直线与平面垂直的判定
一、选择题（共20小题）
1、现给出如下命题：
（1）若直线l与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l⊥平面α；
（2）空间三点确定一个平面；
（3） 先后抛两枚硬币，用事件A表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A和B相互独立且P（AB）=；21世纪教育网版权所有
（4）样本数据﹣1，﹣1，0，1，1的标准差是1．
则其中正确命题的序号是（ ）
A、（1）、（4） B、（1）、（3）21世纪教育网版权所有
C、（2）、（3）、（4） D、（3）、（4）
2、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是CD上的动点，则直线B1P与直线BC1所成的角等于（ ）
A、30° B、45°21世纪教育网版权所有
C、60° D、90°
3、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，连接AC1交平面A1BD于H，则下列命题中，错误的命题是（ ）
A、AH与DD1所成的角为
B、AC1⊥平面A1BD
C、
D、H是△A1BD的垂心
4、在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）
A、若l?β，且α⊥β，则l⊥α
B、若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C、若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α
D、若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
5、m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．下列命题为真命题的是（ ）
A、若m∥α，m∥n，则n∥α
B、若m⊥α，n⊥β、则n⊥m
C、若m⊥α，m∥β，则α⊥β
D、若α⊥β，m?α，则m⊥β
6、如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
7、设α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，给出下列命题：21世纪教育网版权所有
①若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
②若l∥β，α⊥β，则l⊥α；21世纪教育网版权所有
③若l⊥α，α⊥β，则l∥β．
其中正确的命题是（ ）
A、①③ B、①②
C、②③ D、①②③
8、如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）
A、EH∥FG B、四边形EFGH是矩形21世纪教育网版权所有
C、Ω是棱柱 D、Ω是棱台
9、设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）
A、α⊥β，α∩β=l，m⊥l B、α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ
C、α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D、n⊥α，n⊥β，m⊥α
10、若直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ ）
A、有且只有一个 B、可能有一个也可能不存在
C、有无数多个 D、一定不存在
11、已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A、α∥β，m?α，n?β?m∥n B、l⊥β，α⊥β?l∥α
C、m⊥α，m⊥n?n∥α D、α∥β，l⊥α?l⊥β
12、一个棱锥的侧棱长都相等，那么这个棱锥（ ）
A、一定是正棱锥 B、一定不是正棱锥
C、是底面为圆内接多边形的棱锥 D、是底面为圆外切多边形的棱锥
13、若α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）
A、n⊥α，n⊥β，m⊥α B、α∩γ=m，α⊥β，
C、α⊥β，m⊥α D、α⊥β，α∩β=l，m⊥l
14、已知平面α和直线l，下列命题：
（1）若l垂直α内两条直线，则l⊥α；
（2）若l垂直α内所有直线，则l⊥α；
（3）若l垂直α内两相交直线，则l⊥α；
（4）若l垂直α内无数条直线，则l⊥α；
（5）若l垂直α内任一条直线，则l⊥α．其中正确命题的个数是（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
15、若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（ ）
A、平面OAB B、平面OAC
C、平面OBC D、平面ABC
16、若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（ ）21世纪教育网版权所有
A、a⊥b，a⊥c，b?α，c?α B、a⊥b，b∥α
C、a∩b=A，b?α，a⊥b D、α∥b，b⊥a
17、已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是（ ）
A、α⊥β，m?β B、α∥β，n⊥β
C、α⊥β，n∥β D、m∥α，n⊥m21世纪教育网版权所有
18、给出下列条件（其中l和a为直线，α为平面）：
①l垂直α内一凸五边形的两条边；
②l垂直α内三条都不平行的直线；
③l垂直α内无数条直线；
④l垂直α内正六边形的三条边；
⑤a垂直α，l垂直a．21世纪教育网版权所有
其中是“l垂直α”的充分条件的所有序号是（ ）
A、①②④ B、②③
C、①④ D、②④
19、在空间中，设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给定下列条件：
①α⊥β且m?β；②α∥β且m⊥β；③α⊥β且m∥β；④m⊥n且n∥α，其中可以判定m⊥α的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
20、设a，b为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若a∥b，l⊥a，则l⊥b；②若m⊥a，n⊥a，m∥b，n∥b，则a∥b；③若l∥a，l⊥b，则a⊥b；④若m、n是异面直线，m∥a，n∥a，且l⊥m，l⊥n，则l⊥a．
其中真命题的序号是（ ）
A、①③④ B、①②③
C、①③ D、②④
二、填空题（共5小题）
21、如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是： _________ ．
①平面EFG∥平面PBC
②平面EFG⊥平面ABC
③∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
④∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．
22、如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的序号是 _________ ．
①BD∥平面CB1D1；
②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1；
④异面直线AD与CB1所成角为60°．
23、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列4个命题：21世纪教育网版权所有
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若m⊥n，m⊥α，n?α，则n∥α；21世纪教育网版权所有
③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；
④若m，n是异面直线，m?α，n?β，m∥β，则n∥α．其中正确的命题有 _________ ．
24、在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有 _________ 条．
25、已知集合A、B、C，A={直线}，B={平面}，C=A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，下列命题中：①；②；③；④
正确命题的序号为 _________ （注：把你认为正确的序号都填上）21世纪教育网版权所有
三、解答题（共5小题）
26、如图1，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．
（1）证明：AD⊥平面PBC；
（2）求三棱锥D﹣ABC的体积；
（3）在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．
27、如图，是某三棱柱被截去一部分后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，CF=2AD，M是DF的中点．侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，．有关数据如图所示．
（1）求该几何体的体积；
（2）求证：EM⊥平面ACDF．
28、在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为．21世纪教育网版权所有
（1）求A1A的长；
（2）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．
29、如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD上菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，
（1）证明：C1C⊥BD；21世纪教育网版权所有
（2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．
30、已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形．
答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、现给出如下命题：
（1）若直线l与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l⊥平面α；
（2）空间三点确定一个平面；
（3） 先后抛两枚硬币，用事件A表示“第一次抛出现正面向上”，用事件B表示“第二次抛出现反面向上”，则事件A和B相互独立且P（AB）=；
（4）样本数据﹣1，﹣1，0，1，1的标准差是1．
则其中正确命题的序号是（ ）
A、（1）、（4） B、（1）、（3）
C、（2）、（3）、（4） D、（3）、（4）
考点：相互独立事件的概率乘法公式；极差、方差与标准差；直线与平面垂直的判定。
专题：阅读型。
分析：若直线l与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l⊥平面α，这种说法是错误的，这样只有最后两个选项可选，最后两个选项的不同点在于选不选（2），只要判断（2）是否正确，结果不正确．
解答：解：若直线l与平面α内无穷多条直线都垂直，则直线l⊥平面α，这种说法是错误的，故（1）错误．
这样只有最后两个选项可选，最后两个选项的不同点在于选不选（2），
所以只要判断（2）是否正确，就可以．
根据空间不共线的三点确定一个平面，得到（2）不正确，
∴只有（3）（4）正确，21世纪教育网版权所有
故选D．
点评：本题考查直线与平面的垂直的判定，考查不共线的三点确定一个平面，考查相互独立事件同时发生的概率，考查标准差，本题是一个选择题，有它本身独特的解法．
2、如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点P是CD上的动点，则直线B1P与直线BC1所成的角等于（ ）
A、30° B、45°
C、60° D、90°
考点：异面直线及其所成的角；直线与平面垂直的判定。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：连接A1D，B1C，可知BC1⊥平面A1B1CD，于是BC1⊥B1P．从而得出直线B1P与直线BC1所成的角．
解答：解：连接A1D，B1C，则BC1⊥B1C，BC1⊥DC，B1C∩DC=C?BC1⊥平面A1B1CD，B1P?平面A1B1CD，
∴BC1⊥B1P，即B1P与BC1所成的角等于90°．21世纪教育网版权所有
故选D．
点评：虽然点P为动点，但连接A1D，B1C后，即可将线线问题转化为线面问题，转化非常方便，于是本解机乎可“望题即解”，相比之下，由于点P为动点，用其余两种方法则难于操作．
3、如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为a，连接AC1交平面A1BD于H，则下列命题中，错误的命题是（ ）
A、AH与DD1所成的角为 B、AC1⊥平面A1BD
C、 D、H是△A1BD的垂心
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；三角形五心；直线与平面垂直的判定。
专题：阅读型。
分析：A 因为 DD1∥AA1，所以将AH与DD1所成的角转化成AH与AA1所成的角∠A1AC解决．
B由三垂线定理，可证AC1⊥面A1BD
D因为AB，AD，AA1两两垂直，且AC1⊥面A1BD，所以H是△A1BD的垂心21世纪教育网版权所有
C在直角三角形CAC1中求解．
解答：解：连接 A1C1，知tan∠A1AC=，即AH与DD1所成的角为，A对
由三垂线定理，AC1在面ABCD上的射影为AC，BD⊥AC，∴BD⊥AC1同理可证BA1⊥AC1∴AC1⊥面A1BD，B对
因为AB，AD，AA1两两垂直，且AC1⊥面A1BD，所以H是△A1BD的垂心 D对
由AC1⊥面A1BD知AH⊥HO，
HO=AO×sin∠CAC1=，C错
故选C
点评：本题考查正方体的基本性质，线面位置关系、距离求解，考查空间想象能力、论证能力、计算能力．
4、在下列关于直线l、m与平面α、β的命题中，真命题是（ ）21世纪教育网版权所有
A、若l?β，且α⊥β，则l⊥α B、若l⊥β，且α∥β，则l⊥α
C、若α∩β=m，且l⊥m，则l∥α D、若l⊥β，且α⊥β，则l∥α
考点：空间中直线与平面之间的位置关系；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定。
分析：根据线面垂直的定义和定理，注意紧扣面面垂直的性质定理的条件逐项判断，分析可得答案．
解答：解：A不正确，由面面垂直的性质定理可推出；C不正确，可能l?α；21世纪教育网版权所有
B正确，由线面垂直的定义和定理，面面平行的性质定理可推出；
D不正确，由面面垂直的性质定理可知，α∩β=m，且l⊥m，l⊥β，则l?α；
故选B．
点评：本题考查了空间线面的位置关系，用垂直和平行的定理去判断，考查了空间想象能力和逻辑推理能力．
5、m、n是不同的直线，α、β是不重合的平面．下列命题为真命题的是（ ）
A、若m∥α，m∥n，则n∥α B、若m⊥α，n⊥β、则n⊥m
C、若m⊥α，m∥β，则α⊥β D、若α⊥β，m?α，则m⊥β
6、如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，则以下结论：①BD∥平面CB1D1；②AC1⊥BD；③AC1⊥平面CB1D1其中正确结论的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定。
专题：计算题。
分析：①由正方体的性质得BD∥B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得答案；21世纪教育网版权所有
②由正方体的性质得 AC⊥BD，再由三垂线定理可得答案．
③由正方体的性质得 BD∥B1D1，并且结合②可得AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，进而结合线面垂直的判定定理得到答案．
解答：解：由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以结合线面平行的判定定理可得：BD∥平面CB1D1；所以①正确．
由正方体的性质得 AC⊥BD，因为AC是AC1在底面ABCD内的射影，所以由三垂线定理可得：AC1⊥BD，所以②正确．
由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②可得AC1⊥BD，所以AC1⊥B1D1，同理可得AC1⊥CB1，进而结合线面垂直的判定定理得到：AC1⊥平面CB1D1，所以③正确．21世纪教育网版权所有
故选D．
点评：解决此类问题的关键是熟练掌握几何体的结构特征与有关的判定定理，本题考查学生的空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．
7、设α、β表示平面，l表示不在α内也不在β内的直线，给出下列命题：21世纪教育网版权所有
①若l⊥α，l∥β，则α⊥β；
②若l∥β，α⊥β，则l⊥α；
③若l⊥α，α⊥β，则l∥β．
其中正确的命题是（ ）
A、①③ B、①②
C、②③ D、①②③
8、如图，若Ω是长方体ABCD﹣A1B1C1D1被平面EFGH截去几何体EFGHB1C1后得到的几何体，其中E为线段A1B1上异于B1的点，F为线段BB1上异于B1的点，且EH∥A1D1，则下列结论中不正确的是（ ）
A、EH∥FG B、四边形EFGH是矩形
C、Ω是棱柱 D、Ω是棱台
考点：直线与平面垂直的判定；空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面平行的判定。
分析：根据直线与平面平行的性质定理可知EH∥FG，则EH∥FG∥B1C1，从而Ω是棱柱，因为A1D1⊥平面ABB1A1，EH∥A1D1，则EF⊥平面ABB1A1，又EF?平面ABB1A1，故EH⊥EF，从而四边形EFGH是矩形．
解答：解：因为EH∥A1D1，A1D1∥B1C1，
所以EH∥B1C1，又EH?平面BCC1B1，平面EFGH∩平面BCC1B1=FG，21世纪教育网
所以EH∥平面BCB1C1，又EH?平面EFGH，
平面EFGH∩平面BCB1C1=FG，
所以EH∥FG，故EH∥FG∥B1C1，
所以选项A、C正确；
因为A1D1⊥平面ABB1A1，
EH∥A1D1，所以EF⊥平面ABB1A1，
又EF?平面ABB1A1，故EH⊥EF，所以选项B也正确，21世纪教育网
故选D．
点评：本题考查空间中直线与平面平行、垂直的判定与性质，考查同学们的空间想象能力和逻辑推理能力．
9、设α、β、γ为平面，m、n、l为直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）
A、α⊥β，α∩β=l，m⊥l B、α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ21世纪教育网
C、α⊥γ，β⊥γ，m⊥α D、n⊥α，n⊥β，m⊥α
考点：直线与平面垂直的判定。
专题：证明题；转化思想。
分析：根据面面垂直的判定定理可知选项A是否正确，根据平面α与平面β的位置关系进行判定可知选项B和C是否正确，根据垂直于同一直线的两平面平行，以及与两平行平面中一个垂直则垂直于另一个平面，可知选项D正确．
解答：解：α⊥β，α∩β=l，m⊥l，根据面面垂直的判定定理可知，缺少条件m?α，故不正确；
α∩γ=m，α⊥γ，β⊥γ，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
α⊥γ，β⊥γ，m⊥α，而α与β可能平行，也可能相交，则m与β不一定垂直，故不正确；
n⊥α，n⊥β，?α∥β，而m⊥α，则m⊥β，故正确
故选D
点评：本小题主要考查空间线面关系、面面关系以及充分条件的判定等知识，考查化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力，属于基础题．
10、若直线a与b异面，则过a且与b垂直的平面（ ）
A、有且只有一个 B、可能有一个也可能不存在
C、有无数多个 D、一定不存在
11、已知m，n，l为三条不同的直线，α，β为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A、α∥β，m?α，n?β?m∥n B、l⊥β，α⊥β?l∥α
C、m⊥α，m⊥n?n∥α D、α∥β，l⊥α?l⊥β
考点：直线与平面垂直的判定。
分析：由面面平行的性质，可以判断A的对错，由线面平行的定义及判定方法可判断B，C的真假，由线面垂直的定义及判定方法，可以判断D的正误．
解答：解：若α∥β，m?α，n?β，则m与n可能平行与可能异面，故A错误；
若l⊥β，α⊥β，则l∥α或l?α，故B错误；
若m⊥α，m⊥n，则n∥α或n?α，故B错误；
若α∥β，l⊥α根据线面垂直的判定方法，易得l⊥β，故D正确；
故选D
点评：本题考查的知识点是直线与平面垂直的判定，熟练掌握空间直线与平面垂直和平行的定义、性质、判定方法是解答此类问题的关键．
12、一个棱锥的侧棱长都相等，那么这个棱锥（ ）
A、一定是正棱锥 B、一定不是正棱锥
C、是底面为圆内接多边形的棱锥 D、是底面为圆外切多边形的棱锥
考点：直线与平面垂直的判定；棱锥的结构特征。
专题：综合题。
分析：根据线面垂直的有关定理，可由侧棱长相等推出它们在底面的射影长（各条线段）相等，由此可由顶点在底面的射影为圆心，某条射影线段长为半径画圆，则底面其它顶点都在这个圆上，由此不难选出正确答案．
解答：解：如图，以四棱锥A﹣BCED为例，设顶点A在底面的射影为O
连接OB、OC、OE、OD，21世纪教育网
∵AO⊥平面BCED，AB=AC=AE=AD
∴Rt△AOB≌Rt△AOC≌Rt△AOE≌Rt△AOD
∴OB=OC=OE=OD21世纪教育网
以O为圆心，OB长为半径画圆，则C、E、D三点都在这个圆上21世纪教育网
所以四边形BCED为圆内接四边形
对于其它棱锥的情况可以类似地进行证明
故选C
点评：本题以棱锥为载体考查了直线与平面垂直地的判定与性质，属于中档题．能够看出图中的斜线长相等，由线面垂直的定义与性质推出在底面上的射影长相等，再结合平面几何的有关知识解决，是本题的关键．
13、若α，β，γ为不同的平面，m，n，l为不同的直线，则m⊥β的一个充分条件是（ ）
A、n⊥α，n⊥β，m⊥α B、α∩γ=m，α⊥β，
C、α⊥β，m⊥α D、α⊥β，α∩β=l，m⊥l
考点：直线与平面垂直的判定。
分析：利用线面垂直的条件、线面垂直的判定定理、以及面面垂直的性质定理对四个选项进行判断，找出可以判断出m⊥β的即可．
A选项利用线面垂直的条件判断即可；
B选项面面垂直的性质定理判断；
C选项利用面面垂直的性质定理判断；
D选项利用面面垂直的性质定理判断．
解答：解：对于A选项，由n⊥α，m⊥α，可得m∥n，又n⊥β，故m⊥β，A选项正确；21世纪教育网
对于B选项，α∩γ=m，α⊥β得不出m⊥β，故不正确；
对于C选项，α⊥β，m⊥α可以得出m在β内或者与其平行，故不对；21世纪教育网
对于D选项，α⊥β，α∩β=l，m⊥l，由于m的位置不定，无法判断其与面β的关系，故D不正确；
综上，正确选项是A，
故选A
点评：本题考查线面垂直的判断方法，是立体几何中的基础题型，依据线面垂直的判定定理与等价的条件判断即可．
14、已知平面α和直线l，下列命题：
（1）若l垂直α内两条直线，则l⊥α；21世纪教育网
（2）若l垂直α内所有直线，则l⊥α；
（3）若l垂直α内两相交直线，则l⊥α；
（4）若l垂直α内无数条直线，则l⊥α；
（5）若l垂直α内任一条直线，则l⊥α．其中正确命题的个数是（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
15、若三条直线OA，OB，OC两两垂直，则直线OA垂直于（ ）
A、平面OAB B、平面OAC
C、平面OBC D、平面ABC
考点：直线与平面垂直的判定。
专题：阅读型；转化思想。
分析：根据OA⊥OB，OA⊥OC，而OB∩OC=O，满足直线与平面垂直的判定定理，从而得到结论．
解答：解：∵OA⊥OB，OA⊥OC，而OB∩OC=O
满足直线与平面垂直的判定定理
∴直线OA垂直于平面OBC
故选C
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的判定，同时考查了化归与转化的数学思想方法，以及空间想象能力、推理论证能力．
16、若a，b，c表示直线，α表示平面，下列条件中，能使a⊥α的是（ ）
A、a⊥b，a⊥c，b?α，c?α B、a⊥b，b∥α
C、a∩b=A，b?α，a⊥b D、α∥b，b⊥a
考点：直线与平面垂直的判定。
专题：综合题。
分析：按照直线与平面垂直的判断定理，直线垂直平面内的两条相交直线，直线垂直平面，考查四个选项即可得到正确结果．
解答：解：a⊥b，a⊥c，b?α，c?α满足定理的条件，所以A正确；a⊥b，b∥α，a⊥α是不一定，所以不正确；a∩b=A，b?α，a⊥b及α∥b，b⊥a都不正确．
故选A
点评：本题是基础题，考查直线与平面垂直的判断定理，直线与平面的位置关系，掌握基本知识是解好这类问题的关键．
17、已知m，n是不同的直线，α，β是不同的平面，则下列条件能使n⊥α成立的是（ ）
A、α⊥β，m?β B、α∥β，n⊥β
C、α⊥β，n∥β D、m∥α，n⊥m21世纪教育网
考点：直线与平面垂直的判定。
专题：综合题。
分析：n⊥α必有n平行α的垂线，或者n垂直α的平行平面，依次判定选项即可．
解答：解：α⊥β，m?β，不能说明n与α的关系，A错误；21世纪教育网
α∥β，n⊥β能够推出n⊥α，正确；
α⊥β，n∥β可以得到n与平面α平行、相交，所以不正确．
m∥α，n⊥m则n与平面α可能平行，所以不正确．
故选B．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，是基础题．21世纪教育网
18、给出下列条件（其中l和a为直线，α为平面）：
①l垂直α内一凸五边形的两条边；
②l垂直α内三条都不平行的直线；
③l垂直α内无数条直线；
④l垂直α内正六边形的三条边；
⑤a垂直α，l垂直a．
其中是“l垂直α”的充分条件的所有序号是（ ）
A、①②④ B、②③
C、①④ D、②④
考点：直线与平面垂直的判定。
专题：综合题。
分析：l垂直α内的两条相交直线，即可得到l垂直α，或者直线l平行平面α的垂直直线；对选项逐一分析即可判定结果．
解答：解：①l垂直α内一凸五边形的两条边；如果这两条边平行，则l不垂直平面α；
②l垂直α内三条都不平行的直线；这个显然正确；
③l垂直α内无数条直线；如果这无数条直线都平行，则l不垂直平面α；
④l垂直α内正六边形的三条边；三条边中必有两条相交直线，所以正确；
⑤a垂直α，l垂直a．不能说明a与l的关系，所以不正确；
故选D．
点评：本题考查直线与平面垂直的判定，是基础题．
19、在空间中，设m，n为两条不同的直线，α，β为两个不同的平面，给定下列条件：
①α⊥β且m?β；②α∥β且m⊥β；③α⊥β且m∥β；④m⊥n且n∥α，其中可以判定m⊥α的有（ ）
A、1个 B、2个
C、3个 D、4个
考点：直线与平面垂直的判定。
专题：综合题。
分析：结合直线与平面垂直的判定方法，结合选项．利用排除法找出正确的命题即可
解答：解：①?m⊥α或m∥α或m与α相交，①错误
②?m⊥α，②正确
③?m⊥α或m?α，③错误21cnjy
④?m?α或m⊥α，④错误
故选A
点评：本题主要考查了直线与平面垂直的各种判定方法的运用，熟练掌握基本定理及性质，具备综合运用性质的能力是解决本题的关键，另外还要注意结合选项进行排除明显错误的选项，找出正确的答案的方法的应用．
20、设a，b为两个不重合的平面，l，m，n为两两不重合的直线，给出下列四个命题：
①若a∥b，l⊥a，则l⊥b；②若m⊥a，n⊥a，m∥b，n∥b，则a∥b；③若l∥a，l⊥b，则a⊥b；④若m、n是异面直线，m∥a，n∥a，且l⊥m，l⊥n，则l⊥a．
其中真命题的序号是（ ）21cnjy
A、①③④ B、①②③
C、①③ D、②④
二、填空题（共5小题）
21、如图，在三棱锥P﹣ABC中，已知PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，则下面结论中正确的是： ①②③ ．
①平面EFG∥平面PBC
②平面EFG⊥平面ABC
③∠BPC是直线EF与直线PC所成的角
④∠FEG是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面角．
考点：棱锥的结构特征；异面直线及其所成的角；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定；二面角的平面角及求法。
专题：计算题。
分析：结合已知中PC⊥BC，PC⊥AC，点E，F，G分别是所在棱的中点，结合三角形的中位线定理和面面垂直的判定定理，可以判断①的真假；根据面面垂直的判定定理，可以判断②的真假；根据异面直线夹角的定义，可以判断③的真假，根据二面角的定义可以判断④的真假．
解答：解：由已知中E，F，G分别是所在棱的中点，
则EF∥PB，EG∥BC，由面面平行的判定定理可得①正确；
由PC⊥BC，PC⊥AC，结合线面垂直的判定定理可得PC⊥平面ABC，又由FC∥PC，则FC⊥平面ABC
再由面面垂直的判定定理，可得平面EFG⊥平面ABC，故②正确；
∵EF∥BP，故③∠BPC是直线EF与直线PC所成的角正确
∵FE与AB不垂直，GE与AB也不垂直，故④∠FEG不是平面PAB与平面ABC所成二面角的平面，即④错误；
故答案为：①②③
点评：本题考查的知识点是棱锥的结构特征，异面直线及其所成的角，直线与平面平行的判定，直线与平面垂直的判定，二面角的平面角及求法，熟练掌握空间直线与平面垂直及平行的判定定理及异面直线夹角和二面角的定义是解答本题的关键．
22、如图，ABCD﹣A1B1C1D1为正方体，下面结论错误的序号是 ④ ．
①BD∥平面CB1D1；21cnjy
②AC1⊥BD；
③AC1⊥平面CB1D1；
④异面直线AD与CB1所成角为60°．
21cnjy
考点：异面直线的判定；直线与平面平行的判定；直线与平面垂直的判定。21cnjy
专题：证明题。
分析：利用正方体的性质，利用线线平行的判定，线面平行、垂直的判定和性质，逐一分析研究各个选项的正确性．
解答：解：由正方体的性质得，BD∥B1D1，所以，BD∥平面CB1D1；故①正确．
由正方体的性质得 AC⊥BD，而AC是AC1在底面ABCD内的射影，由三垂线定理知，AC1⊥BD，故②正确．
由正方体的性质得 BD∥B1D1，由②知，AC1⊥BD，所以，AC1⊥B1D1，同理可证AC1⊥CB1，
故AC1垂直于平面CB1D1内的2条相交直线，所以，AC1⊥平面CB1D1，故③成立．
异面直线AD与CB1所成角就是BC与CB1所成角，故∠BCB1为异面直线AD与CB1所成角，
等腰直角三角形BCB1中，∠BCB1=45°，故④不正确．
故答案为：④．
点评：本题考查线面平行的判定，利用三垂线定理证明2条直线垂直，线面垂直的判定，求异面直线成的角．
23、已知m，n是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，有下列4个命题：
①若m∥n，n?α，则m∥α；
②若m⊥n，m⊥α，n?α，则n∥α；
③若α⊥β，m⊥α，n⊥β，则m⊥n；
④若m，n是异面直线，m?α，n?β，m∥β，则n∥α．其中正确的命题有 ②③ ．
24、在正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，M是BC的中点，G是△PAD的重心，则在平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线有 无数 条．
考点：空间中直线与直线之间的位置关系；直线与平面垂直的判定。21cnjy
专题：计算题；综合题；探究型。
分析：根据正四棱锥P﹣ABCD中，PA=AB，M是BC的中点，利用勾股定理即可求出PM与AB的关系，利用勾股定理证明PM⊥PN，利用线面垂直的判定定理可证PM⊥面PAD，因此可求平面PAD中经过G点且与直线PM垂直的直线的条数．
解答：解：设正四棱锥的底面边长为a，则侧棱长为a．21cnjy
由PM⊥BC，
∴PM=a．
连接PG并延长与AD相交于N点
则PN=a，MN=AB=a，
∴PM2+PN2=MN2，
∴PM⊥PN，又PM⊥AD，
∴PM⊥面PAD，
∴在平面PAD中经过G点的任意一条直线都与PM垂直．21*cnjy*com
故答案为无数．
点评：此题是个中档题．考查直线与平面垂直的判断和性质定理，以及空间中直线的位置关系，学生利用知识分析解决问题的能力．
25、已知集合A、B、C，A={直线}，B={平面}，C=A∪B，若a∈A，b∈B，c∈C，下列命题中：①；②；③；④
正确命题的序号为 ②③④ （注：把你认为正确的序号都填上）
三、解答题（共5小题）21cnjy
26、如图1，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D为侧棱PC上一点，它的正（主）视图和侧（左）视图如图2所示．
（Ⅰ）证明：AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求三棱锥D﹣ABC的体积；
（Ⅲ）在∠ACB的平分线上确定一点Q，使得PQ∥平面ABD，并求此时PQ的长．
考点：由三视图求面积、体积；直线与平面平行的性质；直线与平面垂直的判定。21*cnjy*com
专题：证明题；综合题。
分析：（Ⅰ）证明AD垂直平面PBC内的两条相交直线PC、BC，即可证明AD⊥平面PBC；
（Ⅱ）求出三棱锥的底面ABC的面积，求出高BC，再求三棱锥D﹣ABC的体积；
（Ⅲ）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求，证明PQ平行平面ABD内的直线OD，即可证明PQ∥平面ABD，在直角△PAQ中，求此时PQ的长．
解答：解：（Ⅰ）因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC，
又AC⊥BC，所以BC⊥平面PAC，（2分）
所以BC⊥AD．（3分）
由三视图可得，在△PAC中，PA=AC=4，D为PC中点，所以AD⊥PC，（4分）
所以AD⊥平面PBC，（5分）
（Ⅱ）由三视图可得BC=4，
由（Ⅰ）知∠ADC=90°，BC⊥平面PAC，
又三棱锥D﹣ABC的体积即为三棱锥B﹣ADC的体积，（7分）
所以，所求三棱锥的体积．（9分）
（Ⅲ）取AB的中点O，连接CO并延长至Q，使得CQ=2CO，点Q即为所求．（10分）21*cnjy*com
因为O为CQ中点，所以PQ∥OD，
因为PQ?平面ABD，OD?平面ABD，
所以PQ∥平面ABD，（12分）
连接AQ，BQ，四边形ACBQ的对角线互相平分，
所以ACBQ为平行四边形，
所以AQ=4，又PA⊥平面ABC，
所以在直角△PAQ中，．（14分）
点评：本题考查由三视图求面积、体积，直线与平面平行的性质，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，计算能力，是中档题．
27、如图，是某三棱柱被截去一部分后的直观图与三视图的侧视图、俯视图，在直观图中，CF=2AD，M是DF的中点．侧视图是边长为2的等边三角形；俯视图是直角梯形，．有关数据如图所示．21*cnjy*com
（1）求该几何体的体积；
（2）求证：EM⊥平面ACDF．
则OA⊥BC，∴OA⊥平面BCFE，OA⊥OR．
又∵OR⊥BC，以O为原点，OB，OR，OA所在直线分别为x，y，z轴，
建立空间直角坐标系，则B（1，0，0），D（0，2，），E（1，3，0），F（﹣1，4，0）
设平面DEF的法向量为
∵∵
∴
令
设平面ABED的法向量
∵
，∴
令，∴
∴∴=，
显然二面角B﹣DE﹣F的平面角为钝角，
所以二面角B﹣DE﹣F的余弦值为．（12分）21*cnjy*com
点评：本题考查三视图求体积，求组合几何体的面积、体积问题，考查学生空间想象能力，逻辑思维能力，解答的关键是建立空间坐标系后利用空间向量解决，是中档题．
28、在长方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB=BC=2，过A1、C1、B三点的平面截去长方体的一个角后．得到如图所示的几何体ABCD﹣A1C1D1，且这个几何体的体积为．
（1）求A1A的长；21*cnjy*com
（2）在线段BC1上是否存在点P，使直线A1P与C1D垂直，如果存在，求线段A1P的长，如果不存在，请说明理由．
考点：组合几何体的面积、体积问题；直线与平面垂直的判定。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）利用体积转化，求A1A的长；
（2）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，过Q作QP∥CB交BC1于点P，推出A1P⊥C1D，证明A1P⊥C1D，推出△D1C1Q∽Rt△C1CD，再求求线段A1P的长．
解答：解：（1）∵
=，∴AA1=4．（5分）21*cnjy*com
（2）在平面CC1D1D中作D1Q⊥C1D交CC1于Q，
过Q作QP∥CB交BC1于点P，则A1P⊥C1D．（7分）21*cnjy*com
因为A1D1⊥平面CC1D1D，C1D?平面CC1D1D，
∴C1D⊥A1D1，而QP∥CB，CB∥A1D1，∴QP∥A1D1，
又∵A1D1∩D1Q=D1，∴C1D⊥平面A1PQC1，
且A1P?平面A1PQC1，∴A1P⊥C1D．（10分）
∵△D1C1Q∽Rt△C1CD，21*cnjy*com
∴
．
∵四边形A1PQD1为直角梯形，且高，
∴．（14分）
点评：本题考查组合几何体的面积、体积问题，直线与平面垂直的判定，考查空间想象能力，逻辑思维能力，是中档题．
29、如图，已知平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1的底面ABCD上菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，
（1）证明：C1C⊥BD；
（2）当的值为多少时，能使A1C⊥平面C1BD？请给出证明．
考点：棱柱的结构特征；直线与平面垂直的判定。
专题：计算题；转化思想。
分析：（1）连接A1C1、AC和BD交于O，连接C1O．证明BD垂直平面平面AC1内的两条相交直线AC，C1O，即可证明C1C⊥BD；
（2）当时，能使A1C⊥平面C1BD，A1C与C1O相交于G，说明点G是正三角形C1BD的中心，证明CG⊥平面C1BD，即可证明A1C⊥平面C1BD．
解答：（1）证明：如图，连接A1C1、AC和BD交于O，连接C1O．
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，BC=CD．
又∵∠BCC1=∠DCC1，C1C=C1C，21*cnjy*com
∴△C1BC≌△C1DC，
∴C1B=C1D，
∵DO=OB
∴C1O⊥BD，（3分）
但AC⊥BD，AC∩C1O=O，21*cnjy*com
∴BD⊥平面AC1，
又C1C?平面AC1，
∴C1C⊥BD．（6分）
（2）当时，能使A1C⊥平面C1BD．21*cnjy*com
∵，
∴BC=CD=C1C，
又∠BCD=∠C1CB=∠C1CD，
由此可推得BD=C1B=C1D．
∴三棱锥C﹣C1BD是正三棱锥．（9分）
设A1C与C1O相交于G．
∵A1C1∥AC，且A1C1：OC=2：1，
∴C1G：GO=2：1．
又C1O是正三角形C1BD的BD边上的高和中线，
∴点G是正三角形C1BD的中心，
∴CG⊥平面C1BD，
即A1C⊥平面C1BD．（12分）
点评：本小题主要考查直线与直线、直线与平面的关系，逻辑推理能力，考查空间想象能力，是中档题．
30、已知空间四边形ABCD中AB=BC，CD=DA，M，N，P，Q分别是边AB，BC，CD，DA的中点（如图）求证MNPQ是一个矩形．
