确定直线位置的几何要素
一、选择题（共9小题）
1、已知f（x）=，则如图中函数的图象错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、斜率为2的直线经过（3，5）、（a，7）、（﹣1、b）三点，则a、b的值是（ ）
A、a=4，b=0 B、a=﹣4，b=﹣3
C、a=4，b=﹣3 D、a=﹣4，b=3
3、若ac＞0且bc＜0，直线ax+by+c=0不通过（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
4、直线mx+ny﹣1=0同时过第一、三、四象限的条件是（ ）
A、mn＞0 B、mn＜0
C、m＞0，n＜0 D、m＜0，n＜0
5、在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
6、直线l：Ax+By+C=0过一、三、四象限的条件是（ ）
A、AB＞0且BC＜0 B、AB＞0且BC＞0
C、AB＜0且BC＜0 D、AB＜0且BC＞0
7、若直线Ax+By+C=0在第一、二、三象限，则（ ）
A、AB＞0，BC＞0 B、AB＞0，BC＜0
C、AB＜0，BC＞0 D、AB＜0，BC＜0
8、若方程（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y﹣4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（ ）
A、m≠0 B、m≠﹣
C、m≠1 D、m≠1，m≠﹣，m≠0
9、已知ab＜0，bc＜0，则直线ax+by=c通过（ ）
A、第一、二、三象限 B、第一、二、四象限
C、第一、三、四象限 D、第二、三、四象限
二、填空题（共9小题）
10、直线3x+4y+1=0的一个方向向量=（ _________ ），一个法向量=（ _________ ）
11、已知直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是 _________ ．
12、如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过第 _________ 象限．
13、已知直线为ax+by+c=0，如果ac＜0且bc＞0，则此直线不经过第 _________ 象限．
14、已知直线（2+m﹣m2）x﹣（4﹣m2）y+m2﹣4=0的斜率不存在，则m的值 _________ ．
15、直线l沿y轴负方向平移a（a≠0）个单位，再沿x轴正方向平移a+1个单位，若此时所得直线与直线l重合，则直线l的斜率是 _________ ．
16、已知二次函数y=ax2+bx+c在（﹣1，+∞）上为减函数，则f（0）＞0，则直线ax+by+c=0不经过第 _________ 象限．
17、一次函数y=kx+2k+1（x∈[1，2]）的图象在x轴上方，则k的取值范围是 _________ ．
18、直线l经过点A（2，1），且与直线x﹣y﹣4=0和x轴围成等腰三角形，则这样的直线的条数共有 _________ 条．
三、解答题（共2小题）
19、已知直线Ax+By+C=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设P（x0，y0）为直线Ax+By+C=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A（x﹣x0）+B（y﹣y0）=0．
20、△OAB的三个顶点是O（0，0），A（1，0），B（0，1）．如果直线l：y=kx+b将三角形OAB的面积分成相等的两部分，且k＞1．求k和b应满足的关系．
答案与评分标准
一、选择题（共9小题）
1、已知f（x）=，则如图中函数的图象错误的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：二次函数的图象；确定直线位置的几何要素。
专题：计算题。
分析：根据函数的单调性以及图象的平移直接得到答案，D中在[﹣1，0]上应为增函数．
解答：解：函数f（x）在定义域内恒大于0，故|f（x）|的图象与f（x）的图象一致，
在[﹣1，0]上为增函数，所以D选项错误．
故选D．
点评：本题考查了一次函数和二次函数的图象，是基础题．
2、斜率为2的直线经过（3，5）、（a，7）、（﹣1、b）三点，则a、b的值是（ ）
A、a=4，b=0 B、a=﹣4，b=﹣3
C、a=4，b=﹣3 D、a=﹣4，b=3
考点：确定直线位置的几何要素。
专题：计算题。
分析：利用任意两点连线的斜率都等于2，由直线的斜率公式列方程求出a、b的值．
解答：解：∵斜率为2的直线经过（3，5）、（a，7）、（﹣1、b）三点，
∴==2，
解得 a=4，b=﹣3，
故选 C．
点评：本题考查直线的斜率公式的应用，以及三点共线的性质．
3、若ac＞0且bc＜0，直线ax+by+c=0不通过（ ）
A、第一象限 B、第二象限
C、第三象限 D、第四象限
考点：确定直线位置的几何要素。
专题：计算题。
分析：由题意可得斜率﹣＞0，在y轴上的截距﹣＞0，即直线的倾斜角为锐角，在y轴上的截距大于0，故直线不经过第四象限．
解答：解：直线ax+by+c=0 即 y=﹣﹣，若ac＞0且bc＜0，则 ab＜0，
则斜率﹣＞0，﹣＞0，即直线的倾斜角为锐角，在y轴上的截距大于0，故直线不经过第四象限，
故选D．
点评：本题考查确定直线位置的方法，即根据直线的倾斜角和它在y轴上的截距来确定直线在坐标系终的位置．
4、直线mx+ny﹣1=0同时过第一、三、四象限的条件是（ ）
A、mn＞0 B、mn＜0
C、m＞0，n＜0 D、m＜0，n＜0
点评：考查直线的图象特征与斜率正负的关系，以及正确识图的能力．
5、在同一直角坐标系中，表示直线y=ax与y=x+a正确的是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：确定直线位置的几何要素。
专题：数形结合。
分析：本题是一个选择题，按照选择题的解法来做题，由y=x+a得斜率为1排除B、D，由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上，得到结果．
解答：解：由y=x+a得斜率为1排除B、D，
由y=ax与y=x+a中a同号知若y=ax递增，则y=x+a与y轴的交点在y轴的正半轴上；
若y=ax递减，则y=x+a与y轴的交点在y轴的负半轴上；
故选C．
点评：本题考查确定直线为主的几何要素，考查斜率和截距对于一条直线的影响，是一个基础题，这种题目也可以出现在直线与圆锥曲线之间的图形的确定．
6、直线l：Ax+By+C=0过一、三、四象限的条件是（ ）
A、AB＞0且BC＜0 B、AB＞0且BC＞0
C、AB＜0且BC＜0 D、AB＜0且BC＞0
考点：确定直线位置的几何要素。
专题：数形结合。
分析：直线l：Ax+By+C=0过一、三、四象限的条件是斜率大于0，在纵轴上的截距小于0．
解答：解：如图所示：斜率﹣＞0，﹣＜0，∴AB＜0且BC＞0，故选 D．
点评：本题考查确定直线位置的要素：斜率及在纵轴上的截距，体现了数形结合的数学思想．
7、若直线Ax+By+C=0在第一、二、三象限，则（ ）
A、AB＞0，BC＞0 B、AB＞0，BC＜0
C、AB＜0，BC＞0 D、AB＜0，BC＜0
考点：确定直线位置的几何要素。
专题：计算题。
分析：由直线Ax+By+C=0在第一、二、三象限，知直线Ax+By+C=0与x轴交于负半轴，与y轴交于正半轴，由此能得到正确结果．
解答：解：∵直线Ax+By+C=0在第一、二、三象限，
∴直线Ax+By+C=0与x轴交于负半轴，与y轴交于正半轴，
令y=0，得x=﹣；令x=0，得y=﹣．
∴AC＞0，BC＜0，
∴AB＜0，BC＜0．
故选D．
点评：本题考查直线的位置关系，解题时要认真审题，仔细求解，注意公式的灵活运用．
8、若方程（2m2+m﹣3）x+（m2﹣m）y﹣4m+1=0表示一条直线，则实数m满足（ ）
A、m≠0 B、m≠﹣
C、m≠1 D、m≠1，m≠﹣，m≠0
点评：本题考查直线方程的斜截式，由斜率和在y轴上的截距确定直线在坐标系中的位置的方法．
二、填空题（共9小题）
10、直线3x+4y+1=0的一个方向向量=（ （﹣3，4） ），一个法向量=（ （4，3） ）
考点：确定直线位置的几何要素。
专题：计算题。
分析：由题意可得首先求出直线的斜率为：﹣，即可得到它的一个方向向量=（﹣3，4），再根据方向向量与法向量的数量积等于0，所以可得直线的法向量．
解答：解：由题意可得：直线3x+4y+1=0的斜率为：﹣，
所以直线3x+4y+1=0的一个方向向量=（﹣3，4），
因为它的一个法向量，
所以，
所以=（ 4，3）．
故答案为：（﹣3，4）；（4，3）．
点评：本题主要考查直线的方向向量，以及向量之间的数量积运算，是基础题．
11、已知直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1，为使这条直线不经过第二象限，则实数a的范围是 [2，+∞） ．
考点：确定直线位置的几何要素。
专题：计算题。
分析：由已知中直线（a﹣2）y=（3a﹣1）x﹣1不经过第二象限，我们分别讨论a﹣2=0（斜率不存在），a﹣2≠0（斜率存在）两种情况，讨论满足条件的实数a的取值，进而综合讨论结果，得到答案．
解答：解：若a﹣2=0，即a=2时，直线方程可化为x=，此时直线不经过第二象限，满足条件；
若a﹣2≠0，直线方程可化为y=x﹣，此时若直线不经过第二象限，
则≥0，≥0
解得a＞0
综上满足条件的实数a的范围是[2，+∞）
故答案为：[2，+∞）
点评：本题考查的知识点是确定直线位置的几何要素，其中根据直线的斜截式方程中，当k≥0且b≤0时，直线不过第二象限得到关于a的不等式组，是解答本题的关键，但解答时，易忽略对a﹣2=0（斜率不存在）时的讨论，而错解为（2，+∞）
12、如果AC＜0，且BC＜0，那么直线Ax+By+C=0不通过第 三 象限．
点评：直线所过的象限与直线与坐标轴的截距有关，确定截距是解题关键．
14、已知直线（2+m﹣m2）x﹣（4﹣m2）y+m2﹣4=0的斜率不存在，则m的值 m=﹣2 ．
考点：确定直线位置的几何要素。
专题：计算题。
分析：根据所给的直线的斜率不存在，得到直线与横轴垂直，写出这中直线的方程形式，得到方程的x，y的系数满足的条件，即x系数不等于0，y的系数等于0．得到结果．
解答：解：∵直线（2+m﹣m2）x﹣（4﹣m2）y+m2﹣4=0的斜率不存在
∴直线与横轴垂直，
∴方程可以写成x=a的形式，
∴4﹣m2=0，2+m﹣m2≠0
∴m=﹣2，
故答案为：﹣2
点评：本题考查确定直线位置的几何要素，考查特殊直线的一般方程要满足的条件，本题是一个基础题，注意同时满足两个条件才合题意．
15、直线l沿y轴负方向平移a（a≠0）个单位，再沿x轴正方向平移a+1个单位，若此时所得直线与直线l重合，则直线l的斜率是 ．
考点：确定直线位置的几何要素。
专题：计算题。
分析：设出直线方程，然后根据平移规律“左加右减，上加下减”，化简可求直线的斜率．
解答：解：设直线l的方程为y=kx+b
沿y轴负方向平移a（a＞0）个单位，方程变为y=kx+b﹣a
再沿x轴正方向平移a+1个单位，根据左加右减，方程变为y=k[x﹣（a+1）]+b﹣a=kx﹣k（a+1）+b﹣a，
由于与直线l重合，表明﹣k（a+1）﹣a=0，
k=
故答案为：．
点评：本题的考点是确定直线位置的几何要素，主要考查直线的斜率，考查平移变换，关键是掌握规律：“左加右减，上加下减”，考查计算能力，是基础题．
16、已知二次函数y=ax2+bx+c在（﹣1，+∞）上为减函数，则f（0）＞0，则直线ax+by+c=0不经过第 三 象限．
考点：确定直线位置的几何要素；函数单调性的性质。
专题：数形结合。
分析：先根据条件判断直线方程中未知数系数的符号及常数项的符号，进而判断直线的斜率的符号、在纵轴上的截距的符号，
从而确定直线在坐标系中的位置．
解答：解：∵二次函数y=ax2+bx+c在（﹣1，+∞）上为减函数，
∴对称轴﹣≤﹣1，且a＜0，
∴b＜0，
∵f（0）＞0，∴c＞0，
∴直线ax+by+c=0 的斜率﹣＜0，在纵轴上的截距﹣＞0，
故直线不经过第三象限，
故答案为三．
点评：本题考查确定直线位置的几何要素，二次函数的单调区间、单调性的应用，体现数形结合的数学思想．
17、一次函数y=kx+2k+1（x∈[1，2]）的图象在x轴上方，则k的取值范围是 k＞﹣ ．
考点：确定直线位置的几何要素。
分析：由k＞0、k＜0、k=0三种情况分别入手即可解决问题．
解答：解：①若k＞0，该函数是增函数，只需f（1）＞0即可，
则f（1）=k+2k+1＞0，解得k＞﹣，所以k＞0满足；
②若k＜0，该函数是减函数，只需f（2）＞0即可，
则f（2）=2k+2k+1＞0，解得k＞﹣，所以﹣＜k＜0满足；
③若k=0，则该函数是y=1，它总在x轴上方，所以k=0满足要求．
故k的取值范围是k＞．
点评：本题考查一次函数的斜率与单调性的关系，同时考查分类讨论的思想方法．
18、直线l经过点A（2，1），且与直线x﹣y﹣4=0和x轴围成等腰三角形，则这样的直线的条数共有 3 条．
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；确定直线位置的几何要素。
专题：计算题；数形结合；分类讨论。
分析：记直线x﹣y﹣4=0和x轴的交点为点A，分A为顶角和底角两种情况分别画出对应的图象即可得到结论．
解答：解：
当是直线a时，组成以∠A=45°为底角的等腰直角三角形；
当是直线b时，组成以∠A=45°为底角的等腰直角三角形；
当是直线c时，组成以∠A=135°为顶角的等腰三角形．
故所求直线有3条．
故答案为：3．
点评：本题主要考查直线问题．解决问题的关键在于分类讨论思想的运用，以及数形结合思想的运用．
三、解答题（共2小题）
19、已知直线Ax+By+C=0，
（1）系数为什么值时，方程表示通过原点的直线；
（2）系数满足什么关系时与坐标轴都相交；
（3）系数满足什么条件时只与x轴相交；
（4）系数满足什么条件时是x轴；
（5）设P（x0，y0）为直线Ax+By+C=0上一点，证明：这条直线的方程可以写成A（x﹣x0）+B（y﹣y0）=0．
∴系数A、B应均不为零．
（3）直线Ax+By+C=0只与x轴相交，就是指与y轴不相交﹣﹣平行、重合均可．
因此直线方程将化成x=a的形式，
故B=0且A≠0为所求．
（4）x轴的方程为y=0，直线方程Ax+By+C=0中A=0，C=0，B≠0即可．
B可以不为1，即By=0也可以等价转化为y=0．
（5）∵P（x0，y0）在直线Ax+By+C=0上，
∴（x0，y0）满足方程Ax+By+C=0，即Ax0+By0+C=0，
∴C=﹣Ax0﹣By0，
故Ax+By+C=0可化为Ax+By﹣Ax0﹣By0=0，
即A（x﹣x0）+B（y﹣y0）=0．
点评：本题考查了直线与坐标系的所有关系，是一个非常全面的问题，一个题目可以概括直线的绝大部分内容，是一个好题．
20、△OAB的三个顶点是O（0，0），A（1，0），B（0，1）．如果直线l：y=kx+b将三角形OAB的面积分成相等的两部分，且k＞1．求k和b应满足的关系．
．
