两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系
一、选择题（共15小题）
1、已知P点在曲线F：y=x3﹣x上，且曲线F在点P处的切线与直线x+2y=0垂直，则点P的坐标为（ ）
A、（1，1） B、（﹣1，0）
C、（﹣1，0）或（1，0） D、（1，0）或（1，1）
2、两条直线x﹣y+6=0与x+y+6=0的夹角为（ ）
A、 B、
C、0 D、
3、直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）
A、 B、
C、y=3x﹣3 D、
4、直线L1：ax+（ 1﹣a ）y=3，L2：（ a﹣1 ）x+（ 2a+3 ）y=2互相垂直，则a的值是（ ）
A、0或﹣ B、1或﹣3
C、﹣3 D、1
5、已知两条直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（ ）
A、2 B、1
C、0 D、﹣1
6、直线y=kx与直线y=2x+1垂直，则k等于（ ）
A、﹣2 B、2
C、 D、
7、已知直线l1的倾斜角为，直线l2经过点A（3，2），B（a，﹣1），且l1与l2垂直，则a等于（ ）
A、﹣4 B、﹣2
C、0 D、2
8、已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是（ ）
A、﹣2 B、﹣7
C、3 D、1
9、设两直线L1，L2的方程分别为x+y，（a，b为常数，a为第三象限角），则L1与L2（ ）
A、平行 B、垂直
C、平行或重合 D、相交但不一定垂直
10、求过点P（3，2），并与直线x+4y﹣2=0垂直的直线的方程为（ ）
A、x﹣4y﹣11=0 B、x+4y﹣11=0
C、4x+y﹣10=0 D、4x﹣y﹣10=0
11、已知直线l1：y=x，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为（ ）
A、 B、
C、 D、
12、若直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，则a的值是（ ）
A、2 B、﹣3或1
C、2或0 D、1或0
13、直线l1：（3﹣m）x+（m﹣1）y﹣1=0和l2：（m﹣1）x+（1﹣2m）y+1=0互相垂直，那么m等于（ ）
A、1 B、
C、1或 D、3或4
14、过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A、x+2y﹣5=0 B、2x+y﹣4=0
C、x+3y﹣7=0 D、3x+y﹣5=0
15、过点（1，﹣1）且与直线3x﹣2y=0垂直的直线方程为（ ）
A、3x﹣2y﹣5=0 B、3x﹣2y+5=0
C、2x+3y﹣1=0 D、2x+3y+1=0
二、解答题（共3小题）
16、求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程
（1）与直线2x+y+5=0平行；
（2）与直线2x+y+5=0垂直．
17、已知直线x+2y=6和两坐标轴交于A，B两点，求AB线段垂直平分线的方程．
18、已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．
（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），并且直线l1与l2垂直；
（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
三、填空题（共12小题）
19、已知点P（1，1）和直线l：3x﹣4y﹣20=0，则过P与直线l平行的直线方程是 _________ ，过点P与l垂直的直线方程是 _________ ．
20、直线x﹣y+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是 _________ ．
21、a=1是直线y=ax+1与y=（a﹣2）x+3垂直的 _________ 条件．
22、已知直线l1：x+3y﹣5=0，l2：3kx﹣y+1=0．若l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k= _________ ．
23、已知m是整数，直线l1：mx+（m﹣1）y+2=0，l2：（m+6）x﹣（2m+1）y+3=0与y轴构成直角三角形，则m= _________ ．
24、“平面上两条直线的斜率的乘积等于﹣1”是这两条直线垂直的 _________ 条件．
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
25、已知A（﹣1，1）、B（3，1）、C（1，3），则△ABC的BC边上的高所在直线方程为 _________ ．
26、若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1），斜率为﹣的直线垂直，则实数a的值为 _________ ．
27、已知直线l与直线垂直，则直线l的倾斜角大小是 _________ ．
28、已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：ax﹣y+3a=0．若l1⊥l2，则a= _________ ．
29、已知b＞0，直线b2x+y+1=0与ax﹣（b2+4）y+2=0互相垂直，则ab的最小值为 _________ ．
30、已知直线ay﹣y+2a=0和（2a﹣1）x+ay+a=0互相垂直，则a= _________ ．
答案与评分标准
一、选择题（共15小题）
1、已知P点在曲线F：y=x3﹣x上，且曲线F在点P处的切线与直线x+2y=0垂直，则点P的坐标为（ ）
A、（1，1） B、（﹣1，0）
C、（﹣1，0）或（1，0） D、（1，0）或（1，1）
考点：函数的图象；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：曲线F在点P处的切线的斜率等于函数y=x3﹣x在此点的导数值，就是直线x+2y=0斜率的负倒数，先求出点P的横坐标，再代入函数关系式求出纵坐标，可得P的坐标．
解答：解：∵曲线F在点P处的切线与直线x+2y=0垂直∴曲线F在点P处的切线斜率为：2，
∵y′=3x2﹣1，由3x2﹣1=2得，x=±1，∴y=0，
∴点P的坐标为（1，0）或（﹣1，0）；
故选C．
点评：本题考查函数导数的几何意义．
2、两条直线x﹣y+6=0与x+y+6=0的夹角为（ ）
A、 B、
C、0 D、
考点：两条直线垂直的判定；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；两直线的夹角与到角问题。
专题：计算题。
分析：先求出两直线的斜率，然后利用斜率之积为﹣1，从而得出两直线互相垂直，从而得出结果．
解答：解：两条直线x﹣y+6=0与x+y+6=0的斜率分别为k=1和k′=﹣1，
由于k?k′=﹣1，
∴两直线垂直，
设两直线夹角为θ，两条直线x﹣y+6=0与x+y+6=0的夹角θ为，
故选 D．
点评：本题考查两直线的方程求斜率的方法，以及两直线的垂直的条件的应用．
3、直线y=3x绕原点逆时针旋转90°，再向右平移1个单位，所得到的直线为（ ）
A、 B、
C、y=3x﹣3 D、
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
分析：先利用两直线垂直写出第一次方程，再由平移写出第二次方程．
解答：解：∵直线y=3x绕原点逆时针旋转90°
∴两直线互相垂直
则该直线为，
那么将向右平移1个单位得，即
故选A．
点评：本题主要考查互相垂直的直线关系，同时考查直线平移问题．
4、直线L1：ax+（ 1﹣a ）y=3，L2：（ a﹣1 ）x+（ 2a+3 ）y=2互相垂直，则a的值是（ ）
A、0或﹣ B、1或﹣3
C、﹣3 D、1
5、已知两条直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，则a等于（ ）
A、2 B、1
C、0 D、﹣1
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
分析：两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直?am+bn=0解之即可．
解答：解：由y=ax﹣2，y=（a+2）x+1得ax﹣y﹣2=0，（a+2）x﹣y+1=0
因为直线y=ax﹣2和y=（a+2）x+1互相垂直，
所以a（a+2）+1=0，解得a=﹣1．
故选D．
点评：本题考查两直线垂直的条件．
6、直线y=kx与直线y=2x+1垂直，则k等于（ ）
A、﹣2 B、2
C、 D、
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：由于直线y=2x+1的斜率为2，所以直线y=kx的斜率存在，两条直线垂直，利用斜率之积为﹣1，直接求出k的值．
解答：解：直线y=kx与直线y=2x+1垂直，由于直线y=2x+1的斜率为2，
所以两条直线的斜率之积为﹣1，
所以k=
故选C．
点评：本题考查两条直线垂直的斜率关系，考查计算能力，是基础题．
7、已知直线l1的倾斜角为，直线l2经过点A（3，2），B（a，﹣1），且l1与l2垂直，则a等于（ ）
A、﹣4 B、﹣2
C、0 D、2
8、已知点A（1，﹣2），B（m，2），若线段AB的垂直平分线的方程是x+2y﹣2=0，则实数m的值是（ ）
A、﹣2 B、﹣7
C、3 D、1
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题；待定系数法。
分析：先利用线段的中点公式求出线段AB的终点坐标，再把中点坐标代入直线x+2y﹣2=0求得实数m的值．
解答：解：∵A（1，﹣2）和B（m，2）的中点在直线x+2y﹣2=0上，
∴．
∴m=3，
故选 C．
点评：本题考查求线段的中点坐标的方法，用待定系数法求参数的值．
9、设两直线L1，L2的方程分别为x+y，（a，b为常数，a为第三象限角），则L1与L2（ ）
A、平行 B、垂直
C、平行或重合 D、相交但不一定垂直
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
分析：由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0垂直?am+bn=0解之即可．
解答：解：由题意得sinα+?=sinα+|sinα|=sinα﹣sinα=0，
所以L1⊥L2，故选B．
点评：本题考查两直线垂直的条件．
10、求过点P（3，2），并与直线x+4y﹣2=0垂直的直线的方程为（ ）
A、x﹣4y﹣11=0 B、x+4y﹣11=0
C、4x+y﹣10=0 D、4x﹣y﹣10=0
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：设与直线x+4y﹣2=0垂直的直线的方程为 4x﹣y+m=0，把点P（3，2）代入可得m值，即得所求的直线方程．
解答：解：设 与直线x+4y﹣2=0垂直的直线的方程为 4x﹣y+m=0，把点P（3，2）代入可得，12﹣2+m=0，
∴m=﹣10，故所求的直线方程为 4x﹣y﹣10=0，故选 D．
点评：本题考查根据两直线垂直，斜率之积等于﹣1，用待定系数法求直线方程．设出所求的直线方程是解题的关键．
11、已知直线l1：y=x，若直线l2⊥l1，则直线l2的倾斜角为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
分析：两条直线垂直且斜率存在，则斜率的乘积为﹣1．
解答：解：∵l2⊥l1，∴k1?k2=﹣1，又k1=1∴k2=﹣1∴倾斜角为frac{3π}{4}，故选C．
点评：倾斜角的范围为【0，π）
12、若直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，则a的值是（ ）
A、2 B、﹣3或1
C、2或0 D、1或0
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题；分类讨论。
分析：分别表示出两直线的斜率，然后因为两直线垂直得到斜率乘积为﹣1，由a≠0得到关于a的方程求出解，当a=0代入讨论符合题意．
解答：解：由直线x+ay﹣a=0与直线ax﹣（2a﹣3）y﹣1=0互相垂直，得到k1?k2=﹣1，
当a≠0时﹣?=﹣1，解得a=2；
当a=0时，直线方程分别为x=0和3y﹣1=0满足互相垂直．
所以a=0或a=2
故选C
点评：此题学生掌握两直线垂直时斜率的乘积为﹣1，做题时应考虑斜率不存在时的情况，学生容易忽视这个解．
13、直线l1：（3﹣m）x+（m﹣1）y﹣1=0和l2：（m﹣1）x+（1﹣2m）y+1=0互相垂直，那么m等于（ ）
A、1 B、
C、1或 D、3或4
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：分类讨论。
分析：先检验两直线的斜率不存在时，是否两直线垂直，再看当两直线的斜率都存在时，据斜率之积等于0，求出m值．
解答：解：当m=1时，直线l1的斜率不存在，l2的斜率等于0，两直线互相垂直，故m=1满足条件．
当m=时，直线l1的斜率不等于0，l2的斜率不存在，两直线不互相垂直，故m=1不满足条件．
当m≠1且m≠时，根据两直线垂直，斜率之积等于﹣1得：×=﹣1，
解得 m=或m=1，综上，m=1或 m=，故选 C．
点评：本题考查两直线垂直的条件，要注意直线的斜率不存在时，要进行检验，体现了分类讨论的数学思想．
14、过点（1，2）且与原点距离最大的直线方程是（ ）
A、x+2y﹣5=0 B、2x+y﹣4=0
C、x+3y﹣7=0 D、3x+y﹣5=0
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：先根据垂直关系求出所求直线的斜率，由点斜式求直线方程，并化为一般式．
解答：解：设A（1，2），则OA的斜率等于2，故所求直线的斜率等于﹣，由点斜式求得所求直线的方程为
y﹣2=﹣（x﹣1），化简可得x+2y﹣5=0，故选A．
点评：本题考查用点斜式求直线方程的方法，求出所求直线的斜率，是解题的关键．
15、过点（1，﹣1）且与直线3x﹣2y=0垂直的直线方程为（ ）
A、3x﹣2y﹣5=0 B、3x﹣2y+5=0
C、2x+3y﹣1=0 D、2x+3y+1=0
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题；待定系数法。
分析：利用斜率都存在的两条直线垂直，斜率之积等于﹣1，设出所求直线的方程为2x+3y+m=0，把点（1，﹣1）代入
方程得到m值，即得所求的直线方程．
解答：解：设所求直线的方程为2x+3y+m=0，把点（1，﹣1）代入得 2﹣3+m=0，
∴m=1，故所求的直线方程为 2x+3y+1=0，
故选 D．
点评：本题考查两直线垂直的性质，两直线垂直，斜率之积等于﹣1．与直线3x﹣2y=0垂直的直线方程为 2x+3y+m=0的形式．
二、解答题（共3小题）
16、求经过直线l1：3x+4y﹣5=0与直线l2：2x﹣3y+8=0的交点M，且满足下列条件的直线方程
（1）与直线2x+y+5=0平行；
（2）与直线2x+y+5=0垂直．
17、已知直线x+2y=6和两坐标轴交于A，B两点，求AB线段垂直平分线的方程．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：求出AB的中点坐标，利用垂直关系求出AB线段垂直平分线的斜率，用点斜式求出AB线段垂直平分线的方程．
解答：解：∵直线x+2y=6和两坐标轴交于A，B两点，
∴A（6，0）、B（0，3），∴AB的中点为C（3，），
且AB的斜率等于=﹣，故AB线段垂直平分线的斜率等于2，
故AB线段垂直平分线的方程为y﹣=2（x﹣3），即4x﹣2y﹣9=0，
故AB线段垂直平分线的方程为4x﹣2y﹣9=0．
点评：本题考查用点斜式求直线方程，两直线垂直斜率之积等于﹣1，求出AB线段垂直平分线的斜率是解题的关键．
18、已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：（a﹣1）x+y+b=0．求分别满足下列条件的a，b的值．
（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），并且直线l1与l2垂直；
（2）直线l1与直线l2平行，并且坐标原点到l1，l2的距离相等．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：（1）利用直线l1过点（﹣3，﹣1），直线l1与l2垂直，斜率之积为﹣1，得到两个关系式，求出a，b的值．
（2）类似（1）直线l1与直线l2平行，斜率相等，坐标原点到l1，l2的距离相等，利用点到直线的距离相等．得到关系，求出a，b的值．
解答：解：（1）∵l1⊥l2，
∴a（a﹣1）+（﹣b）?1=0，即a2﹣a﹣b=0①
又点（﹣3，﹣1）在l1上，
∴﹣3a+b+4=0②
由①②得a=2，b=2．
（2）∵l1∥l2，∴=1﹣a，∴b=，
故l1和l2的方程可分别表示为：
（a﹣1）x+y+=0，（a﹣1）x+y+=0，
又原点到l1与l2的距离相等．
∴4||=||，∴a=2或a=，
∴a=2，b=﹣2或a=，b=2．
点评：本题考查两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系，两条直线平行与倾斜角、斜率的关系，考查计算能力，是基础题．
三、填空题（共12小题）
19、已知点P（1，1）和直线l：3x﹣4y﹣20=0，则过P与直线l平行的直线方程是 3x﹣4y+1=0 ，过点P与l垂直的直线方程是 4x+3y﹣7=0 ．
20、直线x﹣y+1=0上一点P的横坐标是3，若该直线绕点P逆时针旋转90°得直线l，则直线l的方程是 x+y﹣7=0 ．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：由题意得 直线l过点（3，4），且与直线x﹣y+1=0垂直，利用点斜式求得直线l的方程．
解答：解：由题意得 直线l过点（3，4），且与直线x﹣y+1=0垂直，故直线l的斜率为﹣1，
利用点斜式求得直线l的方程是y﹣4=﹣1（x﹣3），即x+y﹣7=0，
故答案为 x+y﹣7=0．
点评：本题考查两直线垂直的性质，用点斜式直线方程．
21、a=1是直线y=ax+1与y=（a﹣2）x+3垂直的 充要 条件．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：证明题。
分析：当 a=1时，经检验，两直线垂直；当直线y=ax+1与y=（a﹣2）x+3垂直时，由斜率之积等于﹣1得 a=1．
解答：解：当a=1时，直线y=ax+1，即 y=x+1，y=（a﹣2）x+3，即 y=﹣x+3，显然，两直线垂直．
当直线y=ax+1与y=（a﹣2）x+3垂直时，由斜率之积等于﹣1得 a（a﹣2）=﹣1，∴a=1．
综上，a=1是直线y=ax+1与y=（a﹣2）x+3垂直的充要条件，
故答案为 充要．
点评：本题考查两直线垂直的条件和性质，以及充要条件的定义．
22、已知直线l1：x+3y﹣5=0，l2：3kx﹣y+1=0．若l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，则k= 1 ．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：因为两个坐标轴互相垂直，l1，l2与两坐标轴围成的四边形有一个外接圆，存在一组对角等于90°的四边形一定有外接圆，
故有l1⊥l2，他们的斜率之积等于﹣1．
解答：解：由题意知，l1⊥l2，∴3 k﹣3=0，k=1．
故答案为：1．
点评：本题考查两条直线垂直的条件，直线的倾斜角、斜率间的关系，存在一组对角等于90°的四边形一定有外接圆．
23、已知m是整数，直线l1：mx+（m﹣1）y+2=0，l2：（m+6）x﹣（2m+1）y+3=0与y轴构成直角三角形，则m= 、或、或 0、或 6． ．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：分类讨论。
分析：由直线l1、l2、与y轴构成直角三角形能得到l1⊥l2，或l1、l2中有一个和y轴垂直，分别求出m值．
解答：解：∵直线l1、l2、与y轴构成直角三角形，∴l1⊥l2，或l1、l2中有一个和y轴垂直．
当l1⊥l2，若l1、l2中有一个斜率不存在，经检验两直线不垂直，若两直线的斜率都存在，
由?=﹣1得，m=．
当l1垂直于y轴时，m=0，满足条件； 当l2垂直于y轴时，m=﹣6，满足条件．
综上，满足条件的m值是=、或、或 0、或 6．
故答案为：、或、或 0、或 6．．
点评：本题考查两直线垂直的条件，两直线垂直，斜率之积等于﹣1，或一条直线的斜率为0而另一条直线斜率不存在．体现了分类讨论的数学思想．
24、“平面上两条直线的斜率的乘积等于﹣1”是这两条直线垂直的 充分不必要 条件．
（填“充分不必要”或“必要不充分”或“充要”或“既不充分也不必要”）
25、已知A（﹣1，1）、B（3，1）、C（1，3），则△ABC的BC边上的高所在直线方程为 x﹣y+2=0 ．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：利用BC边上的高所在直线过点A（﹣1，1），斜率为，用点斜式写出BC边上的高所在直线方程，并化为一般式．
解答：解：BC边上的高所在直线过点A（﹣1，1），斜率为==1，由点斜式写出BC边上的高所在直线方程为
y﹣1=x+1，即 x﹣y+2=0，
故答案为：x﹣y+2=0．
点评：本题考查两直线垂直时，斜率间的关系，用点斜式求直线方程的方法．
26、若直线l经过点（a﹣2，﹣1）和（﹣a﹣2，1），且与经过点（﹣2，1），斜率为﹣的直线垂直，则实数a的值为 ﹣ ．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：求出直线l的斜率，利用两条直线垂直斜率乘积为﹣1的关系，求出a的值即可．
解答：解：直线l的斜率k==﹣（a≠0），
∴﹣?（﹣）=﹣1，∴a=﹣．
故答案为：﹣
点评：本题是基础题，考查直线的垂直关系的应用，考查计算能力，送分题．
27、已知直线l与直线垂直，则直线l的倾斜角大小是 30° ．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：由两直线垂直，斜率之积等于﹣1可求斜率的值，由斜率的值及倾斜角的范围求出倾斜角的大小．
解答：解：设直线的倾斜角为α，则由两直线垂直斜率之积等于﹣1得tanα×（﹣）=﹣1，
∴tanα=，
∵0°≤α＜180°，
∴α=30°，
故答案为30°．
点评：本题考查直线的倾斜角和斜率的关系，两直线垂直的性质，以及倾斜角的范围．
28、已知直线l1：ax+y+2a=0，直线l2：ax﹣y+3a=0．若l1⊥l2，则a= ±1 ．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系。
专题：计算题。
分析：求出两条直线的斜率，利用两条直线的垂直关系，求出a的值．
解答：解：因为两条直线的斜率都存在，且l1⊥l2，
∴kl1?kl2=﹣1，
即（﹣a）?a=﹣1，
∴a=±1．
故答案为：±1
点评：本题考查两条直线的垂直条件的应用，是基础题．
29、已知b＞0，直线b2x+y+1=0与ax﹣（b2+4）y+2=0互相垂直，则ab的最小值为 4 ．
分析：当a=0 时，其中有一条直线的斜率不存在，经检验满足条件，当a≠0 时，两直线的斜率都存在，
由斜率之积等于﹣1，可求 a．
解答：解：当a=0 时，两直线分别为 y=0，和x=0，满足垂直这个条件，
当a≠0 时，两直线的斜率分别为a 和，由斜率之积等于﹣1得：a?=﹣1，
解得 a=1，综上，a=0 或a=1．
故答案为 0或1．
点评：本题考查两条直线垂直的条件，注意当直线的斜率不存在时，要单独检验，体现了分类讨论的数学思想．
