面PCB，假设AE⊥面PBC
∴AF∥AE，显然不成立，故④不正确
故选C
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，以及直线与平面垂直的性质，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．
5、如图，四棱锥S﹣ABCD的底面为正方形，SD⊥底面ABCD，则下列结论中不正确的是（ ）
A、AC⊥SB B、AB∥平面SCD
C、SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角 D、AB与SC所成的角等于DC与SA所成的角
考点：直线与平面垂直的性质。21世纪教育网
专题：综合题；探究型。
分析：根据SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，以及三垂线定理，易证AC⊥SB，根据线面平行的判定定理易证AB∥平面SCD，，根据直线与平面所成角的定义，可以找出∠SAD是SA与平面SBD所成的角，∠SCD是SC与平面SBD所成的角，根据三角形全等，证得这两个角相等；异面直线所成的角，利用线线平行即可求得结果．
解答：解：∵SD⊥底面ABCD，底面ABCD为正方形，
∴连接BD，则BD⊥AC，根据三垂线定理，可得AC⊥SB，故A正确；
∵AB∥CD，AB?平面SCD，CD?平面SCD，
∴AB∥平面SCD，故B正确；
∵SD⊥底面ABCD，
∠SAD是SA与平面SBD所成的角，∠SCD是SC与平面SBD所成的角，
而△SAD≌△SBD，
∴∠SAD=∠SCD，即SA与平面SBD所成的角等于SC与平面SBD所成的角，故C正确；
∵AB∥CD，∴AB与SC所成的角是∠SCD，DC与SA所成的角是∠SAB，
而这两个角显然不相等，故D不正确；
故选D．
点评：此题是个中档题．考查线面垂直的性质定理和线面平行的判定定理，以及直线与平面所成的角，异面直线所成的角等问题，综合性强．
6、垂直于同一平面的两条直线（ ）
A、平行 B、垂直
C、相交 D、异面
考点：直线与平面垂直的性质。
专题：阅读型。
分析：根据直线与平面垂直的性质定理直接可得答案．21世纪教育网
解答：解：根据直线与平面垂直的性质定理，
垂直于同一平面的两条直线平行，
故选A．
点评：这个直接就是直线与平面垂直的性质定理，学生在新授课学习的时候就应该能够理解了，可以记住实际生活中的例子，比如，竖在一起的旗杆．
7、已知S，A，B，C是球O表面上的点，SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，则球O的表面积等于（ ）
A、4π B、3π
C、2π D、π
考点：直线与平面垂直的性质；球的体积和表面积。
分析：先寻找球心，根据S，A，B，C是球O表面上的点，则OA=OB=OC=OS，根据直角三角形的性质可知O为SC的中点，则SC即为直径，根据球的面积公式求解即可．
解答：解：∵已知S，A，B，C是球O表面上的点
∴OA=OB=OC=OS=1
又SA⊥平面ABC，AB⊥BC，SA=AB=1，，
∴球O的直径为2R=SC=2，R=1，
∴表面积为4πR2=4π．
故选A．
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及球的表面积等有关知识，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
8、设X，Y，Z是空间不同的直线或平面，对下面四种情形，使“X⊥Z且Y⊥Z?X∥Y”为真命题的是（ ）
①X，Y，Z是直线；②X，Y是直线，Z是平面；③Z是直线，X，Y是平面；④X，Y，Z是平面．
A、①② B、①③
C、②③ D、③④21世纪教育网
9、如图所示，AB⊥平面BCD，∠BCD=90°则图中互相垂直的平面有（ ）21世纪教育网
A、3对 B、2对
C、1对 D、4对
考点：直线与平面垂直的性质；棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：根据面面垂直的判定定理，条件AB⊥平面BCD，BC⊥CD，只需考虑AB所在平面与平面BCD之间的关系即可；由BC⊥CD，考虑BC、CD所在平面的垂直关系即可．
解答：解：由AB⊥平面BCD，又AB?平面ABC、平面ABD，
所以平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD；
由AB⊥平面BCD可得：CD⊥AB，又CD⊥BC，所以CD⊥平面ABC，
又CD?平面ACD，故平面ABC⊥平面ACD．
故选A．
点评：本题考查棱锥的结构特征，求解本题的关键是对棱锥中的点线面的位置关系有着比较熟悉的了解，且能根据其已知的位置关系作出一些判断得出新的结论，本题考查了空间想像能力以及推理论证的能力．空间问题问题平面问题相互转化的能力．
10、设l，m为两条不同的直线，α为一个平面，m∥α，则”l⊥α”是”l⊥m”的（ ）
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件21世纪教育网
考点：直线与平面垂直的性质。
专题：阅读型。
分析：由线面垂直的性质，我们可以判断出“l⊥α”时，“l⊥m”是否成立，根据线面垂直的判定方法，及几何特征，我们可以判断“l⊥m”时，“l⊥α”是否成立，根据判断出的结论，结合充分必要条件的定义，即可得到答案．
解答：解：∵m∥α，则“l⊥α”时，“l⊥m”成立，21世纪教育网
“l⊥m”时，l与α可能平行也可能相交，
故“l⊥α”是“l⊥m”的充分不必要条件
故选A
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定及性质，弃要条件的判定，其中由线面垂直的性质及线面垂直的判定方法和几何特征，判断“l⊥α”?“l⊥m”，“l⊥m”?“l⊥α”是否成立，是解答本题的关键．
11、如图，已知△ABC为直角三角形，其中∠ACB=90°，M为AB中点，PM垂直于△ABC所在平面，那么（ ）
A、PA=PB＞PC B、PA=PB＜PC21cnjy
C、PA=PB=PC D、PA≠PB≠PC
考点：直线与平面垂直的性质；棱锥的结构特征。
专题：常规题型。
分析：在下底面内找出MA=MB=MC，再利用射影长相等斜线段相等就可选答案．
解答：解：∵M是Rt△ABC斜边AB的中点，21cnjy
∴MA=MB=MC．
又∵PM⊥平面ABC，
∴MA、MB、MC分别是PA、PB、PC在平面ABC上的射影，
∴PA=PB=PC．
应选C．
点评：本题考查从同一点出发的斜线段与对应射影长之间的关系，是对线面垂直性质的应用，是基础题．
12、下列命题中，真命题是（ ）
A、若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线与这个平面平行 B、若一条直线垂直于一个平面内的两条直线，则这条直线与这个平面垂直
C、若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的任何一条直线平行 D、若一条直线垂直于一个平面，则这条直线与这个平面内的任何一条直线垂直
考点：直线与平面垂直的性质。
专题：阅读型。
分析：根据线面平行的判定定理，可以判断A答案的真假；根据线面垂直的判定定理，可以判断B答案的真假；根据线面平行的几何特征，可以判断C答案的真假；根据线面垂直的性质，我们可以判断D答案的真假；进而得到答案．
解答：解：若一条直线平行于一个平面内的一条直线，则这条直线与这个平面平行或线在面内，故A错误；
若一条直线垂直于一个平面内的两条平行直线，则这条直线与这个平面平行或相交，不一定垂直，故B错误；
若一条直线与一个平面平行，则这条直线与这个平面内的无数条直线平行，但不是与任何一条直线平行，故C错误；
由线面垂直的定义，若一条直线垂直于一个平面，则这条直线与这个平面内的任何一条直线垂直，故D正确；
故选D
点评：本题考查的知识点是直线与平面平行及垂直的判定及性质，熟练掌握空间中直线与平面位置关系的判定、性质及定义是解答本题的关键．
13、下列四个命题
①垂直于同一条直线的两条直线相互平行；
②垂直于同一个平面的两条直线相互平行；
③垂直于同一条直线的两个平面相互平行；
④垂直于同一个平面的两个平面相互平行；21世纪教育网
其中错误的命题有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
14、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PAD为正三角形，底面ABCD为正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC，则点M在正方形ABCD内的轨迹为（ ）21cnjy
A、 B、
C、 D、
考点：直线与平面垂直的性质；平面与平面之间的位置关系。
专题：阅读型。
分析：先找符合条件的特殊位置，然后根据符号条件的轨迹为线段PC的垂直平分面与平面AC的交线得到结论．
解答：解：根据题意可知PD=DC，则点D符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”
设AB的中点为N，根据题目条件可知△PAN≌△CBN
∴PN=CN，点N也符合“M为底面ABCD内的一个动点，且满足MP=MC”
故动点M的轨迹肯定过点D和点N
而到点P与到点N的距离相等的点为线段PC的垂直平分面21cnjy
线段PC的垂直平分面与平面AC的交线是一直线
故选A
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的性质，以及公理二等有关知识，同时考查了空间想象能力，推理能力，属于基础题
二、填空题（共8小题）21cnjy
15、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，点E为AA1的中点，在对角面BB1D1D上取一点M，使AM+ME最小，其最小值为 a ．
考点：棱柱的结构特征；直线与平面垂直的性质。
专题：综合题；转化思想。
分析：设棱CC1的中点为F，则ME=MF，连接EF求解即可．21cnjy
解答：解：取CC1的中点F，则ME=MF，
∴AM+ME=AM+MF≥AF==a
故答案为：a
点评：本题考查棱柱的结构特征，直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力，是中档题．
16、四面体DABC的体积为，，则CD= ．
作DA'⊥平面ABC，则AD≥A'D
则VD﹣ABC==≤
即≥1
由基本不等式得AD+≥3≥3
当且仅当AD=BC==1时取等号，21cnjy
而AD++1=3
故AD'=AD=1
即AD⊥平面ABC
此时，AC=，
由勾股定理易得CD=21cnjy
故答案为：
点评：本题考查的知识点是棱锥的体积及直线与平面垂直的性质，其中根据已知条件，结合基本不等式判断出AD与平面ABC垂直，是解答本题的关键．
17、设m，n是两条不同的直线，α，β，γ是三个不同的平面，给出下列四个命题：
①若m⊥α，n∥α，则m⊥n；②若α∥β，β∥γ，m⊥α，则m⊥γ；
③若m⊥α，n⊥α，则m∥n；④若α⊥γ，β⊥γ，则α∥β；
其中正确命题的序号是 ①②③
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面平行的判定；直线与平面垂直的性质。
专题：证明题；综合题。
分析：对于①，可以考虑线面垂直的定义及线面平行的性质定理；对于②，根据面面平行的性质定理和线面垂直的性质定理容易解决；对于③，分析线面垂直的性质即可；对于④，考虑面面垂直的性质定理及两个平面的位置关系．
解答：解：命题①，由于n∥α，根据线面平行的性质定理，设经过n的平面与α的交线为b，
则n∥b，又m⊥α，所以m⊥b，从而，m⊥n，故正确；
命题②，由α∥β，β∥γ，可以得到α∥γ，而m⊥α，故m⊥γ，故正确；21cnjy
命题③，由线面垂直的性质定理即得，故正确；
命题④，可以翻译成：垂直于同一平面的两个平面平行，故错误；
所以正确命题的序号是 ①②③
点评：本题考查线线关系中的垂直、平行的判定；面面关系中垂直于平行的判定，要注意判定定理与性质定理以及课本例题结论的应用．
18、已知平面α，β和直线，给出条件：
①m∥α；
②m⊥α；
③m?α；
④α⊥β；
⑤α∥β．
（i）当满足条件 ③⑤ 时，有m∥β；（ii）当满足条件 ②⑤ 时，有m⊥β．（填所选条件的序号）
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质。
专题：综合题。
分析：（i）要m∥β只需m在β的平行平面内，m 与平面无公共点；
（ii）直线与平面垂直，只需直线垂直平面内的两条相交直线，或者直线平行平面的垂线；
解答：解：若m?α，α∥β，则m∥β；
若m⊥α，α∥β，则m⊥β．
故答案为：（i）③⑤（ii）②⑤
点评：本题考查直线与平面垂直的判定与性质，考查逻辑思维能力，是基础题．
19、EC垂直Rt△ABC的两条直角边，D是斜边AB的中点，AC=6，BC=8，EC=12，则DE的长为 13 ．
考点：直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质。
专题：计算题。
分析：由EC垂直Rt△ABC的两条直角边，可知EC⊥面ABC，再根据D是斜边AB的中点，AC=6，BC=8，可求得CD的长，根据勾股定理可求得DE的长．
解答：解：如图，EC⊥AC，EC⊥CB，CB∩CA=C
∴EC⊥面ABC
而CD?面ABC
∴EC⊥CD
∵AC=6，BC=8，EC=12，△ABC是直角三角形，D是斜边AB的中点，
∴CD=5，ED==1321*cnjy*com
故答案为：13．
点评：考查线面垂直的判定和性质定理，利用勾股定理求线段的长度，属基础题．21*cnjy*com
20、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P在侧面BCC1B1及其边界上运动，并且总是保持AP与BD1垂直，则动点P的轨迹为 线段CB1 ．
?35．
点评：本题考查线面垂直的判定与正方体的几何特征、轨迹的求法、平面的基本性质等基础知识，考查空间想象力．属于基础题．
21、如图，直线AB⊥平面BCD，∠BCD=90°，则图中直角三角形的个数为 4 ．
考点：直线与平面垂直的性质；棱锥的结构特征。
专题：常规题型。21*cnjy*com
分析：将条件直线AB⊥平面BCD进行转化，线面垂直?线线垂直．易得△ABC是直角三角形，△ABD是直角三角形，再结合∠BCD=90°?DC⊥面ABC?△ACD是直角三角形．
解答：解：由题意AB⊥平面BCD，由直线和平面垂直的定义
∴①AB⊥BC，?△ABC是直角三角形
②AB⊥BD，?△ABD是直角三角形
又 ③∠BCD=90°△BCD是直角三角形
④AB⊥平面BCD?AB⊥DC，又BC⊥DC，
由直线和平面垂直的判定定理，得 DC⊥面ABC，21*cnjy*com
∴DC⊥AC?△ACD是直角三角形
故答案为4．
点评：本题考查棱锥的结构特征，求解本题的关键是对棱锥中的点线面的位置关系有着比较熟悉的了解，且能根据其已知的位置关系作出一些判断得出新的结论，本题考查了空间想像能力以及推理论证的能力．空间问题问题平面问题相互转化的能力．
22、已知正方形ABCD的边长为1，AP⊥平面ABCD，且AP=2，则PC= ．
考点：直线与平面垂直的性质。
专题：计算题；作图题。
分析：由题意画出图形，利用勾股定理求出PC的长．
解答：解：根据题意画出图形，因为ABCD是正方形，PA垂直底面ABCD，所以PA⊥AC，21*cnjy*com
AC=
PC=
故答案为：
点评：本题考查直线与平面垂直的性质，考查计算能力，是基础题．
三、解答题（共8小题）
23、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，侧面PCD是边长为2cm的等边三角形，且与底面垂直，而底面ABCD是面积为的菱形，∠ADC是锐角．
（I）求四棱锥P﹣ABCD的体积；
（II）求证PA⊥CD．
∴sin∠ADC=
∴∠ADC=60°
连接AC，则△ADC为等边三角形
连接AE后，由E为CD的中点，
则AE⊥CD，结合（1）的结论，且AE∩PE=E
∴CD⊥平面PAE
又∵PA?平面PAE
∴PA⊥CD
点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的性质，（I）中求出棱锥的高是解答的关键，（II）中将问题转化为线面垂直的证明是处理此类问题的技巧．
24、一个几何体是由圆柱ADD1A1和三棱锥E﹣ABC组合而成，点A、B、C在圆O的圆周上，其正（主）视图、侧（左）视图的面积分别为10和12，如图2所示，其中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，AB=AC，AE=2．
（1）求证：AC⊥BD；
（2）求三棱锥E﹣BCD的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；简单空间图形的三视图；直线与平面垂直的性质。
专题：计算题。
分析：（1）由已知中EA⊥平面ABC，AB⊥AC，结合线面垂直的定义及线面垂直的判定定理，我们易求出AC⊥平面EBD，进而得到答案．
（2）要求三棱锥E﹣BCD的体积，我们有两种办法，
方法一是利用转化思想，将三棱锥E﹣BCD的体积转化为三棱锥C﹣EBD的体积，求出棱锥的高和底面面积后，代入棱锥体积公式，进行求解；
方法二是根据VE﹣BCD=VE﹣ABC+VD﹣ABC，将棱锥的体积两个棱次的体积之差，求出两个辅助棱锥的体积后，得到结论．
解答：（1）证明：因为EA⊥平面ABC，AC?平面ABC，所以EA⊥AC，即ED⊥AC．
又因为AC⊥AB，AB∩ED=A，所以AC⊥平面EBD．
因为BD?平面EBD，所以AC⊥BD．（4分）
（2）解：因为点A、B、C在圆O的圆周上，且AB⊥AC，所以BC为圆O的直径．21*cnjy*com
设圆O的半径为r，圆柱高为h，根据正（主）视图、侧（左）视图的面积可得，
（6分）21*cnjy*com
解得
所以BC=4，．
以下给出求三棱锥E﹣BCD体积的两种方法：
方法1：由（1）知，AC⊥平面EBD，
所以．（10分）
因为EA⊥平面ABC，AB?平面ABC，
所以EA⊥AB，即ED⊥AB．
其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，，
所以．（13分）
所以．（14分）
方法2：因为EA⊥平面ABC，
所以．（10分）
其中ED=EA+DA=2+2=4，因为AB⊥AC，，
所以．（13分）
所以．（14分）
点评：本题考查的知识点是棱锥的体积公式，简单空间图形的三视图，直线与平面垂直的性质，其中根据已知中三视图的体积，判断出几何体中相关几何量的大小，结合已知中其中量，进而判断出线面关系是解答本题的关键．
25、一个简单多面体的直观图和三视图如图所示，它的主视图和侧视图都是腰长为1的等腰直角三角形，俯视图为正方形，E是PD的中点．
（Ⅰ）求证：PB∥平面ACE；21*cnjy*com
（Ⅱ）求证：PC⊥BD；
（Ⅲ）求三棱锥C﹣PAB的体积．
∴BP∥OE，
OE?平面ACE，
∴PB∥平面ACE．
（II）∵俯视图为正方形，
即ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥BD，
PA∩AC=A，BD⊥平面PAC．
PC?平面PAC．
∴PC⊥BD
解：（III）由已知正方形ABCD的边长为1，
PA=1，
VC﹣PAB=VP﹣ABC=．
点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，线面平行的判定，及线面垂直的判定和性质，其中（1）的关键是找到BP∥OE，（2）的关键是证出BD⊥平面PAC，（3）的关键是判断几何的棱长及几何体的形状．
26、如图，四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，A1D⊥平面ABCD，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱A1A=2，
（Ⅰ）证明：AC⊥A1B；21*cnjy*com
（Ⅱ）求几何体C1DABA1的体积．
∴…（7分）
∵四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1∴CC1∥AA1，CC1=AA1
∴四边形A1C1CA是平行四边形
∴AC∥A1C1由（1）得AC⊥平面A1BD∴A1C1⊥平面A1BD
∴A1C1为几何体C1﹣A1BD的高
∵AD1⊥平面ABCD，BD?平面ABCD
∴BD⊥A1D
∴…（10分）
∴…（12分）
点评：本题考查的知识点是棱锥的体积，直线与平面垂直的性质，其中（I）的关键是熟练掌握空间线线垂直与线面垂直的相互转化，（II）的关键是，将不规则几何体体积转化为棱锥体积和．
27、如图已知点B在以AC为直径的圆上，SA⊥面ABC，AE⊥SB于E，AF⊥SC于F．21*cnjy*com
（1）证明：SC⊥EF；
（2）若，
求三棱锥S﹣AEF的体积．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；直线与平面垂直的判定；直线与平面垂直的性质。21*cnjy*com
专题：计算题；证明题。
分析：（1）先由AC为圆的直径，点B在圆上?BC⊥AC．再利用SA⊥平面ABC，BC?平面ABC?AE⊥BC，通过线面垂直的判定定理即可证明AE⊥面SBC，从而有AE⊥SC，通过线面垂直的判定定理即可证明SC⊥面AEF，从而证明结论；（2）由（1）知AE⊥面SBC，，求出，进而求得三角形△AEF的面积
根据已知条件求得，进而求得三棱锥S﹣AEF的体积．
解答：解：（1）证明：．．．（6分）
（2）解：Rt△SAC中，∵
又AF⊥SC，∴F为SC的中点，∴（8分）
由（1）知AE⊥面SBC，∴
得，∴（10分）
由（1）知SC⊥面AEF，
∴（12分）
点评：此题是个中档题．考查线面垂直的判定定理和性质定理以及棱锥的体积等基础知识，同时考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
28、如图所示，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC，∠ABC=90°．
（1）求证：BC⊥PB；
（2）若AB=BC=2，PA=，E为PC中点，求AE与BC所成角的余弦值．21*cnjy*com
考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质。21*cnjy*com
专题：数形结合。
分析：（1）由 PA⊥平面ABC，可得BC⊥PA，又BC⊥AB，故BC⊥平面PAB，从而证得BC⊥PB．
（2）取PB中点F，连接EF，则EF是三角形PBC的中位线，∠AEF即为所求，三角形AEF中，求出三边之长，
由余弦定理求得 AE与BC所成角的余弦值．
解答：解：（1）证明：∵PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，∴BC⊥PA．
又BC⊥AB，PA∩AB=A，∴BC⊥平面PAB，∴BC⊥PB．
（2）取PB中点F，连接EF，则EF是三角形PBC的中位线，EF∥BC，连接AF，
则∠AEF即为所求，，，
，三角形AEF中，有余弦定理求得．
点评：本题考查证明线线垂直、线面垂直的方法，求异面直线成的角，找出异面直线成的角，是解题的关键．
29、如图，SD垂直于正方形ABCD所在的平面，．
（1）求证：BC⊥SC；
（2）设棱SA的中点为M，求异面直线DM与SC所成角的大小．
考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）由已知中SD垂直于正方形ABCD所在的平面，我们可得BC⊥CD，进而由面面垂直的性质得到BC⊥平面SDC，再由线面垂直的性质可得BC⊥SC；
（2）取SB，CD，BC的中点分别为P，Q，R，连接MP，PQ，QR，PR，由三角形中位线定理可得DM∥PQ，PR∥SC，我们可得∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角，解三角形RPQ即可得到答案．21*cnjy*com
解答：（1）证明：
所以，BC⊥SC
（2）取SB，CD，BC的中点分别为P，Q，R，连接MP，PQ，QR，PR21*cnjy*com
则，又
所以∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角
计算易得∠RPQ=60°，即异面直线DM，SC所成角为60°
点评：本题考查的知识点是异面直线及其所成的角，直线与平面垂直的性质，其中（1）的关键是熟练掌握线线垂直，线面垂直及面面垂直之间的转化关系，（2）中构造出∠RPQ为异面直线DM，SC所成角或其补角，是解答本题的关键．
30、在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，AB=2，BC=a，又侧棱PA⊥底面ABCD．21*cnjy*com
（1）当a为何值时，BD⊥平面PAC？试证明你的结论．
（2）当a=4时，求证：BC边上存在一点M，使得PM⊥DM．
（3）若在BC边上至少存在一点M，使PM⊥DM，求a的取值范围．
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点评：本题是一道综合性题，在面面垂直与线面垂直，线线垂直之间来回互用，而这也是立体几何证明题的常见题型．
