中点坐标公式
一、选择题（共13小题）
1、直线 l与直线y=1和x﹣y﹣7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线 l的斜率是（ ）
A、 B、
C、 D、
2、已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）21*cnjy*com
A、4x+2y=5 B、4x﹣2y=5
C、x+2y=5 D、x﹣2y=5
3、已知A（﹣1，2）、B（3，﹣4），则线段AB的中点为（ ）
A、（1，﹣1） B、（﹣2，3）
C、（2，﹣3） D、
4、在平面直角坐标系中，已知A（1，﹣2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（ ）
A、（2，﹣1） B、（2，1）
C、（4，﹣2） D、（﹣1，2）
5、若点A（7，3），B（﹣1，﹣1），则AB中点C的纵坐标为（ ）
A、3 B、1
C、（3，1） D、（6，2）
6、已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点P的坐标为（ ）21*cnjy*com
A、（4，2，5） B、（）
C、（2，2，﹣3） D、（）
7、已知点A（2，0，﹣3），B（4，2，1），点P是线段AB的中点，那么点P的坐标是（ ）
A、（3，1，﹣1） B、（3，1，﹣2）21*cnjy*com
C、（4，1，﹣2） D、（﹣3，1，﹣1）
8、已知两点O（0，0），Q（a，b），点P1是线段OQ的中点，点P2是线段QP1的中点，P3是线段P1P2的中点，┅，Pn+2是线段PnPn+1的中点，则点Pn的极限位置应是（ ）21*cnjy*com
A、（，） B、（）
C、（） D、（）
9、△ABC的两个顶点为A（3，7）和B（﹣2，5）若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则C的坐标是（ ）
A、（2，﹣7） B、（﹣7，2）
C、（﹣3，﹣5） D、（﹣5，﹣3）
10、已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（ ）
A、4 B、
C、 D、
11、原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为（ ）
A、（） B、（）
C、（3，4） D、（4，3）
12、直线l与两直线y=1和x﹣y﹣7=0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率为（ ）
A、 B、
C、 D、
13、点（﹣1，2）关于直线 y=x﹣1的对称点的坐标是（ ）21*cnjy*com
A、（3，2） B、（﹣3，﹣2）
C、（﹣3，2） D、（3，﹣2）
二、填空题（共7小题）
14、直线l与直线y=1，x﹣y﹣7=0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率为 _________ ．
15、以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 _________ ．
16、如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是 _________ ．
17、已知点A（﹣1，﹣2），B（2，4），若直线ax+3y﹣5=0经过线段AB的中点，则a= _________ ．
18、已知M （2，﹣5，﹣3），N（﹣4，9，﹣5），则线段MN中点的坐标是 _________ ．
19、△ABC的两个顶点A（3，7），B（﹣2，5），若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标为 _________ ．21*cnjy*com
20、若A（﹣2，﹣3），B（1，1），点P（a，2）是AB的垂直平分线上一点，则a= _________ ．
三、解答题（共6小题）
21、在直角坐标平面中，已知点P1（1，2），P2（2，22），P3（3，23），…，Pn（n，2n），其中n是正整数，对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，An为An﹣1关于点Pn的对称点．
（1）求向量的坐标；21*cnjy*com
（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx．求以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式．
22、如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F．
（1）若BE⊥AC，求证CF⊥AB；
（2）若O、E分别是BC、AC的中点，求证F也是AB的中点．21*cnjy*com
23、过点P（0，1）作一条直线 l，使它与两已知直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0分别交于A、B两点，若线段AB被P点平分，求直线l的方程．
24、三角形的三个顶点是A（﹣1，0）、B（3，﹣1）、C（1，3）．
（1）求BC边上的高所在直线的方程；
（2）求BC边上的中线所在的直线方程；
（3）求BC边的垂直平分线的方程．
25、ABC中，A（0，1），AB边上的高线方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线方程为2x+y﹣3=0，求AB，BC，AC边所在的直线方程．
26、如图，△ABC的三个顶点分别为A（0，4），B（﹣2，6），C（﹣8，0）21cnjy
（1）求边AC上的中线BD所在的直线方程；
（2）求与AB平行的中位线DE的直线方程．（要求：答案均要求写成一般式方程）
答案与评分标准
一、选择题（共13小题）
1、直线 l与直线y=1和x﹣y﹣7=0分别交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线 l的斜率是（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：直线的斜率；中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：设出P、Q两点坐标，根据重点公式求出P、Q两点的坐标，利用两点表示的斜率公式计算直线l的斜率．
解答：解：设P（a，1），Q（b，b﹣7），
∵线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），
∴1=，﹣1=
解得，a=﹣2，b=4
∴P（﹣2，1），Q（4，﹣3），直线l的斜率为：=﹣
故选B
点评：本题考查直线的斜率公式、中点公式的简单应用，属于基础性试题
2、已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（ ）21cnjy
A、4x+2y=5 B、4x﹣2y=5
C、x+2y=5 D、x﹣2y=5
考点：直线的点斜式方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：先求出中点的坐标，再求出垂直平分线的斜率，点斜式写出线段AB的垂直平分线的方程，再化为一般式．
解答：解：线段AB的中点为，垂直平分线的斜率 k==2，
∴线段AB的垂直平分线的方程是 y﹣=2（x﹣2），4x﹣2y﹣5=0，21cnjy
故选 B．
点评：本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．
3、已知A（﹣1，2）、B（3，﹣4），则线段AB的中点为（ ）
A、（1，﹣1） B、（﹣2，3）
C、（2，﹣3） D、
考点：中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：由已知点A和B的坐标，可以求得中点的坐标，用中点坐标公式求即可．21cnjy
解答：解：A（﹣1，2）、B（3，﹣4），
则线段AB的中点为：
即（1，﹣1）
故选A．
点评：这是一道基础题，考查中点坐标公式的内容．是对基本功的考查．
4、在平面直角坐标系中，已知A（1，﹣2），B（3，0），那么线段AB中点的坐标为（ ）
A、（2，﹣1） B、（2，1）
C、（4，﹣2） D、（﹣1，2）
世纪教育网
5、若点A（7，3），B（﹣1，﹣1），则AB中点C的纵坐标为（ ）
A、3 B、1
C、（3，1） D、（6，2）
考点：中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：设AB的中点坐标C（x，y），则x=，，从而可得中点的纵坐标．
解答：解：设AB的中点坐标C（x，y）21世纪教育网
则x=，
故选B．
点评：本题主要考查了中点坐标公式的简单应用，属于基础性试题．
6、已知A（3，2，1）、B（1，0，4），则线段AB的中点P的坐标为（ ）21世纪教育网
A、（4，2，5） B、（）
C、（2，2，﹣3） D、（）
考点：中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：因为P为线段AB的中点，所以由A和B的坐标，利用中点坐标公式即可求出P的坐标．
解答：解：由A（3，2，1）、B（1，0，4），P为线段AB的中点，
得到P的坐标为（），即（）．
故选B．
点评：此题考查了线段中点坐标的求法，熟练掌握中点坐标公式是解本题的关键．
7、已知点A（2，0，﹣3），B（4，2，1），点P是线段AB的中点，那么点P的坐标是（ ）
A、（3，1，﹣1） B、（3，1，﹣2）
C、（4，1，﹣2） D、（﹣3，1，﹣1）21cnjy
考点：中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：因为P为线段AB的中点，所以由A和B的坐标，利用中点坐标公式即可求出P的坐标．
解答：解：由点A（2，0，﹣3），B（4，2，1），P为线段AB的中点，
得到P的坐标为（，，），即（3，1，﹣1）．
故选A
点评：此题考查了线段中点坐标的求法，熟练掌握中点坐标公式是解本题的关键．
8、已知两点O（0，0），Q（a，b），点P1是线段OQ的中点，点P2是线段QP1的中点，P3是线段P1P2的中点，┅，Pn+2是线段PnPn+1的中点，则点Pn的极限位置应是（ ）
A、（，） B、（）
C、（） D、（）
考点：中点坐标公式；极限及其运算。
分析：由中点坐标公式求得部分中点的坐标，再寻求规律，求极限得之．
解答：解：∵点Pn的位置应是（
∴点Pn的极限位置应是（）．
故答案选C．
点评：本题主要考查中点坐标公式和数列求和以及推理思想的应用．21世纪教育网
9、△ABC的两个顶点为A（3，7）和B（﹣2，5）若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则C的坐标是（ ）
A、（2，﹣7） B、（﹣7，2）
C、（﹣3，﹣5） D、（﹣5，﹣3）21世纪教育网
10、已知点A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），则点P（x，y）到原点的距离是（ ）
A、4 B、
C、 D、
考点：中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：由A（x，5）关于点（1，y）的对称点（﹣2，﹣3），根据中点坐标公式列出方程即可求出x与y的值，得到点P的坐标，然后利用两点间的距离公式求出P到原点的距离即可．
解答：解：根据中点坐标公式得到，
解得，
所以P的坐标为（4，1）
则点P（x，y）到原点的距离d==
故选D
点评：本题考查学生灵活运用中点坐标公式及两点间的距离公式化简求值，是一道基础题．21世纪教育网
11、原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为（ ）
A、（） B、（）21世纪教育网版权所有
C、（3，4） D、（4，3）
考点：中点坐标公式。
专题：综合题。
分析：设出原点与已知直线的对称点A的坐标（a，b），然后根据已知直线是线段AO的垂直平分线，得到斜率乘积为﹣1且AO的中点在已知直线上分别列出两个关于a与b的方程，联立两个方程即可求出a与b的值，写出A的坐标即可．
解答：解：设原点关于直线8x+6y=25的对称点坐标为A（a，b），直线8x+6y=25的斜率k=﹣，
因为直线OA与已知直线垂直，所以kOA==，即3a=4b①；21世纪教育网版权所有
且AO的中点B在已知直线上，B（，），代入直线8x+6y=25得：4a+3b=25②，21世纪教育网版权所有
联立①②解得：a=4，b=3．所以A的坐标为（4，3）．
故选D．
点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的关系，利用运用中点坐标公式化简求值，是一道中档题．
12、直线l与两直线y=1和x﹣y﹣7=0分别交于A，B两点，若线段AB的中点为M（1，﹣1），则直线l的斜率为（ ）
A、 B、
C、 D、
考点：中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：设出直线l的斜率为k，又直线l过M点，写出直线l的方程，然后分别联立直线l与已知的两方程，分别表示出A和B的坐标，根据中点坐标公式表示出M的横坐标，让表示的横坐标等于1列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值即为直线的斜率．
解答：解：设直线l的斜率为k，又直线l过M（1，﹣1），则直线l的方程为y+1=k（x﹣1），
联立直线l与y=1，得到，解得x=，所以A（，1）；
联立直线l与x﹣y﹣7=0，得到，解得x=，y=，所以B（，），
又线段AB的中点M（1，﹣1），所以+=2，解得k=﹣．
故选D．
点评：此题考查学生根据两直线方程求两直线的交点坐标，灵活运用中点坐标公式化简求值，是一道中档题．
13、点（﹣1，2）关于直线 y=x﹣1的对称点的坐标是（ ）
A、（3，2） B、（﹣3，﹣2）
C、（﹣3，2） D、（3，﹣2）
考点：与直线关于点、直线对称的直线方程；两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：设出对称点的坐标，利用斜率乘积为﹣1，对称的两个点的中点在对称轴上，列出方程组，求出对称点的坐标即可．
解答：解：设对称点的坐标为（a，b），由题意可知，解得a=3，b=﹣2，
所以点（﹣1，2）关于直线 y=x﹣1的对称点的坐标是（3，﹣2）．
故选D．
点评：本题考查直线与点关于直线的对称点的求法，注意对称知识的应用，垂直与平分是解题的关键．
二、填空题（共7小题）
14、直线l与直线y=1，x﹣y﹣7=0分别相交于P、Q两点，线段PQ的中点坐标为（1，﹣1），那么直线l的斜率为 ﹣ ．
15、以点（1，3）和（5，﹣1）为端点的线段的中垂线的方程是 x﹣y﹣2=0 ．
考点：两条直线垂直与倾斜角、斜率的关系；中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：先求出线段AB的中垂线的斜率，再求出线段AB的中点的坐标，点斜式写出AB的中垂线得方程，并化为一般式．
解答：解：直线AB的斜率 kAB=﹣1，所以线段AB的中垂线得斜率k=1，又线段AB的中点为（3，1），
所以线段AB的中垂线得方程为y﹣1=x﹣3即x﹣y﹣2=0，
故答案为x﹣y﹣2=0．
点评：本题考查利用点斜式求直线的方程的方法，此外，本题还可以利用线段的中垂线的性质（中垂线上的点到线段的2个端点距离相等）来求中垂线的方程．
16、如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，…，这一系列三角形趋向于一个点M．已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），则点M的坐标是 ．
考点：中点坐标公式。
分析：根据题意，△ABC的重心坐标为：（，），△A1B1C1的重心坐标为：
（，），再由中点公式得，△A1B1C1的重心坐标也是：（，），同理，△A2B2C2的重心坐标也是：（，）21世纪教育网版权所有
解答：解：如图，连接△ABC的各边中点得到一个新的△A1B1C1，
又连接△A1B1C1的各边中点得到△A2B2C2，如此无限继续下去，得到一系列三角形：△ABC，△A1B1C1，△A2B2C2，
因为这一系列三角形重心相同，趋向于一个点M，则点M是△ABC的重心，
已知A（0，0），B（3，0），C（2，2），
∴M=
点评：点M是△ABC的重心，应用中点坐标公式及三角形重心坐标公式．21世纪教育网版权所有
17、已知点A（﹣1，﹣2），B（2，4），若直线ax+3y﹣5=0经过线段AB的中点，则a= 4 ．
考点：中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：根据点A（﹣1，﹣2），B（2，4）的坐标利用中点坐标公式得出线段AB的中点（，1），再根据直线ax+3y﹣5=0经过线段AB的中点，代入直线的方程即可求得a值．
解答：解：∵点A（﹣1，﹣2），B（2，4），21世纪教育网版权所有
∴线段AB的中点（，1），
∵直线ax+3y﹣5=0经过线段AB的中点，
∴a×+3﹣5=0，
∴a=4．
故答案为：4．
点评：本小题主要考查中点坐标公式、直线的方程等基础知识，属于基础题．
18、已知M （2，﹣5，﹣3），N（﹣4，9，﹣5），则线段MN中点的坐标是 （﹣1，2，﹣4） ．
19、△ABC的两个顶点A（3，7），B（﹣2，5），若AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，则顶点C的坐标为 （2，﹣7） ．
考点：中点坐标公式。
专题：待定系数法。
分析：设顶点C（x，y），由AC的中点在x轴上，故A、C纵坐标的平均值等于0，解出y值；由BC的中点在y轴上，得到B、C的横坐标的平均值等于0，解出x值，从而得到C的坐标．
解答：解：设顶点C（x，y），
∵AC的中点在x轴上，BC的中点在y轴上，
∴=0，y=﹣7，=0，x=2，
∴C的坐标是（2，﹣7），
故答案为 （2，﹣7）．
点评：本题考查线段的中点公式的应用，线段中点的坐标等于端点坐标的平均值，用待定系数法求顶点C的坐标．
20、若A（﹣2，﹣3），B（1，1），点P（a，2）是AB的垂直平分线上一点，则a= ．
考点：中点坐标公式。21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：因为P为AB垂直平分线上一点，根据垂直平分线定理可得AP=BP，利用两点间的距离公式列出方程求出a即可．
解答：解：点P（a，2）是AB的垂直平分线上一点，则AP=BP，即=
两边平方得：4a+4+25=﹣2a+1+1，解得a=﹣21世纪教育网版权所有
故答案为：﹣
点评：考查学生会利用垂直平分线定理解决数学问题，灵活运用两点间的距离公式化简求值．
三、解答题（共6小题）
21、在直角坐标平面中，已知点P1（1，2），P2（2，22），P3（3，23），…，Pn（n，2n），其中n是正整数，对平面上任一点A0，记A1为A0关于点P1的对称点，A2为A1关于点P2的对称点，…，An为An﹣1关于点Pn的对称点．
（1）求向量的坐标；21世纪教育网版权所有
（2）当点A0在曲线C上移动时，点A2的轨迹是函数y=f（x）的图象，其中f（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx．求以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式．
考点：函数的周期性；函数解析式的求解及常用方法；中点坐标公式。
分析：（1）若两个点关于第三点对称，则第三点为这两个点的中点，所以先设出A0的坐标，利用对称求出A1坐标，A2坐标，就可以得到向量的坐标．
（2）先根据函数y=f（x）的周期性和x∈（0，3]时，f（x）的解析式求出x∈（3，6]时，f（x）的解析式，再把（1）中求出A2点坐标代入，化简，即得当x0∈（1，4]时x0，y0满足的关系式，即为以曲线C为图象的函数在（1，4]上的解析式．
解答：解：（1）设A0（x0，y0），∵A1为A0关于点P1的对称点，
∴A1坐标为（2﹣x0，4﹣y0）
∵A2为A1关于点P2的对称点，∴A2坐A0（x0，y0），∵标为（2+x0，4+y0）
∴；
（2）∵f（x）是以3为周期的周期函数，且当x∈（0，3]时，f（x）=lgx
∴当x∈（3，6]时，f（x）=lg（x﹣3）
∵A2的轨迹是函数y=f（x）的图象，
∴当2+x0∈（3，6]时，4+y0=lg（2+x0﹣3）=lg（x0﹣1），
即x0∈（1，4]时，4+y0=lg（x0﹣1），y0=lg（x0﹣1）﹣4，
∴A0（x0，y0）点满足y=lg（x﹣1）﹣4．
∴当x∈（1，4]时，g（x）=lg（x﹣1）﹣4．
点评：本题主要考查了中点坐标公式的应用，以及利用函数周期性求函数解析式的方法．
22、如图，在平面直角坐标系xoy中，设三角形ABC的顶点分别为A（0，a），B（b，0），C（c，0），点P（0，p）在线段AO上的一点（异于端点），这里a，b，c，p均为非零实数，设直线BP，CP分别与边AC，AB交于点E，F．
（1）若BE⊥AC，求证CF⊥AB；
（2）若O、E分别是BC、AC的中点，求证F也是AB的中点．
点评：此题考查学生掌握两直线垂直时斜率所满足的关系以及会根据斜率乘积为﹣1得到两直线垂直，灵活运用线段垂直平分线的性质及三角形全等解决实际问题，是一道综合题．
23、过点P（0，1）作一条直线 l，使它与两已知直线l1：x﹣3y+10=0和l2：2x+y﹣8=0分别交于A、B两点，若线段AB被P点平分，求直线l的方程．
考点：直线的点斜式方程；中点坐标公式。
专题：计算题。
分析：设出A、B两点的坐标，由中点公式求得A的坐标，用两点式求直线方程．
解答：解：由已知可设A（3b﹣10，b），B（a，﹣2a+8），因为P是AB的中点，
所以，，即，
所以a=4，b=2，即 A（﹣4，2），
再由P，A坐标，用两点式可求得直线l的方程为，即 x+4y﹣4=0．
点评：本题考查考查用两点式求直线方程的方法，线段的中点公式的应用，求出A的坐标是解题的难点．
24、三角形的三个顶点是A（﹣1，0）、B（3，﹣1）、C（1，3）．
（Ⅰ）求BC边上的高所在直线的方程；
（Ⅱ）求BC边上的中线所在的直线方程；
（Ⅲ）求BC边的垂直平分线的方程．
25、ABC中，A（0，1），AB边上的高线方程为x+2y﹣4=0，AC边上的中线方程为2x+y﹣3=0，求AB，BC，AC边所在的直线方程．
考点：直线的斜截式方程；中点坐标公式。
专题：综合题。
考点：中点坐标公式；直线的两点式方程。
专题：计算题。
分析：（1）求出中点D坐标，利用两点式方程求出边AC上的中线BD所在的直线方程．
（2）求出AB的斜率，然后求出DE的方程即可．
解答：解：（1）由中点坐标公式，设点D（x，y），
得，
由直线的两点式方程得BD所在的直线方程为
，
即2x﹣y+10=0
（2）由题意知kAB=﹣1，y﹣2=（﹣1）（x+4），
得AB的中位线所在的直线方程为x+y+2=0．
点评：本题是基础题，考查直线方程的求法，基本知识的应用，常考题型．
