华师大版2022-2023学年九年级上学期期末练习试题2（含解析）

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华师大版2022-2023学年九年级上学期期末练习试题2
姓名：__________班级：__________考号：__________总分__________
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．（3分）下列各数使有意义的是（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
2．（3分）tan45°的值等于（　　）
A． B． C．1 D．
3．（3分）若关于x的一元二次方程x2+2x+c＝0有两个相等的实数根，则c的值是（　　）
A．c＝2 B．c＝4 C．c＝﹣2 D．c＝﹣4
4．（3分）某县为发展教育事业，加强了对教育经费的投入，2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元．设教育经费的年平均增长率为x，根据题意，下面所列方程正确的是（　　）
A．3000（1+x）2＝5000
B．3000x2＝5000
C．3000（1+x%）2＝5000
D．3000（1+x）+3000（1+x）2＝5000
5．（3分）如图，A，B两地被池塘隔开，小明通过下列方法测出了A、B间的距离：先在AB外选一点C，在AC、BC上分别找点M，N，使得AM＝2CM，BN＝2CN，测量出MN的长为12m，由此可知A、B间的距离为（　　）
A．18m B．24m C．36m D．48m
6．（3分）在平面直角坐标系xOy中，将二次函数y＝x2﹣1的图象M沿x轴翻折，把所得到的图象向右平移2个单位长度后再向上平移8个单位长度，得到二次函数图象N．若一个点的横坐标与纵坐标均为整数，则该点称为整点，则M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为（　　）
A．17 B．25 C．16 D．32
7．（3分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，OA＝2OD，若△AOB的面积为4，则△DOF的面积为（　　）
A．2 B． C．1 D．
8．（3分）某种商品每件进价为18元，调查表明：在某段时间内若以每件x元（18≤x≤30，且x为整数）出售，可卖出（30﹣x）件，若使利润最大，则每件商品的售价应为（　　）
A．18元 B．20元 C．22元 D．24元
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．（3分）化简：＝　 　．
10．（3分）已知＝3，则＝　 　．
11．（3分）已知一个不透明的口袋中装有3个白球、4个黑球．若往口袋中再放入2个白球，则随机抽取1个球是白球的概率是 　 　．
12．（3分）如图，l1∥l2∥l3，AB＝4，DE＝3，EF＝5，则BC＝　 　．
13．（3分）如图，在△ABC中，AD⊥BC，垂足为D，若BC＝21，AD＝12，tan∠BAD＝1，则sinC＝　 　．
14．（3分）将抛物线：y＝x2﹣2x向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是　 　．
三．解答题（共10小题，满分70分）
15．（6分）计算：．
16．（6分）解方程：
（1）（2x﹣1）2＝﹣3 （2x﹣1）
（2）3x2+8x﹣3＝0
17．（6分）为了响应国家有关开展中小学生：“课后服务”的政策，某学校课后开设了五门课程供学生选择，五门课程分别是A：课后作业辅导；B：书法；C：阅读；D：绘面；E：乐器．学生需要从中选两门课程．
（1）若学生甲选第一门课程时任选一门，求甲选中课程A的概率．
（2）若学生甲和乙第一次都选择了课程E，第二次都从剩余课程里随机选一门课程，那么他们第二次选课相同的概率是多少？请用列表或画树状图的方法加以说明．
18．（6分）2018年非洲猪瘟疫情爆发后，猪肉价格不断走高，引起了民众与政府的高度关注．据统计：2019年7月20日猪肉价格比年初上涨了60%，某市民7月20日在某超市购买1千克猪肉花了80元钱．
（1）2019年年初猪肉的价格为每千克多少元？
（2）某超市将进货价为每千克65元的猪肉，按7月20日价格出售，平均一天能销售出100千克．经调查表明：猪肉的售价每千克下降1元，其日销售量就增加10千克，超市为了实现销售猪肉每天有1560元的利润，并且尽可能让顾客得到实惠，则每千克猪肉的售价应该下降多少元？
19．（7分）如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB中点．
（1）求证：AC2＝AB AD；
（2）若AD＝4，AB＝6，求三角形EAC的面积．
20．（8分）如图，某物业楼上竖立一块广告牌，高CD＝3m，小亮和小伟要测量广告牌底部D到水平地面AH的距离，小亮在水平地面A处安置测倾器，测得广告牌底部D的仰角为22°，小伟在水平地面B处安置测倾器，测得广告牌顶部C的仰角为45°，两人合作量得测倾器的高度AE＝BF＝1.2m，测点A和测点B之间的距离AB＝9m，请根据以上信息，求广告牌底部D到水平地面AH的距离．（参考数据：sin22°≈0.37，cos22°≈0.93，tan22°≈0.40）
21．已知：如图，二次函数y＝ax2+bx+c的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，其中A点坐标为（﹣1，0），M（2，9）为二次函数图象的顶点．
（1）求二次函数的表达式；
（2）求△MCB的面积．
22．（9分）[问题背景]（1）如图①，已知△ABC∽△ADE，求证：△ABD∽△ACE．
[尝试应用]（2）如图②，在△ABC和△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°
∠ABC＝∠ADE＝30°，AC与DE相交于点F，点D在BC边上，＝，
①填空：＝　 　；
②求的值．
23．（10分）如图，△ABC是等边三角形，AB＝4cm，动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，过点P作PQ⊥AB，交折线AC﹣CB于点Q，以PQ为边作等边三角形PQD，使点A，D在PQ异侧．设点P的运动时间为x（s）（0＜x＜2），△PQD与△ABC重叠部分图形的面积为y（cm2）．
（1）AP的长为 　 　cm（用含x的代数式表示）．
（2）当点D落在边BC上时，求x的值．
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围．
24．（12分）如下列图形所示，在平面直角坐标系中，一个三角板的直角顶点与原点O重合，在其绕原点O旋转的过程中，两直角边所在直线分别与抛物线y＝x2相交于点A、B（点A在点B的左侧）．
（1）如图1，若点A、B的横坐标分别为﹣3、，求线段AB中点P的坐标；
（2）如图2，若点B的横坐标为4，求线段AB中点P的坐标；
（3）如图3，若线段AB中点P的坐标为（x，y），求y关于x的函数解析式；
（4）若线段AB中点P的纵坐标为6，求线段AB的长．
答案与试题解析
一．选择题（共8小题，满分24分，每小题3分）
1．【考点】二次根式有意义的条件
【分析】直接利用二次根式有意义的条件得出x的取值范围，进而得出答案．
解：使有意义，则x+1≥0，
解得：x≥﹣1，
则﹣1符合题意．
故选：A．
【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确得出x的取值范围是解题关键．
2．【考点】特殊角的三角函数值
【分析】根据特殊锐角的三角函数值进行判断即可．
解：tan45°＝1，
故选：C．
【点评】本题考查特殊锐角三角函数值，掌握特殊锐角的三角函数值是正确解答的关键．
3．【考点】根的判别式
【分析】利用判别式的意义得到Δ＝（2）2﹣4c＝0，然后解关于c的方程即可．
解：根据题意得Δ＝（2）2﹣4c＝0，
解得c＝2．
故选：A．
【点评】本题考查了根的判别式：一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与Δ＝b2﹣4ac有如下关系：当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0时，方程无实数根．
4．【考点】由实际问题抽象出一元二次方程
【分析】主要考查增长率问题，一般用增长后的量＝增长前的量×（1+增长率），如果设教育经费的年平均增长率为x，根据“2007年投入3000万元，预计2009年投入5000万元”，可以分别用x表示2007以后两年的投入，然后根据已知条件可得出方程．
解：依题意得2009年投入为3000（1+x）2，
∴3000（1+x）2＝5000．
故选：A．
【点评】找到关键描述语，就能找到等量关系，是解决问题的关键．同时要注意增长率问题的一般规律．
5．【考点】相似三角形的应用
【分析】由AM＝2CM，BN＝2CN可得＝，进而证得△CMN∽△CAB，根据相似三角形的性质即可求出AB．
解：∵AM＝2CM，BN＝2CN，
∴＝，＝，
∴＝，
∵∠MCN＝∠ACB，
∴△CMN∽△CAB，
∴＝＝，
∵MN＝12，
∴＝，
∴AB＝36（m），
∴A、B间的距离为36m，
故选：C．
【点评】此题主要考查了相似三角形的性质和判定，证得△CMN∽△CAB是解决问题的关键．
6．【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】画出函数图象即可解决问题．
解：M与N所围成封闭图形如图所示，
由图象可知，M与N所围成封闭图形内（包括边界）整点的个数为25个．
故选：B．
【点评】本题考查二次函数图象与几何变换，解题的关键是记住函数图象的平移、翻折变换的规律，学会转化的思想，把问题转化为我们熟悉的问题解决，属于中考压轴题．
7．【考点】位似变换；坐标与图形性质
【分析】根据△ABC与△DEF是位似图形得到AB∥DF，证明△AOB∽△DOF，根据相似三角形的面积比等于相似比的平方计算即可．
解：∵△ABC与△DEF是以点O为位似中心的位似图形，
∴AB∥DF，
∴△AOB∽△DOF，
∴＝＝，
∴＝，
∵△AOB的面积为4，
∴△DOF的面积为1，
故选：C．
【点评】本题考查的是位似图形的概念、相似三角形的性质，根据位似图形的概念得出AB∥DF是解题的关键．
8．【考点】二次函数的应用
【分析】根据销售问题关系式单件利润等于售价减去进价，总利润等于单件利润乘以销售量即可求解．
解：设总利润为y元，根据题意，得
y＝（x﹣18）（30﹣x）
＝﹣x2+48x﹣540
＝﹣（x﹣24）2+36
∴当x＝24时，y有最大值，
即每件商品的售价为24元时，利润最大．
故选：D．
【点评】本题考查了二次函数的应用，解决本题的关键是销售利润等于单件利润乘以销售量．
二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分）
9．【考点】二次根式的乘除法
【分析】直接把被开方数相乘即可．
解：原式＝＝＝6．
故答案为：6．
【点评】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知二次根式的乘除法则是解题的关键．
10．【考点】比例的性质
【分析】利用比例的性质进行计算即可解答．
解：∵＝3，
∴＝+1＝3+1＝4，
故答案为：4．
【点评】本题考查了比例的性质，熟练掌握比例的基本性质是解题的关键．
11．【考点】概率公式
【分析】直接由概率公式求解即可．
解：随机抽取1个球是白球的概率是＝．
故答案为：．
【点评】本题考查概率公式，随机事件A的概率P（A）＝事件A可能出现的结果数÷所有可能出现的结果数．
12．【考点】平行线分线段成比例
【分析】根据平行线分线段成比例定理列出比例式，把已知数据代入计算即可．
解：∵l1∥l2∥l3，
∴＝，
∵AB＝4，DE＝3，EF＝5，
∴＝，
解得：BC＝，
故答案为：．
【点评】本题考查的是平行线分线段成比例定理，灵活运用定理、找准对应关系是解题的关键．
13．【考点】解直角三角形
【分析】先利用三角函数求出BD，进而求出CD，最后用勾股定理得出AC，即可得出答案．
解：∵AD⊥BC，∴∠ADB＝90°，
在Rt△ABD中，tan∠BAD＝＝1，
∴BD＝AD＝12，
∵BC＝21，
∴CD＝BC﹣BD＝9，
∴AC＝＝＝15，
∴sinC＝＝＝；
故答案为：．
【点评】此题主要考查了解直角三角形，锐角三角函数，求出AC是解本题的关键．
14．【考点】二次函数图象与几何变换
【分析】先将抛物线的解析式化为顶点式，然后根据平移规律平移即可得到解析式．
解：y＝x2﹣2x＝（x﹣1）2﹣1，
根据平移规律，向上平移3个单位，再向右平移4个单位得到的抛物线是：
y＝（x﹣5）2+2，
将顶点式展开得，y＝x2﹣10x+27．
故答案为：y＝（x﹣5）2+2或y＝x2﹣10x+27．
【点评】主要考查的是函数图象的平移，用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式．
三．解答题（共10小题，满分70分）
15．【考点】二次根式的加减法
【分析】根据二次根式的加减运算法则即可求出答案．
解：原式＝2+﹣2+
＝．
【点评】本题考查二次根式的加减运算法则，解题的关键是熟练运用二次根式的加减运算法则，本题属于基础题型．
16．【考点】解一元二次方程﹣因式分解法
【分析】（1）根据提公因式法解方程即可；
（2）根据十字相乘法解方程即可．
解：（1）（2x﹣1）2+3（2x﹣1）＝0
（2x﹣1）（2x﹣1+3）＝0
2x﹣1＝0或2x+2＝0，
解得x1＝，x2＝﹣1
（2）（x+3）（3x﹣1）＝0
x+3＝0或3x﹣1＝0，
解得x1＝﹣3，x2＝．
【点评】本题考查了因式分解法解一元二次方程，解决本题的关键是掌握因式分解法．
17．【考点】列表法与树状图法
【分析】（1）共有5种课程，学生甲选第一门课程时任选一门，甲选中课程A只有1种，可求出甲选中A课程的概率；
（2）用列表法表示甲、乙从余下的4门课程中任选1种可能出现的结果，进而求出选择相同课程的概率即可．
解：（1）一共有5种课程，学生甲选第一门课程时任选一门，甲选中课程A只有1种，
所以甲选中A课程的概率为；
（2）甲、乙从余下的4门课程任选1种，所有可能出现的结果如下：
共有16种能可能出现的结果，其中甲、乙选择课程相同的有4种，
所以他们第二次选课相同的概率为＝．
【点评】本题考查列表法或树状图法求随机事件的概率，列举出所有可能出现的结果情况是解决问题的关键．
18．【考点】一元二次方程的应用
【分析】（1）设2019年年初猪肉的价格为每千克x元，根据2019年7月20日猪肉价格比年初上涨了60%，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论；
（2）设每千克猪肉的售价应该下降y元，则每千克的销售利润为（80﹣y﹣65）元，平均一天能销售出（100+10y）千克，利用总利润＝每千克的销售利润×日销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之即可得出y值，再结合要尽可能让顾客得到实惠，即可得出每千克猪肉的售价应该下降3元．
解：（1）设2019年年初猪肉的价格为每千克x元，
依题意得：（1+60%）x＝80，
解得：x＝50．
答：2019年年初猪肉的价格为每千克50元．
（2）设每千克猪肉的售价应该下降y元，则每千克的销售利润为（80﹣y﹣65）元，平均一天能销售出（100+10y）千克，
依题意得：（80﹣y﹣65）（100+10y）＝1560，
整理得：y2﹣5y+6＝0，
解得：y1＝2，y2＝3，
又∵要尽可能让顾客得到实惠，
∴y＝3．
答：每千克猪肉的售价应该下降3元．
【点评】本题考查了一元二次方程的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程．
19．【考点】相似三角形的判定与性质；角平分线的性质；直角三角形斜边上的中线；勾股定理
【分析】（1）证明△DCA∽△CBA，由相似三角形的性质得出＝，即可得出结论；
（2）结合（1）可得AC＝2，根据勾股定理可得BC，然后利用直角三角形斜边中线的性质可得△EAC的面积＝×△ABC的面积，进而可以解决问题．
（1）证明：∵AC平分∠DAB，
∴∠DAC＝∠CAB，
∵∠ADC＝∠ACB＝90°，
∴△DCA∽△CBA，
∴＝，
∴AC2＝AB AD；
（2）解：∵AC2＝AB AD＝6×4＝24，
∴AC＝2，
∵∠ACB＝90°，
∴BC＝＝＝2，
∵E为AB的中点，
∴△EAC的面积＝×△ABC的面积＝AC BC＝×2×2＝3．
【点评】此题考查了相似三角形的判定和性质，直角三角形的性质，勾股定理，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解本题的关键．
20．【考点】解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题；解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题
【分析】延长EF交CH于点G，则FG⊥CH，得矩形AEFB，矩形BFGH，矩形AEGH，EF＝AB＝9m，AE＝BF＝GH＝1.2m，在Rt△FDG中，∠EGD＝90°，∠DEG＝22°，FG＝EF+FG＝（9+FG）m，利用锐角三角函数即可解决问题．
解：延长EF交CH于点G，则FG⊥CH，
得矩形AEFB，矩形BFGH，矩形AEGH，
∴EF＝AB＝9m，AE＝BF＝GH＝1.2m，
∵∠CFG＝45°，
∴∠FCG＝45°，
∴FG＝CG，
∴GD＝CG﹣CD＝（CG﹣3）m，
在Rt△FDG中，∠EGD＝90°，∠DEG＝22°，EG＝EF+FG＝（9+FG）m，
∵DG＝EG tan22°，
∴CG﹣3≈（9+CG）×0.40，
∴CG＝11m，
∴DG＝CG﹣3＝8（m），
∴DH＝DG+GH＝8+1.2＝9.2（m）．
答：广告牌底部D到水平地面AH的距离为9.2m．
【点评】本题考查了解直角三角形的应用﹣仰角俯角问题，要求学生借助俯角构造直角三角形，并结合图形利用三角函数解直角三角形．
21．【考点】抛物线与x轴的交点；二次函数的性质；二次函数图象上点的坐标特征；待定系数法求二次函数解析式
【分析】（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣2）2+9，将点A的坐标代入上式，即可求解；
（2）理由三角形面积公式即可求解．
解：（1）函数的表达式为：y＝a（x﹣2）2+9，
将点A（﹣1，0）代入上式得：0＝a（﹣1﹣2）2+9，
解得：a＝﹣1，
故抛物线的表达式为：y＝﹣（x﹣2）2+9，即y＝﹣x2+4x+5；
（2）由y＝﹣x2+4x+5可知点C（0，5），
∵A点坐标为（﹣1，0），对称轴为直线x＝2，
∴B（5，0），
∴则直线BC函数表达式为：y＝﹣x+5，
把x＝2代入得y＝3，
过点M作y轴的平行线交BC于点H，
则点H（2，3），
S△MCB＝HM×BO＝×5×6＝15．
【点评】本题考查的是抛物线与x轴的交点，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点所代表的意义、图象上点的坐标特征等．
22．【考点】相似形综合题
【分析】（1）由△ABC∽△ADE，得∠BAC＝∠DAE，＝，则∠BAD＝∠CAE，＝，即可根据“两边成比例且夹角相等的两个三角形相似”证明△ABD∽△ACE；
（2）①由∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，得DE＝2AE，由勾股定理得AD＝＝AE，而AD＝BD，所以AE＝BD，则＝1，于是得到问题的答案；
②先由∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，证明△BAC∽△CAE，得＝，变形为＝，再证明△BAD∽△CAE，得∠ABC＝∠ACE，则∠ADE＝∠ACE，而∠AFD＝∠EFC，即可证明△AFD∽△EFC，得＝，由AD＝AE，得＝＝，则BD＝CE，所以AD＝BD＝3CE，于是求得＝＝3．
（1）证明：如图①，∵△ABC∽△ADE，
∴∠BAC＝∠DAE，＝，
∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，＝，
∴∠BAD＝∠CAE，
∴△ABD∽△ACE．
（2）解：①如图②，∵∠DAE＝90°，∠ADE＝30°，
∴DE＝2AE，
∴AD＝＝＝AE，
∵＝，
∴AD＝BD，
∴AE＝BD，
∴＝1，
故答案为：1．
②如图②，连接CE，
∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∠ABC＝∠ADE，
∴△BAC∽△CAE，
∴＝，
∴＝，
∵∠BAD＝∠CAE＝90°﹣∠CAD，
∴△BAD∽△CAE，
∴∠ABC＝∠ACE，
∴∠ADE＝∠ACE，
∵∠AFD＝∠EFC，
∴△AFD∽△EFC，
∴＝，
由①得AD＝AE，AD＝BD，
∴＝＝，
∴BD＝CE，
∴AD＝×CE＝3CE，
∴＝3，
∴＝3，
∴的值是3．
【点评】此题重点考查同角的余角相等、直角三角形中30°角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理的应用、相似三角形的判定与性质等知识，证明△BAD∽△CAE及△AFD∽△EFC是解题的关键．
23．【考点】三角形综合题
【分析】（1）根据动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，可得AP的长为2xcm；
（2）当点D落在BC上时，如图1，BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，根据△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，证明△APQ≌△BDP，进而可得x的值；
（3）根据题意分三个部分进行画图说明：①如图2，当0＜x≤时，②如图3，当点Q运动到与点C重合时，当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动到BC边上，设PD与BC相交于点G，分别表示出y关于x的函数解析式即可．
解：（1）∵动点P从点A出发，以2cm/s的速度沿AB向点B匀速运动，
∴AP的长为2xcm；
故答案为：2x；
（2）当点D落在BC上时，如图1，
BP＝AB﹣AP＝4﹣2x，
∵PQ⊥AB，
∴∠QPA＝90°，
∵△PQD等边三角形，△ABC是等边三角形，
∴∠A＝∠B＝∠DPQ＝60°，PQ＝PD，
∴∠BPD＝30°，
∴∠PDB＝90°，
∴PD⊥BC，
∴△APQ≌△BDP（AAS），
∴BD＝AP＝2x，
∵BP＝2BD，
∴4﹣2x＝4x，
解得x＝；
（3）①如图2，当0＜x≤时，
∵在Rt△APQ中，AP＝2x，∠A＝60°，
∴PQ＝AP tan60°＝2x，
∵△PQD等边三角形，
∴S△PQD＝2x 3x＝3x2cm2，
所以y＝3x2；
②如图3，当点Q与点C重合时，
此时CP⊥AB，
所以AP＝AB，即2x＝2，
解得x＝1，
所以当＜x≤1时，如图4，设PD、QD与BC分别相交于点G、H，
∵AP＝2x，
∴BP＝4﹣2x，AQ＝2AP＝4x，
∴BG＝BP＝2﹣x
∴PG＝BG＝（2﹣x），
∴S△PBG＝BG PG＝（2﹣x）2，
∵AQ＝2AP＝4x，
∴CQ＝AC﹣AQ＝4﹣4x，
∴QH＝CQ＝（4﹣4x），
∴S△QCH＝CQ QH＝（4﹣4x）2，
∵S△ABC＝4×2＝4，
∴S四边形PGHQ＝S△ABC﹣S△PBG﹣S△QCH﹣S△APQ
＝4﹣（2﹣x）2﹣（4﹣4x）2﹣×2x×2x
＝﹣x2+18x﹣6，
所以y＝﹣x2+18x﹣6；
③如图5，当1＜x＜2时，点Q运动在BC边上，
设PD与BC相交于点G，
此时PG＝BP sin60°＝（4﹣2x）×＝（2﹣x），
∵PB＝4﹣2x，
∴BQ＝2BP＝2（4﹣2x）＝4（2﹣x），
∴BG＝BP＝2﹣x，
∴QG＝BQ﹣BG＝3（2﹣x），
∴重叠部分的面积为：
S△PQG＝PG QG＝（2﹣x） 3（2﹣x）＝（2﹣x）2．
所以y＝（2﹣x）2．
综上所述：y关于x的函数解析式为：
当0＜x≤时，y＝3x2；
当＜x≤1时，y＝﹣x2+18x﹣6；
当1＜x＜2时，y＝（2﹣x）2．
【点评】本题考查了三角形综合题，解决本题的关键是图形面积的计算．
24．【考点】二次函数综合题
【分析】（1）根据点A、B的横坐标分别为﹣3、，可以先求的点A和B的坐标，平行线分线段成比例定理可以得到EC＝ED，然后即可得到点P的坐标；
（2）根据点B的横坐标为4，可以求得点B的坐标，然后根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A的坐标，再根据（1）求中点坐标的方法可以求得点P的坐标；
（3）根据相似三角形的判定与性质，可以求得点A和点B的坐标与点P坐标的关系，从而可以得到y与x的关系；
（4）将y＝6代入（3）中的函数关系式，可以求得点P的横坐标的平方，然后根据勾股定理可以得到OP的长，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得到线段AB的长．
解：（1）∵点A、B在抛物线y＝x2上，点A、B的横坐标分别为﹣3、，
∴当x＝﹣3时，y＝×（﹣3）2＝×9＝，当x＝时，y＝×（）2＝×＝，
即点A的坐标为（﹣3，），点B的坐标为（，），
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，作PE⊥x轴于点E，如右图1所示，
则AC∥BD∥PE，
∵点P为线段AB的中点，
∴PA＝PB，
由平行线分线段成比例，可得EC＝ED，
设点P的坐标为（x，y），
则x﹣（﹣3）＝﹣x，
∴x＝＝﹣，
同理可得，y＝＝，
∴点P的坐标为（﹣，）；
（2）∵点B在抛物线y＝x2上，点B的横坐标为4，
∴点B的纵坐标为：y＝×42＝8，
∴点B的坐标为（4，8），
∴OD＝4，DB＝8，
作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图2所示，
∵∠AOB＝90°，∠ACO＝90°，∠ODB＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，∠BOD+∠OBD＝90°，∠ACO＝∠ODB，
∴∠AOC＝∠OBD，
∴△AOC∽△OBD，
∴，
设点A的坐标为（a，a2），
∴CO＝﹣a，AC＝a2，
∴，
解得a1＝0（舍去），a2＝﹣1，
∴点A的坐标为（﹣1，），
∴中点P的横坐标为：＝，纵坐标为＝，
∴线段AB中点P的坐标为（，）；
（3）作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，如右图3所示，
由（2）知，△AOC∽△OBD，
∴，
设点A的坐标为（a，a2），点B的坐标为（b，b2），
∴，
解得，ab＝﹣4，
∵点P（x，y）是线段AB的中点，
∴x＝，y＝＝＝，
∴a+b＝2x，
∴y＝＝x2+2，
即y关于x的函数解析式是y＝x2+2；
（4）当y＝6时，6＝x2+2，
∴x2＝4，
∵OP＝＝＝2，△AOB是直角三角形，点P时斜边AB的中点，
∴AB＝2OP＝4，
即线段AB的长是4．
【点评】这是一道二次函数综合题目．主要考查平行线分线段成比例定理、相似三角形的判定与性质、直角三角形的性质、中点坐标公式，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，利用数形结合的思想解答．
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