直线的两点式方程
一、选择题（共8小题）
1、下列命题中真命题为（ ）
A、过点P（x0，y0）的直线都可表示为y﹣y0=k（x﹣x0）
B、过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线都可表示为（x﹣x1）（y2﹣y1）=（y﹣y1）（x2﹣x1）
C、过点（0，b）的所有直线都可表示为y=kx+b
D、不过原点的所有直线都可表示为
2、过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为（ ）21*cnjy*com
A、﹣ B、
C、3 D、﹣3
3、以（5，0）和（0，5）为端点的线段的方程是（ ）21*cnjy*com
A、x+y=5 B、x+y=5（x≥0）
C、x+y=5（y≥0） D、x+y=5（y≥0，x≥0）
4、设a＜c＜b，如果把函数y=f（x）的图象被两条平行的直线x=a，x=b所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系式中，f（c）的最佳近似表示式是（ ）
A、
B、
C、
D、
5、已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
6、下列说法的正确的是（ ）
A、经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示
B、经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示21cnjy
C、不经过原点的直线都可以用方程表示
D、经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示
7、过点P（1，2）引一条直线，使它与点A（2，3）和点B（4，﹣5）的距离相等，那么这条直线的方程是（ ）
A、4x+y﹣6=0 B、3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=021cnjy
C、x+4y﹣6=0 D、2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0
8、下列命题中，正确的是（ ）
A、过点P（x1，y1）的直线的方程都可以表示为y﹣y1=k（x﹣x1）
B、经过两个不同点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线的方程可表示为（y﹣y1）（x2﹣x1）=（y2﹣y1）（x﹣x1）
C、不经过原点的直线的方程可以表示为
D、经过点P（0，b）的直线的方程都可以表示为y=kx+b
二、填空题（共11小题）21cnjy
9、三角形ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（﹣2，5），则BC边上的高AH所在的直线方程为 _________ ．
10、经过点A（﹣3，1）和点B（4，﹣2）的直线l的点方向式方程是 _________ ．
11、过（5，7），（1，3）两点的直线方程为 _________ ．
12、已知一次函数f（x）=ax+b图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则f（x）= _________ ．
13、过两点（1，2）和（3，4）的直线的方程为 _________ ．
14、过点A（﹣1，﹣2），B（3，5）的直线方程是 _________ ．
15、直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为 _________ ．
16、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：A1x+B1y=1；l2：A2x+B2y=2；
l3：A3x+B3y=3；直线l1与直线l2相交于M，直线l2与直线l3相交于N，金老师已经正确算出直线OM的方程为（2A1﹣A2）x+（2B1﹣B2）y=0，则直线ON的方程为21*cnjy*com
_________ ．
17、已知线段AB的端点坐标为A（2，3），B（﹣1，﹣3），它交x，y轴于点P、Q，则点P坐标为 _________ ，点Q坐标为 _________ ．
18、在直线y=kx+b中，当x∈[﹣3，4]时，y∈[﹣8，13]，则此直线方程为 _________ ．
19、过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 _________ ．
三、解答题（共8小题）
20、△ABC的三个顶点为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：21*cnjy*com
（1）BC所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的垂直平分线DE的方程．
21、已知：在△ABC中，A（3，3），B（2，﹣2），C（﹣7，1）．21cnjy
求：（1）AB边上的高CH所在直线的方程．
（2）AB边上的中线CM所在直线的方程．
22、已知△ABC的三顶点A（3，﹣1），B（9，5），C（2，6）．21cnjy
（1）求边AB上的中线所在直线的方程；
（2）求角B的平分线所在直线的方程．
23、已知点A（﹣3，8）、B（2，2），点P是x轴上的点，求当|AP|+|PB|最小时的点P的坐标．
24、已知直线l过点A（2，1）、B（m，2），求直线l的方程．
25、已知三角形的三个顶点是A（0，0），B（6，0），C（2，2）．21cnjy
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）设三角形两边AB，AC的中点分别为D，E，试用坐标法证明：DE∥BC且|DE|=|BC|．
26、已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y﹣2=0，在直线l上求一点P．
（1）使|PA|+|PB|最小；
（2）使|PA|﹣|PB|最大．
27、已知点Pn（an，bn）满足an+1=an?bn+1，bn+1=（n∈N*）且点P1的坐标为（1，﹣1）．
（1）求过点P1，P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在（1）中的直线l上．21*cnjy*com
21cnjy
答案与评分标准
一、选择题（共8小题）
1、下列命题中真命题为（ ）
A、过点P（x0，y0）的直线都可表示为y﹣y0=k（x﹣x0） B、过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线都可表示为（x﹣x1）（y2﹣y1）=（y﹣y1）（x2﹣x1）
C、过点（0，b）的所有直线都可表示为y=kx+b D、不过原点的所有直线都可表示为
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：由直线不过原点且直线和x轴垂直时，直线的斜率k不存在，即可排除选项A、C、D．
解答：解：当直线不过原点且直线和x轴垂直时，直线的斜率k不存在，如直线 x=3 等，
选项A、C、D不正确，
过两点（x1，y1），（x2，y2）的直线，当直线斜率存在且不等于0时，方程为，
即 （x﹣x1）（y2﹣y1）=（y﹣y1）（x2﹣x1）．
当直线斜率不存在时，x1=x2，方程为 x=x1，可以写成（x﹣x1）（y2﹣y1）=（y﹣y1）（x2﹣x1）的形式．
当直线斜率等于0时，y1=y2，方程为 y=y1，可以写成（x﹣x1）（y2﹣y1）=（y﹣y1）（x2﹣x1）的形式．
综上，只有选项B正确，故选 B．
点评：本题考查直线方程的几种形式，注意几种特殊情况，如斜率不存在或斜率等于0的情况．
2、过两点（﹣1，1）和（0，3）的直线在x轴上的截距为（ ）
A、﹣ B、21cnjy
C、3 D、﹣3
考点：直线的两点式方程。
分析：先由两点式写出直线方程，再求截距．21cnjy
解答：解：由两点式，得=，即2x﹣y+3=0，令y=0，得x=﹣，即在x轴上的截距为﹣．
点评：要掌握直线的五种方程形式，并学会相互转化．
3、以（5，0）和（0，5）为端点的线段的方程是（ ）21cnjy
A、x+y=5 B、x+y=5（x≥0）
C、x+y=5（y≥0） D、x+y=5（y≥0，x≥0）
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：先求过两点的直线方程，可用斜截式或截距式，再通过变量y或x的范围，确定线段的方程
解答：解：以（5，0）和（0，5）为端点的线段的斜率为k==﹣1
∴此线段所在直线的方程为y=﹣x+5，即x+y﹣5=0
∴此线段的方程为x+y=5 （y≥0，x≥0）
故选D
点评：本题考察了直线的方程，恰当的选择直线的形式，可以提高解题效率，注意变量的范围．
4、设a＜c＜b，如果把函数y=f（x）的图象被两条平行的直线x=a，x=b所截的一段近似地看作一条线段，则下列关系式中，f（c）的最佳近似表示式是（ ）
A、 B、
C、 D、
5、已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），则BC边上的中线长为（ ）
A、2 B、3
C、4 D、5
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：由已知中△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，﹣3，7），C（0，5，1），利用中点公式，求出BC边上中点D的坐标，代入空间两点间距公式，即可得到答案．21世纪教育网
解答：解：∵B（4，﹣3，7），C（0，5，1），
则BC的中点D的坐标为（2，1，4）
则AD即为△ABC中BC边上的中线
∵|AD|==321世纪教育网
故选B
点评：本题考查的知识点是空间中两点之间的距离，其中根据已知条件求出BC边上中点的坐标，是解答本题的关键．
6、下列说法的正确的是（ ）21世纪教育网
A、经过定点P0（x0，y0）的直线都可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示 B、经过定点A（0，b）的直线都可以用方程y=kx+b表示
C、不经过原点的直线都可以用方程表示 D、经过任意两个不同的点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线都可以用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示
考点：直线的两点式方程；直线的点斜式方程；直线的斜截式方程。
分析：逐一分析研究各个选项，通过举反例等手段，排除不正确的选项，特别注意直线斜率不存在或者截距等于0的情况．
解答：解：选项A不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点P0（x0，y0）的直线不可以用方程y﹣y0=k（x﹣x0）表示．
选项B不正确，当直线的斜率不存在时，经过定点A（0，b）的直线不可以用方程y=kx+b表示．
选项C不正确，当直线和x 轴垂直或者与 y轴垂直时，不经过原点的直线不可以用方程表示．
选项D正确，斜率有可能不存在，截距也有可能为0，但都能用方程（y﹣y1）（x2﹣x1）=（x﹣x1）（y2﹣y1）表示．
故选D．
点评：本题考查直线方程的适用范围，特别注意直线斜率不存在或者截距等于0的情况．
7、过点P（1，2）引一条直线，使它与点A（2，3）和点B（4，﹣5）的距离相等，那么这条直线的方程是（ ）
A、4x+y﹣6=0 B、3x+2y﹣7=0或4x+y﹣6=0
C、x+4y﹣6=0 D、2x+3y﹣7=0或x+4y﹣6=0
考点：直线的两点式方程。
专题：分类讨论。
分析：由题意得，所求直线经过线段AB的中点，或者所求的直线和线段AB平行，①当所求直线经过线段AB的中点时，由两点式求得直线的方程．②当所求的直线和线段AB平行时，利用点斜式求直线的方程．
解答：解：由题意得，所求直线经过线段AB的中点，或者所求的直线和线段AB平行，
由中点公式可求线段AB的中点坐标为（3，﹣1），又直线过点P（1，2），
∴当所求直线经过线段AB的中点时，由两点式得 所求直线的方程为 y﹣2﹣1﹣2=x﹣13﹣1，即 3x+2y﹣7=0，
当所求的直线和线段AB平行时，直线的斜率为 3+52﹣4=﹣4，由点斜式得 y﹣2=﹣4（x﹣1），即4x+y﹣6=0，
综上，所求直线的方程为 3x+2y﹣7=0 或 4x+y﹣6=0．故选 B．
点评：本题考查用两点式和点斜式求直线的方程，最后化为一般式，体现了分类讨论的数学思想．
8、下列命题中，正确的是（ ）
A、过点P（x1，y1）的直线的方程都可以表示为y﹣y1=k（x﹣x1） B、经过两个不同点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线的方程可表示为（y﹣y1）（x2﹣x1）=（y2﹣y1）（x﹣x1）
C、不经过原点的直线的方程可以表示为 D、经过点P（0，b）的直线的方程都可以表示为y=kx+b
考点：直线的两点式方程。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：逐一分析答案，通过举反例、排除、筛选，找出正确答案．
解答：解：A、当过点P（x1，y1）的直线斜率不存在时，直线方程不能表示为y﹣y1=k（x﹣x1），本选项错误；
B、经过两个不同点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的直线的方程无论斜率存在不存在，21世纪教育网
都利用表示为（y﹣y1）（x2﹣x1）=（y2﹣y1）（x﹣x1），本选项正确，21世纪教育网
C、当直线平行于一条坐标轴时，则直线在该坐标轴上截距不存在，故不能用截距式表示直线．本选项错误；
D、经过点P（0，b）的直线斜率不存在时，直线不能表示为y=kx+b，本选项错误，
故选B
点评：本题考查直线方程的几种形式：直线的两点式方程，截距式方程，点斜式方程以及斜截式方程，直线的点斜式方程及斜截式方程前提必须是直线的斜率存在，直线的截距式方程的前提是截距存在，即直线不与坐标轴平行，不经过坐标原点．熟练掌握直线方程几种形式使用的范围是解本题的关键．
二、填空题（共11小题）
9、三角形ABC中，已知A（﹣1，2），B（3，4），C（﹣2，5），则BC边上的高AH所在的直线方程为 5x﹣y+7=0 ．
10、经过点A（﹣3，1）和点B（4，﹣2）的直线l的点方向式方程是 ．
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：先求出直线的方向向量的坐标，再根据直线上的一个点的坐标，即可得到直线的点方向式方程．
解答：解：直线的方向向量为=（4，﹣2）﹣（﹣3，1）=（7，﹣3），
故直线l的点方向式方程是，
故答案为：．
点评：本题考查求直线的点方向式方程，求出直线的方向向量的坐标，是解题的关键．
11、过（5，7），（1，3）两点的直线方程为 x﹣y+2=0 ．
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：根据两个点的坐标先求出直线的斜率，然后根据斜率和其中一点的坐标得到直线的方程即可．
解答：解：设该直线的斜率为k，
因为直线过（5，7）和（1，3）所以k==1，
所以直线方程为y﹣3=1×（x﹣1），化简得：x﹣y+2=0
故答案为：x﹣y+2=0．
点评：考查学生会根据两个点的坐标求直线的两点式方程，以及根据两点的坐标会求过两点的斜率．
12、已知一次函数f（x）=ax+b图象经过点A（0，﹣1），B（1，1），则f（x）= 2x﹣1 ．
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：图象过点，则点的坐标适合函数的解析式，列方程组求解．21世纪教育网
解答：解：根据题意：
得：a=2
∴f（x）=2x﹣1
故答案为：2x﹣1
点评：本题主要考查一次函数解析式的求法，应用方程思想求解．21世纪教育网
13、过两点（1，2）和（3，4）的直线的方程为 y=x+1 ．
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：根据两个点的坐标先求出直线的斜率，然后根据斜率和其中一点的坐标得到直线的方程即可．
解答：解：设该直线的斜率为k，
因为直线过（1，2）和（3，4）所以k==1，21世纪教育网
所以直线方程为y﹣2=1×（x﹣1），化简得：y=x+1
故答案为y=x+1
点评：考查学生会根据两个点的坐标求直线的两点式方程，以及根据两点的坐标会求过两点的斜率．
14、过点A（﹣1，﹣2），B（3，5）的直线方程是 7x﹣4y﹣1=0 ．
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：根据题中所给出的条件直接根据直线方程的两点式写出直线方程即可．
解答：解：∵所求直线方程过点A（﹣1，﹣2），B（3，5）
∴所求直线方程为即7x﹣4y﹣1=0
故答案为：7x﹣4y﹣1=0
点评：本题主要考查了求过两点的直线方程．解题的关键是熟记直线方程的两点式：!
15、直线l过原点且平分平行四边形ABCD的面积，若平行四边形的两个顶点为B（1，4），D（5，0），则直线l的方程为 ．
16、如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：A1x+B1y=1；l2：A2x+B2y=2；
l3：A3x+B3y=3；直线l1与直线l2相交于M，直线l2与直线l3相交于N，金老师已经正确算出直线OM的方程为（2A1﹣A2）x+（2B1﹣B2）y=0，则直线ON的方程为21世纪教育网
（3A2﹣2A3）x+（3B2﹣2B3）y=0 ．21世纪教育网
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：根据题意设出N点的坐标，利用点N是两个直线的交点可得A2a+B2b=2，A3a+B3b=3，消去常数可得a与b的关系，进而得到直线ON的方程．
解答：解：由题意可得：l2：A2x+B2y=2；l3：A3x+B3y=3；
设N点的坐标为（a，b），并且直线l2与直线l3相交于N，
所以A2a+B2b=2…①，A3a+B3b=3…②，
①×3﹣②×2可得：a（3A2﹣2A3）+b（3B2﹣2B3）=0
所以直线ON的方程为（A2﹣2A3）x+（3B2﹣2B3）y=0
故答案为：3A2﹣2A3）x+（3B2﹣2B3）y=0．
点评：解决此类问题的关键是抓住两条直线交点的特征，点即在这条直线上夜在那条直线上，利用这一特征得到点的横坐标与纵坐标之间的关系．
17、已知线段AB的端点坐标为A（2，3），B（﹣1，﹣3），它交x，y轴于点P、Q，则点P坐标为 （，0） ，点Q坐标为 （0，﹣1） ．
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：用两点式写出直线AB的方程，由直线AB的方程求得 点P坐标 和点Q坐标．
解答：解：∵线段AB的端点坐标为A（2，3），B（﹣1，﹣3），
∴直线AB的方程为=，
y=2x﹣1，
∴点P坐标为（，0），点Q坐标为（0，﹣1），
故答案为 （，0）；（0，﹣1）．
点评：本题考查用两点式求直线方程的方法，求直线与坐标轴的交点．
18、在直线y=kx+b中，当x∈[﹣3，4]时，y∈[﹣8，13]，则此直线方程为 y=3x+1或y=﹣3x+4 ．
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题；分类讨论。
分析：当k＞0时，y=kx+b在[﹣3，4]上递增，所以直线y=kx+b过点（﹣3，﹣8），（4，13），用两点式求直线的方程．
当k＜0时，y=kx+b在[﹣3，4]上递减，所以直线y=kx+b过点（﹣3，13），（4，﹣8），用两点式求直线的方程．
解答：解：当k＞0时，y=kx+b在[﹣3，4]上递增，所以直线y=kx+b过点（﹣3，﹣8），（4，13），
于是得，，解之得，故直线方程为 y=3x+1．
当k＜0时，y=kx+b在[﹣3，4]上递减，所以直线y=kx+b过点（﹣3，13），（4，﹣8），
于是，解之得，故直线方程为y=﹣3x+4．
综上，所求的直线方程为 y=3x+1，或y=﹣3x+4，
故答案为 y=3x+1，或y=﹣3x+4．
点评：本题考查直线方程中一次项的系数与一次函数的单调性间的关系，用两点式求直线方程的方法．
19、过点（1，2）且在两坐标轴上的截距相等的直线的方程 2x﹣y=0或x+y﹣3=0 ．
三、解答题（共8小题）
20、△ABC的三个顶点为A（﹣3，0），B（2，1），C（﹣2，3），求：
（1）BC所在直线的方程；
（2）BC边上中线AD所在直线的方程；
（3）BC边上的垂直平分线DE的方程．
考点：直线的点斜式方程；直线的两点式方程。
专题：综合题。
分析：（1）利用B和C的坐标直接求出直线方程即可；（2）根据中点坐标公式求出B与C的中点D的坐标，利用A和D的坐标写出中线方程即可；（3）求出直线BC的斜率，然后根据两直线垂直时斜率乘积为﹣1求出BC垂直平分线的斜率，由（2）中D的坐标，写出直线DE的方程即可．
解答：解：（1）因为直线BC经过B（2，1）和C（﹣2，3）两点，由两点式得BC的方程为y﹣1=（x﹣2），即x+2y﹣4=0．
（2）设BC中点D的坐标为（x，y），则x==0，y==2．
BC边的中线AD过点A（﹣3，0），D（0，2）两点，由截距式得AD所在直线方程为+=1，即2x﹣3y+6=0．
（3）BC的斜率k1=﹣，则BC的垂直平分线DE的斜率k2=2，由斜截式得直线DE的方程为y=2x+2．
点评：考查学生会根据一点和斜率或两点坐标写出直线的方程，掌握两直线垂直时斜率的关系．会利用中点坐标公式求线段的中点坐标．
21、已知：在△ABC中，A（3，3），B（2，﹣2），C（﹣7，1）．
求：（1）AB边上的高CH所在直线的方程．
（2）AB边上的中线CM所在直线的方程．
考点：直线的点斜式方程；直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：（1）由已知可求得AB所在直线的斜率KAB=5，由AB⊥CH可得，从而可求直线方程
（2）可先求AB边的中点M，利用直线方程的可求直线CM的方程
解答：解：（1）由已知可求得AB所在直线的斜率KAB=5，（2分）21世纪教育网
因为AB⊥CH，所以，
所以直线CH的方程为：，整理得：x+5y+2=0（5分）21世纪教育网
（2）AB边的中点M坐标为即为（7分）
所以直线CM的方程为：，整理得：x+19y﹣12=0（10分）
点评：本题主要考查了利用两直线垂直的条件求解直线的斜率，利用直线方程的点斜式求解直线方程，属于基础试题．
22、已知△ABC的三顶点A（3，﹣1），B（9，5），C（2，6）．21世纪教育网
（1）求边AB上的中线所在直线的方程；
（2）求角B的平分线所在直线的方程．
故角B的平分线所在直线的方程是：x﹣3y+6=0．
点评：本小题主要考查直线的两点式方程、两直线的夹角与到角问题等基础知识，考查运算求解能力，求直线的方程，一般利用待定系数法将其求出．
23、已知点A（﹣3，8）、B（2，2），点P是x轴上的点，求当|AP|+|PB|最小时的点P的坐标．
考点：直线的两点式方程；三点共线；图形的对称性。
专题：数形结合。
分析：在x轴上，任取一点P1，作B关于x轴的对称点B1，连接AB1交x轴于P，则|PA|+|PB|≤|P1A|+|P1B|，
点P即为所求，由两点式求出直线AB1的方程，令y=0，可得点P的坐标．
解答：解：（如图）在x轴上，任取一点P1，作B（2，2）关于x轴的对称点B1（2，﹣2），21世纪教育网版权所有
连接P1B1，P1A，P1B，连接AB1交x轴于P，
则|P1A|+|P1B|=|P1A|+|P1B1|≥|AB1|，又|PA|+|PB|=|PA|+|PB1|=|AB1|，21世纪教育网版权所有
∴|PA|+|PB|≤|P1A|+|P1B|，∴点P即为所求，
由两点式求出直线AB1的方程：，即 2x+y﹣2=0，令y=0，则x=1．∴点P的坐标为（1，0）．
点评：本题考查求一个点关于x轴的对称点的坐标的方法，线段的中垂线的性质，以及用两点式求直线的方程，体现了数形结合的数学思想．
24、已知直线l过点A（2，1）、B（m，2），求直线l的方程．21世纪教育网版权所有
考点：直线的两点式方程。
专题：计算题；分类讨论。
分析：当m=2时直线不存在斜率其方程为x=2，当m≠2时，利用两点连线的斜率公式求出AB的斜率，利用直线方程的点斜式写出直线方程．
解答：解：①当m=2时，直线l的方程为x=2．
②当
又经过点A（2，1），由点斜式得方程：
即：x﹣（m﹣2）y+m﹣4=0．
点评：求直线方程时，一定要注意直线的斜率不存在时的情况，若题中含参数，一般需分类讨论．常与圆锥曲线结合出现在解答题中．
25、已知三角形的三个顶点是A（0，0），B（6，0），C（2，2）．
（1）求BC边所在直线的方程；
（2）设三角形两边AB，AC的中点分别为D，E，试用坐标法证明：DE∥BC且|DE|=|BC|．
26、已知两点A（2，3）、B（4，1），直线l：x+2y﹣2=0，在直线l上求一点P．21世纪教育网版权所有
（1）使|PA|+|PB|最小；
（2）使|PA|﹣|PB|最大．
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；直线的两点式方程。21世纪教育网版权所有
专题：计算题；综合题。
分析：先判断A、B与直线l：x+2y﹣2=0的位置关系，即把点的坐标代入x+2y﹣2，看符号相同在同侧，相反异侧．
（1）使|PA|+|PB|最小，如果A、B在l的同侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P；
如果A、B在l的异侧，则直接连线求交点P即可．
（2）使|PA|﹣|PB|最大．如果A、B在l的同侧，则直接连线求交点P即可；
如果A、B在l的异侧，将其中一点对称到l的另一侧，连线与l的交点即为P．
解答：解：（1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为（x1，y1）．
则有+2?﹣2=0，?（﹣）=﹣1．
解得
x1=﹣，
y1=﹣．
由两点式求得直线A1B的方程为y=（x﹣4）+1，直线A1B与l的交点可求得为P（，﹣）．
由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小．
（2）由两点式求得直线AB的方程为y﹣1=﹣（x﹣4），即x+y﹣5=0．
直线AB与l的交点可求得为P（8，﹣3），它使|PA|﹣|PB|最大．
点评：本题考查点与直线的位置关系，直线关于直线对称问题，以及平面几何知识，是中档题．
27、已知点Pn（an，bn）满足an+1=an?bn+1，bn+1=（n∈N*）且点P1的坐标为（1，﹣1）．
（1）求过点P1，P2的直线l的方程；
（2）试用数学归纳法证明：对于n∈N*，点Pn都在（1）中的直线l上．21世纪教育网版权所有
∴点P2的坐标为（，）
∴直线l的方程为2x+y=1．
（2）①当n=1时，
2a1+b1=2×1+（﹣1）=1成立．
②假设n=k（k∈N*，k≥1）时，2ak+bk=1成立，
则2ak+1+bk+1=2ak?bk+1+bk+1=（2ak+1）21世纪教育网版权所有
==
=1，
∴当n=k+1时，命题也成立．
由①②知，对n∈N*，都有2an+bn=1，
即点Pn在直线l上．
点评：此题考查直线的两点式，关键是求出点P1，P2的坐标；第二问考查数学归纳法，记住其一般步骤：（1）当n=1时，显然成立．（2）假设当n=k时（把式中n换成k，写出来）成立，则当n=k+1时，（这步比较困难，化简步骤往往繁琐，考试时可以直接写结果）该式也成立．由（1）（2）得，原命题对任意正整数均成立．
