答案与评分标准
一、解答题（共10小题）21世纪教育网
1、已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则x0称是函数y=f（x）的一个不动点，设．
（1）求函数y=f（x）的不动点；
（2）对（1）中的二个不动点a、b（假设a＞b），求使恒成立的常数k的值；
（3）对由a1=1，an=f（an﹣1）定义的数列{an}，求其通项公式an．21*cnjy*com
考点：函数恒成立问题；等比关系的确定。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；新定义。
分析：（1）设函数y=f（x）的一个不动点为x0，然后根据不动点的定义建立方程，解之即可；
（2）由（1）可知，代入可求出常数k的值；
（3）由（2）可知数列为首项，8为公比的等比数列，然后求出通项，即可求出数列{an}的 通项公式．
解答：解：（1）设函数y=f（x）的一个不动点为x0，
则
（2）由（1）可知
可知使恒成立的常数k=8．
（3）由（2）知
可知数列为首项，8为公比的等比数列
即以为首项，8为公比的等比数列．则
∴．
点评：本题主要考查了函数恒成立问题，以及等比数列求通项，同时考查了前后问题之间的联系，属于中档题．
2、已知函数的反函数为f﹣1（x），数列{an}满足：a1=1，an+1=f﹣1（an）（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．
考点：反函数；等比关系的确定；数列的求和；数列递推式。
专题：计算题。
分析：（1）先求原函数的反函数，即从原函数式中反解出x，后再进行x，y互换，即得反函数的解析式，再利用等差数列求数列的通项，最后求出数列{an}的通项．21世纪教育网版权所有
（2）据成等比数列求得数列{bn}的通项，再利用错位相乘法求其前n项和即可．
∴Sn=b1+b2++bn=21世纪教育网
则21cnjy21*cnjy*com
两式相减得=
∴．
点评：本题考查反函数的求法，以及等差数列等比数列的通项公式和性质，还有错位相头减法求数列的前n项和．属于中档题．
3、1987年7月11日世界人口达到50亿，联合国将7月11日定为“世界人口日”；1993年的“世界人口日”全球人口达到54.8亿．
（1）在这几年里，每年人口平均增长率是多少？
（2）按这个增长率，预测2009年“世界人口日”的世界人口数．（精确到1亿）
参考数据：，，（1.0185）13=1.27，（1.0154）22=1.400，（1.0185）18=1.392，（1.0154）23=1.421．
考点：函数模型的选择与应用；等比关系的确定。
专题：应用题。
分析：（1）由题意，人口增长组成一等比数列，故可得等式，从而得解；
（2）利用（1）的结论，结合等比数列的通项可求
解答：解：（1）设这几年每年人口平均增长率是x﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（1分）
则到1993年人口为 50×（1+x）6=54.8﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（5分）∴x=0.0154（8分）
（2）按这个增长率，2009年“世界人口日”的世界人口数为50×（1+0.0154）22≈70（亿）﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（12分）
答：这几年每年人口平均增长率是0.0154，按这个增长率，2009年“世界人口日”的世界人口数约为70 亿．﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣（13分）
点评：本题主要考查等比数列模型的建立及解决实际问题，属于基础题．
4、如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）．
（Ⅰ）证明{an}是等比数列；21世纪教育网
（Ⅱ）求（a1+a2+…+an）的值．2121*cnjy*com世纪教育网版权所有
（Ⅱ）由，能够导出（a1+a2+…+an）的值．
解答：（Ⅰ）证明：记rn为圆On的半径，
则，21cnjy
所以，
于是，
故{an}成等比数列．
（Ⅱ）解：因为，
所以
点评：本题主要考查数列、数列极限、三角函数等基本知识，解题时要注意提高逻辑思维能力．
5、等差数列{an}的前n项和为sn，，．
（1）求数列{an}的通项an与前n项和为sn；21世纪教育网
（2）设（n∈N+），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比关系的确定。21cnjy
专题：计算题。
分析：（1）用a1表示出S2，进而求得d，则等差数列的通项公式和前n项的和可求．
（2）把（1）中sn代入bn，求得bn，假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则根据等比中项的性质可知bq2=bpbr．把bp，bq，br代入求得进而推断出求得p=r，与p≠r矛盾．进而可知假设不成立．
解答：解：（1）由已知得，∴d=2，
故．
（2）由（Ⅰ）得．
假设数列{bn}中存在三项bp，bq，br（p，q，r互不相等）成等比数列，则bq2=bpbr．
即．
∴，
∵p，q，r∈N*，
∴，
∴=0，
∴p=r．
与p≠r矛盾．
所以数列{bn}中任意不同的三项都不可能成等比数列．
点评：本小题考查数列的基本知识，考查等差数列的概念、通项公式与前n项和公式，考查等比数列的概念与性质，考查化归的数学思想方法以及推理和运算能力．
6、已知数列{an}满足：a1=，a2=，an+1=2an﹣an﹣1（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足b1＜0，3bn﹣bn﹣1=n（n≥2，n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项an．（2）求证：数列{bn﹣an}为等比数列．21*cnjy*com
考点：等差数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和。
专题：计算题；证明题。
分析：（1）2an=an+1+an﹣1，根据等差数列的定义可知∴{an}是等差数列．根据a1和a2，求得公差，则数列{an}的通项an可得．
（2）把an和bn代入bn+1﹣an+1进而化简整理bn+1﹣an+1=（bn﹣an），进而可判断∴{bn﹣an}是以b1﹣为首项，以为公比的等比数列．21世纪教育网版权所有
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和等比关系的确定．考查了学生综合把握数列基础知识．21世纪教育网
7、已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n﹣1，令，数列{bn}的前n项和为Tn．21世纪教育网
（1）求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和为Tn；21cnjy
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比关系的确定。
专题：计算题。
分析：（1）把等差数列的求和公式代入an2=S2n﹣1整理后可求得an，代入利用裂项法求得Tn．
（2）根据（1）中求得Tn分别表示出T1，Tm，Tn根据等比中项的性质建立等式，化简整理即可求得m的范围，进而根据m和n均为正整数求得m，进而n
解答：解：（1）因为{an}是等差数列，
由，
又因为an≠0，所以an=2n﹣1，
由，
所以．
（2）由（1）知，，
所以，21世纪教育网版权所有
若T1，Tm，Tn成等比数列，则，
即．21cnjy
由，21*cnjy*com
可得，21世纪教育网
所以﹣2m2+4m+1＞0，
从而：，又m∈N，且m＞1，
所以m=2，此时n=12．
故可知：当且仅当m=2，n=12使数列{Tn}中的T1，Tm，Tn成等比数列．
点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和实际运算能力．
8、公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；
（Ⅱ）记，若自然数η1，η2，…，ηk，…满足1≤η1＜η2＜…＜ηk＜…，并且成等比数列，其中η1=1，η2=3，求ηk（用k表示）；
（Ⅲ）记，试问：在数列{cn}中是否存在三项cr，cs，ct（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．
考点：等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；等比关系的确定。
专题：计算题。
分析：（Ⅰ）把a1代入S3，求得d，进而根据等差数列的通项公式和求和公式求得an及其前n项和Sn．
（Ⅱ）把（1）中求得的an代入求得bn，进而求得，即数列，的公比，根据等比数列的通项公式求得，进而根据求得ηk．
（Ⅲ）根据（1）中求得的Sn求得cn，假设存在三项cr，cs，ct成等比数列，则cs2=cr?ct，把cn代入整理得进而看当2s﹣r﹣t≠0时看相等，当2s﹣r﹣t=0时，r和t的关系，进而判断假设是否成立．
解答：解：（Ⅰ）∵，，∴d=2
所以，21世纪教育网版权所有
即，
整理得21世纪教育网版权所有
①当2s﹣r﹣t≠0时，，21cn21*cnjy*com jy
∵r，s，t∈N*，∴是21世纪教育网
有理数，这与为无理数矛盾
②当2s﹣r﹣t=0时，则rt+r+t﹣s2﹣2s=0，从而，
解得r=t，这与r＜t矛盾．
综上所述，不存在满足题意的三项cr，cs，ct
点评：本题主要考查了等差数列和等比数列的性质．考查了学生综合分析问题和运算的能力．
9、已知等差数列{an}，a2=8，前9项和为153．
（Ⅰ）求a5和an；
（Ⅱ）若，证明数列{bn}为等比数列；
（Ⅲ）若从数列{an}中，依次取出第二项，第四项，第八项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn
考点：等差数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和。
分析：（1）根据前9项和为153和第五项是前9项的等差中项，得到第五项的值，根据第二项和第五项的值列出方程求得首项和公差，写出通项公式．
（2）要证明数列是等比数列，只要相邻两项之比是常数即可，两项之比是一个常数得到结论．
（3）依次取出原数列的第二项，第四项，第八项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{cn}，则组成一个等比数列，看出首项和公比，代入公式求解．
解答：解：（Ⅰ）设数列{an}的公差为d，
则，
∴
∴a5=17．
∵
∴an=3n+2．
（Ⅱ）
∴数列{bn}是首项为32，公比为8的等比数列．21世纪教育网版权所有
（Ⅲ）21世纪教育网
=3（2+4+8+…+2n）+2n
=21cnjy21*cnjy*com
=3?2n+1+2n﹣6．
点评：数列是高中数学的重要内容，又是学习高等数学的基础，所以在高考中占有重要的地位．高考对本章的考查比较全面，等差数列，等比数列的考查每年都不会遗漏．这是一个中档题目，高考时能出现在前三个题的位置．
10、已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+bn=1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn}是等比数列；
（3）记cn=an?bn，求{cn}的前n项和Sn．
考点：等差数列的通项公式；等比关系的确定；数列的求和。
专题：计算题。
分析：（1）设an的公差为d，根据等差数列通项公式根据a2=6，a5=18可求得a1和d，进而可求得数列{an}的通项公式；
（2）先看当n≥2时根据Tn﹣Tn﹣1=bn，可得bn与bn﹣1的关系式整理的，进而可知为等比数列，最后验证n=1时，也成立．原式得证．
（3）由（2）可求得数列{bn}的通项公式，进而可得{cn}的通项公式．数列{cn}由等差数列和等比数列构成，进而可用错位将减法求和．
（3）由（2）可知：．
∴=．21世纪教育网版权所有
Sn=c1+c2+…cn﹣1+cn=
∴．
∴=
=2121*cnjy*com世纪教育网
=
∴21cnjy
点评：本题主要考查了等差数列的通项公式和求和问题．当出现由等比数列和等差数列构成的数列求和时，一般采用错位相减法．
二、选择题（共20小题）
11、已知一个三角形的三边长构成等比数列，其公比为x，则函数y=x2﹣的值域为（ ）
A、（，+∞） B、[，+∞）
C、（，﹣1） D、[，﹣1）
考点：函数的值域；等比数列的性质。
专题：计算题；数形结合；转化思想。
分析：由题意先设出三边为a、xa、x2a、x＞0则由三边关系：两短边和大于第三边a+b＞c，分公比大于1与公式在小于1两类解出公比的取值范围，此两者的并集是函数y=x2﹣的定义域，再由二次函数的性质求出它的值域，选出正确选项．
（2）当x＜1时，a为最大边，xa+x2a＞a即得x2+x﹣1＞0，解之得x＞或x＜﹣且x＞0
即x＞
综合（1）（2），得：x∈（，）
又y=x2﹣的对称轴是x=，故函数在（，）是减函数，在（，）是增函数
由于x=时，y=；x=与x=时，y=﹣1
所以函数y=x2﹣的值域为[，﹣1）
观察四个选项知应选D21世纪教育网版权所有
故选D
点评：本题考查等比数列的性质及二次函数的值域的求法，解答本题关键是熟练掌握等比数列的性质，能利用它建立不等式解出公比x的取值范围得出函数的定义域，熟练掌握二次函数的性质也很重要，由此类题可以看出，扎实的双基，娴熟的基础知识与公式的记忆是解题的知识保障．
12、在等比数列{an}中，，则a4=（ ）
A、±16 B、±4
C、16 D、421cnjy
考点：对数的运算性质；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：根据对数的运算性质，得出a2a6=16，再根据等比数列的性质，得到a2a6=a42=16，由对数的定义域，知a4=4．
解答：解：，即a2a6=16，
又 a2a6=a42=16，故a4=±4（舍负）21世纪21*cnjy*com教育网
故选D．
点评：本题考查了对数的运算性质以及等比数列的性质，是基础题．
13、设{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（ ）
A、5 B、10
C、20 D、2或4
考点：对数的运算性质；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：由已知中{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，根据等比数列的性质，可得a1a10=a2a9=a3a8=a4a7=a5a6=81，根据对数的运算性质，可将log3a1+log3a2+…+log3a10化为log3（a5a6）5的形式，进而再由对数的运算性质得到答案．
点评：本题考查的知识点是对数的运算性质，等比数列的性质，其中根据等比数列的性质，将原式化为log3（a5a6）5的形式是解答本题的关键．
14、已知函数，f（X）=log2x的反函数为f﹣1（x），等比数列{an}的公比为2，若f﹣1（a2）?f﹣1（a4）=210，则2f（a1）+f（a2）+…+f（a2009）=（ ）
A、21004×2008 B、21005×2009
C、21005×2008 D、21004×2009
考点：反函数；对数的运算性质；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：本题由函数f（X）=log2x可确定反函数f﹣1（x），从而利用f﹣1（a2）?f﹣1（a4）=210得到等比数列第二项与第四项的等式关系，并结合公比为2求出通项an=2n﹣1，由此求出f（a1）+f（a2）+…+f（a2009）的值，进而可得答案．
解答：解：由f（X）=log2x得f﹣1（x）=2x，所以f﹣1（a2）?f﹣1（a4）===210，所以a2+a4=10，
又公比q=2，所以a1=1，21世纪教育网版权所有
故an=2n﹣1，
所以f（a1）+f（a2）+…+f（a2009）=log21+log221+log222+log223+…+log222008=1+2+3+…+2008==1004×2009；
所以2f（a1）+f（a2）+…+f（a2009）=21004×2009
故选D．
点评：本题主要结合反函数知识考查了对数函数的运算性质，并兼顾了对等比数列知识的考查，综合性较强，有一定难度，易在计算中出现失误．
15、在等差数列{an}中，a1，a2，a5成等比数列，且a1+a2+a5=13，则数列{an}的公差为（ ）
A、2 B、0
C、2或0 D、21世纪教育网
考点：等差数列；等比数列的性质。21cnjy
专题：计算题。21*cnjy*com
分析：由题意a1，a2，a5成等比数列可得（a2）2=a1a5，利用等差数列的通项公式化简后得到d=0或d=2a1，又根据a1+a2+a5=13，再利用等差数列的通项公式化简后，将d=2a1代入即可求出a1和d的值，综述得到d的两个解．
解答：解：因为a1，a2，a5成等比数列得到（a2）2=a1a5，
即（a1+d）2=a1（a1+4d），化简得d（d﹣2a1）=0，解得d=0，d=2a1
又因为a1+a2+a5=13即3a1+5d=13，把d=2a1代入解得a1=1，则d=2
所以数列{an}的公差为2或0
故选C
点评：此题要求学生掌握等比数列的性质，灵活运用等差数列的通项公式化简求值，是一道中档题．
16、已知等差数列{an}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么公比为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：等差数列的通项公式；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：先利用等差数列的通项公式，用a1和d分别表示出等差数列的第5、9、15项进而利用等比中项的性质建立等式求得a1和d的关系，进而利用q=求得答案．
17、已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（ ）
A、﹣110 B、﹣90
C、90 D、110
考点：等差数列的前n项和；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：通过a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，求出
解答：解：a7是a3与a9的等比中项，公差为﹣2，所以a72=a3?a9，所以a72=（a7+8）（a7﹣4），所以a7=8，所以a1=20，
所以S10==110
故选D
点评：本题是基础题，考查等差数列的前n项和，等比数列的应用，考查计算能力，常考题型．
18、设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（ ）
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C、 D、n2+n21世纪教育网21*cnjy*com
考点：等差数列的前n项和；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：设数列{an}的公差为d，由题意得（2+2d）2=2?（2+5d），解得或d=0（舍去），由此可求出数列{an}的前n项和．21cnjy
19、在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a5=4，则数列{log2an}的前7项和等于（ ）
A、7 B、8
C、27 D、28
考点：等差数列的前n项和；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：根据等比数列的性质，由已知的等式求出a4的值，然后利用对数的运算性质化简数列{log2an}的前7项和，把a4的值代入即可求出数列{log2an}的前7项和．
解答：解：由a3a5=a42=4，又等比数列{an}的各项均为正数，
∴a4=2，
则数列{log2an}的前7项和S7=++…+====7．
故选A
点评：此题考查学生灵活运用等比数列的性质化简求值，掌握对数的运算性质，是一道基础题．
20、若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为（ ）
A、 B、
C、 D、32
考点：等差数列的前n项和；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：利用等差数列的求和公式及S9=﹣36，S13=﹣104可求首项及公差d，进而可求a5与a7，等比中项为A，则A2=a5?a7，代入可求
解答：解：设等差数列的首项为a1，公差为d
由题意可得，
解可得，a1=4，d=﹣2
设a5与a7的等比中项为A，则A2=a5?a7=（﹣4）×（﹣8）=32
所以，
故选：C21世纪教育网
点评：本题主要考查了等差数列的求和公式的应用，等比中项的应用，属于基础试题．
21、在各项都为正数的等比数列{an}中，若a5?a6=9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于（ ）
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C、12 D、2+log3521cnjy
22、已知数列{an}的前n项为Sn，S3=3，S6=27，则此等比数列的公比q等于（ ）
A、2 B、﹣2
C、 D、﹣21*cnjy*com
考点：等比数列；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：根据q3=，进而求的q．
解答：解：q3===8
∴q=2
故选A
点评：本题主要考查了等比数列的性质．属基础题．
23、等比数列{an}中，S3：S2=3：2，则公比q的值是（ ）
A、1 B、﹣
C、1或﹣ D、﹣1或
考点：等比数列；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：利用等比数列的求和公式表示出s3和s2，因为S3：S2=3：2得到q的方程，解出即可．
解答：解：s3=，；
因为S3：S2=3：2
则：=3：2
化简得：2q2﹣q﹣1=0
解得：q=1或q=﹣21世纪教育网
故选C
点评：考查学生理解等比数列的通项公式和求和公式的能力，运用等比数列的性质能力．
24、等比数列{an}中，a2=2，a5=16，则数列{an}的公比为（ ）
A、 B、221世纪教育网版权所有
C、或﹣ D、2或﹣2
25、数列an的前n项和为Sn=2n+1﹣1，那么该数列前2n项中所有奇数位置的项的和为（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、 D、21cnjy
考点：等比数列的通项公式；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：由已知条件知道数列的前n项和，应联想由前n项和求通项的公式，先求数列的通项，在由通项找其和的方法
解答：解：∵Sn=2n+1﹣1，
由Sn与an的关系式，可知，
∴由an的通项可知其前2n项中奇数位的和为：a1+a3+a5+…+a2n﹣1=3+23+25+…+22n﹣1=；
故选B．
点评：此题主要考查了，已知数列的前项和求通项公式，这是高考常见类型也是学生容易忽视首项导致错误之处，另外还考查等比数列的求和公式．
26、如果一个数列的通项公式是an=k?qn（k，q为不等于零的常数）则下列说法中正确的是（ ）
A、数列{an}是首项为k，公比为q的等比数列
B、数列{an}是首项为kq，公比为q的等比数列
C、数列{an}是首项为kq，公比为q﹣1的等比数列
D、数列{an}不一定是等比数列
考点：等比数列的通项公式；等比数列的性质。
分析：用定义法来判断一数列是否为等比数列．
解答：解：∵an=k?qn∴a1=kq
又∵
由等比数列定义知：
数列{an}是首项为kq，公比为q的等比数列
故选B
点评：本题主要考查判断一个数列的方法．
27、在等比数列{an}中，，当n≥11时，an＞1恒成立，则公比q的取值范围是：（ ）
A、0＜q＜1 B、q＞1
C、q＞2 D、q＞21世纪教育网版权所有
考点：等比数列的通项公式；等比数列的性质。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：根据题意结合等比数列的单调性可得，数列{an}是递增数列，故当n≥11时，an＞1恒成立，即a11＞1，利用等比数列的通项公式表示出a11，代入不等式求解即可．
28、已知a、b、c为等比数列，b、m、a和b、n、c是两个等差数列，则=（ ）
A、4 B、321cnjy21*cnjy*com
C、2 D、1
考点：数列的应用；等差数列的性质；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：由等差数列的性质可得a、b、c与m、n的关系，根据等比数列的定义，用a、q表示b、c，代入所求式子中，整理化简即可．
解答：解：∵b、m、a和b、n、c是两个等差数列，
∴m﹣b=a﹣m，n﹣b=c﹣n，
∴m=，n=；
∵a、b、c为等比数列，设公比为q，
则b=aq，c=aq2，
∴=+
=+
=+
==2．
故选C．
点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了学生的分析能力与运算能力．
29、如果等比数列{an}的首项为正数，公比大于1，那么数列（ ）
A、是递增的等比数列 B、是递减的等比数列
C、是递增的等差数列 D、是递减的等差数列
考点：等差关系的确定；等比数列的性质。21世纪教育网版权所有
分析：根据已知中等比数列{an}的首项为正数，公比大于1，我们可以判断﹣是否为定值，
点评：本题考查的知识点是等差数列的确定及等比数列的性质，其中根据对数的运算性质，判断﹣是否为定值，及与0的关系，是解答本题的关键．21世纪教育网
30、已知递增数列{an}满足an+1?an﹣1=an2（n≥2，n∈N），其前10项和等于50，前15项的和为210，则其前5项的和为（ ）
A、10 B、25021*cnjy*com
C、25 D、1521cnjy
考点：等比关系的确定；等比数列的性质。
专题：计算题。
分析：根据题意，由an+1?an﹣1=an2，易得{an}为等比数列；进而根据等比数列前n项和的性质可得S5、S10﹣S5、S15﹣S10也是等比数列；即有（50﹣S5）2=S5×（210﹣50），解可得S5=10或250，又由{an}是递增数列，则S5＜S10，对求出的S5取舍即可得答案．
解答：解：根据题意，由an+1?an﹣1=an2，且{an}是递增数列，
可得{an}为等比数列；
则S5、S10﹣S5、S15﹣S10，也是等比数列；
即S5、50﹣S5、210﹣50，三项等比数列，即有（50﹣S5）2=S5×（210﹣50），
解可得S5=10或250，
又由{an}是递增数列，
∴S5=10，
故选A．
点评：本题考查等比关系的确定以及等比数列前n项和的性质，注意牢记并灵活运用等比数列的性质．
等比数列—等比数列的性质
一、解答题（共10小题）
1、已知函数y=f（x），若存在x0，使得f（x0）=x0，则x0称是函数y=f（x）的一个不动点，
设．
（1）求函数y=f（x）的不动点；
（2）对（1）中的二个不动点a、b（假设a＞b），求使恒成立的常数
k的值；21cnjy
（3）对由a1=1，an=f（an﹣1）定义的数列{an}，求其通项公式an．
2、已知函数的反函数为f﹣1（x），数列{an}满足：a1=1，an+1=f
﹣1（an）（n∈N*）．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；
（Ⅱ）若数列{bn}满足：成等比数列，数列{bn}的前n项和为Sn，求Sn．
3、1987年7月11日世界人口达到50亿，联合国将7月11日定为“世界人口日”；1993年的“世界人口日”全球人口达到54.8亿．21世纪教育网
（1）在这几年里，每年人口平均增长率是多少？
（2）按这个增长率，预测2009年“世界人口日”的世界人口数．（精确到1亿）
参考数据：，，（1.0185）13=1.27，（1.0154）22=1.400，（1.0185）18=1.392，（1.0154）23=1.421．
4、如图，在边长为l的等边△ABC中，圆O1为△ABC的内切圆，圆O2与圆O1外切，且与AB，BC相切，…，圆On+1与圆On外切，且与AB，BC相切，如此无限继续下去．记圆On的面积为an（n∈N）．
（Ⅰ）证明{an}是等比数列；
（Ⅱ）求（a1+a2+…+an）的值．
5、等差数列{an}的前n项和为sn，，．
（1）求数列{an}的通项an与前n项和为sn；
（2）设（n∈N+），求证：数列{bn}中任意不同的三项都不可能成为等比数列．
6、已知数列{an}满足：a1=，a2=，an+1=2an﹣an﹣1（n≥2，n∈N*），数列{bn}满足b1＜0，3bn﹣bn﹣1=n（n≥2，n∈N*），数列{bn}的前n项和为Sn．
（1）求数列{an}的通项an．（2）求证：数列{bn﹣an}为等比数列．
7、已知数列{an}是各项均不为0的等差数列，Sn为其前n项和，且满足an2=S2n﹣1，令，数列{bn}的前n项和为Tn．
（1）求数列{an}的通项公式及数列{bn}的前n项和为Tn；
（2）是否存在正整数m，n（1＜m＜n），使得T1，Tm，Tn成等比数列？若存在，求出所有的m，n的值；若不存在，请说明理由．
8、公差d≠0的等差数列{an}的前n项和为Sn，已知，．
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an及其前n项和Sn；
（Ⅱ）记，若自然数η1，η2，…，ηk，…满足1≤η1＜η2＜…＜ηk＜…，并且成等比数列，其中η1=1，η2=3，求ηk（用k表示）；
（Ⅲ）记，试问：在数列{cn}中是否存在三项cr，cs，ct（r＜s＜t，r，s，t∈N*）恰好成等比数列？若存在，求出此三项；若不存在，请说明理由．
9、已知等差数列{an}，a2=8，前9项和为153．21世纪教育网版权所有
（Ⅰ）求a5和an；
（Ⅱ）若，证明数列{bn}为等比数列；221*cnjy*com 1世21cnjy纪教育网
（Ⅲ）若从数列{an}中，依次取出第二项，第四项，第八项，…，第2n项，按原来的顺序组成一个新的数列{cn}，求数列{cn}的前n项和Tn21cnjy21*cnjy*com
10、已知数列{an}是等差数列，a2=6，a5=18；数列{bn}的前n项和是Tn，且Tn+bn=1．
（1）求数列{an}的通项公式；
（2）求证：数列{bn}是等比数列；
（3）记cn=an?bn，求{cn}的前n项和Sn．
二、选择题（共20小题）
11、已知一个三角形的三边长构成等比数列，其公比为x，则函数y=x2﹣的值域为（ ）
A、（，+∞） B、[，+∞）
C、（，﹣1） D、[，﹣1）
12、在等比数列{an}中，，则a4=（ ）
A、±16 B、±4
C、16 D、4
13、设{an}是由正数组成的等比数列，且a5a6=81，log3a1+log3a2+…+log3a10的值是（ ）
A、5 B、10
C、20 D、2或4
14、已知函数，f（X）=log2x的反函数为f﹣1（x），等比数列{an}的公比为2，若f﹣1（a2）?f﹣1（a4）=210，则2f（a1）+f（a2）+…+f（a2009）=（ ）
A、21004×2008 B、21005×2009
C、21005×2008 D、21004×2009
15、在等差数列{an}中，a1，a2，a5成等比数列，且a1+a2+a5=13，则数列{an}的公差为（ ）
A、2 B、0
C、2或0 D、
16、已知等差数列{an}的公差d≠0，若a5、a9、a15成等比数列，那么公比为（ ）
A、 B、
C、 D、
17、已知{an}为等差数列，其公差为﹣2，且a7是a3与a9的等比中项，Sn为{an}的前n项和，n∈N*，则S10的值为（ ）
A、﹣110 B、﹣90
C、90 D、110
18、设{an}是公差不为0的等差数列，a1=2且a1，a3，a6成等比数列，则{an}的前n项和Sn=（ ）
A、 B、
C、 D、n2+n
19、在各项均为正数的等比数列{an}中，a3a5=4，则数列{log2an}的前7项和等于（ ）
A、7 B、821世纪教育网21cnjy
C、27 D、28
20、若Sn为等差数列{an}的前n项和，S9=﹣36，S13=﹣104，则a5与a7的等比中项为（ ）
A、 B、
C、 D、3221世纪教育网
21、在各项都为正数的等比数列{an}中，若a5?a6=9，则log3a1+log3a2+log3a3+…+log3a10等于（ ）
A、8 B、1021*cnjy*com
C、12 D、2+log35
22、已知数列{an}的前n项为Sn，S3=3，S6=27，则此等比数列的公比q等于（ ）
A、2 B、﹣2
C、 D、﹣
23、等比数列{an}中，S3：S2=3：2，则公比q的值是（ ）
A、1 B、﹣
C、1或﹣ D、﹣1或
24、等比数列{an}中，a2=2，a5=16，则数列{an}的公比为（ ）
A、 B、2
C、或﹣ D、2或﹣2
25、数列an的前n项和为Sn=2n+1﹣1，那么该数列前2n项中所有奇数位置的项的和为（ ）
A、 B、
C、 D、
26、如果一个数列的通项公式是an=k?qn（k，q为不等于零的常数）则下列说法中正确的是（ ）
A、数列{an}是首项为k，公比为q的等比数列
B、数列{an}是首项为kq，公比为q的等比数列
C、数列{an}是首项为kq，公比为q﹣1的等比数列
D、数列{an}不一定是等比数列
27、在等比数列{an}中，，当n≥11时，an＞1恒成立，则公比q的取值范围是：（ ）
A、0＜q＜1 B、q＞1
C、q＞2 D、q＞
28、已知a、b、c为等比数列，b、m、a和b、n、c是两个等差数列，则=（ ）
A、4 B、3
C、2 D、1
29、如果等比数列{an}的首项为正数，公比大于1，那么数列（ ）
A、是递增的等比数列 B、是递减的等比数列
C、是递增的等差数列 D、是递减的等差数列
30、已知递增数列{an}满足an+1?an﹣1=an2（n≥2，n∈N），其前10项和等于50，前15项的和为210，则其前5项的和为（ ）
A、10 B、250
C、25 D、15
