直线的一般式方程与直线的平行关系
一、选择题（共15小题）
1、给出下列命题
（1）集合{0}不是空集．
（2）直线a平面∥α，α∥β，则直线a∥β；
（3）二次函数y=1﹣a（x﹣1）2有最大值，则 a≤0
（4）直线l1：2x﹣y+5=0与直线l1：x+3y﹣1=0是相交直线
其中正确的命题个数为（ ）
A、①④ B、②③
C、①② D、③④
2、已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0，与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0，平行，则K得值是（ ）
A、1或3 B、1或5
C、3或5 D、1或2
3、直线ax+2y﹣1=0与x+（a﹣1）y+2=0平行，则a等于（ ）
A、 B、2
C、﹣1 D、2或﹣1
4、“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（ ）
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
5、如果直线l1：2x﹣ay+1=0与直线l2：4x+6y﹣7=0平行，则a的值为（ ）
A、3 B、﹣3
C、5 D、0
6、若实数a，b，c，满足对任意实数x，y有 x+2y﹣3≤ax+by+c≤x+2y+3，则a+2b﹣3c的最小值为（ ）
A、﹣6 B、﹣4
C、﹣2 D、0
7、a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、非充分非必要条件
8、已知直线ax﹣y=0与直线2x+3y+1=0平行，则a等于（ ）
A、 B、
C、 D、
9、如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（ ）
A、﹣6 B、﹣3
C、 D、
10、已知P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别是直线l上和l外的点，若直线l的方程是f（x，y）=0，则方程f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）=0表示（ ）
A、与l重合的直线
B、过P点且与l平行的直线
C、过Q点且与l平行的直线
D、不过Q点且与l平行的直线
11、平面直角坐标系中，若两直线l1：mx+2y+m﹣2=0，l2：4x+（m﹣2）y+2=0互相平行，则常数m等于（ ）
A、﹣2 B、4
C、﹣2或4 D、0
12、已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则是l1∥l2的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既非充分又非必要条件
13、若直线2ay﹣1=0与直线（3a﹣1）x+y﹣1=0平行，则实数a等于（ ）
A、 B、﹣
C、 D、﹣
14、已知两条直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0，l2：2x+（m+5）y﹣8=0，l1∥l2，则直线l1的一个方向向量是（ ）
A、（1，﹣） B、（﹣1，﹣1）
C、（1，﹣1） D、（﹣1，﹣）
15、如果直线ax+by+1=0平行于y轴，则有（ ）
A、a≠b，b≠0 B、a=b，b=0
C、a≠0，b=0 D、a=0，b≠0
二、填空题（共5小题）
16、已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．则直线l1∩l2=?的概率为为 _________ ．
17、已知直线l1：x+ysinθ﹣1=0，l2：2xsinθ+y+1=0，若l1∥l2，则θ= _________ ．
18、已知直线l1：ax﹣y+2a+1=0和l2：2x﹣（a﹣1）y+3=0（a∈R），若l1与l2平行，则a= _________ ．
19、已知直线l1：（3+m）+4y=5﹣3m；直线l2：2x+（5+m）y=8．若l1∥l2，则m= _________ ．
20、直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为 _________ ．
三、解答题（共5小题）
21、已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：2x+y+2=0，求满足下列条件的a、b的值．
（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），且直线l1在x轴和y轴上的截距相等；
（2）直线l1与l2平行，且坐标原点到直线l1、l2的距离相等．
22、一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．
23、已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．若l1∥l2，则a的值为多少？
24、求与直线l1：3x+4y﹣7=0平行，并且与两坐标轴都相交在正半轴所成的三角形面积为24的直线l的方程．
25、已知直线x+2ay﹣1=0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，求a的值．
答案与评分标准
一、选择题（共15小题）
1、给出下列命题
（1）集合{0}不是空集．
（2）直线a平面∥α，α∥β，则直线a∥β；
（3）二次函数y=1﹣a（x﹣1）2有最大值，则 a≤0
（4）直线l1：2x﹣y+5=0与直线l1：x+3y﹣1=0是相交直线
其中正确的命题个数为（ ）
A、①④ B、②③
C、①② D、③④
考点：二次函数的性质；集合的含义；直线的一般式方程与直线的平行关系；直线与平面平行的判定。
专题：阅读型。
分析：集合{0}中含一个元素0，所以（1）对；当直线a平面∥α，α∥β，则直线a∥β或a?β，所以（2）错；
二次函数y=1﹣a（x﹣1）2有最大值，其图象开口向下，所以a＞0，所以（3）错；根据两条直线的斜率不相等，判断出（4）错．
解答：解：对于（1），集合{0}中含一个元素0，所以（1）对；
对于（2），当直线a平面∥α，α∥β，则直线a∥β或a?β，所以（2）错；
对于（3），二次函数y=1﹣a（x﹣1）2有最大值，其图象开口向下，所以a＞0，所以（3）错；
对于（4），2x﹣y+5=0的斜率为2，x+3y﹣1=0的斜率为，所以直线l1：2x﹣y+5=0与直线l1：x+3y﹣1=0是相交，
所以（4）对．
故选A．
点评：解决二次函数的最值问题，一般考虑二次函数的开口方向，二次函数的对称轴与区间的位置关系，是一道综合题．
2、已知直线l1：（k﹣3）x+（4﹣k）y+1=0，与l2：2（k﹣3）x﹣2y+3=0，平行，则K得值是（ ）
A、1或3 B、1或5
C、3或5 D、1或2
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：分类讨论。
分析：当k﹣3=0时，求出两直线的方程，检验是否平行；当k﹣3≠0时，由一次项系数之比相等且不等于常数项之比，求出k的值．
解答：解：由两直线平行得，当k﹣3=0时，两直线的方程分别为 y=﹣1 和 y=，显然两直线平行．
当k﹣3≠0时，由=≠，可得 k=5．综上，k的值是 3或5，
故选 C．
点评：本题考查由直线的一般方程求两直线平行时的性质，体现了分类讨论的数学思想．
3、直线ax+2y﹣1=0与x+（a﹣1）y+2=0平行，则a等于（ ）
A、 B、2
C、﹣1 D、2或﹣1
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：两条直线平行倾斜角相等，即可求a的值．
解答：解：因为直线ax+2y﹣1=0的斜率存在，
要使两条直线平行，必有
解得 a=2或﹣1．
故选D．
点评：本题考查直线的一般式方程与直线的平行关系、两条直线平行的判定，是基础题．
4、“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的（ ）
A、充要条件 B、充分不必要条件
C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
分析：当a=2 时，经检验，两直线平行，故充分性成立；当两直线平行时，由斜率相等得到a=±2，故必要性不成立．
解答：解：当a=2 时，直线2x+ay﹣1=0 即 2x+2y﹣1=0，直线ax+2y﹣2=0 即 2x+2y﹣2=0，显然两直线平行，故充分性成立．
当直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行时，由斜率相等得，a2=4，a=±2，
故由直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行，不能推出a=2，故必要性不成立．
综上，“a=2”是“直线2x+ay﹣1=0与直线ax+2y﹣2=0平行”的充分不必要条件，
故选B．
点评：本题考查两直线平行的条件和性质，充分条件、必要条件的定义和判断方法．
5、如果直线l1：2x﹣ay+1=0与直线l2：4x+6y﹣7=0平行，则a的值为（ ）
A、3 B、﹣3
C、5 D、0
6、若实数a，b，c，满足对任意实数x，y有 x+2y﹣3≤ax+by+c≤x+2y+3，则a+2b﹣3c的最小值为（ ）
A、﹣6 B、﹣4
C、﹣2 D、0
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：由题意知，﹣3≤（a﹣1）x+（b﹣2）y+c≤3，故当 a=1，b=2 时，
﹣3≤c≤3，可求a+2b﹣3c的最小值．
解答：解：由题意知，﹣3≤（a﹣1）x+（b﹣2）y+c≤3，故当 a=1，b=2 时，
﹣3≤c≤3，则a+2b﹣3c的最小值为 1+2×2﹣3×3=﹣4，
故选 B．
点评：本题考查直线的一般式方程与直线平行的关系，以及不等式的性质的应用．
7、a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、非充分非必要条件
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：验证当a=3时，直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7之间是平行关系，当两条直线平行时，根据两条直线平行的充要条件写出关系式，得到a的两个数值，得到结论．
解答：解：∵当a=3时，
直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7
就变化为3x+2y+9=0，3x+2y+4=0，
两条直线之间是平行关系，
当两条直线平行时，
有，
∴a=3，a=﹣2，
当a=﹣2时，两条直线之间是重合关系，故舍去
∴a=3是直线ax+2y+3a=0与直线3x+（a﹣1）y=a﹣7平行的充分必要条件，
故选C．
点评：本题考查两条直线的位置关系，解题的关键是正确应用两条直线平行的条件，在解题时要用一般式的条件，不然会出错．
8、已知直线ax﹣y=0与直线2x+3y+1=0平行，则a等于（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：由题意可知直线的斜率存在，利用直线的平行斜率相等求出a即可．
解答：解：已知直线ax﹣y=0与直线2x+3y+1=0平行，所以a=，
故选B．
点评：本题是基础题，考查直线的平行，注意直线斜率是否存在是直线平行解题的关键．
9、如果直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，那么实数a等于（ ）
A、﹣6 B、﹣3
C、 D、
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：根据它们的斜率相等，可得=3，解方程求a的值．
解答：解：∵直线ax+2y+2=0与直线3x﹣y﹣2=0平行，
∴它们的斜率相等，∴=3，∴a=﹣6．
故选A．
点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行，斜率相等．
10、已知P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别是直线l上和l外的点，若直线l的方程是f（x，y）=0，则方程f（x，y）﹣f（x1，y1）﹣f（x2，y2）=0表示（ ）
A、与l重合的直线 B、过P点且与l平行的直线
C、过Q点且与l平行的直线 D、不过Q点且与l平行的直线
11、平面直角坐标系中，若两直线l1：mx+2y+m﹣2=0，l2：4x+（m﹣2）y+2=0互相平行，则常数m等于（ ）
A、﹣2 B、4
C、﹣2或4 D、0
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：利用两直线平行时，一次项系数之比相等但不等于常数项之比，解出常数m．
解答：解：当m﹣2=0时，两直线不平行，故两直线的斜率都存在．由=≠，解得
m=﹣2，
故选 A．
点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行时，一次项系数之比相等但不等于常数项之比．
12、已知直线l1：A1x+B1y+C1=0，l2：A2x+B2y+C2=0，则是l1∥l2的（ ）
A、充分非必要条件 B、必要非充分条件
C、充要条件 D、既非充分又非必要条件
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
分析：先看由能否推出两直线平行，再看由两直线平行能否推出成立，然后依据充分条件、必要条件、充要条件的定义进行判断．
解答：解：当时，两直线可能平行，也可能重合，故充分性不成立．
当l1∥l2时，B1与B2可能都等于0，故不一定成立，故必要性不成立．
综上，是l1∥l2的既非充分又非必要条件，
故选 D．
点评：本题考查两条直线平行的条件和性质，注意特殊情况的检验．
13、若直线2ay﹣1=0与直线（3a﹣1）x+y﹣1=0平行，则实数a等于（ ）
A、 B、﹣
C、 D、﹣
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：两直线平行，它们的斜率相等，解方程求出实数a的值．
解答：解：因为两直线平行，所以，它们的斜率相等，即 3a﹣1=0，即 a=．
故选 C．
点评：本题考查两直线平行的性质，斜率都存在的两直线平行时，他们得斜率一定相等．
14、已知两条直线l1：（m+3）x+4y+3m﹣5=0，l2：2x+（m+5）y﹣8=0，l1∥l2，则直线l1的一个方向向量是（ ）
A、（1，﹣） B、（﹣1，﹣1）
C、（1，﹣1） D、（﹣1，﹣）
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：利用两直线平行时，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求出m的值，然后求出直线l1的斜率，根据一个与直线平行的向量都是该直线的方向向量，求得结果．
解答：解：∵m=0时，l1不平行l2，
∴l1∥l2∴
解得m=﹣7
∴直线l1为2x﹣2y+13=0．
∴直线l1的斜率为1．
∴直线l1的一个方向向量为（﹣1，﹣1）
故选B．
点评：本题考查两直线平行条件以及方向向量，解题过程中要注意两直线平行时一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，属于基础题．
15、如果直线ax+by+1=0平行于y轴，则有（ ）
A、a≠b，b≠0 B、a=b，b=0
C、a≠0，b=0 D、a=0，b≠0
二、填空题（共5小题）
16、已知直线l1：x﹣2y﹣1=0，直线l2：ax﹣by+1=0，其中a，b∈{1，2，3，4，5，6}．则直线l1∩l2=?的概率为为 ．
考点：等可能事件的概率；直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：本题是一个等可能事件的概率，，试验发生所包含的事件是a，b分别从集合中选一个元素，共有6×6=36种结果，
满足条件的事件是两条直线平行，有即b=2a，列举出事件数，得到概率．
解答：解：由题意知本题是一个等可能事件的概率，
试验发生所包含的事件是a，b分别从集合中选一个元素，共有6×6=36种结果，
满足条件的事件是两条直线平行，
直线l1：x﹣2y﹣1=0与直线l2：ax﹣by+1=0平行时，有
即b=2a
当a=1时，b=2；
当a=2时，b=4；
当a=3时，b=6
共有三种情况符合题意，
∴要求的概率是P==
故答案为：
点评：本题考查等可能事件的概率，考查两条直线平行的充要条件，本题解题的关键是根据两条直线平行的条件，列举出所有的满足条件的事件数，本题是一个中档题目．
17、已知直线l1：x+ysinθ﹣1=0，l2：2xsinθ+y+1=0，若l1∥l2，则θ= ．
考点：三角函数的化简求值；直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：由l1：x+ysinθ﹣1=0，l2：2xsinθ+y+1=0，l1∥l2，可得到1?1﹣2sin2θ=0，从而可求得θ．
解答：解：∵l1：x+ysinθ﹣1=0，l2：2xsinθ+y+1=0，l1∥l2，
当sinθ=0时，显然不合题意；
当sinθ≠0时，，（k∈Z）．
故答案为：．
点评：本题考查三角函数的化简求值，易错点在于由l1∥l2入手，利用两直线的斜率相等求θ的值时，容易漏掉sinθ≠0，着重考查学生全面分析问题的能力，属于中档题．
18、已知直线l1：ax﹣y+2a+1=0和l2：2x﹣（a﹣1）y+3=0（a∈R），若l1与l2平行，则a= ﹣1，2 ．
19、已知直线l1：（3+m）+4y=5﹣3m；直线l2：2x+（5+m）y=8．若l1∥l2，则m= ﹣7 ．
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，可得，由此求得m 的值．
解答：解：∵直线l1：（3+m）+4y=5﹣3m；直线l2：2x+（5+m）y=8．且 l1∥l2，∴，∴m=﹣7，
故答案为：﹣7．
点评：本题主要考查两直线平行的性质，利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比．
20、直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，则实数a的值为 1 ．
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：利用两直线平行的条件，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值．
解答：解：直线ax﹣2y+2=0与直线x+（a﹣3）y+1=0平行，
∴，解得 a=1．
故答案为 1．
点评：本题考查两直线平行的条件，利用一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，求得实数a的值．
三、解答题（共5小题）
21、已知两直线l1：ax﹣by+4=0，l2：2x+y+2=0，求满足下列条件的a、b的值．
（1）直线l1过点（﹣3，﹣1），且直线l1在x轴和y轴上的截距相等；
（2）直线l1与l2平行，且坐标原点到直线l1、l2的距离相等．
22、（1977?北京）一条直线过点（1，﹣3），并且与直线2x+y﹣5=0平行，求这条直线的方程．
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：先求与直线2x+y﹣5=0平行的直线的斜率，再根据其过点（1，﹣3），用点斜式求直线方程．
解答：解：∵直线2x+y﹣5=0的斜率k=﹣2，
∴所求直线斜率k′=﹣2．
故过点（1，﹣3）且与已知直线平行的直线为y+3=﹣2（x﹣1），
即2x+y+1=0．
点评：本题考查直线的平行关系，直线的点斜式方程，是基础题．
23、已知两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．若l1∥l2，则a的值为多少？
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：利用两直线平行，一次项系数之比相等，但不等于常数项之比，解方程求得a的值．
解答：解：两条直线l1：ax+3y﹣3=0，l2：4x+6y﹣1=0．
若l1∥l2，
则≠，
则a=2．
点评：本题考查两直线平行的性质，一次项系数之比对应相等，但不等于常数项之比．
24、求与直线l1：3x+4y﹣7=0平行，并且与两坐标轴都相交在正半轴所成的三角形面积为24的直线l的方程．
25、已知直线x+2ay﹣1=0与直线（3a﹣1）x﹣ay﹣1=0平行，求a的值．
考点：直线的一般式方程与直线的平行关系。
专题：计算题。
分析：根据两直线平行时，两直线的方向向量共线，且在x轴上的截距不相等，解方程求出a的值．
解答：解：由1?（﹣a）﹣2a（3a﹣1）=0，且1?（﹣1）﹣（3a﹣1）?（﹣1）≠0，
解得a=0或，
故所求a的值为a=0或
．
点评：本题考查两直线平行的性质，两直线平行时，他们的方向向量共线，且直线在x轴上的截距不相等．
