答案与评分标准
一、选择题（共20小题）
1、设集合P={x|x2+x﹣6=0}，则集合P的元素个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、321世纪教育21cnjy网
考点：元素与集合关系的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题。21cnjy
分析：解方程x2+x﹣6=0，得两根：2，﹣3即可．21世纪教育网版权所有
解答：解：集合P={x|x2+x﹣6=0}，
解方程x2+x﹣6=0，得两根：2，﹣3
则集合P的元素个数是2．
故选C．
点评：本题考查集合中元素的个数，用到解一元二次方程的实数根．
2、已知集合A={x|ax2﹣3x﹣2=0，a∈R}，若A中至多有一个元素，则a的取值范围是（ ）
A、{a|a≤﹣} B、{a|a＜﹣或a=0}
C、{a|a≤﹣或a=0} D、{a|a＜﹣}
点评：本题考查二次方程的根的个数与判别式的符号有关；考查分类讨论的数学思想方法．注意二次项的系数为字母时，一定讨论系数为0时的情况．
3、若方程x2﹣px+15=0，x2﹣5x+q=0的解集分别为M，N，且M∩N={3}，则p：q的值为（ ）
A、 B、
C、1 D、
考点：交集及其运算；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：综合题。
分析：根据交集的定义，由M∩N={3}，得到3为两方程的解，把x=3分别代入两方程中即可求出p与q的值，求出比值即可．
解答：解：因为M∩N={3}，所以3为两方程的解，
则把x=3分别代入到两方程中得到：9﹣3p+15=0，9﹣15+q=0，分别解得：p=8，q=6，
所以p：q==．
故选D
点评：此题考查学生掌握交集的定义，掌握方程解的意义，是一道综合题．
4、 “”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（ ）21*cnjy*com
A、充分非必要条件 B、充分必要条件
C、必要非充分条件 D、非充分非必要条件21cnjy
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
分析：利用充分必要条件的判断法判断这两个条件的充分性和必要性．关键看二者的相互推出性．
解答：解：由x2+x+m=0知，?．21世纪教育网
（或由△≥0得1﹣4m≥0，∴．），
反之“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”必有，未必有m，
因此“”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的充分非必要条件．
故选A．
点评：本题考查充分必要条件的判断性，考查二次方程有根的条件，注意这些不等式之间的蕴含关系．
5、a为实数，则“方程x2+ax﹣a=0有虚数解”是“方程x2﹣ax+a=0有实数解”的（ ）
A、充要条件 B、必要非充分条件
C、充分非必要条件 D、既不充分也不必要条件
点评：判断一个条件是另一个条件的什么条件，应该先确定好哪个为条件角色，再两边互推一下，利用充要条件的有关定义加以判断．
6、一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的必要不充分条件是（ ）
A、a＜0 B、a＜1
C、a＞0 D、a＞1
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题。
分析：先解其充要条件，再从选项中找出能够真包含这个充要条件的范围，问题得以解决．本题的特点是可以借助一元二次根与系数的关系的知识来解．
解答：解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是
x1×x2=＜0，即a＜0，
从而而a＜0的一个必要不充分条件是a＜1
故选B
点评：本题考查一元二次方程的分布以及充要条件的定义，属于基础题．解决本题的特点是先找出其充要条件，再将范围放缩，寻求必要不充分条件．
7、如果a，b，c都是实数，那么P：ac＜0，是q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的（ ）
A、必要而不充分条件 B、充要条件
C、充分而不必要条件 D、既不充分也不必要条件
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题。21世纪教育网
分析：利用韦达定理先判断出前者成立能推出后者成立，反之后者成立能推出前者成立，利用充要条件的定义得到结论．21*cnjy*com
解答：解：若P：ac＜0，成立，则判别式△=b2﹣4ac＞0且两个根，
所以q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根成立；
反之，若q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根成立即个根，
所以P：ac＜0成立
所以P：ac＜0，是q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的充要条件
故选B．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用以及一元二次方程根的应用，是一个综合性的题目，也是一个难度中等的题目．
8、方程在x∈[﹣1，1]上有实根，则m的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、下图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则|OA|?|OB|等于（ ）
A、 B、﹣
C、± D、无法确定21世纪21cnjy教育网版权所有
考点：函数的图象；一元二次方程的根的分布与系数的关系。21*cnjy*com
专题：计算题。21世纪教育网
分析：由函数图象我们可以分析出A，B分别是二次函数y=ax2+bx+c的图象与X轴的交点，则|OA|?|OB|=|x1x2|=||，由图象开口朝下，得a＜0，由函数图象与Y轴的交点在X轴上方，得c＞0，代入根据绝对值的定义即可得到答案．
点评：在高中阶段由于研究函数的角度与初中阶段相比有所变化，因此同样对二次函数来说，高中研究的主要是二次函数性质的应用，如单调性、对称性等，因此解决此类问题的关键是熟练掌握二次函数的图象和性质，并注意和方程思想、分类讨论思想、转化思想、数形结合思想等高中重要数学思想之间的紧密联系．
10、已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）无零点，则g（x）＞0对?x∈R成立；
②若f（x）有且只有一个零点，则g（x）必有两个零点；
③若方程f（x）=0有两个不等实根，则方程g（x）=0不可能无解
其中真命题的个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、3
考点：二次函数的性质；函数的零点；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题。
分析：本题利用特殊法处理，根据已知条件，适当取特殊函数一一验证：对于①，若取a=﹣1，b=，c=﹣，则f（x）=﹣x2+x﹣，无零点；
②如下图，若f（x）（其图象为黑色）有且只有一个零点，则g（x）（其图象为红色）没有两个零点；
③如下图，若方程f（x）=0有两个不等实根（其图象为黑色），则方程g（x）=0（其图象为红色）可能无解．
解答：解：已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
对于①，若取a=﹣1，b=，c=﹣，则f（x）=﹣x2+x﹣，无零点，如图，但g（x）＜0对?x∈R成立；故①错；
②如下图，若f（x）（其图象为黑色）有且只有一个零点，则g（x）（其图象为红色）没有两个零点；故错；
③如下图，若方程f（x）=0有两个不等实根（其图象为黑色），则方程g（x）=0（其图象为红色）可能无解，故③错．
其中真命题的个数是0．
故选A．
点评：本小题主要考查二次函数的性质、函数的零点等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，属于基础题．21世纪教育网
11、若f（x）=（m﹣2）x2+mx+（2m+1）=0的两个零点分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内，则m的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A、（﹣，） B、（﹣，）
C、（，） D、[，]
∴
∴21cnjy 21世纪教育网版权所有
∴
∴＜m＜21世纪教育网
故选：C
点评：本题考查的知识点是函数零点的求法及零点存在定理，其中连续函数在区间（a，b）满足f（a）?f（b）＜0，则函数在区间（a，b）有零点，是判断函数零点存在最常用的方法．
12、若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A、（﹣1，1） B、（﹣2，2）
C、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞） D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
13、a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题。
分析：先求△＞0时a的范围，结合韦达定理，以及特殊值a=1来判定即可．
解答：解：方程ax2+2x+1=0有根，则△=22﹣4a≥0，得a≤1时方程有根，
当a＜0时，x1x2=＜0，方程有负根，又a=1时，方程根为x=﹣1，
显然a＜0?方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根；
方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根，不一定a＜0．
a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的充分不必要条件．
故选B．
点评：本题考查一元二次方程的根的分布于系数的关系，充要条件的判定，是中档题．
14、一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ）
A、a＜0 B、a＞0
C、a＜﹣1 D、a＞1
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；必要条件、充分条件与充要条件的判断。
专题：计算题。
分析：求解其充要条件，再从选项中找充要条件的真子集．求解充要条件时根据题设条件特点可以借助一元二次根与系数的关系的知识求解．
解答：解：一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充要条件是x1×x2=＜0，即a＜0，
而a＜0的一个充分不必要条件是a＜﹣121世纪教育网版权所有
故应选 C21cnjy
点评：本考点是一元二次方程分布以及充分不必要条件的定义．本题解决的特点是先找出其充要条件，再寻求充分不必要条件．21世纪教育网
15、若方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根，则a的取值范围是（ ）21*cnjy*com
A、a≤1 B、a＜1
C、0＜a≤1 D、0＜a≤1或a＜0
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题。
分析：方程ax2+2x+1=0为一个类二次方程，故我们要分a=0和a≠0两种情况进行讨论，当a=0时方程为一次方程，可直接求解进行判断，当a≠0时，方程为二次方程，可利用韦达定理进行判断．
点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的分面与系数的关系，其中本题易忽略对a=0的讨论，另外熟练掌握是韦达定理是解答本题的关键．
16、不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（ ）
A、10 B、﹣10
C、14 D、﹣14
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题。
分析：不等式ax2+bx+2＞0的解集是，说明方程ax2+bx+2=0的解为，
把解代入方程求出a、b即可．
解答：解：不等式ax2+bx+2＞0的解集是
即方程ax2+bx+2=0的解为
故a=﹣12?b=﹣2∴
点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，一元二次不等式的解法，是基础题．
17、已知x2﹣mx+n=0的两根为α，β，且1＜α＜2＜β，则m2+n2的取值范围是（ ）
A、[12，+∞） B、（12，+∞）
C、[13，+∞） D、（13，+∞）
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；函数单调性的性质。
专题：转化思想。21世纪教育网版权所有
分析：结合二次方程相应的二次函数的图象，令f（1）＞0，f（2）＜0，列出不等式组，画出不等式表示的可行域，m2+n2表示可行域内的点到原点的距离，结合图求出m2+n2的范围．21世纪21cnjy教育网
点评：本题考查一元二次方程的根的分布，结合二次函数的图象从判别式、对称轴与区间的位置、区间端点值的符号考虑、考查线性规划求最值．
18、若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个实根，则m的值为（ ）21*cnjy*com
A、 B、
C、 D、
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系；三角函数中的恒等变换应用。
专题：计算题。
分析：由已知中sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个实根，我们根据方程存在实根的条件，我们可以求出满足条件的m的值，然后根据韦达定理结合同角三角函数关系，我们易求出满足条件的m的值．
解答：解：若方程4x2+2mx+m=0有实根，
则△=（2m）2﹣16m≥0
m≤0，或m≥4
若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个实根，
则sinθ+cosθ=，
sinθ?cosθ=
则（sinθ+cosθ）2﹣2（sinθ?cosθ）=1
即m=1﹣，m=1+（舍去）
故选B
点评：本题考查的知识点是一元二次方程的根的颁布与系数的关系，三角函数中的恒等变换应用，其中本题易忽略方程存在实数根，而错解为．
19、已知方程x2﹣6x+a=0的两个不等实根均大于2，则实数a的取值范围为（ ）21*cnjy*com
A、[4，9） B、（4，9]
C、（4，9） D、（8，9）2121cnjy世纪教育网版权所有
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系。21世纪教育网
专题：计算题。
分析：令f（x）=x2﹣6x+a，由题意可得解可求答案．
20、“0≤a≤4”是“实系数一元二次方程x2+ax+a=0无实根”的（ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
考点：一元二次方程的根的分布与系数的关系。
分析：利用方程无实根，判别式小于0，求出后者的充要条件；再判断前者成立是否能推出后者的充要条件；后者的充要条件是否能推出前者，利用充要条件的定义判断出前者是后者的什么条件．
解答：解：“实系数一元二次方程x2+ax+a=0无实根”?△=a2﹣4a＜0?0＜a＜4
∴若“0≤a≤4”成立，“0＜a＜4”不一定成立
反之，若“0＜a＜4”成立，“0≤a≤4”一定成立
所以“0≤a≤4”是“实系数一元二次方程x2+ax+a=0无实根”的必要不充分条件．
故选A．
点评：本题考查一元二次方程有虚根的充要条件，解答的关键是利用充要条件的定义进行行判断条件问题．易错点是搞不清楚谁推出谁的问题．
二、填空题（共5小题）
21、若集合A={x|ax2+（a﹣6）x+2=0}是单元素集合，则实数a= 0或2或18 ．
考点：元素与集合关系的判断；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题。
分析：a=0时，﹣6x+2=0，集合A={}，满足题意．a≠0时，方程ax2+（a﹣6）x+2=0有两相等实根．由判别式△=0，能求出实数a．
解答：解：a=0时，﹣6x+2=0，x=，
只有一个解，集合A={}，满足题意．
a≠0时，方程ax2+（a﹣6）x+2=0有两相等实根．
判别式△=0
△=（a﹣6）2﹣8a=0
a2﹣20a+36=0，
解得a=2，或a=18，
∴实数a为0或2或18．
故答案为：0或2或18．
点评：本题考查元素与集合的关系的判断，解题时要认真审题，注意不要遗漏a=0的情况．
22、若集合A={x|0≤x2+ax+5≤4}为单元素集，则实数a取值集合是 {2，﹣2} ．
考点：集合关系中的参数取值问题；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题；数形结合；函数思想。21cnjy
分析：令y=x2+ax+5，由集合A={x|0≤x2+ax+5≤4}为单元素集可得不等式0≤x2+ax+5≤4只有一个解集，即函数y=x2+ax+5的图象在y=0和y=4之间只有一个交点221世纪教育网1世纪教育网版权所有
结合二次函数的图象可知x2+ax+5=4只有一个根，结合二次方程可求a
点评：本题以集合的元素为载体主要考查了不等式解集的求解，而解本题的关键是要把不等式与二次方程、二次函数之间的相互转化，并且注意二次函数图象的灵活应用．
23、设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n= 3或4 ．21*cnjy*com
考点：充要条件；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题；分类讨论。
分析：由一元二次方程有实数根?△≥0得n≤4；又n∈N+，则分别讨论n为1，2，3，4时的情况即可．
解答：解：一元二次方程x2﹣4x+n=0有实数根?（﹣4）2﹣4n≥0?n≤4；
又n∈N+，则n=4时，方程x2﹣4x+4=0，有整数根2；
n=3时，方程x2﹣4x+3=0，有整数根1，3；
n=2时，方程x2﹣4x+2=0，无整数根；
n=1时，方程x2﹣4x+1=0，无整数根．
所以n=3或n=4．
故答案为：3或4．
点评：本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略．
24、若方程x2﹣mx+2m=0有两根其中一根大于3一根小于3的充要条件是 m＞9 ．
考点：充要条件；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题。
分析：构造二次函数f（x）=x2﹣mx+2m，f（3）＜0，解得m即可．
解答：解：方程x2﹣mx+2m=0对应的二次函数f（x）=x2﹣mx+2m，
∵方程x2﹣mx+2m=0有两根其中一根大于3一根小于3，
∴f（3）＜0，解得m＞9，
∴即：方程x2﹣mx+2m=0有两根其中一根大于3一根小于3的充要条件是m＞9，
故答案为：m＞9．21cnjy
点评：本题考查一元二次方程的根的分布与系数的关系，属基础题．．21世纪教育网
25、已知，命题p：关于x的方程没有实数根，命题q：，则命题p是命题q的 必要不充分 ．21*cnjy*com 21世纪教育网版权所有
考点：充要条件；一元二次方程的根的分布与系数的关系；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角。
专题：计算题。
分析：通过令二次函数的判别式小于0，向量数量积的公式求出命题p中的范围，利用充要条件的定义判断出结论．
三、解答题（共4小题）
26、已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．
（1）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（2）是否存在实数k，使得方程f（x）=0无实数解？若存在，求出k的取值范围；若不存在，请说明理由；
（3）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明．
考点：带绝对值的函数；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：综合题。
分析：（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+2x=0，下面分两种情况讨论：①当x2﹣1≥12，②当x2﹣1＜0，分别解出方程f（x）=0的解即可；
（2）当|x|≥1时，方程为2x2+kx﹣1=0，方程的判别式△＞0，若方程f（x）=0无实数解，则方程2x2+kx﹣1=0的两实根必须都在区间（﹣1，1）内，列出关于k的不等式，解出k取值范围；当|x|＜1时解的情形，综上所述，当k∈（﹣1，1）时，方程f（x）=0无实数解；
（3）不妨设0＜x1＜x2＜2，因为，所以f（x）在（0，1]上是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，结合根的范围求出当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解，下面求的取值范围，方法一：先得出则关于k的函数，再利用函数的单调性求其范围；
方法二：因为x1∈（0，1]，所以kx1+1=0；①因为x2∈（1，2），所以2x22+kx2﹣1=0，②由①②消去k，得即，2x1x22﹣x1﹣x2=0，根据x2∈（1，2），得出的范围．2121cnjy世纪教育网版权所有
解答：解：（1）当k=2时，f（x）=|x2﹣1|+x2+2x=021世纪教育网
分两种情况讨论：
①当x2﹣1≥12，即x≥13或x≤﹣14时，方程即为2x2+2x﹣1=05，
解得，又因为，舍去，所以． …（2分）21*cnjy*com
②当x2﹣1＜0，即﹣1＜x＜1，方程化为1+2x=0，解得，…（3分）
由①②得，当k=2时，方程f（x）=0的解是，． …（4分）
（2）当|x|≥1时，方程为2x2+kx﹣1=0，方程的判别式△＞0，…（5分）
若方程f（x）=0无实数解，则方程2x2+kx﹣1=0的两实根必须都在区间（﹣1，1）内
所以，解得k∈（﹣1，1）． …（8分）
当|x|＜1时，方程为kx+1=0，当k=0时，方程无实数解，
当k≠0时，方程kx+1=0的解为，若方程f（x）=0无实数解，则，即k∈[﹣1，1]． …（10分）
综上所述，当k∈（﹣1，1）时，方程f（x）=0无实数解． …（11分）
（3）不妨设0＜x1＜x2＜2，
因为
所以f（x）在（0，1]上是单调函数，故f（x）=0在（0，1]上至多一个解，…（12分）
若x1，x2∈（1，2），则，故不符合题意，
因此x1∈（0，1]，x2∈（1，2）． …（13分）
由f（x1）=0，得，所以k≤﹣1；
由f（x2）=0，得，所以，
故当时，方程f（x）=0在（0，2）上有两个解． …（15分）
方法一：
因为x1∈（0，1]，所以，而方程2x2+kx﹣1=0的两根是，
因为x2∈（1，2），所以，
则，
而在上是减函数，则，
因此．21世纪教育网21cnjy …（18分）
方法二：
因为x1∈（0，1]，所以kx1+1=0；①
因为x2∈（1，2），所以2x22+kx2﹣1=0，②21世21*cnjy*com纪教育网版权所有
由①②消去k，得
即，2x1x22﹣x1﹣x2=0，
又因为x2∈（1，2），所以． …（18分）
点评：本小题主要考查一元二次方程的根的分布与系数的关系、带绝对值的函数、不等式的解法等基础知识，考查运算求解能力，考查方程思想、化归与转化思想．属于基础题．
27、设二次函数f（x）=x2+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x1，x2（x1＜x2）．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）求x2﹣x1的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x2．
考点：根与系数的关系；二次函数的性质；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题；证明题。
分析：（Ⅰ）利用方程有两个不相等的实数根，通过判别式大于0，直接求正实数c的取值范围；
（Ⅱ）通过（Ⅰ）利用韦达定理，结合x1＜x2，，利用c的范围，求出x2﹣x1的取值范围；
（Ⅲ）利用二次函数图象的开口方向，结合f（m）＜0，利用x2﹣x1∈（0，1），通过放缩即可证明m+1＞x2．
点评：本题是中档题，考查二次函数的根与系数的关系，注意韦达定理的应用，放缩法证明不等式的方法，考查计算能力．
28、已知集合A={2，3，5，6，8}，B={1，3，5，7，10}，集合C满足：
（1）若将C中的元素均减2，则新集合C1就变为A的一个子集；
（2）若将C中的各元素均加3，则新集合C2就变成集合B的一个子集；
（3）C中的元素可以是一个一元二次方程的两个不等实数根．
试根据以上条件求集合C．21cnjy
考点：子集与真子集；一元二次方程的根的分布与系数的关系。21世纪教育网21世纪教育网版权所有
专题：计算题。
分析：由已知中集合A={2，3，5，6，8}，B={1，3，5，7，10}，集合C满足：（1）若将C中的元素均减2，则新集合C1就变为A的一个子集；（2）若将C中的各元素均加3，则新集合C2就变成集合B的一个子集；我们可以判断出C?{4，7}，再由条件（3）C中的元素可以是一个一元二次方程的两个不等实数根可得C为二元集，进而得到答案．
解答：解：由条件（1）若将C中的元素均减2，则新集合C1就变为A的一个子集21*cnjy*com
则C?{4，5，6，7，8}，
由条件（2）若将C中的各元素均加3，则新集合C2就变成集合B的一个子集
则C?{﹣2，0，2，4，7}，
则C?{4，5，6，7，8}∩{﹣2，0，2，4，7}={4，7}
由条件（3）C中的元素可以是一个一元二次方程的两个不等实数根．
可得C是一个2元集
故C={4，7}
点评：本题考查的知识点是集合的子集，一元二次方程的根的颁布与系数的关系，其中根据条件（1）、（2）得到C?{4，7}，是解答本题的关键．
29、已知集合A={x|2x2+3x+1=0}，B={x|m2x2+（m+2）x+1=0}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．
考点：集合关系中的参数取值问题；一元二次方程的根的分布与系数的关系。
专题：计算题；分类讨论。
分析：求出结合A，利用A∪B=A，对集合B：B=?，B={﹣1}或{﹣}，B={﹣1，﹣}讨论，列出关系式求出相应的m的值，最后求出m的并集得到实数m的取值范围．
则，无解，不成立．
综上：m＜﹣或m≥2或m=0．
点评：本题考查二次方程的解法，重点是A∪B=A?B?A，对集合B的讨论是解题的关键，容易疏忽集合B是空集时的情况，考查分类讨论，计算能力．21*cnjy*com
一元二次方程的根的分布与系数的关系
一、选择题（共20小题）
1、设集合P={x|x2+x﹣6=0}，则集合P的元素个数是（ ）
A、0 B、1
C、2 D、321cnjy
2、已知集合A={x|ax2﹣3x﹣2=0，a∈R}，若A中至多有一个元素，则a的取值范围是（ ）
A、{a|a≤﹣} B、{a|a＜﹣或a=0}21世纪教育网
C、{a|a≤﹣或a=0} D、{a|a＜﹣}
3、若方程x2﹣px+15=0，x2﹣5x+q=0的解集分别为M，N，且M∩N={3}，则p：q的值为（ ）
A、 B、21*cnjy*com
C、1 D、
4、 “”是“一元二次方程x2+x+m=0有实数解”的（ ）
A、充分非必要条件 B、充分必要条件
C、必要非充分条件 D、非充分非必要条件
5、a为实数，则“方程x2+ax﹣a=0有虚数解”是“方程x2﹣ax+a=0有实数解”的（ ）
A、充要条件 B、必要非充分条件
C、充分非必要条件 D、既不充分也不必要条件
6、一元二次方程ax2+2x+1=0（a≠0）有一个正根和一个负根的必要不充分条件是（ ）
A、a＜0 B、a＜1
C、a＞0 D、a＞1
7、如果a，b，c都是实数，那么P：ac＜0，是q：关于x的方程ax2+bx+c=0有一个正根和一个负根的（ ）
A、必要而不充分条件 B、充要条件
C、充分而不必要条件 D、既不充分也不必要条件
8、方程在x∈[﹣1，1]上有实根，则m的取值范围是（ ）
A、 B、
C、 D、
9、下图所示为二次函数y=ax2+bx+c的图象，则|OA|?|OB|等于（ ）
A、 B、﹣
C、± D、无法确定
10、已知f（x）=ax2+bx+c（a≠0），g（x）=f[f（x）]
①若f（x）无零点，则g（x）＞0对?x∈R成立；
②若f（x）有且只有一个零点，则g（x）必有两个零点；
③若方程f（x）=0有两个不等实根，则方程g（x）=0不可能无解
其中真命题的个数是（ ）
A、0 B、121世纪教育网
C、2 D、3
11、若f（x）=（m﹣2）x2+mx+（2m+1）=0的两个零点分别在区间（﹣1，0）和区间（1，2）内，则m的取值范
围是（ ）
A、（﹣，） B、（﹣，）
C、（，） D、[，]
12、若关于x的方程x2+mx+1=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（ ）
A、（﹣1，1）
B、（﹣2，2）
C、（﹣∞，﹣2）∪（2，+∞）
D、（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）
13、a＜0是方程ax2+2x+1=0至少有一个负数根的（ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件
14、一元二次方程ax2+2x+1=0，（a≠0）有一个正根和一个负根的充分不必要条件是：（ ）
A、a＜0 B、a＞0
C、a＜﹣1 D、a＞1
15、若方程ax2+2x+1=0至少有一个负的实根，则a的取值范围是（ ）
A、a≤1 B、a＜1
C、0＜a≤1 D、0＜a≤1或a＜0
16、不等式ax2+bx+2＞0的解集是，则a+b的值是（ ）
A、10 B、﹣10
C、14 D、﹣14
17、已知x2﹣mx+n=0的两根为α，β，且1＜α＜2＜β，则m2+n2的取值范围是（ ）
A、[12，+∞） B、（12，+∞）
C、[13，+∞） D、（13，+∞）
18、若sinθ、cosθ是关于x的方程4x2+2mx+m=0的两个实根，则m的值为（ ）
A、 B、
C、 D、
19、已知方程x2﹣6x+a=0的两个不等实根均大于2，则实数a的取值范围为（ ）
A、[4，9） B、（4，9]
C、（4，9） D、（8，9）
20、“0≤a≤4”是“实系数一元二次方程x2+ax+a=0无实根”的（ ）
A、必要不充分条件 B、充分不必要条件
C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
二、填空题（共5小题）
21、若集合A={x|ax2+（a﹣6）x+2=0}是单元素集合，则实数a= _________ ．
22、若集合A={x|0≤x2+ax+5≤4}为单元素集，则实数a取值集合是 _________ ．
23、设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n= _________ ．
24、若方程x2﹣mx+2m=0有两根其中一根大于3一根小于3的充要条件是 _________ ．
25、已知，命题p：关于x的方程没有实数根，命题q：， 则命题p是命题q的 _________ ．
三、解答题（共4小题）
26、已知f（x）=|x2﹣1|+x2+kx．
（1）若k=2，求方程f（x）=0的解；
（2）是否存在实数k，使得方程f（x）=0无实数解？若存在，求出k的取值范围；若不
存在，请说明理由；
（3）若关于x的方程f（x）=0在（0，2）上有两个解x1，x2，求k的取值范围，并证明
．
27、设二次函数f（x）=x2+x+c（c＞0）．若f（x）=0有两个实数根x1，x2（x1＜x2）．
（Ⅰ）求正实数c的取值范围；221cnjy 1世纪教育网
（Ⅱ）求x2﹣x1的取值范围；
（Ⅲ）如果存在一个实数m，使得f（m）＜0，证明：m+1＞x2．
28、已知集合A={2，3，5，6，8}，B={1，3，5，7，10}，集合C满足：
（1）若将C中的元素均减2，则新集合C1就变为A的一个子集；
（2）若将C中的各元素均加3，则新集合C2就变成集合B的一个子集；21*cnjy*com
（3）C中的元素可以是一个一元二次方程的两个不等实数根．
试根据以上条件求集合C．
29、已知集合A={x|2x2+3x+1=0}，B={x|m2x2+（m+2）x+1=0}，若A∪B=A，求实数m的取值范围．
