2.2.2 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
2.2.2 二次函数y=ax2,y=ax2+c的图象与性质
北师大版 九年级 下册
教学目标
教学目标：1、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的图象与性质，学会画该函数的抛物线；
2、掌握二次函数y=ax2和y=ax2+c的性质并会应用；
3、学会区分y=ax2和y=ax2+c的联系与区别，并且掌握这两种图象之间的平移关系；
教学重点:掌握抛物线y=ax2+k与抛物线y=ax2的相互关系.
教学难点：理解并掌握抛物线y=ax2+k的性质.
新知讲解
合作学习
观察与思考
羽毛球的运动轨迹可以用y=ax2的图象刻画,大家能回忆出二次函数y=x2的性质吗？
合作探究
列表.
x ··· －1.5 －1 －0.5 0 0.5 1 1.5 ···
··· ···
4.5
2
0.5
0
4.5
2
0.5
画出函数 的图象.
描点，连线.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
观察思考
问题1 二次函数y=2x2的图象是什么形状？
二次函数y=2x2的图象是一条抛物线，
并且抛物线开口向上.
问题2 图象的对称轴是什么？
y轴就是它的对称轴.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
问题3 图象的顶点坐标是什么？
原点 (0,0).
问题4 当x取何值时，y的值最小？
最小值是什么？
x=0时，ymin=0.
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
当x<0时，y随x的增大而减小；当x>0时，y随x的增大而增大.
问题5 当x<0时，随着x值的增大，
y值如何变化？当x>0时呢？
y＝ax2 a>0 a<0
图象
位置开
口方向
对称性
顶点最值
增减性
开口向上,在x轴上方
开口向下,在x轴下方
关于y轴对称，对称轴方程是直线x＝0
当x=0时，y最小值=0
当x=0时，y最大值=0
在对称轴左侧递减
在对称轴右侧递增
要点归纳
y
O
x
y
O
x
顶点坐标是原点（0，0）
x
y
O
－2
2
2
4
6
4
－4
8
当a>0时，a的绝对值越大，开口越小.
合作探究
问题 在同一直角坐标系中画出二次函数
的图象如图，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？
x
y
O
－2
2
－2
－4
－6
4
－4
－8
当a<0时，a的绝对值越大，开口越小.
问题 在同一直角坐标系中，画出函数
的图象如图所示，观察其开口大小与a的绝对值有什么关系？
要点总结：在二次函数y=ax2中，a的绝对值越大，开口越小.
合作探究
做一做：在同一直角坐标系中，画出二函数 y=2x2+1与y=2x2-1的图象．
解：先列表：
x ··· －2 －1.5 －1 0 1 1.5 2 ···
y =2 x2＋1 ··· ···
y = 2x2－1 ··· ···
9
5.5
3
1
3
5.5
9
7
3.5
1
－1
1
3.5
7
再描点，连线
4
x
y
O
－2
2
2
4
6
－4
8
10
－2
y = 2x2＋1
y = 2x2－1
问题：抛物线 y=2x2+1,y=2x2-1与抛物线y=2x2 有什么关系？
可以发现，把抛物线y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 ；把抛物线 y=2x2 向 平移1个单位长度，就得到抛物线 y=2x2-1.
下
y=2x2+1
上
2
4
-2
-4
o
3
6
9
x
y
表达式 开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>0 x<0
向上
y轴
(0,0)
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
当x=0时，
向上
y轴
(0,1)
当x=0时，
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
向上
y轴
(0,-1)
当x=0时，
y随x的增
大而增大
y随x的增
大而减小
提炼概念
二次函数 与 的图象的关系：
二次函数 的图象可以由 的图象平移得到：
当c > 0时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0时,向下平移 |c|个单位长度得到.
开口 对称轴 顶点 最值 增减性 x>0 x<0
a>0
a<0
向上
y轴
(0,c)
y随x的增大而增大
y随x的增大而减小
当x=0时，
向下
y轴
(0,c)
当x=0时，
y随x的增大而减小
y随x的增大而增大
典例精讲
例.已知抛物线 与抛物线 的形状相同，且其图象上与x轴最近的点到x轴的距离为3，求a,n的值.0
答案：a=±2，n=±3.
归纳概念
二次函数y=ax2+c的图象可以由 y=ax2 的图象平移得到：
当c > 0 时,向上平移c个单位长度得到.
当c < 0 时,向下平移-c个单位长度得到.
二次函数y=ax2 与y=ax2+c（a ≠ 0）的图象的关系
上下平移规律：
平方项不变，常数项上加下减.
课堂练习
1.抛物线y=-2x2+1的对称轴是( )
A.直线x=1 B.直线x=-2
C.y轴 D.直线x=2
C
2.二次函数y=-2x2+3的图象大致为( )
C
3.若有二次函数y=ax2+c，当x取x1，x2（x1≠x2）时，函数值相等，则当x=x1+x2时，函数值为（ ）
A.a+c B.a-c C.-c D.c
D
4．二次函数y=3x2-3的图象开口向_____，顶点坐标为_____，对称轴为_____，当x>0时，y随x的增大而_____；当x<0时，y随x的增大而_____.因为a=3>0，所以y有最_____值，当x=_____时，y的最_____值是_____.
【详解】
二次函数y=3x2-3中k=3,所以开口向上，顶点坐标（0，－3），对称轴为y轴，当x>0时，y随x的增大而增大；当x<0时，y随x的增大而减小.因为a=3>0，所以y有最小值，当x=0时，y的最小值是－3.
5.已知二次函数y=-x2+4.
（1）当x为何值时，y随x的增大而增大？
（2）当x为何值时，函数y有最大值？最大值是多少？
（3）求函数图象与x轴、y轴交点的坐标.
（3）与x轴的交点坐标是（2，0）（-2，0），
解 （1）x＜0.
（2）当x=0时，y有最大值，最大值为4.
与y轴的交点坐标是（0,4）.
6．已知抛物线y=．
(1)确定该抛物线的开口方向、顶点坐标；
(2)将抛物线y=先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，得到一个新抛物线．直接写出新抛物线的解析式．
【详解】（1）解：∵-＜0
∴抛物线开口方向向下
∵y=-x2+8
∴顶点坐标为（0,8）
（2）∵将抛物线y=先向左平移3个单位长度，再向下平移2个单位长度，
∴新抛物线的解析式为：y=，即y=．
课堂总结
二次函数y=ax2+k的图象及性质
图象及性质
与 y=ax2的联系
对于抛物线 y = ax 2+k （a＞0）,开口向上，对称轴轴为 y轴，顶点坐标为（0，k），
当x>0时，y随x取值的增大而增大；
当x<0时，y随x取值的增大而减小.
对于抛物线 y = ax 2 +k（a＜0），开口向下，对称轴轴为 y轴，顶点坐标为（0，k），
当x>0时，y随x取值的增大而减小；
当x<0时，y随x取值的增大而增大.
二次函数y=ax2+k的图象可以由 y=ax2 的图象沿y轴上、下平移得到.k正向上平移；k负向下平移.
作业布置
教材课后配套作业题。
谢谢
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