两条直线平行与倾斜角、斜率的关系
一、选择题(共17小题)
1、直线L1:ax+3y+1=0,L2:2x+(a+1)y+1=0,若L1∥L2,则a的值为( )
A、﹣3 B、2
C、﹣3或2 D、3或﹣2
2、 “a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的( )
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
3、两直线l1:(m﹣1)x﹣y+2=0,l2:(2m﹣1)x+(m+1)y﹣3=0互相平行,则实数m=( )
A、﹣1+ B、﹣1﹣
C、0或2 D、﹣1±
4、如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行,那么系数a=( )21*cnjy*com
A、﹣3 B、﹣6
C、 D、
5、下列命题中为真命题的是( )
A、平行直线的倾斜角相等
B、平行直线的斜率相等
C、互相垂直的两直线的倾斜角互补
D、互相垂直的两直线的斜率互为相反数
6、若直线l:x+ay+2=0平行于直线2x﹣y+3=0,则直线l在两坐标轴上截距之和是( )
A、6 B、2
C、﹣1 D、﹣2
7、已知A(﹣1,a)、B(a,8)两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行,则a的值为( )21*cnjy*com
A、﹣10 B、17
C、5 D、2
8、“m=2”是“直线2x+my=0与直线x+y=1平行”的( )
A、充要条件 B、充分而不必要条件
C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件
9、下列命题中正确的是( )21*cnjy*com
A、若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等
B、若两条直线的斜率不相等,则这两条直线可以平行
C、若两条直线垂直,则这两条直线的斜率之积等于﹣1
D、若两直线的斜率的积等于﹣1,则这两条直线垂直
10、已知直线l1:3x﹣y+5=0,l2:6x+ay+1=0,若l1∥l2,则a=( )21世纪教育网版权所有
A、2 B、
C、﹣2 D、
11、若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为a1,a2,斜率分别为k1,k2,则下列命题
(1)若l1∥l2,则斜率k1=k2; (2)若斜率k1=k2,则l1∥l2;
(3)若l1∥l2,则倾斜角a1=a2;(4)若倾斜角a1=a2,则l1∥l2;
其中正确命题的个数是( )
A、1 B、2
C、3 D、4
12、两直线的斜率相等是两直线平行的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
13、若两条直线x+my+6=0和(m﹣2)x+3y+2m=0平行,则m=( )
A、 B、﹣1
C、3 D、﹣1或3
14、已知直线l1:x+2ay﹣1=0,与l2:(2a﹣1)x﹣ay﹣1=0平行,则a的值是( )21cnjy
A、0或1 B、1或
C、0或 D、
15、若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a﹣1)y+a2﹣1=0平行但不重合,则a等于( )
A、2 B、2或﹣121cnjy
C、﹣1 D、1
16、若直线l1:(m+3)x+4y+3m﹣5=0与l2:2x+(m+5)y﹣8=0平行,则m的值为( )
A、﹣7 B、﹣1或﹣721*cnjy*com
C、﹣6 D、
17、“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a﹣1)y+7﹣a=0平行且不重合”的( )
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件21*cnjy*com
二、填空题(共8小题)
18、已知两条直线l1:ax+3y﹣3=0,l2:4x+6y﹣1=0.若l1∥l2,则a= _________ .
19、若直线mx+y=m+1与x+my=2m平行,则m= _________ .
20、已知直线l1:(m2﹣m﹣2)x+2y+(m﹣2)=0和l2:2x+(m﹣2)y+2=0平行,则m的值为 _________ .
21、已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2),B(a,﹣1),且l1与l垂直,直线l2:4x+by+1=0与直线l1平行,a+b等于 _________ .
22、如图①,有一条长度为2π的铁丝AB,先将铁丝围成一个圆,使两端点A、B恰好重合(如图②),再把这个圆放在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),圆心为C(0,2), 铁丝AB上有一动点M,且图③中线段|AM|=m,在图形变化过程中,图①中线段AM的长度对应于图③中的弧的长度.图③中线段AM所在直线与x轴交点为N(n,0),当m=π时,则n等于 _________ ;当时,则图③中线段AM所在直线的倾斜角的取值范围是
_________.
23、已知直线ax﹣y=0与直线2x+3y+1=0平行,则a= _________ .
24、过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=2x+m平行,则线段AB的长为 _________ .
25、已知点P在直线x+2y﹣1=0上,点Q在直线x+2y+3=0上,PQ中点为M(x0,y0),且y0>x0+2,则的取值范围为 _________ .
三、解答题(共2小题)
26、已知A(1,﹣1),B(2,2),C(3,0),求点D的坐标,使直线CD⊥AB,且CB∥AD.
27、已知l1:(a2﹣1)x+ay﹣1=0,l2:(a﹣1)x+(a2+a)y+2=0,若l1∥l2,求a的值.21*cnjy*com
答案与评分标准
一、选择题(共17小题)
1、直线L1:ax+3y+1=0,L2:2x+(a+1)y+1=0,若L1∥L2,则a的值为( )21世纪教育网
A、﹣3 B、2
C、﹣3或2 D、3或﹣2
考点:两条直线平行的判定;两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
专题:计算题。
分析:由题意可知直线L1:ax+3y+1=0,斜率存在,直线L2:2x+(a+1)y+1=0,斜率相等求出a的值.
解答:解:直线L1:ax+3y+1=0的斜率为:,直线L1∥L2,所以L2:2x+(a+1)y+1=0的斜率为:
所以=;
解得a=﹣3,a=2(舍去)21*cnjy*com
故选A.
点评:本题考查两条直线平行的判定,两条直线平行与倾斜角、斜率的关系,考查计算能力,推理能力,是基础题.
2、 “a=2”是“直线ax+2y=0平行于直线x+y=1”的( )
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件21*cnjy*com
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
分析:由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0平行?(m≠0、n≠0、d≠0)解得即可.
解答:解:a=2?直线2x+2y=0平行于直线x+y=1(充分条件);
直线ax+2y=0平行于直线x+y=1?a=2(必要条件).21*cnjy*com
所以是充分必要条件,
故选C.
点评:本题考查两直线平行的条件及充要条件的含义.
3、两直线l1:(m﹣1)x﹣y+2=0,l2:(2m﹣1)x+(m+1)y﹣3=0互相平行,则实数m=( )
A、﹣1+ B、﹣1﹣
C、0或2 D、﹣1±
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
专题:计算题。
分析:通过已知两直线方程,根据直线平行的性质直接进行计算,求解二次方程即可.
解答:解:∵两直线l1:(m﹣1)x﹣y+2=0,
l2:(2m﹣1)x+(m+1)y﹣3=0互相平行
∴
解得:m=﹣1±
故选D.
点评:本题考查两条直线平行与倾斜角斜率的关系,通过利用直线平行的结论直接计算,求解一元二次方程.属于基础题.
4、如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行,那么系数a=( )
A、﹣3 B、﹣6
C、 D、
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
分析:由两直线ax+by+c=0与mx+ny+d=0平行?(m≠0、n≠0、d≠0)解得即可.
解答:解:因为直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行,
所以,
解得a=﹣6,
故选B.
点评:本题考查两直线平行的条件.
5、下列命题中为真命题的是( )21世纪教育网
A、平行直线的倾斜角相等 B、平行直线的斜率相等
C、互相垂直的两直线的倾斜角互补 D、互相垂直的两直线的斜率互为相反数
6、若直线l:x+ay+2=0平行于直线2x﹣y+3=0,则直线l在两坐标轴上截距之和是( )21*cnjy*com
A、6 B、2
C、﹣1 D、﹣2
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。21*cnjy*com
专题:计算题。
分析:根据两个直线平行斜率相等,求出a的值,再令x=0和y=0,求出它在坐标轴上截距,即求它在坐标轴上截距的和.
解答:解:∵直线l:x+ay+2=0平行于直线2x﹣y+3=0,
∴2=﹣,解得a=﹣,代入直线l:x+ay+2=0,得2x﹣y+4=0,
对于方程2x﹣y+4=0分别令x=0和y=0,求出它在坐标轴上截距为:4,﹣2;
故它在坐标轴上截距的和是2.
故选B.
点评:本题考查了两直线平行的等价条件和截距的定义,即根据两个知识点列出方程再求解.
7、已知A(﹣1,a)、B(a,8)两点的直线与直线2x﹣y+1=0平行,则a的值为( )
A、﹣10 B、17
C、5 D、2
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
专题:计算题。
分析:由题设条件知,两直线平行故两直线的斜率相等,由此方程求a的值即可.
解答:解:由平行直线斜率相等得:,∴a=2
故选D
点评:本题考查两直线平行的条件,由斜率相等建立方程求参数,属于直线中的基本题型.
8、“m=2”是“直线2x+my=0与直线x+y=1平行”的( )
A、充要条件 B、充分而不必要条件
C、必要而不充分条件 D、既不充分也不必要条件
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
专题:常规题型。
分析:当m=2时,经检验,两直线平行;当直线2x+my=0与直线x+y=1平行时,根据两直线的斜率相等,求得 m=2.
依据充要条件的定义可知,,“m=2”是“直线2x+my=0与直线x+y=1平行”的充要条件.
解答:解:当m=2时,直线2x+my=0 即x+y=0,显然和直线x+y=1平行.
当直线2x+my=0与直线x+y=1平行时,两直线的斜率相等,∴m=2.
综上,“m=2”是“直线2x+my=0与直线x+y=1平行”的充要条件,
故选 A.
点评:本题考查两直线平行、垂直的条件和性质,以及充要条件的定义及判断方法.
9、下列命题中正确的是( )
A、若两条直线平行,则这两条直线的斜率相等 B、若两条直线的斜率不相等,则这两条直线可以平行
C、若两条直线垂直,则这两条直线的斜率之积等于﹣1 D、若两直线的斜率的积等于﹣1,则这两条直线垂直
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。21世纪教育网
专题:反证法。
分析:因为当直线与y轴平行时,斜率不存在,举反例否定A和C,同时如果斜率不相等直线不可能平行,否定C,得到正确答案即可.
解答:解:两直线平行可能是平行于y轴即倾斜角为90°时,斜率不存在,谈不上相等,例如直线x=1和直线x=2平行但斜率不存在,所以A错;但是如果两条直线的斜率不相等即倾斜角为90°时,得到两条直线肯定不平行,所以B错;两直线垂直时,可能有一条斜率不存在,谈不上乘积为﹣1,例如x轴与y轴垂直,但是y轴的斜率不存在,C错;但是斜率乘积为﹣1能得到这两条直线垂直.A正确.
故选D
点评:考查学生理解两条直线平行与倾斜角、斜率的关系,做题时学生应会举反例否定结论.
10、已知直线l1:3x﹣y+5=0,l2:6x+ay+1=0,若l1∥l2,则a=( )21*cnjy*com
A、2 B、
C、﹣2 D、
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。21*cnjy*com
专题:计算题。
分析:由两直线平行,且直线的斜率存在,所以,他们的斜率相等,解方程求a.
解答:解:∵l1∥l2,
∴3=,
∴a=﹣2,
故选C.
点评:本题考查两直线平行的性质,当两直线的斜率存在且两直线平行时,他们的斜率相等.
11、若l1与l2为两条不重合的直线,它们的倾斜角分别为a1,a2,斜率分别为k1,k2,则下列命题
(1)若l1∥l2,则斜率k1=k2; (2)若斜率k1=k2,则l1∥l2;
(3)若l1∥l2,则倾斜角a1=a2;(4)若倾斜角a1=a2,则l1∥l2;
其中正确命题的个数是( )
A、1 B、2
C、3 D、4
12、两直线的斜率相等是两直线平行的( )
A、充分不必要条件 B、必要不充分条件21世纪教育网
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
专题:常规题型。
分析:由直线斜率相等得到倾斜角的正切值相等即与x轴的夹角相等,得到两条直线平行;而x=1和x=2平行,但斜率不存在,所以得到两直线的斜率相等是两直线平行的充分不必要条件.
解答:解:由两直线的斜率相等得到直线与x轴的夹角相等,根据同位角相等得到两直线平行,所以为充分条件;而两条直线平行时例如x=1和x=2,斜率还可能不存在,得不到斜率相等,所以不为必要条件.所以两直线的斜率相等是两直线平行的充分不必要条件.
故选A
点评:考查学生掌握两条直线平行与倾斜角、斜率的关系,会证明两个命题之间的关系.
13、若两条直线x+my+6=0和(m﹣2)x+3y+2m=0平行,则m=( )21*cnjy*com
A、 B、﹣1
C、3 D、﹣1或3
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。21*cnjy*com
专题:计算题。
分析:当斜率相等但截距不相等时,两直线平行得出,然后解方程即可.21*cnjy*com
解答:解:由于直线:x+my+6=0与直线:(m﹣2)x+3y+2m=0互相平行,
∴,∴m=﹣1,
故选B.
点评:题考查直线平行的条件,利用直线平行两直线的斜率相等但截距不相等时两直线平行.属于基础题.
14、已知直线l1:x+2ay﹣1=0,与l2:(2a﹣1)x﹣ay﹣1=0平行,则a的值是( )
A、0或1 B、1或
C、0或 D、
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
专题:计算题;分类讨论。
分析:先检验当a=0时,是否满足两直线平行,当a≠0时,两直线的斜率都存在,由≠,解得a的值.
解答:解:当a=0时,两直线的斜率都不存在,
它们的方程分别是x=1,x=﹣1,显然两直线是平行的.
当a≠0时,两直线的斜率都存在,故它们的斜率相等,
由≠,解得:a=.
综上,a=0或,
故选:C.
点评:本题考查两直线平行的条件,要注意特殊情况即直线斜率不存在的情况,要进行检验.
15、若直线l1:ax+2y+6=0与直线l2:x+(a﹣1)y+a2﹣1=0平行但不重合,则a等于( )
A、2 B、2或﹣1
C、﹣1 D、1
16、若直线l1:(m+3)x+4y+3m﹣5=0与l2:2x+(m+5)y﹣8=0平行,则m的值为( )
A、﹣7 B、﹣1或﹣7
C、﹣6 D、
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。21*cnjy*com
专题:计算题。
分析:直线l1的斜率一定存在,为,所以,当两直线平行时,l2的斜率存在,求出l2的斜率,
利用它们的斜率相等解出m的值.
解答:解:直线l1的斜率一定存在,为,但当m=﹣5时,l2的斜率不存在,两直线不平行.
当m≠﹣5时,l2的斜率存在且等于,由两直线平行,斜率相等得=,
解得m=﹣1 或﹣7,
故选B.
点评:本题考查两直线平行的条件,两直线平行时,它们的斜率相等或者都不存在.
17、“a=3”是“直线ax+2y+3a=0与直线3x+(a﹣1)y+7﹣a=0平行且不重合”的( )
A、充分而不必要条件 B、必要而不充分条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
分析:从两个方面分析本题,分别当a=3时,判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时,求a的范围.
解答:解:当a=3时,两直线分别为:3x+2y+9=0,3x+2y+4=0,∴两直线斜率相等,则平行且不重合.
若两直线平行且不重合,则
∴a=3
综上所述,a=3是两直线平行且不重合的充要条件.
点评:判定两条直线位置关系的时候,注意到直线一般式系数满足的关系式.
二、填空题(共8小题)
18、已知两条直线l1:ax+3y﹣3=0,l2:4x+6y﹣1=0.若l1∥l2,则a= 2 .
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
分析:两条不重合的直线平行,则对应的斜率相等.21*cnjy*com
解答:解:已知两条直线l1:ax+3y﹣3=0,
l2:4x+6y﹣1=0.
l1∥l2,,
则a=2
点评:在判断两条直线位置关系的时候,要注意重合的这种情况.21*cnjy*com
19、若直线mx+y=m+1与x+my=2m平行,则m= ﹣1 .
20、已知直线l1:(m2﹣m﹣2)x+2y+(m﹣2)=0和l2:2x+(m﹣2)y+2=0平行,则m的值为 3 .
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
专题:计算题。
分析:由直线l1平行于直线l2,直线l1的斜率存在,所以,它们的斜率相等,解方程求出m的值.
解答:解:因为两直线平行,且直线l1的斜率存在,
故它们的斜率相等,即=,
解得 m=3
,故答案为 3.
点评:本题考查两直线平行的性质,两直线平行时,它们的斜率相等或者都不存在.
21、已知直线l的倾斜角为,直线l1经过点A(3,2),B(a,﹣1),且l1与l垂直,直线l2:4x+by+1=0与直线l1平行,a+b等于 ﹣4 .
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
分析:首先由直线l的倾斜角求出其斜率,然后根据l1与l垂直求出l1的斜率并解得a,最后由l2、l1平行解得b,则a+b求之.
解答:解:因为直线l的倾斜角为,所以直线l的斜率k=﹣1,
又l1与l垂直,所以直线l1的斜率k1=﹣=1,即=1,解得a=0,
且l2与l1平行,则k2=﹣=k1=1,所以b=﹣4,
故a+b=﹣4.
点评:本题考查直线倾斜角与斜率的关系及两直线平行、垂直时的条件,同时考查斜率公式.
22、如图①,有一条长度为2π的铁丝AB,先将铁丝围成一个圆,使两端点A、B恰好重合(如图②),再把这个圆放在平面直角坐标系中,点A的坐标为(0,3),圆心为C(0,2),铁丝AB上有一动点M,且图③中线段|AM|=m,在图形变化过程中,图①中线段AM的长度对应于图③中的弧的长度.图③中线段AM所在直线与x轴交点为N(n,0),当m=π时,则n等于 0 ;当时,则图③中线段AM所在直线的倾斜角的取值范围是 .
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。21*cnjy*com
专题:计算题。
分析:由题设条件知图③中弧的长度=m,圆周长为2π,圆半径为1,当m=π时,N(n,0)与坐标原点重合,由此能求出n的值.当m=时,∠NAO=45°,线段AM所在直线的倾斜角;当m=时,点N位x轴正半轴,∠NAO=60°,线段AM所在直线的倾斜角.
解答:解:由题设条件知图③中弧的长度=m,21*cnjy*com
圆周长为2π,圆半径为1,
∴当m=π时,N(n,0)与坐标原点重合,
∴n=0.
当m=时,∠NAO=45°,线段AM所在直线的倾斜角;
当m=时,点N位x轴正半轴,∠NAO=60°,线段AM所在直线的倾斜角;
∴当时,
线段AM所在直线的倾斜角的取值范围是.
故答案为:0,.
点评:本题主要考查直线方程,直线的倾斜角和倾率,直线与圆的位置关系,圆的简单性质等基础知识.考查运算求解能力,推理论证能力;考查函数与方程思想,化归与转化思想.
23、已知直线ax﹣y=0与直线2x+3y+1=0平行,则a= .
24、过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=2x+m平行,则线段AB的长为 .
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
专题:计算题。21世纪教育网
分析:根据两条直线平行的性质得2=,得到 b﹣a=2,利用两点间的距离公式求得线段AB的长.
解答:解:过点A(4,a)和B(5,b)的直线与直线y=2x+m平行,∴2=,∴b﹣a=2,
∴线段AB的长为=,
故答案为.
点评:本题考查两条直线平行的性质,两点间的距离公式的应用,求出b﹣a=2,是解题的关键.
25、已知点P在直线x+2y﹣1=0上,点Q在直线x+2y+3=0上,PQ中点为M(x0,y0),且y0>x0+2,则的取值范围为 .21世纪教育网
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
分析:首先由直线x+2y﹣1=0与直线x+2y+3=0是平行线,得出PQ的中点M(x0,y0)满足的直线方程;再根据y0>x0+2对应的平面区域进一步限定M的范围;最后结合的几何意义求出其范围.
解答:解:根据题意作图如下
因为PQ中点为M,则点M的坐标满足方程x+2y+1=0,
又y0>x0+2,则点M在直线y=x+2的左上部,
且由得 N(,),则kON=﹣,并且直线x+2y+1=0的斜率k=﹣,
而可视为点M与原点O连线的斜率,
故﹣<<﹣.
点评:本题考查数形结合的思想方法.
三、解答题(共2小题)
26、已知A(1,﹣1),B(2,2),C(3,0),求点D的坐标,使直线CD⊥AB,且CB∥AD.
考点:两条直线平行与倾斜角、斜率的关系。
专题:综合题;转化思想;综合法。
分析:此题求D的坐标,需要建立其横纵坐标的方程,由题设条件知直线CD⊥AB,且CB∥AD,将此位置关系转化为方程,即可求出点D的坐标.
解答:解:设点D的坐标为(x,y),由已知得,直线AB的斜率KAB=3,(2分)
直线CD的斜率KCD=,直线CB的斜率KCB=﹣2,直线AD的斜率KAD=.(8分)
由CD⊥AB,且CB∥AD,得,(11分)21世纪教育网
所以点D的坐标是(0,1)(12分)
点评:本题考点是两条直线平行、垂直与倾斜角、斜率的关系,考查用两直线垂直斜率的乘积为﹣1,两直线平行斜率相等(此时斜率都存在为前提),利用这一关系转化为相应的方程求坐标.
27、已知l1:(a2﹣1)x+ay﹣1=0,l2:(a﹣1)x+(a2+a)y+2=0,若l1∥l2,求a的值.