直线的斜率
一、选择题（共19小题）
1、下列四个函数图象，只有一个是符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（其中k1，k2，k3为正实数，b1，b2，b3为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，k1，k2，k3之间一定成立的关系是（ ）
A、k1=k2=k3 B、k1+k2=k3
C、k1+k2＞k3 D、k1+k2＜k3
2、已知直线l经过点A（cosθ，sin2θ），B（0，1），则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）21cnjy
A、[0，]∪[，π） B、
C、 D、
3、点A（4，0）B（1，）则直线AB的倾斜角为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
4、如图：直线L1的倾斜角α1=30°，直线L1⊥L2，则L2的斜率为（ ）
21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
5、直线3x+4y﹣1=0的倾斜角为α，则cosα的值为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
6、直线l的斜率为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A、[0°，90°] B、（0°，90°）
C、[90°，180°] D、（90°，180°）
7、过点A（3，﹣4），B（﹣2，m）的直线L的斜率为﹣2，则m的值为（ ）
A、6 B、1
C、2 D、4
8、已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A、 B、
C、k≥2或 D、k≤2
9、过两点A（7，4），B（4，8）的直线的斜率为（ ）21cnjy
A、 B、﹣
C、 D、﹣
10、已知直线l过点A（3，4），B（2，2）两点，则该直线的斜率等于（ ）
A、1 B、2
C、﹣2 D、
11、设点A（﹣1，2），B（2，﹣2），C（0，3），且点M（a，b）（a≠0）是线段AB上一点，则直线MC的斜率k的取值范围是（ ）
A、[ B、[﹣1，
C、[ D、（﹣∪[1，+∞）
12、将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（ ）
A、30° B、60°
C、120° D、150°
13、直线l方程为：x+2y+2011=0，则直线l的斜率为（ ）21世纪教育网
A、2 B、﹣2
C、 D、
14、将圆⊙C按向量=（﹣1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使=λ，求直线l的斜率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、﹣2 D、2
15、直线l的倾斜角为，则它的斜率是（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
16、过点（﹣2，2）且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线的斜率为（ ）
A、k=﹣2或k=﹣1 B、k=﹣2或
C、 D、k=﹣3或
17、已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（ ）
A、 B、
C、 D、前三个判断都不正确21*cnjy*com
18、已知，，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
19、已知直线的倾斜角的正弦值是，则此直线的斜率是（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共6小题）
20、如果实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值是 _________ ．21世纪教育网
21、直线L1，L2的方程分别为y=mx和y=nx（m，n≠0），L1的倾斜角是L2倾斜角的2倍，L1的斜率是L2的斜率的4倍，则mn= _________ ．
22、直线ax+by+c=0，ab＜0，则直线的斜率k= _________ ，倾斜角α= _________ ．21世纪教育网
23、经过点（﹣2，m）和（m，4）的直线的斜率为1，则该直线方程 _________ ．
24、已知直线l的斜率为k，经过点（1，﹣1），将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m，若直线m不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是 _________ ．
25、若直线l的一个法向量为，则直线l的倾斜角为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、（1977?上海）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．
27、平面上有相异两点A（cosθ，sin2θ）和B（0，1），求经过A、B两点直线的斜率及倾斜角的范围．
28、经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2）、B（2，1）的线段总有公共点．
（1）求直线l斜率k的范围；
（2）直线l倾斜角α的范围．
29、证明：过抛物线y=a（x﹣x1）?（x﹣x2）（a≠0，x1＜x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等．
30、一束光线从点A（﹣2，3）射入，经x轴上点P反射后，通过点B（5，7），求点P的坐标．
直线的斜率
一、选择题（共19小题）
1、下列四个函数图象，只有一个是符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（其中k1，k2，k3为正实数，b1，b2，b3为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，k1，k2，k3之间一定成立的关系是（ ）
A、k1=k2=k3 B、k1+k2=k3
C、k1+k2＞k3 D、k1+k2＜k3
2、已知直线l经过点A（cosθ，sin2θ），B（0，1），则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）21cnjy
A、[0，]∪[，π） B、
C、 D、
3、点A（4，0）B（1，）则直线AB的倾斜角为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
4、如图：直线L1的倾斜角α1=30°，直线L1⊥L2，则L2的斜率为（ ）
21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
5、直线3x+4y﹣1=0的倾斜角为α，则cosα的值为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
6、直线l的斜率为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A、[0°，90°] B、（0°，90°）
C、[90°，180°] D、（90°，180°）
7、过点A（3，﹣4），B（﹣2，m）的直线L的斜率为﹣2，则m的值为（ ）
A、6 B、1
C、2 D、4
8、已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A、 B、
C、k≥2或 D、k≤2
9、过两点A（7，4），B（4，8）的直线的斜率为（ ）21cnjy
A、 B、﹣
C、 D、﹣
10、已知直线l过点A（3，4），B（2，2）两点，则该直线的斜率等于（ ）
A、1 B、2
C、﹣2 D、
11、设点A（﹣1，2），B（2，﹣2），C（0，3），且点M（a，b）（a≠0）是线段AB上一点，则直线MC的斜率k的取值范围是（ ）
A、[ B、[﹣1，
C、[ D、（﹣∪[1，+∞）
12、将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（ ）
A、30° B、60°
C、120° D、150°
13、直线l方程为：x+2y+2011=0，则直线l的斜率为（ ）21世纪教育网
A、2 B、﹣2
C、 D、
14、将圆⊙C按向量=（﹣1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使=λ，求直线l的斜率为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、﹣2 D、2
15、直线l的倾斜角为，则它的斜率是（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
16、过点（﹣2，2）且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线的斜率为（ ）
A、k=﹣2或k=﹣1 B、k=﹣2或
C、 D、k=﹣3或
17、已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（ ）
A、 B、
C、 D、前三个判断都不正确21*cnjy*com
18、已知，，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A、
B、
C、
D、
19、已知直线的倾斜角的正弦值是，则此直线的斜率是（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共6小题）
20、如果实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值是 _________ ．21世纪教育网
21、直线L1，L2的方程分别为y=mx和y=nx（m，n≠0），L1的倾斜角是L2倾斜角的2倍，L1的斜率是L2的斜率的4倍，则mn= _________ ．
22、直线ax+by+c=0，ab＜0，则直线的斜率k= _________ ，倾斜角α= _________ ．21世纪教育网
23、经过点（﹣2，m）和（m，4）的直线的斜率为1，则该直线方程 _________ ．
24、已知直线l的斜率为k，经过点（1，﹣1），将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m，若直线m不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是 _________ ．
25、若直线l的一个法向量为，则直线l的倾斜角为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
26、（1977?上海）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．
27、平面上有相异两点A（cosθ，sin2θ）和B（0，1），求经过A、B两点直线的斜率及倾斜角的范围．
28、经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2）、B（2，1）的线段总有公共点．
（1）求直线l斜率k的范围；
（2）直线l倾斜角α的范围．
29、证明：过抛物线y=a（x﹣x1）?（x﹣x2）（a≠0，x1＜x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等．
30、一束光线从点A（﹣2，3）射入，经x轴上点P反射后，通过点B（5，7），求点P的坐标．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、下列四个函数图象，只有一个是符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（其中k1，k2，k3为正实数，b1，b2，b3为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，k1，k2，k3之间一定成立的关系是（ ）
A、k1=k2=k3 B、k1+k2=k3
C、k1+k2＞k3 D、k1+k2＜k3
考点：函数的图象；直线的斜率。
专题：图表型。
分析：由于k1，k2，k3为正实数，考虑当x足够小时和当x足够大时的情形去掉绝对值符号，转化为关于x的一次函数，通过观察直线的斜率特征即可进行判断．
解答：解：当x足够小时y=﹣（k1+k2﹣k3）x﹣（b1+b2﹣b3）
当x足够大时y=（k1+k2﹣k3）x+（b1+b2﹣b3）
可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有③符合条件．此时k1+k2﹣k3=0．21*cnjy*com
故选A．
点评：本小题主要考查函数图象的应用、直线的斜率等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想、极限思想．属于基础题．
2、已知直线l经过点A（cosθ，sin2θ），B（0，1），则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）21世纪教育网
A、[0，]∪[，π） B、
C、 D、
考点：直线的倾斜角；三角函数的化简求值；直线的斜率。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：根据题意可知cosθ≠0故直线l的倾斜角不为则根据直线的倾斜角与斜率的关系可得tanα==﹣cosθ∈[﹣1，0）∪（0，1]然后结合正切函数的图象即可得出倾斜角α的取值范围．21世纪教育网
解答：解：由题意可知cosθ=0时sin2θ=1故A（0，1）与B点重合故coscosθ≠0
可设直线l的倾斜角为α
则tanα==﹣cosθ∈[﹣1，0）∪（0，1]
故根据正切函数的图象可得α∈（0，]∪[，π）
故答案选A
点评：本题主要考察了有直线的斜率求直线的倾斜角．解题的关键是先分析出直线l的倾斜角不为然后求出tanα的取值范围，同时正切函数在[0，π）的图象也是本题考察的重点！
3、点A（4，0）B（1，）则直线AB的倾斜角为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、如图：直线L1的倾斜角α1=30°，直线L1⊥L2，则L2的斜率为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：直线的倾斜角；直线的斜率。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由题意可得L2的倾斜角等于30°+90°=120°，从而得到L2的斜率为 tan120°，运算求得结果．
解答：解：如图：直线L1的倾斜角α1=30°，直线L1⊥L2，则L2的倾斜角等于30°+90°=120°，
∴L2的斜率为 tan120°=﹣tan60°=﹣，21世纪教育网
故选C．
点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
5、直线3x+4y﹣1=0的倾斜角为α，则cosα的值为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：直线的倾斜角；直线的斜率。
分析：求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，然后根据同角三角函数的关系求出结果．
解答：解：由直线 3x+4y﹣1=0可知：直线的斜率k=tanα=﹣
∵α∈（0，π）
∴cosα=﹣，
故选D．
点评：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．
6、直线l的斜率为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A、[0°，90°] B、（0°，90°）
C、[90°，180°] D、（90°，180°）
7、过点A（3，﹣4），B（﹣2，m）的直线L的斜率为﹣2，则m的值为（ ）21世纪教育网
A、6 B、1
C、2 D、4
考点：直线的斜率。
分析：由过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点的直线的斜率公式k=，（x1≠x2）可求之．
解答：解：直线L的斜率可表示为，
又知直线L的斜率为﹣2，所以，
解得m=6．
故选A．
点评：本题考查两点表示直线斜率的公式．21世纪教育网
8、已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A、 B、
C、k≥2或 D、k≤2
考点：直线的斜率。
分析：首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．21世纪教育网
解答：解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，
结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．
故选C．
点评：本题考查直线斜率公式及斜率变化情况．
9、过两点A（7，4），B（4，8）的直线的斜率为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、﹣
C、 D、﹣
10、已知直线l过点A（3，4），B（2，2）两点，则该直线的斜率等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、221世纪教育网版权所有
C、﹣2 D、
考点：直线的斜率。
专题：计算题。
分析：根据两点坐标求出直线l的斜率即可．
解答：解：直线l的斜率k==2
故选B
点评：此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题．
11、设点A（﹣1，2），B（2，﹣2），C（0，3），且点M（a，b）（a≠0）是线段AB上一点，则直线MC的斜率k的取值范围是（ ）
A、[ B、[﹣1，
C、[ D、（﹣∪[1，+∞）
考点：直线的斜率。
专题：计算题。
分析：根据题意可得k≤KBC，或 k≥KAC，即 k≤，或 k≥，解不等式求得斜率k的取值范围．
解答：解：由题意可得k≤KBC，或 k≥KAC，∴k≤，或 k≥，
∴k≤﹣，或 k≥1，
故选D．
点评：本题考查直线的斜率公式的应用，得到k≤，或 k≥，是解题的关键．
12、将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（ ）
A、30° B、60°
C、120° D、150°
考点：直线的斜率。
专题：计算题；作图题。
分析：结合图象，由题意知直线l1l3互相垂直，不难推出l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角．21世纪教育网版权所有
解答：解：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，
注意到k1k3=﹣1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，21世纪教育网版权所有
直线l2到直线l3的角是30°，
故选A．
点评：本题考查直线与直线所成的角，以及到角公式，是基础题．21世纪教育网版权所有
13、直线l方程为：x+2y+2011=0，则直线l的斜率为（ ）
A、2 B、﹣2
C、 D、
14、将圆⊙C按向量=（﹣1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使=λ，求直线l的斜率为（ ）
A、 B、
C、﹣2 D、2
考点：直线的斜率。
专题：计算题；综合题。
分析：由题意=λ，结合直线l与⊙O相交于A、B两点，推出⊥，然后求出OC 的斜率，推出直线l的斜率．
解答：解：∵=λ，
且||=||，∴⊥，∥．
∴kAB=．
故选A．
点评：本题考查直线的斜率，向量的运算，是基础题．21世纪教育网版权所有
15、直线l的倾斜角为，则它的斜率是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：直线的斜率。
专题：计算题。
分析：直接根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论．
解答：解：因为直线的斜率k和倾斜角θ的关系是：k=tanθ21世纪教育网版权所有
∴倾斜角为时，对应的斜率k=tan=．
故选：D．
点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率之间的关系以及计算能力，属于基础题目．做这一类型题目的关键是熟悉公式．
16、过点（﹣2，2）且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线的斜率为（ ）
A、k=﹣2或k=﹣1 B、k=﹣2或
C、 D、k=﹣3或21世纪教育网版权所有
17、已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（ ）
A、 B、
C、 D、前三个判断都不正确21世纪教育网版权所有
考点：直线的斜率。
专题：综合题。
分析：根据直线斜率的求法可知分别为圆弧上两点的斜率，由图象和0＜x1＜x2＜1可知其大小关系．21世纪教育网版权所有
解答：解：∵可视为曲线上两点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））的斜率，且0＜x1＜x2＜1，
根据图象易得．21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：此题要求学生掌握直线斜率的求法，灵活运用数形结合的数学思想解决实际问题，是一道综合题．
18、已知，，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：直线的斜率。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：如图所示：直线l的斜率k大于或等于OA的斜率或直线l的斜率k小于或等于OB的斜率，很据直线的斜率公式列出不等式，求出直线l的斜率的取值范围．
解答：解：如图所示：直线l的斜率k大于或等于OA的斜率或直线l的斜率k小于或等于OB的斜率，
故k≥，或k≤． 即 k≥，或 k≤．
故选D．
点评：本题考查直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．21世纪教育网版权所有
19、已知直线的倾斜角的正弦值是，则此直线的斜率是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共6小题）
20、如果实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值是 ．21世纪教育网版权所有
考点：函数的最值及其几何意义；直线的斜率。
专题：计算题。
分析：可看作与的乘积，而可看作点（x，y）与原点连线的斜率，所以问题转化为求圆上一点与原点连线中斜率最大值的问题．
解答：解：设=k，则y=kx，
所以k为过原点与圆x2+y2﹣4x+1=0上点连线的斜率．
由几何意义知，k=tan600=，
所以的最大值是．
也就是的最大值是．
故应填．
点评：考查的几何意义，类似于本题中这样的分式形式求最值时一般都转化为求直线的斜率来解决．
21、直线L1，L2的方程分别为y=mx和y=nx（m，n≠0），L1的倾斜角是L2倾斜角的2倍，L1的斜率是L2的斜率的4倍，则mn= 2 ．
22、直线ax+by+c=0，ab＜0，则直线的斜率k= ﹣ ，倾斜角α= arctan（﹣） ．
考点：直线的倾斜角；直线的斜率。
专题：计算题。
分析：由已知中直线的一般方程ax+by+c=0，由ab＜0，故直线的斜率一定存在，将直线方程化为斜截式，易得到直线的斜率，进而利用反正切函数可表示出其倾斜角．
解答：解：∵ab＜0，故a≠0
则直线ax+by+c=0可化为：y=﹣x﹣
即直线直线的斜率k=﹣，且k＞0
则直线ax+by+c=0的倾斜角α=arctan（﹣）21世纪教育网版权所有
故答案为：﹣，arctan（﹣）
点评：本题考查的知识点是直线的倾斜角，直线的斜率，其中将直线的一般方程化为斜截式方程，求出直线的斜率是解答本题的关键．
23、经过点（﹣2，m）和（m，4）的直线的斜率为1，则该直线方程 x﹣y+3=0 ．
考点：直线的斜率。
专题：计算题。
分析：有斜率公式求出 m的值，进而得到已知点的坐标，点斜式写出直线方程，再化为一般式．
解答：解：∵经过点（﹣2，m）和（m，4）的直线的斜率为1，
∴1=，m=1，
∴（m，4）即 （1，4），
点斜式写直线的方程 y﹣4=x﹣1，即 x﹣y+3=0．
点评：本题考查直线的斜率公式，直线方程的点斜式及一般式．本题也可以用两点式写出直线方程，然后再化为一般式．
24、已知直线l的斜率为k，经过点（1，﹣1），将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m，若直线m不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是 0≤k≤ ．
25、若直线l的一个法向量为，则直线l的倾斜角为 ．
考点：直线的斜率。
专题：计算题。
分析：先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，进而求得直线l的倾斜角．
解答：解：∵直线l的一个法向量为，则直线l的一个方向向量为（﹣1，），设直线l的倾斜角为α，
则有 tanα==﹣，又 0≤α＜π，∴α=，21世纪教育网版权所有
故答案为：．
点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，直线的法向量和方向向量的定义．
三、解答题（共5小题）
26、（1977?上海）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．
考点：直线的倾斜角；直线的斜率。
分析：将直线的一般式方程，转化为斜截式方程，不难得到直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系，进一步可以求出直线的倾斜角，根据直线的方程，可用描点法画出直线的图形．
解答：解：由
可得．斜率
倾角θ=arctg=150°．
点评：根据直线方程求直线的斜率和倾角，可以先将直线的方程化为斜截式方程，易得斜率，再根据倾斜角与斜率的关系，易根据反正切函数得到直线的倾斜角，任取满足直线方程的两个点，利用描点法可画出直线的图象．
27、平面上有相异两点A（cosθ，sin2θ）和B（0，1），求经过A、B两点直线的斜率及倾斜角的范围．
点评：本题主要考查直线斜率公式及斜率与倾斜角的关系，同时考查三角函数的基本知识．
28、经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2）、B（2，1）的线段总有公共点．
（1）求直线l斜率k的范围；
（2）直线l倾斜角α的范围．
考点：直线的倾斜角；直线的斜率。
专题：计算题。
分析：（1），，由l与线段AB相交，知kpA≤k≤kpB．由此能求出直线l斜率k的范围．（2）由0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0，知由于及均为减函数，由此能求出直线l倾斜角α的范围．
解答：解：（1）…（2分）
…（4分）
∵l与线段AB相交，
∴kpA≤k≤kpB∴﹣1≤k≤1…（8分）
（2）由（1）知0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0
由于及均为减函数21世纪教育网版权所有
∴…（12分）
点评：本题考查直线的倾斜角和直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
29、证明：过抛物线y=a（x﹣x1）?（x﹣x2）（a≠0，x1＜x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等．
考点：直线的斜率；直线的倾斜角。
分析：本题考查的主要知识点是导数，由过A（x1，0）、B（x2，0）两点的切线，与x轴所成的锐角相等，我们可得到两条直线的倾斜角相等或互补，则它们的斜率的绝对值应该相等，故利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可．
解答：解：y′=2ax﹣a（x1+x2），
y′|=a（x1﹣x2），即kA=a（x1﹣x2），21世纪教育网版权所有
y′|=a（x2﹣x1），即kB=a（x2﹣x1）．
设两条切线与x轴所成的锐角为α、β，
则tanα=|kA|=|a（x1﹣x2）|，21世纪教育网版权所有
tanβ=|kB|=|a（x2﹣x1）|，
故tanα=tanβ．
又α、β是锐角，则α=β．
点评：在解题过程中，由tanα=tanβ不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β．
30、一束光线从点A（﹣2，3）射入，经x轴上点P反射后，通过点B（5，7），求点P的坐标．
答案与评分标准
一、选择题（共19小题）
1、下列四个函数图象，只有一个是符合y=|k1x+b1|+|k2x+b2|﹣|k3x+b3|（其中k1，k2，k3为正实数，b1，b2，b3为非零实数）的图象，则根据你所判断的图象，k1，k2，k3之间一定成立的关系是（ ）
A、k1=k2=k3 B、k1+k2=k3
C、k1+k2＞k3 D、k1+k2＜k3
考点：函数的图象；直线的斜率。
专题：图表型。
分析：由于k1，k2，k3为正实数，考虑当x足够小时和当x足够大时的情形去掉绝对值符号，转化为关于x的一次函数，通过观察直线的斜率特征即可进行判断．
解答：解：当x足够小时y=﹣（k1+k2﹣k3）x﹣（b1+b2﹣b3）
当x足够大时y=（k1+k2﹣k3）x+（b1+b2﹣b3）
可见，折线的两端的斜率必定为相反数，此时只有③符合条件．此时k1+k2﹣k3=0．21*cnjy*com
故选A．
点评：本小题主要考查函数图象的应用、直线的斜率等基础知识，考查数形结合思想、化归与转化思想、极限思想．属于基础题．
2、已知直线l经过点A（cosθ，sin2θ），B（0，1），则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）21世纪教育网
A、[0，]∪[，π） B、
C、 D、
考点：直线的倾斜角；三角函数的化简求值；直线的斜率。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：根据题意可知cosθ≠0故直线l的倾斜角不为则根据直线的倾斜角与斜率的关系可得tanα==﹣cosθ∈[﹣1，0）∪（0，1]然后结合正切函数的图象即可得出倾斜角α的取值范围．21世纪教育网
解答：解：由题意可知cosθ=0时sin2θ=1故A（0，1）与B点重合故coscosθ≠0
可设直线l的倾斜角为α
则tanα==﹣cosθ∈[﹣1，0）∪（0，1]
故根据正切函数的图象可得α∈（0，]∪[，π）
故答案选A
点评：本题主要考察了有直线的斜率求直线的倾斜角．解题的关键是先分析出直线l的倾斜角不为然后求出tanα的取值范围，同时正切函数在[0，π）的图象也是本题考察的重点！
3、点A（4，0）B（1，）则直线AB的倾斜角为（ ）
A、 B、
C、 D、
4、如图：直线L1的倾斜角α1=30°，直线L1⊥L2，则L2的斜率为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：直线的倾斜角；直线的斜率。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：由题意可得L2的倾斜角等于30°+90°=120°，从而得到L2的斜率为 tan120°，运算求得结果．
解答：解：如图：直线L1的倾斜角α1=30°，直线L1⊥L2，则L2的倾斜角等于30°+90°=120°，
∴L2的斜率为 tan120°=﹣tan60°=﹣，21世纪教育网
故选C．
点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率的关系，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．
5、直线3x+4y﹣1=0的倾斜角为α，则cosα的值为（ ）21世纪教育网
A、 B、
C、 D、
考点：直线的倾斜角；直线的斜率。
分析：求出直线的斜率，再求直线的倾斜角，然后根据同角三角函数的关系求出结果．
解答：解：由直线 3x+4y﹣1=0可知：直线的斜率k=tanα=﹣
∵α∈（0，π）
∴cosα=﹣，
故选D．
点评：本题考查直线的斜率与倾斜角的关系，是基础题．
6、直线l的斜率为，则直线l的倾斜角的取值范围是（ ）
A、[0°，90°] B、（0°，90°）
C、[90°，180°] D、（90°，180°）
7、过点A（3，﹣4），B（﹣2，m）的直线L的斜率为﹣2，则m的值为（ ）21世纪教育网
A、6 B、1
C、2 D、4
考点：直线的斜率。
分析：由过A（x1，y1）、B（x2，y2）两点的直线的斜率公式k=，（x1≠x2）可求之．
解答：解：直线L的斜率可表示为，
又知直线L的斜率为﹣2，所以，
解得m=6．
故选A．
点评：本题考查两点表示直线斜率的公式．21世纪教育网
8、已知点A（2，3），B（﹣3，﹣2）．若直线l过点P（1，1）且与线段AB相交，则直线l的斜率k的取值范围是（ ）
A、 B、
C、k≥2或 D、k≤2
考点：直线的斜率。
分析：首先求出直线PA、PB的斜率，然后结合图象即可写出答案．21世纪教育网
解答：解：直线PA的斜率k==2，直线PB的斜率k′==，
结合图象可得直线l的斜率k的取值范围是k≥2或k≤．
故选C．
点评：本题考查直线斜率公式及斜率变化情况．
9、过两点A（7，4），B（4，8）的直线的斜率为（ ）21世纪教育网版权所有
A、 B、﹣
C、 D、﹣
10、已知直线l过点A（3，4），B（2，2）两点，则该直线的斜率等于（ ）21世纪教育网版权所有
A、1 B、221世纪教育网版权所有
C、﹣2 D、
考点：直线的斜率。
专题：计算题。
分析：根据两点坐标求出直线l的斜率即可．
解答：解：直线l的斜率k==2
故选B
点评：此题考查学生会根据两点坐标求过两点直线的斜率，是一道基础题．
11、设点A（﹣1，2），B（2，﹣2），C（0，3），且点M（a，b）（a≠0）是线段AB上一点，则直线MC的斜率k的取值范围是（ ）
A、[ B、[﹣1，
C、[ D、（﹣∪[1，+∞）
考点：直线的斜率。
专题：计算题。
分析：根据题意可得k≤KBC，或 k≥KAC，即 k≤，或 k≥，解不等式求得斜率k的取值范围．
解答：解：由题意可得k≤KBC，或 k≥KAC，∴k≤，或 k≥，
∴k≤﹣，或 k≥1，
故选D．
点评：本题考查直线的斜率公式的应用，得到k≤，或 k≥，是解题的关键．
12、将直线l1：y=2x绕原点逆时针旋转60°得直线l2，则直线l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角为（ ）
A、30° B、60°
C、120° D、150°
考点：直线的斜率。
专题：计算题；作图题。
分析：结合图象，由题意知直线l1l3互相垂直，不难推出l2到直线l3：x+2y﹣3=0的角．21世纪教育网版权所有
解答：解：记直线l1的斜率为k1，直线l3的斜率为k3，
注意到k1k3=﹣1，l1⊥l3，依题意画出示意图，结合图形分析可知，21世纪教育网版权所有
直线l2到直线l3的角是30°，
故选A．
点评：本题考查直线与直线所成的角，以及到角公式，是基础题．21世纪教育网版权所有
13、直线l方程为：x+2y+2011=0，则直线l的斜率为（ ）
A、2 B、﹣2
C、 D、
14、将圆⊙C按向量=（﹣1，2）平移后得到⊙O，直线l与⊙O相交于A、B两点，若在⊙O上存在点C，使=λ，求直线l的斜率为（ ）
A、 B、
C、﹣2 D、2
考点：直线的斜率。
专题：计算题；综合题。
分析：由题意=λ，结合直线l与⊙O相交于A、B两点，推出⊥，然后求出OC 的斜率，推出直线l的斜率．
解答：解：∵=λ，
且||=||，∴⊥，∥．
∴kAB=．
故选A．
点评：本题考查直线的斜率，向量的运算，是基础题．21世纪教育网版权所有
15、直线l的倾斜角为，则它的斜率是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：直线的斜率。
专题：计算题。
分析：直接根据倾斜角和斜率之间的关系即可得到结论．
解答：解：因为直线的斜率k和倾斜角θ的关系是：k=tanθ21世纪教育网版权所有
∴倾斜角为时，对应的斜率k=tan=．
故选：D．
点评：本题主要考查直线的倾斜角和斜率之间的关系以及计算能力，属于基础题目．做这一类型题目的关键是熟悉公式．
16、过点（﹣2，2）且与两坐标轴围成的三角形面积为1的直线的斜率为（ ）
A、k=﹣2或k=﹣1 B、k=﹣2或
C、 D、k=﹣3或21世纪教育网版权所有
17、已知函数f（x）（0≤x≤1）的图象的一段圆弧（如图所示）若0＜x1＜x2＜1，则（ ）
A、 B、
C、 D、前三个判断都不正确21世纪教育网版权所有
考点：直线的斜率。
专题：综合题。
分析：根据直线斜率的求法可知分别为圆弧上两点的斜率，由图象和0＜x1＜x2＜1可知其大小关系．21世纪教育网版权所有
解答：解：∵可视为曲线上两点（x1，f（x1））、（x2，f（x2））的斜率，且0＜x1＜x2＜1，
根据图象易得．21世纪教育网版权所有
故选C．
点评：此题要求学生掌握直线斜率的求法，灵活运用数形结合的数学思想解决实际问题，是一道综合题．
18、已知，，直线l过原点O且与线段AB有公共点，则直线l的斜率的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：直线的斜率。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：如图所示：直线l的斜率k大于或等于OA的斜率或直线l的斜率k小于或等于OB的斜率，很据直线的斜率公式列出不等式，求出直线l的斜率的取值范围．
解答：解：如图所示：直线l的斜率k大于或等于OA的斜率或直线l的斜率k小于或等于OB的斜率，
故k≥，或k≤． 即 k≥，或 k≤．
故选D．
点评：本题考查直线的斜率公式，体现了数形结合的数学思想，属于基础题．21世纪教育网版权所有
19、已知直线的倾斜角的正弦值是，则此直线的斜率是（ ）
A、 B、
C、 D、
二、填空题（共6小题）
20、如果实数x，y满足x2+y2﹣4x+1=0，则的最大值是 ．21世纪教育网版权所有
考点：函数的最值及其几何意义；直线的斜率。
专题：计算题。
分析：可看作与的乘积，而可看作点（x，y）与原点连线的斜率，所以问题转化为求圆上一点与原点连线中斜率最大值的问题．
解答：解：设=k，则y=kx，
所以k为过原点与圆x2+y2﹣4x+1=0上点连线的斜率．
由几何意义知，k=tan600=，
所以的最大值是．
也就是的最大值是．
故应填．
点评：考查的几何意义，类似于本题中这样的分式形式求最值时一般都转化为求直线的斜率来解决．
21、直线L1，L2的方程分别为y=mx和y=nx（m，n≠0），L1的倾斜角是L2倾斜角的2倍，L1的斜率是L2的斜率的4倍，则mn= 2 ．
22、直线ax+by+c=0，ab＜0，则直线的斜率k= ﹣ ，倾斜角α= arctan（﹣） ．
考点：直线的倾斜角；直线的斜率。
专题：计算题。
分析：由已知中直线的一般方程ax+by+c=0，由ab＜0，故直线的斜率一定存在，将直线方程化为斜截式，易得到直线的斜率，进而利用反正切函数可表示出其倾斜角．
解答：解：∵ab＜0，故a≠0
则直线ax+by+c=0可化为：y=﹣x﹣
即直线直线的斜率k=﹣，且k＞0
则直线ax+by+c=0的倾斜角α=arctan（﹣）21世纪教育网版权所有
故答案为：﹣，arctan（﹣）
点评：本题考查的知识点是直线的倾斜角，直线的斜率，其中将直线的一般方程化为斜截式方程，求出直线的斜率是解答本题的关键．
23、经过点（﹣2，m）和（m，4）的直线的斜率为1，则该直线方程 x﹣y+3=0 ．
考点：直线的斜率。
专题：计算题。
分析：有斜率公式求出 m的值，进而得到已知点的坐标，点斜式写出直线方程，再化为一般式．
解答：解：∵经过点（﹣2，m）和（m，4）的直线的斜率为1，
∴1=，m=1，
∴（m，4）即 （1，4），
点斜式写直线的方程 y﹣4=x﹣1，即 x﹣y+3=0．
点评：本题考查直线的斜率公式，直线方程的点斜式及一般式．本题也可以用两点式写出直线方程，然后再化为一般式．
24、已知直线l的斜率为k，经过点（1，﹣1），将直线向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到直线m，若直线m不经过第四象限，则直线l的斜率k的取值范围是 0≤k≤ ．
25、若直线l的一个法向量为，则直线l的倾斜角为 ．
考点：直线的斜率。
专题：计算题。
分析：先根据直线的法向量，求出直线的一个方向向量，由此求出直线的斜率，进而求得直线l的倾斜角．
解答：解：∵直线l的一个法向量为，则直线l的一个方向向量为（﹣1，），设直线l的倾斜角为α，
则有 tanα==﹣，又 0≤α＜π，∴α=，21世纪教育网版权所有
故答案为：．
点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，倾斜角的取值范围，已知三角函数值求角的大小，直线的法向量和方向向量的定义．
三、解答题（共5小题）
26、（1977?上海）求直线的斜率和倾角，并画出它的图形．
考点：直线的倾斜角；直线的斜率。
分析：将直线的一般式方程，转化为斜截式方程，不难得到直线的斜率，再根据倾斜角与斜率的关系，进一步可以求出直线的倾斜角，根据直线的方程，可用描点法画出直线的图形．
解答：解：由
可得．斜率
倾角θ=arctg=150°．
点评：根据直线方程求直线的斜率和倾角，可以先将直线的方程化为斜截式方程，易得斜率，再根据倾斜角与斜率的关系，易根据反正切函数得到直线的倾斜角，任取满足直线方程的两个点，利用描点法可画出直线的图象．
27、平面上有相异两点A（cosθ，sin2θ）和B（0，1），求经过A、B两点直线的斜率及倾斜角的范围．
点评：本题主要考查直线斜率公式及斜率与倾斜角的关系，同时考查三角函数的基本知识．
28、经过点P（0，﹣1）作直线l，若直线l与连接A（1，﹣2）、B（2，1）的线段总有公共点．
（1）求直线l斜率k的范围；
（2）直线l倾斜角α的范围．
考点：直线的倾斜角；直线的斜率。
专题：计算题。
分析：（1），，由l与线段AB相交，知kpA≤k≤kpB．由此能求出直线l斜率k的范围．（2）由0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0，知由于及均为减函数，由此能求出直线l倾斜角α的范围．
解答：解：（1）…（2分）
…（4分）
∵l与线段AB相交，
∴kpA≤k≤kpB∴﹣1≤k≤1…（8分）
（2）由（1）知0≤tanα≤1或﹣1≤tanα＜0
由于及均为减函数21世纪教育网版权所有
∴…（12分）
点评：本题考查直线的倾斜角和直线的斜率的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意合理地进行等价转化．
29、证明：过抛物线y=a（x﹣x1）?（x﹣x2）（a≠0，x1＜x2）上两点A（x1，0）、B（x2，0）的切线，与x轴所成的锐角相等．
考点：直线的斜率；直线的倾斜角。
分析：本题考查的主要知识点是导数，由过A（x1，0）、B（x2，0）两点的切线，与x轴所成的锐角相等，我们可得到两条直线的倾斜角相等或互补，则它们的斜率的绝对值应该相等，故利用与x轴所成的锐角和倾斜角之间的关系，只要求出切线的斜率进行比较即可．
解答：解：y′=2ax﹣a（x1+x2），
y′|=a（x1﹣x2），即kA=a（x1﹣x2），21世纪教育网版权所有
y′|=a（x2﹣x1），即kB=a（x2﹣x1）．
设两条切线与x轴所成的锐角为α、β，
则tanα=|kA|=|a（x1﹣x2）|，21世纪教育网版权所有
tanβ=|kB|=|a（x2﹣x1）|，
故tanα=tanβ．
又α、β是锐角，则α=β．
点评：在解题过程中，由tanα=tanβ不能直接得α=β，还必须有α、β为锐角时（或在同一单调区间上时）才能得α=β．
30、一束光线从点A（﹣2，3）射入，经x轴上点P反射后，通过点B（5，7），求点P的坐标．
