平面与平面垂直的性质
一、选择题（共14小题）
1、如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥面ABCD，△FBC中BC边上的高FH=2，EF=，则该多面体的体积为（ ）21世纪教育网
A、6 B、
C、 D、12
2、如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；21世纪教育网
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．21世纪教育网
其中真命题是（ ）
A、②③④ B、①③④
C、①②④ D、①②③
3、m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）
①α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β ②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n21世纪教育网
③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α ④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
A、①② B、②③
C、③④ D、②④
4、下列命题中错误的是（ ）
A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β
B、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ
D、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
5、如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（ ）
A、θ＞φ，m＞n B、θ＞φ，m＜n
C、θ＜φ，m＜n D、θ＜φ，m＞n
6、设α、β、γ为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线，在下列四个条件中：
①，α∩β=n，m⊥n；21世纪教育网
②α∩γ=m，β⊥α，β⊥γ；
③，α∥γ，m∥γ；
④n⊥α，n⊥β，m⊥α．是m⊥β的充分条件的有：（ ）
A、①② B、②④
C、②③ D、③④
7、已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥β，β⊥γ，，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若m⊥α，n⊥β，则α∥β．其中真命题是（ ）21世纪教育网
A、①和④ B、①和③
C、②和③ D、②和④
8、如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（ ）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；21世纪教育网
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；
④存在点E使得SE⊥BA．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
9、如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（ ）21世纪教育网
A、2：1 B、3：1
C、3：2 D、4：3
10、下列命题中错误的是（ ）
A、如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β
B、如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C、如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β
D、如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
11、已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（ ）
A、3 B、2
C、1 D、0
12、α、β、γ表示平面，a、b表示直线，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，则（ ）
A、?b?β，b⊥γ B、?b?β，b∥γ
C、?a?α，a⊥γ D、?a?α，a∥γ
13、三棱锥P﹣ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（ ）
A、内心 B、外心21cnjy
C、垂心 D、重心
14、在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（ ）21cnjy
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、不能确定21cnjy
二、填空题（共7小题）
15、如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是 _________ ．
16、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为 _________ ．
17、已知三个命题：①两个平面垂直，过其中一个平面内一点，作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；②两个平面垂直，分别在两个平面内，且互相垂直的两条直线，一定分别与另一个平面垂直；③两个平面垂直，则分别在这两个平面内的两条直线互相垂直．其中假命题的序号是 _________ ．
18、如图，△ABC是正三角形，E、F分别为线段AB、AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCF，设=λ，当AE⊥CF时，λ的值为 _________ ．
19、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1﹣BD﹣A的正切值为 _________
20、如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面其中正确结论的序号是 _________ ．
21、斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，且平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，则A1B的长度为 _________ ．
三、解答题（共9小题）
22、如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．
（1）当平面ADB⊥平面ABC时，求三棱锥D﹣ABC的体积；
（2）当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．
21cnjy
23、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点，且平面DA1C⊥平面AA1C1C．
（1）求证：D点为棱BB1的中点；
（2）判断四棱锥A1﹣B1C1CD和C﹣A1ABD的体积是否相等，并证明．21cnjy
24、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO．
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．
25、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（1）求证：AD′⊥EB；
（2）求直线AC与平面ABD'所成角的正弦值．
26、如图，在△ABC中，∠B=，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．
（1）当棱锥A′﹣PBCD的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE．
27、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，E为PC的中点，PB=PD．21cnjy
平面PBD⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面EDB．
（2）求三棱锥E﹣BCD与三棱锥P﹣ABD的体积比．21cnjy
28、在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°．21cnjy
（1）求证：BC⊥AA1．
（2）若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N∥平面AB1M．
29、已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF上一点，且AM=FN=x有，设AB=a
（1） 求证：MN∥平面CBE；
（2） 求证：MN⊥AB；
（3） 当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值．
30、四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，，AB=AC．
（1）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明：FG∥面ABC；
（2）证明：AD⊥CE．
答案与评分标准
一、选择题（共14小题）
1、如图，多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF∥AB，平面FBC⊥面ABCD，△FBC中BC边上的高FH=2，EF=，则该多面体的体积为（ ）
A、6 B、
C、 D、12
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质。21cnjy
专题：计算题。21cnjy
分析：由已知中多面体ABCDEF中，已知面ABCD是边长为3的正方形，EF与面AC的距离为2，我们易求出四棱锥E﹣ABCD的体积，然后根据由题意求出VF﹣ABCD与几何体的体积，即可得到正确选项．
解答：解：∵多面体ABCDEF中，
面ABCD是边长为3的正方形，
EF∥AB，平面FBC⊥面ABCD，
△FBC中BC边上的高FH=2，EF=，
∴EF∥平面ABCD，
则G到平面ABCD的距离2，
将几何体变形如图，使得FG=AB，
三棱锥E﹣BCG的体积为：，
∴原几何体的体积为：﹣=．
故选B．
点评：本题考查的知识点是组合几何体的面积、体积问题，是常考题目．本题可以直接求解，但是麻烦．解答组合体问题的常用方法是分割法．
2、如图，M是正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱DD1的中点，给出下列命题21cnjy
①过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交；
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直；
③过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都相交；
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行．
其中真命题是（ ）
A、②③④ B、①③④
C、①②④ D、①②③
考点：直线与平面平行的性质；平面与平面垂直的性质。21cnjy
专题：数形结合。
分析：点M不在这两异面直线中的任何一条上，所以，过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都相交，①正确．
②过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，正确．21cnjy
过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，③不正确．
④过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，正确．
解答：解：直线AB与B1C1是两条互相垂直的异面直线，点M不在这两异面直线中的任何一条上，如图所示：
取C1C的中点N，则MN∥AB，且 MN=AB，设BN 与B1C1交于H，则点 A、B、M、N、H 共面，
直线HM必与AB直线相交于某点O．
所以，过M点有且只有一条直线HO与直线AB、B1C1都相交；故①正确．
过M点有且只有一条直线与直线AB、B1C1都垂直，此垂线就是棱DD1，故②正确．
过M点有无数个平面与直线AB、B1C1都相交，故 ③不正确．
过M点有且只有一个平面与直线AB、B1C1都平行，此平面就是过M点与正方体的上下底都平行的平面，故④正确．
综上，①②④正确，③不正确，
故选 C．
点评：本题考查立体几何图形中直线和平面的相交、平行、垂直的性质，体现了数形结合的数学思想．
3、m、n表示直线，α、β、γ表示平面，给出下列四个命题，其中正确命题为（ ）21cnjy
①α∩β=m，n?α，n⊥m，则α⊥β ②α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m⊥n
③α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，则m⊥α ④m⊥α，n⊥β，m⊥n，则α⊥β
A、①② B、②③
C、③④ D、②④
考点：平面与平面垂直的判定；平面与平面垂直的性质。
分析：由面面垂直的判定方法，我们可以判断①的对错，由线线垂直的定义及判定方法可以判断②的真假，由面面垂直的性质及线面垂直的判定方法，可以判断③的正误，由面面垂直的判定方法及线面垂直，线线垂直的定义，我们可以判断④的真假，进而得到答案．
解答：解：若α∩β=m，n?α，n⊥m，不能保证n⊥β，则α⊥β不一定成立，故①错误；
若α⊥β，α∩γ=m，β∩γ=n，则m与n可能平行也可能相交，故②错误；
若α⊥β，α⊥γ，β∩γ=m，设α∩β=a，α∩γ=b，则m⊥a且m⊥b，故m⊥α，故③正确；
若m⊥α，m⊥n，则n?α或n∥α，又由n⊥β，则α⊥β，故④正确．
故选C
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定及平面与平面垂直的性质，其中熟练掌握空间线面之间垂直及平等的判定、性质、定义是解答此类问题的基础．
4、（2011?浙江）下列命题中错误的是（ ）
A、如果平面α⊥平面β，那么平面α内一定存在直线平行于平面β B、如果平面α不垂直于平面β，那么平面α内一定不存在直线垂直于平面β
C、如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β=l，那么l⊥平面γ D、如果平面α⊥平面β，那么平面α内所有直线都垂直于平面β
考点：平面与平面垂直的性质。21*cnjy*com
专题：常规题型。
分析：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答时：A注意线面平行的定义再结合实物即可获得解答；B反证法即可获得解答；C利用面面垂直的性质通过在一个面内作交线的垂线，然后用线面垂直的判定定理即可获得解答；D结合实物举反例即可．
解答：解：由题意可知：
A、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；
B、假若平面α内存在直线垂直于平面β，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直．故此命题成立；
C、结合面面垂直的性质可以分别在α、β内作异于l的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与l平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；
D、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的．故此命题错误．
故选D．
点评：本题考查的是平面与平面垂直的性质问题．在解答的过程当中充分体现了面面垂直、线面垂直、线面平行的定义判定定理以及性质定理的应用．值得同学们体会和反思．
5、如图，α⊥β，α∩β=l，A∈α，B∈β，A、B到l的距离分别是a和b．AB与α、β所成的角分别是θ和φ，AB在α、β内的射影分别是m和n．若a＞b，则（ ）
21*cnjy*com
A、θ＞φ，m＞n B、θ＞φ，m＜n
C、θ＜φ，m＜n D、θ＜φ，m＞n
6、设α、β、γ为三个不同的平面，m、n为两条不同的直线，在下列四个条件中：
①，α∩β=n，m⊥n；
②α∩γ=m，β⊥α，β⊥γ；
③，α∥γ，m∥γ；
④n⊥α，n⊥β，m⊥α．是m⊥β的充分条件的有：（ ）
A、①② B、②④
C、②③ D、③④
考点：平面与平面垂直的性质。
专题：证明题。
分析：利用线面垂直的判定定理来寻求线面垂直的充分条件．21*cnjy*com
解答：解：①③没有出现保证线面垂直的条件，肯定不对；
②中两个相关平面都垂直于第三个平面，则它们的交线肯定也垂直于这个平面，②是正确的；
④α，β两个平面平行，一个直线垂直于两个平行平面中的一个也垂直于另一个，所以④是正确的．
故选B．
点评：本题考查线面位置关系中线面垂直的条件，示例典型，能起到训练答题者加深理解线面垂直判定的目的．
7、已知m，n是两条不重合的直线，α，β，γ是三个不重合的平面，给出下列命题：
①若m⊥α，m⊥β，则α∥β；②若α⊥β，β⊥γ，，则α∥β；
③若m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n；④若m⊥α，n⊥β，则α∥β．其中真命题是（ ）
A、①和④ B、①和③
C、②和③ D、②和④
考点：平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的判定。
分析：对于①，垂直于同一直线的两个平面平行，
对于②两个平面与第三个平面垂直，则两个平面的位置关系可能平行，相交；21*cnjy*com
对于③，两条直线垂直于两个平行的平面，则两个直线一定平行；
对于④，两个平面与两条位置关系不确定的直线垂直，两平面的位置关系无法确定．
解答：解：由线面间相关定理进行判断，对于①，垂直于同一直线的两个平面平行故若m⊥α，m⊥β，则α∥β成立．
对于②两个平面与第三个平面垂直，则两个平面的位置关系可能平行，相交，若α⊥β，β⊥γ，，则α∥β不一定成立．
对于③，两条直线垂直于两个平行的平面，则两个直线一定平行，故m⊥α，n⊥β，α∥β，则m∥n成立．
对于④，两个平面与两条位置关系不确定的直线垂直，两平面的位置关系无法确定，故若m⊥α，n⊥β，则α∥β不一定成立．
综上判断知①③是正确的，故应选B．
点评：考查空间中线面，面面位置关系及相关定理，考查很基本．
8、如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，则下列说法中正确的有（ ）
①存在点E使得直线SA⊥平面SBC；
②平面SBC内存在直线与SA平行
③平面ABCE内存在直线与平面SAE平行；
④存在点E使得SE⊥BA．
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：平面与平面垂直的性质。21cnjy
专题：综合题。
分析：由已知中点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将△ADE沿AE翻折成△SAE，使得平面SAE⊥平面ABCE，我们可得∠SAD为锐角，∠SEC为钝角，逐一分析题目中的四个结论，分别分析出它们的真假，即可得到答案．
解答：解：①若直线SA⊥平面SBC，
则直线SA与平面SBC均垂直，则SA⊥BC，
又由AD∥BC，则SA⊥AD，这与∠SAD为锐角矛盾，故①错误；
②∵平面SBC∩直线SA=S，
故平面SBC内的直线与SA相交或异面，故②错误；
③取AB的中点F，则CF∥AE，由线面平行的判定定理，可得CF∥SAE平行，故③正确；
④若SE⊥BA，由EC∥AB，可得SE⊥EC，这与∠SEC为钝角矛盾，故④错误；
故选A．
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质，反证法，其中根据对于存在性结论的论证，从正面论证难度较大时，一般使用反证法来进行证明．
9、如图，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB与两平面α、β所成的角分别为和．过A、B分别作两平面交线的垂线，垂足为A′、B′，则AB：A′B′=（ ）21世纪教育网
A、2：1 B、3：1
C、3：2 D、4：3
10、下列命题中错误的是（ ）21世纪教育网
A、如果α⊥β，那么α内一定存在直线平行于平面β B、如果α⊥β，那么α内所有直线都垂直于平面β
C、如果平面α不垂直平面β，那么α内一定不存在直线垂直于平面β D、如果α⊥γ，β⊥γ，α∩β=l，那么l⊥γ
考点：平面与平面垂直的性质。
分析：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，进而可推断出A命题正确；α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可判断出B命题错误；根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确；根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
解答：解：如果α⊥β，则α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故可推断出A命题正确．
B选项中α内与两平面的交线平行的直线都平行于面β，故B命题错误．21cnjy
C根据平面与平面垂直的判定定理可知C命题正确．
D根据两个平面垂直的性质推断出D命题正确．
故选B
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的性质．解题的关键是对平面与平面垂直的性质及判定定理熟练记忆．
11、已知两个平面垂直，下列命题
①一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的任意一条直线；
②一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；21cnjy
③一个平面内的任一条直线必垂直于另一个平面；
④过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线必垂直于另一个平面．其中正确的个数是（ ）
A、3 B、2
C、1 D、0
考点：平面与平面垂直的性质。
专题：阅读型。
分析：为了对各个选项进行甄别，不必每个选项分别构造一个图形，只须考查正方体中互相垂直的两个平面：A1ABB1，ABCD即可．
解答：解：考察正方体中互相垂直的两个平面：A1ABB1，ABCD．
对于①：一个平面内的已知直线不一定垂直于另一个平面的任意一条直线；如图中A1B与AB不垂直；
对于②：一个平面内的已知直线必垂直于另一个平面的无数条直线；这一定是正确的，如图中，已知直线A1B，在平面ABCD中，所有与BC平行直线都与它垂直；
对于③：一个平面内的任一条直线不一定垂直于另一个平面；如图中：A1B；
对于④：过一个平面内任意一点作交线的垂线，则垂线不一定垂直于另一个平面，如图中A1D，它垂直于AB，但不垂直于平面ABCD．21世纪教育网
故选C．
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的性质，线面垂直的选择题可以在一个正方体模型中甄别，而不必每个选项分别构造一个图形，广东卷07文6、08文7理5、09文6理5等莫不如此．
12、α、β、γ表示平面，a、b表示直线，若β⊥γ，且α与γ相交但不垂直，则（ ）21世纪教育网
A、?b?β，b⊥γ B、?b?β，b∥γ
C、?a?α，a⊥γ D、?a?α，a∥γ
13、三棱锥P﹣ABC的高为PH，若三个侧面两两垂直，则H为△ABC的（ ）
A、内心 B、外心
C、垂心 D、重心
考点：平面与平面垂直的性质；棱锥的结构特征。
专题：常规题型。
分析：先画出图形，三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，根据BC⊥面APH，而AH?面APH，推出AH⊥BC，同理可推出CH⊥AB，得到H为△ABC的垂心．21世纪教育网版权所有
解答：解：如图所示，
三个侧面两两垂直，可看成正方体的一角，则AP⊥面PBC，21世纪教育网版权所有
而BC?平面PBC∴AP⊥BC而PH⊥面ABC，BC?面ABC
∴PH⊥BC，又AP∩PH=P，
∴BC⊥面APH，而AH?面APH
∴AH⊥BC，同理可得CH⊥AB
故H为△ABC的垂心
故选：C
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的性质，以及棱锥的结构特征，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
14、在空间四边形ABCD中，平面ABD⊥平面BCD，且DA⊥平面ABC，则△ABC的形状是（ ）
A、锐角三角形 B、直角三角形
C、钝角三角形 D、不能确定
考点：平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的性质。
专题：计算题。
分析：作AE⊥BD，交BD于E，根据平面与平面垂直的性质定理可知AE⊥面BCD，再根据线面垂直的判定定理可知BC⊥面ABD，从而得到△ABC为直角三角形．
解答：解：作AE⊥BD，交BD于E，
∵平面ABD⊥平面BCD
∴AE⊥面BCD，BC?面BCD
∴AE⊥BC，而DA⊥平面ABC，BC?平面ABC
∴DA⊥BC，又∵AE∩AD=A
∴BC⊥面ABD，而AB?面ABD
∴BC⊥AB即△ABC为直角三角形21世纪教育网版权所有
故选B．
点评：本题主要考查了平面与平面垂直的性质，以及直线与平面垂直的性质，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力．
二、填空题（共7小题）
15、如图，在长方形ABCD中，AB=2，BC=1，E为DC的中点，F为线段EC（端点除外）上一动点，现将△AFD沿AF折起，使平面ABD⊥平面ABC，在平面ABD内过点D作DK⊥AB，K为垂足，设AK=t，则t的取值范围是 （，1） ．
考点：平面与平面垂直的性质；棱锥的结构特征。
专题：计算题。
分析：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时与随着F点到C点时，分别求出此两个位置的t值即可得到所求的答案
解答：解：此题的破解可采用二个极端位置法，即对于F位于DC的中点时，可得t=1，
随着F点到C点时，当C与F无限接近，不妨令二者重合，此时有CD=221世纪教育网版权所有
因CB⊥AB，CB⊥DK，
∴CB⊥平面ADB，即有CB⊥BD，
对于CD=2，BC=1，在直角三角形CBD中，得BD=，
又AD=1，AB=2，再由勾股定理可得∠BDA是直角，因此有AD⊥BD
再由DK⊥AB，知，K是AB中点，则有t=，
因此t的取值的范围是（，1）
故答案为（，1）
点评：考查空间图形的想象能力，及根据相关的定理对图形中的位置关系进行精准判断的能力．
16、在矩形ABCD中，AB=3，AD=4，P在AD上运动，设∠ABP=θ，将△ABP沿BP折起，使得平面ABP垂直于平面BPDC，AC长最小时θ的值为 45° ．
考点：平面与平面垂直的性质。
专题：计算题。
分析：折叠问题要注意变与不变，观察图形将AC的长度用已知的量AB，AD，θ的三角函数表示出来．再根据其形式来进行运算求值．
解答：解：过A作AH⊥BP于H，连CH，∴AH⊥平面BCDP．
∴在Rt△ABH中，AH=3sinθ，BH=3cosθ．
在△BHC中，CH2=（3cosθ）2+42﹣2×4×3cosθ×cos（90°﹣θ），
∴在Rt△ACH中，
AC2=25﹣12sin2θ，
∴θ=45°时，AC长最小．
答案：45°
点评：考查折叠问题与面面垂直的性质，此类题一般要求先通过图象进行细致分析，将求AC最值的问题转化为求相应函数的最值问题．本题与三角函数的结合，用三角的有界性求最佳，是其一亮点．
17、已知三个命题：①两个平面垂直，过其中一个平面内一点，作与它们交线垂直的直线，必垂直于另一个平面；②两个平面垂直，分别在两个平面内，且互相垂直的两条直线，一定分别与另一个平面垂直；③两个平面垂直，则分别在这两个平面内的两条直线互相垂直．其中假命题的序号是 ①②③ ．
点评：利用面面垂直的性质定理，可以有所选择的作出一个平面的垂线，进而可解决空间的角和距离等问题，因此作平面的垂线也是立体几何中最重要的辅助线之一．
18、如图，△ABC是正三角形，E、F分别为线段AB、AC上的动点，现将△AEF沿EF折起，使平面AEF⊥平面BCF，设=λ，当AE⊥CF时，λ的值为 或2 ．
考点：平面与平面垂直的性质；元素与集合关系的判断。
专题：计算题。
分析：过A作AH垂直EF于H，可证得AH垂直于面BCFE，即得AH垂直于CF，又AE垂直CF，故可证得CF垂直于面AEF，所以CF垂直于EF，由原图可以看出，此时H必与F重合，则∠AFE是个直角，所以∠AEF=30°角，所以AE=2AF，故λ=2，又当AE垂直于底面时显然满足题意，此时有AF=2AE，综合可得答案．
解答：解：如图过A作AH⊥EF于H，可证得AH⊥面BCFE，即得AH垂直于CF，
又AE⊥CF，故可证得CF垂⊥AEF，
∴CF⊥EF，由原图可以看出，此时H必与F重合，则∠AFE是个直角，21世纪教育网版权所有
∴∠AEF=30°，
∴AE=2AF，故λ=2，
又当AE垂直于底面时显然满足题意，
此时有AF=2AE，故此情况下有λ=21世纪教育网版权所有
综上知应填2或．
点评：本题考查面面垂直及线面垂直的判定与性质，是一个知识性较强的题，在本题中AE垂直于底面这种情况容易遗漏，是个易失分点．
19、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，截面A1BD与底面ABCD所成的二面角A1﹣BD﹣A的正切值为
点评：这是利用面面垂直来找二面角的问题，找二面角的关键是过公共棱上同一点，在两半平面内作棱的垂线，找两垂线所成角．常用方法是用三垂线定理或其逆定理．
20、如图，两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，那么①AD⊥MN；②MN∥面CDE；③MN∥CE；④MN、CE异面其中正确结论的序号是 ①②③ ．
考点：平面与平面垂直的性质。
专题：综合题。
分析：取AD的中点G，连接MG，NG，结合正方形的性质，我们结合线面垂直的判定定理及性质可判断①的真假；连接AC，CE，根据三角形中位线定理，及线面平行的判定定理，可以判断②③④的真假，进而得到答案．
解答：解：∵两个正方形ABCD和ADEF所在平面互相垂直，设M、N分别是BD和AE的中点，
取AD的中点G，连接MG，NG，易得AD⊥平面MNG，进而得到AD⊥MN，故①正确；21世纪教育网版权所有
连接AC，CE，根据三角形中位线定理，可得MN∥CE，由线面平行的判定定理，可得②MN∥面CDE及③MN∥CE正确，④MN、CE错误；21世纪教育网版权所有
故答案为：①②③．
点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的性质，直线与平面垂直的判定及直线与平面平行的判定，熟练掌握空间直线与平面平行及垂直的判定及性质是解答本题的关键．
21、斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，且平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，则A1B的长度为 ．
考点：平面与平面垂直的性质；棱柱的结构特征。
专题：计算题。
分析：取CC1中点M连接A1M与BM，在直角三角形A1MB中用勾股定理求得A1B的长度即可．
解答：解：取CC1中点M连接A1M与BM，
∵斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1=AC=BC=2，∠A1AC=∠C1CB=60°，
∴三角形A1CC1是等边三角形，四边形ACC1A1≌四边形BCC1B1
∴A1M⊥CC1，
∴BM⊥CC1，
∴A1M=BM=
又平面ACC1A1⊥平面BCC1B1，
∴角A1MB是二面角的平面角，故其是直角
∴在直角三角形A1MB由勾股定理可算得21世纪教育网版权所有
A1B=
故应填
点评：考查空间想象能力以及面面垂直的性质定理，勾股定理，本题合理作辅助线是解题的关键．
三、解答题（共9小题）
22、如图，A、B、C、D是空间四点，在△ABC中，AB=2，AC=BC=，等边△ADB所在的平面以AB为轴可转动．
（Ⅰ）当平面ADB⊥平面ABC时，求三棱锥D﹣ABC的体积；
（Ⅱ）当△ADB转动过程中，是否总有AB⊥CD？请证明你的结论．21世纪教育网版权所有
所以DE⊥平面ABC，
可知DE⊥CE
由已知可得，
则S△ABC=1，
VD﹣ABC=××1=．
（Ⅱ）当△ADB以AB为轴转动时，总有AB⊥CD．
证明：（ⅰ）当D在平面ABC内时，因为AC=BC，AD=BD，
所以C，D都在线段AB的垂直平分线上，即AB⊥CD．
（ⅱ）当D不在平面ABC内时，由（Ⅰ）知AB⊥DE．又因AC=BC，所以AB⊥CE．21世纪教育网版权所有
又DE，CE为相交直线，所以AB⊥平面CDE，由CD?平面CDE，得AB⊥CD．
综上所述，总有AB⊥CD．
点评：本题考查用线面垂直的方法来证明线线垂直，解答的关键是答题者的空间想象能力．21世纪教育网版权所有
23、如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，底面△ABC为等腰直角三角形，∠B=90°，D为棱BB1上一点，且平面DA1C⊥平面AA1C1C．
（Ⅰ）求证：D点为棱BB1的中点；
（Ⅱ）判断四棱锥A1﹣B1C1CD和C﹣A1ABD的体积是否相等，并证明．
考点：棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（Ⅰ）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF，推出，即可证明D点为棱BB1的中点；
（Ⅱ）求出四棱锥A1﹣B1C1CD的底面面积和高，再计算C﹣A1ABD的体积，即可判断体积相等．
解答：解：（1）过点D作DE⊥A1C于E点，取AC的中点F，连BF，EF．
∵面DA1C⊥面AA1C1C且相交于A1C，面DA1C内的直线DE⊥A1C，
∴DE⊥面AA1C1C．（3分）
又∵面BAC⊥面AA1C1C且相交于AC，且△ABC为等腰三角形，易知BF⊥AC，
∴BF⊥面AA1C1C．由此知：DE∥BF，从而有D，E，F，B共面，又易知BB1∥面AA1C1C，
故有DB∥EF，从而有EF∥AA1，又点F是AC的中点，
所以，所以D点为棱BB1的中点．（6分）
（2）相等．ABC﹣A1B1C1为直三棱柱，
∴BB1⊥A1B1，BB1⊥BC，
又A1B1⊥B1C1，BC⊥AB，
∴A1B1⊥平面B1C1CD，BC⊥平面A1ABD（9分）
∴
∵D为BB1中点，
∴=（12分）
点评：本题考查平面与平面垂直的性质，棱柱、棱锥、棱台的体积，考查分析问题解决问题的能力，是中档题．
24、在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，O是AC的中点，E是线段D1O上一点，且D1E=λEO．21世纪教育网版权所有
（1）若λ=1，求异面直线DE与CD1所成角的余弦值；
（2）若平面CDE⊥平面CD1O，求λ的值．21世纪教育网版权所有
E，
于是，．
由cos==．
所以异面直线AE与CD1所成角的余弦值为．（5分）
（2）设平面CD1O的向量为m=（x1，y1，z1），由m?=0，m?=0
得取x1=1，得y1=z1=1，即m=（1，1，1）．（7分）
由D1E=λEO，则E，=．
又设平面CDE的法向量为n=（x2，y2，z2），由n?=0，n?=0．
得取x2=2，得z2=﹣λ，即n=（﹣2，0，λ）．
因为平面CDE⊥平面CD1F，所以m?n=0，得λ=2．（10分）
点评：本题查了异面直线所成的角以及两个平面垂直的问题，本题采用向量法来研究线线，面面的问题，这是空间向量的一个重要运用，大大降低了求解立体几何问题的难度．
25、如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=1，E是CD的中点，以AE为折痕将△DAE向上折起，使D为D′，且平面D′AE⊥平面ABCE．
（Ⅰ）求证：AD′⊥EB；
（Ⅱ）求直线AC与平面ABD'所成角的正弦值．21世纪教育网版权所有
考点：异面直线及其所成的角；空间中直线与直线之间的位置关系；平面与平面垂直的性质。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；证明题。
分析：（Ⅰ）根据勾股定理可知AE⊥BE，然后根据面面垂直的性质定理可知BE⊥平面AED'，而AD'?平面AED'，最后根据线面垂直的性质可知AD'⊥BE；21世纪教育网版权所有
（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，作FG⊥BD'，垂足为G，则FG⊥平面ABD'，连接AG，则∠FAG是直线AC与平面ABD'所成的角，在Rt△AEF中，求出AF，在Rt△EBD'中，求出FG，最后在三角形FAG求出此角的正弦值即可．
解答：解：（Ⅰ）在Rt△BCE中，，
在Rt△AD'E中，，
∵AB2=22=BE2+AE2，
∴AE⊥BE．（2分）
∵平面AED'⊥平面ABCE，且交线为AE，
∴BE⊥平面AED'．（4分）
∵AD'?平面AED'，
∴AD'⊥BE．（6分）
（Ⅱ）设AC与BE相交于点F，由（Ⅰ）知AD'⊥BE，
∵AD'⊥ED'，
∴AD'⊥平面EBD'，（8分）
∵AD'?平面AED'，
∴平面ABD'⊥平面EBD'，且交线为BD'，
如图，作FG⊥BD'，垂足为G，则FG⊥平面ABD'，（10分）
连接AG，则∠FAG是直线AC与平面ABD'所成的角．（11分）
由平面几何的知识可知，∴．
在Rt△AEF中，，
在Rt△EBD'中，，可求得．
∴．（14分）
∴直线AC与平面ABD'所成的角的正弦值为．
点评：本题主要考查线面垂直的性质，以及线面所成角的度量，同时考查空间想象能力，计算能力，转化与化归的思想，解题的关键是寻找线面所成角．
26、（2011?江西）如图，在△ABC中，∠B=，AB=BC=2，P为AB边上一动点，PD∥BC，P为AB边上一动点，PD∥BC交AC于点D，现将△PDA沿PD翻折至△PDA′，使平面PDA′⊥平面PBCD．21世纪教育网版权所有
（1）当棱锥A′﹣PBCD的体积最大时，求PA的长；
（2）若点P为AB的中点，E为A′C的中点，求证：A′B⊥DE．21世纪教育网版权所有
当x∈（0，）时，f′（x）＞0，f（x）单调递增，
当x∈（，2）时，f′（x）＜0，f（x）单调递减，
所以，当x=时，f（x）取得最大值，
即：体积最大时，PA=．
（2）设F为A′B的中点，连接PF，FE，则有EF∥BC，EF=BC，PD∥BC，PD=BC，
所以DE∥PF，又A′P=PB，所以PF⊥A′B．
故DE⊥A′B
点评：本题是中档题，考查几何体的体积计算，函数最大值的求法，直线与直线的垂直的证明方法，考查空间想象能力，计算能力．
27、如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是边长为的正方形，E为PC的中点，PB=PD．21世纪教育网版权所有
平面PBD⊥平面ABCD．
（1）证明：PA∥平面EDB．
（2）求三棱锥E﹣BCD与三棱锥P﹣ABD的体积比．
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考点：直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积；平面与平面垂直的性质。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；证明题。
分析：（1）连A、C交BD于O，则OE是△PAC的中位线，可得OE∥PA，从而证明PA∥平面DEB．
（2）E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，△BCD与△ABD的面积相等，故体积之比等于．
解答：解：
（1）证明：连A、C交BD于O，连O、E，因为底面是正方形，所以，O是AC的中点，
又因为E是PC的中点，所以OE是△PAC的中位线，所以，OE∥PA，
又因为OE?平面DEB，PA?平面DEB，所以PA∥平面DEB．
（2）因为E是PC的中点，所以，E到平面ABCD的距离是P到平面ABCD的距离的一半，△BCD与△ABD的面积相等，
所以，．
点评：本题考查证明线面平行的方法，求三棱锥的体积，证明OE是△PAC的中位线，是解题的关键．
28、在斜三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ACC1A1⊥平面ABC，∠ACB=90°．
（1）求证：BC⊥AA1．
（2）若M，N是棱BC上的两个三等分点，求证：A1N∥平面AB1M．
29、已知正方形ABCD所在平面与正方形ABEF所在平面互相垂直，M为AC上一点，N为BF上一点，且AM=FN=x有，设AB=a
（1） 求证：MN∥平面CBE；
（2） 求证：MN⊥AB；
（3） 当x为何值时，MN取最小值？并求出这个最小值．
考点：直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的性质。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）先由相似性推知得出MNHG为平行四边形，从而求证MN∥GH，由线面平行的判定定理证得MN∥面BEC；（2）由AB⊥BC，AB⊥BE，结合线面垂直的判定定理证出AB⊥面BEC，从而有AB⊥GH，再由垂直于平行线中的一条，则垂直于另一条，得到MN⊥AB；
（3）由面ABCD⊥面ABEF，得到BE⊥面ABCD，从而有BE⊥BC，BG=，BH=，建立MN=GH=二次函数模型从而求得最值．
解答：证明：（1）在平面ABC中，作MG∥AB，在平面BFE中，作NH∥EF，
连接GH∵AM=FN∴MC=NB∵
∴∴MNHG为平行四边形；∴MN∥GH
又∵GH?面BEC，MN≠?面BEC∴MN∥面BEC
（2）∵AB⊥BC，AB⊥BE∴AB⊥面BEC∵GH?面GEC∴AB⊥GH∵MN∥GH∴MN⊥AB
（3）∵面ABCD⊥面ABEF∴BE⊥面ABCD∴BE⊥BC21世纪教育网版权所有
∵BG=，BH=
∴MN=GH=
=
=（）
=当且仅当时，等号成立；21世纪教育网版权所有
∴当时，MN取最小值．
点评：本题主要通过平面图形中的相似性转化线线平行，进而转化为线面平行来考查线面平行的判定定理，以及线面垂直的判定和培养学生平面和空间的转化及建模能力．
30、四棱锥A﹣BCDE中，底面BCDE为矩形，侧面ABC⊥底面BCDE，，AB=AC．21世纪教育网版权所有
（I）取CD的中点为F，AE的中点为G，证明：FG∥面ABC；
（II）证明：AD⊥CE．
